NST-matemática2-Retas paralelas cortadas por uma transversal _Teorema de Tales

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Matemática 
 
Retas paralelas cortadas por uma transversal / Teorema de Tales 
 
Teoria 
 
Retas paralelas cortadas por um transversal 
Sejam r e s duas retas paralelas e uma reta t, concorrente a r e s: 
 
A reta t é denominada transversal às retas r e s. Sua intersecção com as retas determina oito ângulos. Com 
relação aos ângulos formados, podemos classificá-los como: 
 
 
Com isso, podemos demonstrar como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Seja ABC um triângulo. Trace a reta que contém o segmento BC . Em seguida, tome a reta paralela à BC 
passando por A, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
Note que a reta que passa por A e por C é transversal às duas outras retas. Com isso o ângulo 𝐴�̂�𝐵 (ângulo 
vermelho) e 𝐴�̂�𝐶 (ângulo verde) tem seus alternos internos na reta que passa por A. Podemos reparar 
também que a soma do ângulo verde com o ângulo vermelho e o ângulo cinza dá 180°, conforme queríamos 
provar. 
 
 
Teorema de Tales 
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre a 
primeira transversal são proporcionais a seus correspondentes determinados sobre a segunda transversal. 
 
 
Por Tales: 
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
 
Usando as propriedades de proporção, podemos reescrever a proporção acima de outras formas ainda mais 
completas, como, por exemplo, 
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
𝐷𝐹
𝐸𝐹
. 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios 
 
1. As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo  , apresentado na figura a seguir, é: 
 
 
a) 40°. 
b) 45°. 
c) 50°. 
d) 65°. 
e) 130°. 
 
 
 
 
2. Numa gincana, a equipe “Já Ganhou” recebeu o seguinte desafio: Na cidade de Curitiba, fotografar a 
construção localizada na rua Marechal Hermes no número igual à nove vezes o valor do ângulo  da 
figura a seguir: 
 
Se a equipe resolver corretamente o problema, irá fotografar a construção localizada no número: 
a) 990. 
b) 261. 
c) 999. 
d) 1026 
e) 1260. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
3. A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de 
energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a 
de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo as suas 
instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar 
que a barreira mede: 
 
a) 33 m. 
b) 38 m. 
c) 43 m. 
d) 48 m. 
e) 53 m. 
 
 
 
4. O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões 
são todas paralelas à base AB do triangulo ABC, conforme figura. 
 
 
Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente: 
a) 30 cm e 50 cm. 
b) 28 cm e 56 cm. 
c) 50 cm e 30 cm. 
d) 56 cm e 28 cm. 
e) 40 cm e 20 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
5. Considere a figura em que r // s // t . O valor de x é: 
 
 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
 
 
 
6. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Considerando que a reta t é bissetriz do ângulo PÂQ, a 
medida do ângulo x é: 
 
 
a) 50°. 
b) 80°. 
c) 90°. 
d) 100°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
7. Observe a figura abaixo: 
 
O valor de a, b e x é: 
a) x = 70°, a = 150° e b = 140°. 
b) x = 140°, a = 150° e b = 70°. 
c) x = 150°, a = 70° e b = 140°. 
d) x = 70°, a = 140° e b = 150°. 
e) x = 150°, a = 140° e b = 70°. 
 
 
8. Na figura abaixo, as retas r, s e t são paralelas. Sendo assim, qual é o valor dos ângulos a, b, c e d? 
 
a) a = 120°, b = 60° , c = 60° e d = 60°. 
b) a = 60°, b = 60° , c = 60° e d = 120°. 
c) a = 60°, b = 60° , c = 60° e d = 60°. 
d) a = 120°, b = 120 , c = 60° e d = 60°. 
e) a = 120°, b = 60° , c = 120° e d = 60°. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
9. A figura a seguir representa um terreno com frente para duas ruas. A frente para a rua da Paz mede 270 
metros. 
 
O proprietário do terreno resolveu dividi-lo em três lotes menores, traçando sobre ele duas paralelas 
perpendiculares à rua do Amor. Os terrenos I, II e III ficaram com 80 m, 60 m e 40 m de frente para essa 
rua, respectivamente. 
Com base nessas informações, determine as medidas das frentes dos três terrenos para a rua da Paz. 
a) I = 90 m, II = 60 m e III = 120 m. 
b) I = 60 m, II = 90 m e III = 120 m. 
c) I = 120 m, II = 60 m e III = 90 m. 
d) I = 60 m, II = 60 m e III = 90 m. 
e) I = 120 m, II = 90 m e III = 60 m. 
 
 
10. Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é 
feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva 
da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. 
 
Considere que 
– os pontos A, B, C e D estão alinhados; 
– os pontos H, G, F e E estão alinhados; 
– os segmentos 𝐴𝐻,𝐵𝐺, 𝐶𝐹 e 𝐷𝐸 são, dois a dois, paralelos entre si; 
– 𝐴𝐵 = 500𝑚,𝐵𝐶 = 600𝑀, 𝐶𝐷 = 700𝑚 e 𝐻𝐸 = 1980𝑚. 
 
Nessas condições, a medida do segmento 𝐺𝐹 é, em metros, 
a) 665. 
b) 660. 
c) 655. 
d) 650. 
e) 645. 
 
 
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Matemática 
 
Gabaritos 
 
1. A 
Observe a figura: 
 
Como α e 40° são ângulos alternos internos, α = 40°. 
 
 
2. C 
Gire a figura para a esquerda e observe: 
 
Como r e s são paralelas, trace uma transversal e calcule os ângulos alternos internos. O ângulo  é 
ângulo externo ao triângulo inferior, portanto  = 65 + 46 = 111. Queremos saber o valor de 9 = 9 x 111 
= 999. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
3. B 
 
Usando o teorema de Talles, temos que: 
 
x = 38 metros. 
 
4. B 
Usando o teorema de Talles, temos que: 
 e . Assim, x = 28 e y = 56. 
 
 
5. B 
Pelo teorema de Tales, temos que: 
 
Evoluindo a equação, encontramos x² - x - 12 = 0. 
Resolvendo a equação, encontramos x = 4 ou x = -3. Descartamos a solução negativa por se tratar de um 
comprimento. 
 
 
6. A 
Observe a figura: 
 
Assim, x + x + 80 = 180. 
x = 50 graus. 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
7. A 
Pela figura, vemos que b e 40° são colaterais internos, assim, somam 180°. Logo, b = 140°. Vemos, 
também, que a e 30° são colaterais internos, assim, somam 180°. Logo, a = 150°. Por fim: 
360
150 140 360
70
a b x
x
x
+ + = 
+ + = 
= 
 
 
 
8. A 
Pela figura, vemos que a = 120° pois são ângulos correspondentes. Além disso, a e b são colaterias 
internos, assim, somam 180°. Dessa maneira, b = 60°. Indo além, d e 120° também são colaterias internos, 
assim, somam 180°. Dessa maneira, d = 60°. Por fim, vemos que b + c + d = 180°. Encontramos c = 60°. 
 
9. E 
Pelo teorema de Tales, temos: 
270
120
180 80
270
90
180 60
270
60
180 40
I
I m
II
II m
III
III m
=  =
=  =
=  =
 
 
10. B