Geometria espacial

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Geometria espacial 
Poliedros 
→ Sólido limitado por polígonos planos 
▹Faces: polígonos que 
formam o poliedro 
▹Arestas: lados dos 
polígonos 
▹Vértices: vértices dos 
polígonos 
→ Poliedros convexos: em 
relação a qualquer uma de suas 
faces, está todo situado num 
mesmo semiespaço determinado 
pelo plano que contêm a face 
▹Soma das medidas dos ângulos das faces de um 
poliedro convexo: S = (V-2) x 360º 
→ Poliedros côncavos: ao posicionar 
um plano sobre uma de suas faces, 
existe pelo menos uma que não 
divida as demais para outro 
semiespaço 
→ Nomenclatura: de acordo com o número de faces 
 
 
 
→ Poliedros regulares: suas faces são polígonos 
regulares congruentes, os ângulos poliédricos são 
congruentes e em todos os vértices concorre o 
mesmo número de arestas 
▹Ângulos poliédricos: ângulos internos formados entre 
duas arestas de um poliedro 
 
→ Poliedros de Platão: 
▹Todas as suas faces possuem o mesmo número de 
arestas 
▹Todos os seus vértices são formados pelo mesmo 
número de arestas 
 
→ Relação de Euler: V + F = A + 2 
▹V = vértices, F = faces e A = arestas 
→ 2A = nF = pV 
▹2xArestas = número de lados em cada face = 
número de arestas que formam um vértice 
 
Prismas 
→ Poliedro que possui 
uma face superior e 
uma inferior paralelas e 
congruentes, chamadas base 
→ Prismas retos: a 
altura é paralela as 
arestas laterais ou as 
arestas laterais são 
perpendiculares aos 
planos das bases 
→ Prismas oblíquos: a altura não é paralela as arestas 
laterais ou as arestas laterais são obliquas aos planos das 
bases 
→ Prismas regulares: prisma reto e com 
bases sendo polígonos regulares 
→ Secção plana de um prisma: 
intersecção de um prisma com um plano 
que intercepta todas as atestas laterais 
▹Secção transversal: quando o plano é 
paralelo as bases 
→ Prisma triangular: bases são triângulos 
 Triângulos em geral Triângulos equiláteros 
 
→ Prisma quadrangular: bases são quadriláteros 
 
→ Prisma hexagonal: bases são hexágonos 
 
→ Área da superfície: St = Sl + 2Sb 
▹Área da base: área de um dos polígonos da base 
▹Área lateral: soma das áreas de todas as faces laterais 
▹Área total: soma da área lateral e das áreas da base 
→ Volume: V = Ab.h 
 
Paralelepípedo e cubo 
→ Paralelepípedo: 
prisma cujas bases são 
paralelogramos 
▹Área total: 
AT = 2.(a.b+a.c+b.c) 
▹Diagonal: distância entre 
um dos vértices superiores 
até o vértice inferior 
oposto a ele; D2 = d2+c2 e d2 = a2+b2 
▹Volume: produto das dimensões; 
V = a..b.c 
→ Cubo: paralelepípedo com as 
bases e faces quadradas 
▹Área total: AT = 6a2 
▹Diagonal: D2 = d2+a2, D = a√3, 
d=a√2 
▹Volume: produto das dimensões; 
V = a3 
 
Pirâmide 
→ l = lados da base 
→ al = aresta lateral 
→ ap = apótema da pirâmide 
▹Altura das faces laterais 
→ r = raio da circunferência 
inscrita 
▹Apótema da base 
→ R = raio da circunferência circunscrita 
→ h = altura da pirâmide 
 
→ Apótema da base 
▹Triangular: l√3/6 
▹Quadrada: l/2 
▹Hexagonal: l√3/2 
→ Volume: 1/3.Ab.h 
 
Cilindro 
→ Lateral: região entre as bases 
→ Altura (h): segmento 
perpendicular entre as bases 
→ Raio (R): raio da base 
 
→ Reto: altura paralela ao eixo 
central do cilindro 
→ Obliquo: altura não é paralela 
ao eixo central 
 
✳ No plano, a lateral do cilindro 
corresponde a m retângulo de lados 
h (altura do cilindro) e 2πR (perímetro 
da base) 
→ Área: 
▹Área lateral: 2πR.h 
▹Área total: 2.Ab + Al = 2πR2 + 2πR.h 
→ Volume: Ab.h = πR2.h 
→ Cilindro equilátero: altura igual ao 
diâmetro da base 
▹Área lateral: 4πR2 
▹Área total: 6πR2 
▹Volume: 2πR3 
→ Tronco: solido 
“restante” de um 
corte transversal 
em um cilindro 
▹Volume: 
πR2.(a+b)/2 
 
Cone 
→ R: raio da circunferência da base 
→ h: altura do cone (segmento de reta 
perpendicular que une o vértice a um 
ponto da base) 
→ g: geratriz (segmentos de reta que 
unem o vértice a um ponto na 
circunferência da base) 
 
→ Reto: segmento de 
reta que une o vértice 
ao centro da base é 
perpendicular ao plano 
→ Obliquo: segmento de reta que une o vértice ao 
centro da base não é perpendicular ao plano 
✳ No plano, a lateral do cone corresponde a um setor 
circular com um ângulo	α associado e o comprimento 
do arco desse setor é igual ao perímetro da base, ou 
seja, 2πR 
→ Ângulo central: 
360.R/g ou 2πR/g 
→ Área: 
▹Área lateral: (α/360º). πR2 ou πR.g 
▹Área total: .Ab + Al ou πR2+πR.g 
▹Relação: g2 = R2 + h2 
→ Volume: 1/3.Ab.h 
→ Cone equilátero: altura igual ao diâmetro da base 
→ Cone equilátero: geratriz igual ao diâmetro da base 
 
Esfera 
→ Área: 4πR2 
→ Volume: 4/3	πR3 
→ Clepsidra: 
▹Vcilindro = 
Vesfera + Vclepsidra 
 
 
 
→ Calota esférica: solido 
“retirado” ao realizar um corte na 
esfera utilizando um plano 
▹R: raio do novo círculo, que vai 
do seu centro até a superfície da 
esfera; a distância do centro da 
esfera até a borda desse círculo 
tem o mesmo valor 
▹d: distância entre o centro da 
esfera e o centro do novo círculo 
▹Obs.: d, R, R formam um triangulo 
retângulo 
→ Fuso esférico: superfície de uma 
semicircunferência contida na esfera 
rotacionada em torno do próprio 
diâmetro da esfera por α graus 
▹Área do fuso: 4πR2.(α/360º) 
→ Cunha esférica: volume de um semicírculo contido 
na esfera rotacionado em torno do próprio diâmetro da 
esfera por α graus 
▹Volume da cunha: 4/3	πR3. (α/360º)