Questão resolvida - Seja y f(x) definida implicitamente pela equação y x y 2x Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, 1) - cálculo I - UFF

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Q4(adaptada). Seja definida implicitamente pela equaçãoy = f x( )
 
y + x = y − 2x2 2 3
 
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .f −2, 1( )
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos derivar a equação usando a técnica de derivação implícita, já que não é 
possível coloca-lá em função nem de , nem de ;x y
 
y + x = y − 2x 2yy' + 2x = 3y y' - 22 2 3 ⏫⏪⏪⏪implícita
2
 
Agora, isolamos rearumando os termos;y'
 
2yy' + 2x = 3y y' - 2 2yy' - 3y y' = - 2 - 2x y' 2y - 3y = - 2 - 2x2 → 2 → 2
 
y' = y' =
-2 - 2x
2y - 3y2
→
-1 ⋅ -2 - 2x
-1 ⋅ 2y - 3y
( )
2
→
 
y' x, y =( )
2 + 2x
3y - 2y2
 
A reta tangente a uma curva é dada por: 
 
y = f' x x + b( 0)
 
 
derivada
(1)
Perceba que o coefiente angular é o valor da derivada da função no ponto. No nosso caso, 
como queremos encontar a reta tangente a curva em , temos que substituir esse −2, 1( )
ponto na derivada (equação 1);
 
y' −2, 1 = = = =( )
2 + 2 -2
3 1 - 2 ⋅ 1
( )
( )2
2 - 4
3 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1
-2
3 - 2
-2
1
 
y' −2, 1 = - 2( )
 
Obtemos em 2 o coeficiente angular da reta tangente à curva, uma reta tangente é dada 
genericamente por;
 
y = mx + b
 
Em que é o coeficiente angular que encontramos em 2, assim, a equação da reta m
tangente que desejamos encontrar fica;
 
y = -2x + b
 
Para conhecer o coeficiente angularlinear , vamos substituir o ponto de tangência b −2, 1( )
em 4 e resolver para ;b
 
1 = -2 -2 + b 1 = -4 + b -4 + b = 1 b = 1 + 4( ) → → →
 
b = 5
 
Conhecido o valor do coeficiente linear, temos que a reta tangente ao gráfico da curva no 
ponto é;−2, 1( )
 
y = -2x + 5
 
 
(2)
(3)
(4)
(5)
(Resposta )