sequências numéricas

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Procurando exercícios resolvidos sobre sequências numéricas?
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Confira uma seleção especial de questões comentadas sobre sequências numéricas, todas retiradas de concursos públicos realizados pelo país.
Bons estudos.
Questão 1. (BB 2012 – Cesgranrio). Uma sequência numérica infinita (e1, e2, e3,…, en,…) é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n² + 6n. O quarto termo dessa sequência é igual a
(A) 9
(B) 13
(C) 17
(D) 32
(E) 40
Resolução:
Calculando a soma dos 3 primeiros termos:
n² + 6n =  3² + 6.3 = 9 + 18 = 27
Calculando a soma dos 4 primeiros termos:
n² + 6n =  4² + 6.4 = 16 + 24 = 40
Logo, o quarto termo é 40 – 27 = 13
Resposta: B
Questão 2 (Banestes 2015). A senha de meu cofre é dada por uma sequência de seis números, todos menores que 100, que obedece a determinada lógica. Esqueci o terceiro número dessa sequência, mas lembro-me dos demais. São eles: {32, 27, __, 30, 38, 33}. Assim, qual o terceiro número da sequência?
a) 35
b) 31
c) 34
d) 40
e) 28
Resolução:
Analisando a sequência, é possível verificar que o número 35 pode ser inserido na terceira posição, utilizando a lógica:
Ora subtrai-se 5, ora soma-se 8…
Veja:
32 – 5 = 27
27 + 8 = 35
35 – 5 = 30
30 + 8 = 38
38 – 5 = 33
Resposta: A = 35
Questão 3 (IBGE 2016). Considere a sequência infinita IBGEGBIBGEGBIBGEG… A 2016ª e a 2017ª letras dessa sequência são, respectivamente:
(A) BG;
(B) GE;
(C) EG;
(D) GB;
(E) BI.
Resolução:
Perceba que a sequência sempre repete as 6 letras IBGEGB.
Dividindo 2016 por 6:
2016/6 = 336
Daí, a sequência se repetirá 336 vezes até a posição 2016.
De onde concluímos que a letra B ocupa a posição 2016 e a letra I ocupa a posição 2017.
Resposta: E
Questão 4 (TJ SP 2015). Observe a sequência de espaços identificados por letras
Cada espaço vazio deverá ser preenchido por um número inteiro e positivo, de modo que a soma dos números de três espaços consecutivos seja sempre igual a 15. Nessas condições, no espaço identificado pela letra g deverá ser escrito o número
(A) 6.
(B) 7.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
Resolução
Como a soma dos três espaços consecutivos é sempre 15, temos:
(1) 6 + b + c = 15
(2) b + c + d = 15
Fazendo (2) – (1):
b + c + d – 6 – b – c = 15 – 15
d – 6 = 0
d = 6
Agora que calculamos d, podemos utilizar o mesmo raciocínio para calcular g:
6 + e + f = 15
e + f + g = 15
Da mesma forma, temos que g = 6.
Resposta: A
Questão 5 (PM Maranhão 2012). Para  tornar  uma  mensagem  secreta,  uma  palavra  foi codificada de acordo com as instruções a seguir:
I.  Você deve substituir cada letra pelo número correspondente da tabela a seguir:
II.  Se o número for múltiplo de 3, você deve subtrair duas unidades dele. Se não for, some uma unidade a ele;
III.  Substitua cada novo número pela letra correspondente.
Por  exemplo,  a  palavra  PAULO  corresponde  à  sequência  25-10-30-21-24,  que  após  ser  modificada  será  26-11-28-19-22, formando a palavra codificada QBSJM.
A palavra EGJBO está codificada. Decodificando-a, você obtém
(A)  DILAN.
(B)  DENIS.
(C)  CELSO.
(D)  FHKCM.
(E)  DFKCO.
Vamos fazer o inverso:
EGJBO corresponde a 14-16-19-11-24
Iremos analisar cada um desses números, sabendo que:
· se o número é do tipo múltiplo de três mais um, então ele era múltiplo de 3 e foram subtraídas duas unidades.
· se o número for múltiplo de três ou do tipo múltiplo de três mais dois, então foi somada uma unidade.
Veja o primeiro caso:
14 = 3.4 + 2
Estamos percorrendo o caminho inverso, e o nosso objetivo é descobrir se o número anterior foi subtraído em duas unidades, ou teve uma unidade adicionada.
Retiramos duas unidades quando o número é múltiplo de 3, ou seja, não pode ser o 16, pois não é múltiplo de 3.
Adicionamos uma unidade quando não é múltiplo de 3, ou seja, 13 não é múltiplo de 3, que somado a 1, temos o número resultante 14.
Da mesma forma, temos os demais casos:
16 = 3.5 + 1, logo o número era 18
19 = 3.6 + 1, logo o número era 21
11 = 3.3 + 2, logo o número era 10
24 = 3.8, logo o número era 23
13-18-21-10-23 corresponde a DILAN
Resposta: A
Questão 6 (PM PB – IBFC). Os números estão dispostos em sequência lógica 0, 5, 50, 5, 10, 45, 10, 15, 40, 15,… Nessas condições a soma entre os dois próximos números dessa sequência é:
a) 55
b) 50
c) 45
d) 60
Resolução
Os termos múltiplos de 3 são uma PG cujo primeiro termo é 50 e a razão é 5.
_, _, 50, _, _, 45, _, _, 40, _, _, 35, …
Os demais termos possuem uma repetição de múltiplos de 5, que aparecem duas vezes.
_, 5, _, 5, 10, _, 10, 15, _, 15, 20, _, 20, 25, _…
Veja a continuação da sequência:
0, 5, 50, 5, 10, 45, 10, 15, 40, 15, 20, 35, 20, 25, 30…
Soma dos dois próximos termos:
20 + 35 = 55
Resposta: A
Questão 7 (TRT 2 – SP). Na sequência (5, 7, 9, 11, 6, 8, 10, 12, 7, 9, 11, 13, 8, 10, 12, 14, 9, 11, 13, 15, 10, 12, 14, 16, 11, . . .), o número 15 aparece pela primeira vez na 20a posição e aparecerá pela última vez na posição de número
(A) 44
(B) 41
(C) 43
(D) 42
(E) 40
Resolução
Perceba que temos uma sequência “formada” por 4 sequências, cada uma representada de uma cor diferente.
5, 7, 9, 11, 6, 8, 10, 12, 7, 9, 11, 13, 8, 10, 12, 14, 9, 11, 13, 15, 10, 12, 14, 16, 11, . . .
Veja que a sequência vermelha é a que começa com o menor número, ou seja, o número 15 aparecerá pela última vez nesta sequência.
Analisando a sequência vermelha:
5 – posição 1
6 – posição 5
7 – posição 9
8 – posição 13
9 – posição 17
10 – posição 21
11 – posição 25
12 – posição 29
13 – posição 33
14 – posição 37
15 – posição 41
Resposta: B
Questão 8 (GCM SP – IBADE)Considere a seguinte sequência: 
0 – (1/3) – (-9) – (1/27) – … 
O sétimo item da sequência é: 
(A) -1/729 
(B) 729 
(C) -729 
(D) 1/729 
(E) 1/243 
Resolução
Observe que: 
· os números 3, 9, 27, …, são potências de 3;
· o sinal do expoente está se alternando entre negativo e positivo;
· o sinal de cada elemento da sequência também está alternando entre positivo e negativo.
Com essas informações, podemos listar os próximos termos da sequência:
0; (1/3); (-9); (1/27); (-81); (1/243); (-729)
Reposta: C
"Resumo sobre sequência numérica
A sequência numérica nada mais é do que uma sequência de números.
Alguns exemplos de sequência numérica:
sequência de números pares (0,2,4,6,8…);
sequência dos naturais menores que 6 (1, 2, 3, 4, 5);
sequência de números primos (2,3,5,7,11,…).
A lei de formação de uma progressão é a regra que rege essa sequência.
Uma sequência pode ser finita ou infinita.
Finita: quando possui uma quantidade limitada de termos.
Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.
Uma sequência pode ser crescente, descrente, constante ou oscilante.
Crescente: quando o termo é sempre menor que seu sucessor.
Decrescente: quando o termo é sempre maior que seu sucessor.
Constante: quando o termo é sempre igual ao seu sucessor.
Oscilante: quando há termos maiores e menores que o seu sucessor.
Existem casos especiais de sequência conhecidos como progressão aritmética ou progressão geométrica.
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Lei de ocorrência de sequência numérica
Conhecemos como sequência numérica qualquer sequência formada por números. Geralmente demonstramos as sequências fazendo uma lista dos seus termos, entre parênteses e separados por vírgula. Essa lista é conhecida como lei de ocorrência de uma sequência numérica.
(a1, a2, a3, … , an)
a1 → 1º termo da sequência
a2 → 2º termo da sequência
a3 → 3º termo da sequência
an → n-ésimo termo da sequência
Vejamos alguns exemplos a seguir.
Exemplo 1:
Lei de ocorrência da sequência dos números múltiplos de 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Exemplo 2:
Lei de ocorrência da sequência dos números primos:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Exemplo 3:
Lei de ocorrência dos inteiros negativos:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Exemplo 4:
Sequência dos números ímpares menores que 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Leia também: Quais são as propriedades dos números pares e ímpares?
Classificação da sequência numérica
Existem duas maneiras distintas de classificar uma sequência. A primeira delas é quanto à quantidade de termos,forma pela qual uma sequência pode ser finita ou infinita. A outra maneira de classificar as sequências é quanto ao seu comportamento. Nesse caso, elas são classificadas como crescentes, decrescentes, constantes ou oscilantes.
Classificação quanto à quantidade de termos
→ Sequência numérica finita
A sequência é finita quando ela possui uma quantidade limitada de termos.
Exemplos:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ Sequência numérica infinita
A sequência é infinita quando ela possui uma quantidade ilimitada de termos.
Exemplos:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Classificação quanto ao comportamento
→ Sequência numérica crescente
Uma sequência é crescente quando um termo qualquer é sempre menor que o seu sucessor na sequência.
Exemplos:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Sequência numérica decrescente
Uma sequência é decrescente quando um termo qualquer é sempre maior que o seu sucessor na sequência.
Exemplos:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ Sequência numérica constante
Uma sequência é constante quando todos os termos da sequência são iguais:
Exemplos:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Sequência numérica oscilante
Uma sequência é oscilante quando há termos que são maiores e termos que são menores que os seus respectivos sucessores na sequência:
Exemplos:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1 , – 1)
Lei de formação da sequência numérica
Algumas sequências podem ser descritas por uma fórmula que gera os seus termos. Essa fórmula é conhecida como lei de formação. Utilizamos a lei de formação para encontrar qualquer termo na sequência quando conhecemos o comportamento dela.
Exemplo 1:
A sequência a seguir é formada por quadrados perfeitos:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Podemos descrever essa sequência pela lei de formação:
an = (n – 1)²
n → número do termo
an → o termo de posição n
Com essa fórmula, é possível saber, por exemplo, o termo que ocupa a posição número 10 na sequência:
a10 = ( 10 – 1) ²
a10 = 9²
a10 = 81
Exemplo 2:
Liste os termos da sequência cuja lei de formação é an = 2n – 5.
Para listar, encontraremos os primeiros termos da sequência:
1º termo:
an = 2n – 5
a1 = 2·1 – 5
a1 = 2 – 5
a1 = – 3
2º termo:
an = 2n – 5
a2 = 2·2 – 5
a2 = 4 – 5
a2 = – 1
3º termo:
an = 2n – 5
a3 = 2·3 – 5
a3 = 6 – 5
a3 = 1
4º termo:
an = 2n – 5
a4 = 2·4 – 5
a4 = 8 – 5
a4 = 3
5º termo:
a5 = 2n – 5
a5 = 2·5 – 5
a5 = 10 – 5
a5 = 5
Então a sequência é:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Veja também: Números romanos — sistema numérico que utiliza letras para representar valores e quantidades
Progressão aritmética e progressão geométrica
Existem casos especiais de sequências que são conhecidos como progressão aritmética e progressão geométrica. Uma sequência é uma progressão quando existe uma razão de um termo para o seu sucessor.
Progressão aritmética
Quando conhecemos o primeiro termo da sequência e, para encontrar o segundo, somamos o primeiro a um valor r e, para encontrar o terceiro termo, somamos o segundo a esse mesmo valor r, e assim sucessivamente, a sequência é classificada como uma progressão aritmética.
Exemplo:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Essa é uma progressão aritmética de razão igual a 4 e primeiro termo igual a 1.
Note que, para encontrar o sucessor de um número na sequência, basta somar 4, por isso dizemos que 4 é a razão dessa progressão aritmética.
Progressão geométrica
Na progressão geométrica, também existe uma razão, mas, nesse caso, para encontrar o sucessor de um termo, devemos multiplicar o termo pela razão.
Exemplo:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Essa é uma progressão geométrica de razão igual a 3 e primeiro termo igual a 2.
Note que, para encontrar o sucessor de um número nessa sequência, basta multiplicar por 3, o que faz com que a razão dessa progressão geométrica seja 3.
Exercícios resolvidos sobre sequência numérica
Questão 1 - Analisando a sequência (1, 4, 9, 16, 25, … ), podemos afirmar que os dois próximos números serão:
A) 35 e 46.
B) 36 e 49.
C) 30 e 41.
D) 41 e 66.
Resolução
Alternativa B.
Para encontrar os termos da sequência, é importante encontrar uma regularidade na sequência, ou seja, entender a sua lei de ocorrência. Note que, do primeiro termo para o segundo termo, somamos 3; do segundo para o terceiro termo, somamos 5; do terceiro para o quarto termo e do quarto para o quinto termo, somamos, respectivamente, 7 e 9, logo a soma aumenta duas unidades a cada termo da sequência, ou seja, no próximo, somaremos 11, depois 13, depois 15, depois 17 e assim sucessivamente. Para encontrar o sucessor do 25, somaremos 11.
25 + 11 = 36.
Para encontrar o sucessor de 36, somaremos 13.
36 + 13 = 49
Então os próximos termos serão 36 e 49.
Questão 2 - (Instituto AOCP) A seguir, é apresentada uma sequência numérica, tal que os elementos dessa sequência foram dispostos obedecendo a uma lei (lógica) de formação, em que x e y são números inteiros: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Observando essa sequência e encontrando os valores de x e de y, seguindo a lei de formação da sequência dada, é correto afirmar que
A) x é um número maior que 30.
B) y é um número menor que 5.
C) a soma de x com y resulta em 25.
D) o produto de x por y resulta em 106.
E) a diferença entre y e x, nessa ordem, é um número positivo.
Resolução
Alternativa C.
Queremos encontrar o 7º e 8º termo dessa sequência.
Analisando a lei de ocorrência da sequência (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), é possível perceber que existe uma lógica para os termos ímpares (1º termo, 3º termo, 5º termo … ). Note que o 3º termo é igual ao 1º termo menos 2, pois 24 – 2 = 22. Usando essa mesma lógica, o 7º termo, representado por x, será o 5º termo menos 2, ou seja, x = 20 – 2 = 18.
Existe lógica parecida para os termos pares (2º termo, 4º termo, 6º termo … ): o 4º termo é o 2º termo menos 2, pois 13 – 2 = 11, e assim sucessivamente. Queremos o 8º termo, representado por y, que será o 6º termo menos 2, então y = 9 – 2 = 7.
Logo, temos x = 18 e y = 7. Analisando as alternativas, temos que x + y = 25, ou seja, a soma de x com y resulta em 25."