Questão resolvida - Uma certa população de bactérias cresce uma taxa de P'(t)(1_(100))_e^(2t) bactérias por semana Sabendo que na semana inicial havia duas bactérias (P(0)2) Determine o tamanho da pop

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Q3. Uma certa população de bactérias cresce uma taxa de bactérias por P' t = e( )
1
100
2t
semana. Sabendo que na semana inicial havia duas bactérias . Determine o P 0 = 2( ( ) )
tamanho da população após semanas.10
 
Alternativas:
 
 a. □ 5, 0 ⋅ 10 bactérias3
 b. □ 1, 5 ⋅ 10 bactérias6
 c. ⬛ 2, 4 ⋅ 10 bactérias6
 d. □ 4, 9 ⋅ 10 bactérias6
 e. □ 1, 0 ⋅ 10 bactérias9
 
Resolução:
 
A taxa de crescimento da população de bactérias é , que é a derivada da função , P' t( ) P t( )
esta função ( ) fornece a quantidade da população de bactérias. Assim, vamos, usando P t( )
integração achar a função , integrando a sua derivada;P t( )
 
P t = e dt = e dt( ) ∫ 1
100
2t 1
100
∫ 2t
 
Essa integral é resolvida usando a técnica de integração por substituição simples, com isso, 
vem;
 
P t = e dt; u = 2t du = 2dt 2dt = du dt =( )
1
100
∫ 2t → → → du
2
 
Substituindo, rearumando os termo e integrando, fica :
 
P u = e = ⋅ e du = e + c( )
1
100
∫ u du
2
1
100
1
2
∫ u 1
200
u
 
 
mas, u = 2t, então;
 
P t = e + c( )
1
200
2t
 
No tempo zero, avião 2 bactérias, assim, resolvendo para c, temos;
 
P 0 = e + c = 2 e + c = 2 ⋅ 1 + c = 2 + c = 2 c = 2 -( )
1
200
2⋅0
→
1
200
0
→
1
200
→
1
200
→
1
200
 
c = c =
400 - 1
200
→
399
200
 
Com isso, substituindo o valor de c, a equação 1 fica;
 
 P t = e +( )
1
200
2t 399
200
 
Já temos a função que fornece a população de bactérias em função do tempo ( em t t
semanas), dessa forma, temos que em 10 semanas a quantidade de batérias é;
 
t = 10 semanas P 10 = e + P 10 = e + P 10 = +→ ( )
1
200
2⋅10 399
200
→ ( )
1
200
20
399
200
→ ( )
e
200
20 399
200
 
P 10 ≅ + P 10 ≅ P 10 ≅( )
485 ⋅ 10
200
6 399
200
→ ( )
485 ⋅ 10 + 399
200
6
→ ( )
485 ⋅ 10
200
6
 
P 10 ≅ 2, 4 ⋅ 10 bactérias( ) 6
 
 
(1)
(Resposta )