Matemática II

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SUMÁRIO 
 
 
Aula 21 – Geometria Plana 3 – Áreas das Figuras Planas e Polígonos .................................................................... 01 
Aula 22 – Geometria Espacial – Parte I – Pirâmides, Primas e Poliedros ................................................................. 19 
Aula 23 – Geometria Espacial – Parte 2 – Corpos Redondos ................................................................................... 31 
Aula 24 – Progressão Aritmética ................................................................................................................................ 42 
Aula 25 – Progressão Geométrica ............................................................................................................................. 48 
Aula 26 – Estatísticas (ENEM) Parte 1 de 2 .............................................................................................................. 56 
Aula 27 – Geometria Analítica – Parte 1 – Pontos .................................................................................................... 76 
Aula 28 – Geometria Analítica – Parte 2 – Retas ..................................................................................................... 90 
Aula 29 – Geometria Analítica – Parte 3 – Circunferência ........................................................................................ 105 
Aula 30 – Números Complexos ................................................................................................................................. 119 
Aula 31 – Polinômios ................................................................................................................................................. 127 
Aula 32 – Matrizes ..................................................................................................................................................... 137 
Aula 33 – Determinantes 1 ......................................................................................................................................... 148 
Aula 34 – Sistemas Lineares I ................................................................................................................................... 156 
Resoluções de Exercícios de Fixação ....................................................................................................................... 166 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 21 – Prof Raul Brito 
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
 
GEOMETRIA PLANA 3 
ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS E POLÍGONOS 
 
Área dos Quadriláteros 
1. Retângulo 
= ⋅A b h 
Diagonal: = +2 2d b h . 
 
2. Quadrado 
= 2A L 
Diagonal: =d L 2 
 
3. Paralelogramo 
A b h= ⋅ 
 
4. Losango 
⋅
=
D dA
2 
 
Relação Importante: ( ) ( )= + 222 dD2 2L 
 
5. Trapézio 
+ =  
 
B bA h
2 
Propriedades !!! 
 
 
 Base Média: += DC ABMN
2
 
 Mediana de Euler: −= DC ABEF
2
 
 
6. Quadrilátero com diagonais perpendiculars 
 
⋅
=
D dA
2 
 
 
7. Fórmula de Brahmagupta 
A área de um quadrilátero (inscritível numa circunferência) de lados 
a, b, c e d, inscritível numa circunferência, é dada por: 
 
= − − − −A (p a)(p b)(p c)(p d) 
 
onde + + += a b c dp
2
 
 
 
Área dos Triângulos 
1. Triângulo Qualquer 
 
= ⋅ ⋅
1A b h
2 
 
 
 
 
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2. Triângulo Equilátero 
 
 
= 2
3A L
4 
 
3. Área de um Hexágono Regular 
 = 2
3 3A L
2 
 
4. Triângulo Retângulo 
 
 
⋅
=
a hA
2 ou 
⋅
=
b cA
2 
 
Obs.: bc = ah 
 
5. Em função dos 3 lados (Fórmula de Herão) 
 
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −A p (p a) (p b) (p c) =
2Ah
a 
 
Onde + += a b cp
2
 (semi-perímetro) 
 
6. Em função de 2 lados e do ângulo entre eles 
 
 
= ⋅ ⋅ ⋅ θ
1A a b sen
2
 = ⋅ ⋅ ⋅ β1A a c sen
2
 
 
= ⋅ ⋅ ⋅ α
1A b c sen
2
 
7. Em função dos lados e do raio da circunferência 
circunscrita 
 
⋅ ⋅
=
⋅
a b cA
4 R
 
 
8. Em função dos lados e do raio da circunferência inscrita 
 
= ⋅A p r 
Onde + += a b cp
2
 (semi-perímetro) 
 
9. Propriedade da Mediana 
 
“Toda mediana de um triângulo o divide em dois triângulos de 
áreas iguais.” 
 
= = ABC1 2
AA A
2 
 
 
Área das Figuras Circulares 
 
1. Polígono Regular Inscrito 
 
 
= ⋅A p a ou = ⋅ ⋅ ⋅ θ2
1A n R sen
2 
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Onde: 
°
θ =
360
n
 → ângulo central do polígono 
p = ½⋅n⋅L → semi-perímetro do polígono 
θ = ⋅  
 
a R cos
2
 → apótema do polígono 
θ = ⋅  
 
L 2R sen
2
 → lado do polígono 
 
2. Polígono Regular Circunscrito 
 
= ⋅A p r ou 
 
= ⋅ ⋅ + ⋅ θ  
 
2
21 LA n r sen
2 4
 
Onde: 
°
θ =
360
n
 → ângulo central do polígono 
p = ½⋅n⋅L → semi-perímetro do polígono 
 
a = r → apótema do polígono 
θ = ⋅  
 
L 2r tg
2
 → lado do polígono 
 
TÓPICO EXTRA 
Área de um polígono regular em função do lado 
 
−
⋅ θ =  
 
2
n lados
n LA cot g
4 2
 onde °θ = 360
n
 
 
 
3. Círculo 
 
= π⋅ 2A R ou 
π⋅
=
2DA
4
 
 
Onde: D = 2R  diâmetro da circunferência 
 
Comprimento da Circunferência 
 
C = 2πR ou C = Dπ 
 
π = 3,14159... 
4. Coroa Circular 
 
 
= π⋅ −2 2A (R r ) ou π⋅=
2LA
4 
 
5. Setor Circular 
 
 
 α em graus: α= π⋅
°
2A R
360 
 
 α em radianos: ⋅α=
2RA
2
 
 
 em função do comprimento do arco: ⋅= L RA 2 
 
 
Lembrete !!! 
 
 α em rad 
 
6. Segmento Circular 
 
 
∆= −seg setor ABOA A A 
α =
L
R
 
 
 
 
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7. Polígono Semelhantes 
 
 
 
= = = = = =
a b c d e f k
a ' b ' c ' d' e ' f ' 
= 21
2
A k
A 
 
k = razão de semelhança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas 
placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode 
ser coberta pelas N placas. 
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas 
placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse 
alterada. 
 
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: 
a) N
9
 
b) N
6
 
c) N
3
 
d) 3N 
e) 9N 
 
Questão 02 
A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas 
várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um 
conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa 
elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 
20% nas dimensões lineares de uma peça. 
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012. 
 
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 
30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. 
 
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em 
a) 4%. b) 20%. c) 36%. d) 64%. e) 96%. 
 
Questão 03 
Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados 
dentro de um cano de raio maior, de medidaR. Para posteriormente ter fácil manutenção, é 
necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa 
distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: 
 
 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 3. 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. 
Anotações 
 
 
 
 
 
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Questão 04 
Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de 
quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. 
 
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e 
QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de 
materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais 
clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. 
 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? 
a) R$ 22,50 
b) R$ 35,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 42,50 
e) R$ 45,00 
 
Questão 05 
Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no 
inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 
g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de 
gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um 
ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e 
quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na 
planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio). 
 
 
Avaliando-se todas as informações, serão necessários 
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. 
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. 
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. 
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 
Anotações 
 
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Questão 06 
Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira 
lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o 
tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a 
área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). 
 
 
 
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: 
a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy 
 
Questão 07 
Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o 
formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e 
cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro 
circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura. 
 
 
 
O raio da perfuração da peça é igual a 
a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 
 
Questão 08 
O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no 
mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o 
terreno retangular ABCD, em que AB = BC
2
, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para 
a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = AB
5
 é lado do quadrado. 
 
 
 
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele 
a) duplicasse a medida do lado do quadrado. 
Anotações 
 
 
 
 
 
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b) triplicasse a medida do lado do quadrado. 
c) triplicasse a área do quadrado. 
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. 
e) ampliasse a área do quadrado em 4%. 
 
Questão 09 
O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro. 
 
Biomas continentais 
brasileiros 
Área aproximada 
(Km2) 
Área / total Brasil 
 
Amazônia 4.196.943 49,29% 
Cerrado 2.036.448 23,92% 
Mata Atlântica 1.110.182 13,04% 
Caatinga 844.453 9,92% 
Pampa 176.496 2,07% 
Pantanal 150.355 1,76% 
Área Total Brasil 8.514.877 
 
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo 
de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas 
extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do 
bioma Pantanal? 
a) 1.400 
b) 14.000 
c) 140.000 
d) 1.400.000 
e) 14.000.000 
 
Questão 10 
As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos 
diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se 
afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, 
chega a Cingapura em aproximadamente 
a) 16 horas. 
b) 20 horas. 
c) 25 horas. 
d) 32 horas. 
e) 36 horas. 
 
 
 
Anotações 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 1 
Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base 
quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato 
representado na figura: 
 
 
Considere que = 7AC BD
5
 e que  é a medida de um dos lados 
da base da bandeja. 
Qual deve ser o menor valor da razão 
BD
 para que uma bandeja 
tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só 
vez? 
a) 2 
b) 14
5
 
c) 4 
d) 24
5
 
e) 28
5
 
 
Questão 2 
Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão 
Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo 
terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de 
Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do 
Meridiano de Greenwich. 
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. 
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) 
 
A representação angular da localização do vulcão com relação a 
sua longitude da forma decimal é 
a) 124,02°. 
b) 124,05°. 
c) 124,20°. 
d) 124,30°. 
e) 124,50°. 
Questão 3 
Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam 
expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança 
é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a 
plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no 
caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma 
circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do 
raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado 
da base da estatua. 
 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de 
modo que a exigência de segurança seja cumprida? 
a) ≥ / 2R L 
b) ≥ π2 /R L 
c) ≥ π/R L 
d) ≥ /2R L 
e) ( )≥ / 2 2R L 
 
Questão 4 
Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de 
espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção 
de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que 
irá construí-la em formato retangular devido às características 
técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem 
que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. 
A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos 
terrenos disponíveis para a construção da praça: 
 
Terreno 1: 55 m por 45 mTerreno 2: 55 m por 55 m 
Terreno 3: 60 m por 30 m 
Terreno 4: 70 m por 20 m 
Terreno 5: 95 m por 85 m 
 
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições 
impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno 
a) 01. b) 02. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
Questão 5 
O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o 
espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é 
composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são 
numeradas do centro da pista para a extremidade e são 
construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de 
circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais. 
 
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta 
completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? 
a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 
 
 
 
 
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Questão 6 
A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 
15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de 
entrega de 10 reais. 
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa 
loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em 
seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros 
retangulares (50 cm x 100 cm). 
 
O valor da segunda encomenda será 
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a 
largura dos quadros dobraram. 
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. 
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a 
largura dos quadros dobraram. 
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a 
metade. 
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de 
entrega será o mesmo. 
 
Questão 7 
 
 
A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados 
provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as 
pirâmides. 
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em 
metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de 
pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa 
sem deslizar, é 
a) y = R. 
b) y = 2R. 
c) y = πR. 
d) y = 2πR. 
e) y = 4πR. 
 
Questão 8 
A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação 
constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são 
construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas 
canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio 
isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a 
vazão da água é de 1.050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, 
envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a 
água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, 
Q = Av. 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões 
especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes. 
 
 
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a 
vazão esperada para depois da reforma na canaleta? 
a) 90 m3/s. 
b) 750 m3/s. 
c) 1.050 m3/s. 
d) 1.512 m3/s. 
e) 2.009 m3/s. 
 
Questão 9 
O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-
cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e 
isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas 
recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. 
Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma 
grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 
2 e 3. 
 
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então 
a área da figura 3, que representa uma "casinha", é igual a 
a) 24cm . 
b) 28cm . 
c) 212cm . 
d) 214cm . 
e) 216cm . 
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Questão 10 
Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques 
cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, 
conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 
tampas médias e 16 tampas pequenas. 
 
 
Área do círculo: π 2r 
 
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, 
médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, 
a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A 
partir dessas informações, pode-se concluir que 
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. 
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. 
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. 
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a 
entidade III. 
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GEOMETRIA PLANA – POLÍGONOS 
REGULARES 
 
POLÍGONOS 
 
Chamaremos de polígonos as regiões do plano cujos contornos 
são formados apenas por segmentos de retas. 
 
 Elementos de um Polígono 
A
C
B
D
E
F
 
 
- Lados: São os segmentos que forma o contorno: AB , BC , CD 
etc. 
- Vértices: São os pontos comuns a dois lados consecutivos: A, 
B, C, D etc. 
- Diagonais: São os segmentos que unem dois vértices não 
consecutivos: AE , AD , BF , CE etc. 
 
Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de seus 
lados. Veja o nome de alguns: 
 
3 lados - triângulo 9 lados - eneágono 
4 lados - quadrilátero 10 lados - decágono 
5 lados - pentágono 11 lados - undecágono 
6 lados - hexágono 12 lados - dodecágono 
7 lados - heptágono 15 lados - pentadecágono 
8 lados - octógono 20 lados - icoságono 
 
 
Formulário 
 
 Soma dos Ângulos Internos 
= − ⋅ °iS (n 2) 180 
 
 Soma dos Ângulos Externos 
= °eS 360 
 
 Quantidade de Diagonais 
=
n(n-3)d
2 
 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Chamaremos de polígonos regulares os polígonos que possuírem 
todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos 
internos congruentes. 
Exemplos: 
 
 
Formulário 
 
 Ângulo Interno 
= ii
Sa
n ou 
− ⋅ °
=i
(n 2) 180a
n 
 
 Ângulo Externo 
 
= ee
Sa
n ou 
°
=e
360a
n 
 
 Ângulo Central 
 
°
=e
360a
n 
 
 
 Quantidade de diagonais que passam pelo centro 
 
=
nd
2 d = 0 
n  par n  ímpar 
 
 Quantidade de diagonais que não passam pelo centro 
 
=
n(n-4)d
2 
=
n(n-3)d
2 (todas) 
 n  par n  ímpar 
 
 
Polígono Regular Inscrito 
 
 
= ⋅A p a ou = ⋅ ⋅ ⋅ θ2
1A n R sen
2 
 
Onde: 
n
360°
=θ  ângulo central do polígono 
p = ½⋅n⋅L  semi-perímetro do polígono 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 21 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
13 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
θ = ⋅  
 
a R cos
2
  apótema do polígono θ = ⋅  
 
L 2R sen
2
 
 lado do polígono 
 
 
Polígono Regular Circunscrito 
 
 
= ⋅A p r ou 
 
= ⋅ ⋅ + ⋅ θ  
 
2
21 LA n r sen
2 4 
 
Onde: 
°
θ =
360
n
  ângulo central do polígono 
p = ½⋅n⋅L  semi-perímetro do polígono 
 
a = r  apótema do polígono 
θ = ⋅  
 
L 2r tg
2
  lado do polígono 
TÓPICO EXTRA 
 
Área de um polígono regular em função do lado 
 
−
 ⋅ θ = ⋅       
2
n lados
n LA cotg
4 2 onde 
°
θ =
360
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 21 - Prof. Raul Brito) 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 11 
Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais 
é 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30 
 
Questão 12 (FGV 2013) 
Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a 
ele.O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a 
a) +4 2 
b) +4 3 
c) 6 
d) +4 5 
e) +2(2 2) 
 
Questão 13 (UEPB 2013) 
A área de um triângulo equilátero cujo apótema mede 2 cm é igual a: 
a) 212 3 cm 
b) 29 3 cm 
c) 24 3 cm 
d) 216 3 cm 
e) 24 2 cm 
 
Questão 14 (Insper 2014) 
Um polígono regular possui n lados, sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois 
vértices desse polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P1 
e P2, congruentes entre si. O número de lados do polígono P1 é igual a 
a) +n 2.
2
 
b) +n 1.
2
 
c) n .
2
 
d) −n 1.
2
 
e) −n 2.
2
 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 21 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
15 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
Questão 15 (G1 - IFCE 2014) 
Um robô, caminhando em linha reta, parte de um ponto A em direção a um ponto B, que distam entre 
si cinco metros. Ao chegar ao ponto B, gira novamente 60° à esquerda e caminha mais cinco metros, 
repetindo o movimento e o giro até retornar ao ponto de origem. O percurso do robô formará um 
polígono regular de 
a) 10 lados. 
b) 9 lados. 
c) 8 lados. 
d) 7 lados. 
e) 6 lados. 
 
Questão 16 (Insper 2013) 
O quadrado ABCD está inscrito na circunferência de centro O e raio de medida 2 2 cm, como mostra 
a figura. 
 
Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao lado CD e os vertesses G e H pertencem à 
circunferência. Assim, a medida do lado do quadrado EFGH, em cm, é igual a 
a) 0,8. b) 0,9. c) 1,0. d) 1,1. e) 1,2. 
 
Questão 17 (Insper 2014) 
As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares 
com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o 
comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como 
mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e 
isósceles. 
 
 
A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do 
“Octógono”. Se a área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale 
a) +S(2 2 1). 
b) +S( 2 2). 
c) +2S( 2 1). 
d) +2S( 2 2). 
e) +4S( 2 1). 
Anotações 
 
 
 
 
 
 16 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 21 - Prof. Raul Brito) 
Questão 18 (ENEM) 
Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos 
para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que 
se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, 
como ilustram as figuras. 
 
 pavimentando o plano. 
 
Figura 2 – Heptágonos regulares 
Não pavimentam o plano (há falhas ou superposição) 
 
 
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus 
ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos 
entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de 
um: 
a) triângulo. 
b) quadrado. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) eneágono. 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 21 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
17 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
Questão 19 
A figura adiante representa parte de uma praça na cidade de Itarema-Ce. Sabendo que ABCDE é um 
pentágono regular, a medida, em graus, do ângulo é: 
 
a) 32º 
b) 34º 
c) 36º 
d) 38º 
e) 40º 
 
Questão 20 - (UERJ) 
No toldo da barraca de seu Antônio, decorado com polígonos coloridos, destaca-se um dodecágono 
cujos vértices são obtidos a partir de quadrados construídos em torno de um hexágono regular 
conforme a mostra a figura a seguir. 
 
Tomando o quadrado de lado AB como unidade unitária, determine a medida do ângulo ˆABC : 
a) 110º 
b) 120º 
c) 130º 
d) 140º 
e) 150º 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 18 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 21 - Prof. Raul Brito) 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 11 
Dois pontos A e E estão situados na margem esquerda de um rio, 
a uma distância de 40 m um do outro. Um ponto C, , no qual está 
ancorado um bote, está situado na margem direita, de tal modo 
que os ângulos CAE e CEA medem 60°. 
Considerando as margens praticamente retas e paralelas, qual e, 
em metros, a largura aproximada do rio no local em que está o 
bote? Para efeitos de cálculo utilize: 3 1,7.≅ 
a) 17 
b) 34 
c) 45 
d) 68 
e) 80 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade de 
Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das 
constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre 
Engenharia e Matemática. 
 
Questão 12 
Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de 
formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é 
de 1cm, conforme a figura abaixo. 
 
O lado desse hexágono mede ______ cm. 
a) 1
2
 d) 5
5
 
b) 3
3
 e) 1 
c) 3 
 
Questão 13 
Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal 
mede 10 2 cm . O comprimento dessa circunferência é: 
a) π10 cm 
b) π5 cm 
c) π6 cm 
d) π8 cm 
e) π7 cm 
 
Questão 14 
Um triângulo equilátero e um quadrado têm o mesmo perímetro. A 
medida do lado do quadrado é 90 cm. Nessas condições, a medida 
do lado do triângulo equilátero é de: 
a) 90 cm. 
b) 180 cm. 
c) 120 cm. 
d) 100 cm. 
Questão 15 
Considere um quadrado com 3 2 cm de lado, inscrito em um 
círculo como mostra a figura. 
 
O raio desse círculo mede, em centímetros: 
a) 2. b) 3 . c) 
( )3 3
2
. d) 3. e) 2 3 . 
 
Questão 16 
Uma circunferência, inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 
20 cm, possui comprimento, em cm, igual a: 
a) ⋅ π10 2 
b) ⋅ π20 2 
c) ⋅ π30 2 
d) 20π 
e) 30π 
 
Questão 17 
O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a 2 
cm. O lado do hexágono regular inscrito nessa mesma 
circunferência, em cm, é: 
a) 2 2 b) 2 c) 4 d) 4 2 e) 6 
 
Questão 18 (Universidade Federal ES) 
 
Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices 
tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada 
ângulo interno desse polígono mede em graus: 
a) 140 b) 150 c) 155 d) 160 e) 170 
 
Questão 19 (Escola Técnica Federal - RJ) 
O perímetro de um hexágono regular inscrito em um círculo de 25π 
cm2 de área é igual a: 
a) 150 cm 
b) 75 cm 
c) 25 cm 
d) 15 cm 
e) 30 cm 
 
Questão 20 
A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é 
igual a 2 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em 
centímetros, é: 
a) 2 b) 5. c) 2,5. d) 3. e) 4. 
e) 150cm. 
 
 
 
 
 
 
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GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 1 – PIRÂMIDES, 
PRISMAS E POLIEDROS 
 
O Princípio de Cavalieri 
 
No início do século XVII, os métodos deixados pelos gregos para 
cálculos de áreas e volumes, apesar de sua beleza e rigor 
mostravam-se cada vez menos adequados a um mundo em franco 
progresso científico. Pois faltavam a eles operacionalidade e 
algoritmos para implementá-los. E como não havia ainda condições 
matemáticas de obter esses requisitos, os métodos então surgidos 
eram sempre passíveis de críticas - como o mais famoso deles, a 
geometria dos indivisíveis, de Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647). 
O milanês Cavalieri foi um dos matemáticos mais influentes de sua 
época. De família nobre, Cavalieri seguiu paralelamente a carreira 
religiosa e a atividadecientífica. Discípulo de Galileu Galilei (1564 - 
1642), por indicação deste, ocupou desde 1692 a cátedra de 
matemática da Universidade de Bolonha, ao mesmo tempo que era 
o superior do monastério de São Jerônimo. Cavalieri foi também 
astrônomo, mas se ainda é lembrado, isso se deve em grande 
parte ao método dos indivisíveis que desenvolveu a partir de 1626. 
Cavalieri não definia, em suas obras sobre o assunto, o que vinha 
a ser os indivisíveis. Segundo ele, porém, uma figura plana seria 
formada por uma infinidade de cordas paralelas entre si e uma 
figura sólida por uma infinidade de secções planas entre si - a 
essas cordas e a essas secções chamava-os de indivisíveis. Num 
de seus livros, "explicava" que um sólido é formado de indivisíveis, 
assim como um livro é composto de páginas. Do ponto de vista 
lógico, essas idéias envolviam uma dificuldade insuperável. Como 
uma figura com extensão finita poderia ser formada de uma 
infinidade de indivisíveis, tanto mais que estes não possuem 
espessura ? 
O Princípio de Cavalieri ainda bastante usado no ensino de 
geometria métrica no espaço, facilita bastante a aceitação da ideia 
de indivisível: 
“Sejam A e B dois sólidos. Se qualquer plano horizontal secciona A 
e B segundo figuras planas de mesma área, então estes sólidos 
têm volumes iguais.” 
 
Foram tantas as críticas que Cavalieri recebeu pelo seu método, 
embora este funcionasse, que certa vez disse: "O rigor é algo que 
diz respeito à Filosofia e não à Matemática". 
Que os matemáticos atuais não leiam essa frase!!! 
PRISMAS 
 
1. Elementos 
 
Considere o prisma: 
 
 
A figura abaixo mostra um prisma hexagonal regular reto 
planificado. 
 
 
 
2. Classificação 
 
 Quanto a perpendicularidade das arestas laterais 
- Prisma Reto: As arestas laterais são perpendiculares aos 
planos das bases, ou seja a altura do prisma é igual a aresta 
lateral (h = aL). Como exemplo temos a figura acima. 
- Prisma Oblíquo: As arestas laterais são oblíquas (inclinadas) 
em relação aos planos das bases, ou seja, a aresta lateral é 
maior do que a altura do prisma (aL > h). 
 
 Quanto ao polígono da base 
- Prisma Regular: É um prisma reto cuja base é um polígono 
regular. 
- Prisma Irregular: É um prisma reto ou oblíquo, cuja base é um 
polígono irregular. 
 
 
 
 
 20 
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 Quanto ao número de lados do polígono da base 
 
No de Lados Nomenclatura 
3 Prisma Triangular 
4 Prisma Quadrangular 
5 Prisma Pentagonal 
6 Prisma Hexagonal 
7 Prisma Heptagonal 
8 Prisma Octogonal 
9 Prisma Eneagonal 
10 Prisma Decagonal 
11 Prisma Undecagonal 
12 Prisma Dodecagonal 
15 Prisma Pentadecagonal 
20 Prisma Icosagonal 
 
3. Áreas 
As fórmulas abaixo são apresentadas para os prismas regulares. 
 
 Área da Base (AB) → = B nA p a 
onde 
p → semi-perímetro do polígono 
an → apótema do polígono 
 
 
 Área Lateral (AL) → = L faceA n A 
n → quantidade de lados do polígono da base 
 
= face bA a h 
onde 
ab → aresta da base 
h → altura do polígono (lembrete: h = aL) 
 
 
 Área Total (AT) → = + T L BA A 2 A 
 
 
4. Volume 
= BV A h 
 
Formulário Auxiliar 
 
 
PRISMAS ESPECIAIS 
 
1. Paralelepípedo 
 
 
 
 Paralelepípedo Reto Retângulo ou Ortoedro 
 
É um paralelepípedo reto cujas faces são retângulos. 
 
 
 
Diagonal: = + +2 2 2D a b c 
 
Área Total: ( )= + +TA 2 ab ac bc 
 
Volume: =  V a b c 
 
 
2. Cubo ou Hexaedro Regular 
Quando as três dimensões de um paralelepípedo reto - retângulo 
são iguais, ou seja, a = b = c, o paralelepípedo é denominado 
cubo. 
 
 
 
Diagonal: =D a 3 
 
Área Total: =  2TA 6 a 
 
Volume: = 3V a 
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21 
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PIRÂMIDES 
 
1. Elementos 
 
 
- Base: polígono regular 
- Aresta Lateral: LaVC...VFVAVB = 
- Aresta da Base: baFA = 
- Apótema da Base: m 
- Raio da Circunferência Circunscrita: RAO= 
- Altura: hVO = 
- Apótema da Pirâmide: paVM = (altura do  da face) 
 
2. Relações Importantes 
 
 
 
3. Classificação 
 
 Quanto ao polígono da base 
- Pirâmide Regular: É uma pirâmide reta cuja base é um 
polígono regular. 
- Pirâmide Irregular: É uma pirâmide reta ou oblíqua, cuja base 
é um polígono irregular. 
 Quanto ao número de lados 
 
No de Lados Nomenclatura 
3 Pirâmide Triangular 
4 Pirâmide Quadrangular 
5 Pirâmide Pentagonal 
6 Pirâmide Hexagonal 
 
 
4. Áreas 
As fórmulas abaixo são apresentadas supondo que a pirâmide é 
regular. 
 
 Área da Base (AB) → = BA p m 
 
p = n.ab/2 → semiperímetro da base 
m → apótema da base 
 
 
 Área Lateral (AL) → = L faceA n A 
 
n → quantidade de lados do polígono da base 
 
 

=
b p
face
a a
A
2
 
 
ab → aresta da base 
ap → apótema da pirâmide 
 
 Área Total (AT) → = +T L BA A A 
 
5. Volume 
 
=  B
1
V A h
3
 
 
CASOS ESPECIAIS 
 
1. Tetraedro Regular 
É uma pirâmide em que todas as faces são triângulos equiláteros, 
logo, todas as arestas são iguais. 
 
 
 
 Elementos Importantes 
- Aresta: a 
- Apótema do Tetraedro: = a 3g
2
 
- Centro do Triângulo da Base: H (baricentro) 
 
 
 
 
 22 
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Atenção !!! 
g
3
1MH = g
3
2HB = 
 
 
 Formulário 
 
Altura: =
a 6
h
3
 ou = 
2 2
h g
3
 
 
 
Área da Base: =
2
B
a 3
A
4
 
 
 
Área Total: = 2TA a 3 
 
 
Volume: =
3a 2
V
12
 
 
 
Importante!!! 
 
O centro do tetraedro se encontra a uma distância de h/4 de 
qualquer face e a uma distância de 3h/4 de qualquer vértice. 
 
 
2. Octaedro Regular 
 
É um sólido formado por duas pirâmides que possuem todas as 
arestas congruentes entre si e cuja superfície é constituída de 8 
triângulos equiláteros. 
 
 
 
 
 Formulário 
 
Altura: =h a 2 
 
 
Área Total: =
2
TA 2a 3 
 
 
Volume: =
3a 2
V
3
 
3. Tronco de Pirâmide 
 
 
 
Faces: Trapézios Isósceles 
 
 Elementos 
 
B = AB → área da base maior 
b = Ab → área da base menor 
h → altura da pirâmide AXYZW 
d → altura da pirâmide AX'Y'Z'W' 
k → altura do tronco 
V1 → volume da pirâmide AXYZW 
V2 → volume da pirâmide AX'Y'Z'W' 
f → apótema do tronco 
l1 → lado do polígono da base maior 
l2 → lado do polígono da base menor 
 
 Propriedades 
 
AO2E ~ AO1M AX'Y' ~ AXY 
 
 
= = = = 1
2
p1 1
2 2 p
al m h
l m a d
 = 2B
b
A
A
 = 
pirâmide
maior 3
pirâmide
menor
V
V
 
 
 → razão de semelhança 
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23 
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 Áreas 
 
Área Lateral (AL): = L faceA n A 
 
 
Área Total (AT): = + +T L B bA A A A 
 
 
 Volume 
V = Vmaior – Vmenor 
( )= +  +B B b b
k
V A A A A
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
A água de um reservatório, na forma de um paralelepípedo retângulo, de comprimento 30m e largura 
20m, atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1800 metros cúbicos da água do 
reservatório evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a altura de: 
a) 2m b) 3m c) 7m d) 8m e) 9m 
 
Questão 02 
Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm, são levados juntos à 
fusão e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm,8cm 
e x cm. O valor de x é: 
a) 16m b) 17m c) 18m d) 19m e) 20m 
 
Questão 03 
Usando uma folha de latão, deseja-se construir um cubo com volume de 8dm3. A área da folha 
utilizada para isso será, no mínimo: 
a) 20cm2 b) 40cm2 c) 240cm2 d) 2000cm2 e) 2400cm2 
 
Questão 04 
A área total de um ortoedro é 720cm2, a diagonal de uma face mede 20cm e a soma de suas 
dimensões 34cm. Calcular as dimensões. 
a) 16cm, 12cm e 6m 
b) 17cm, 18cm e 19cm 
c) 15cm, 16cm e 17cm 
d) 19cm, 20m e 21cm 
e) 13cm, 15cm e 17cm 
 
Questão 05 
Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual 
um prisma de base quadrado de lado 1 e altura x foi retirado. O sólido está representado pela parte 
escura da figura. 
 
 
O volume desse sólido, em função de x, é dado pela expressão: 
a) 2x3 – x2 
b) 4x3 – x2 
c) 2x3 – x 
d) 2x3 – 2x2 
e) 2x3 – 2x 
 
Questão 06 
Uma pirâmide e um prisma, ambos de bases quadradas, têm o mesmo volume. Sabendo-se que o 
lado do quadrado da base da pirâmide tem medida 2m e que o lado do quadrado da base do prisma 
tem medida m, a razão entre as alturas da pirâmide e do prisma, nesta ordem, é igual a: 
a) 3cm 
b) 
m
3
 
c) 
3
4
 
d) 
3
2
 
e) 
1
4
 
Anotações 
 
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25 
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Questão 07 
Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P 
são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume 
do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: 
M
P
A
N
 
a) 
1
V
2
 b) 
3
V
4
 c) 
2
V
3
 d) 
5
V
6
 e) 
3
V
8
 
 
Questão 08 
Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20cm de lado, será usado para cobrir 
todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12cm e apótema da base 
medindo 5cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício 
de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: 
a) 20% b) 16% c) 15% d) 12% e) 10% 
 
Questão 09 
O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que 
será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. 
 
 
 
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m e que a altura da pirâmide será de 4m, o 
volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será: 
a) 36 b) 27 c) 18 d) 12 e) 4 
 
Questão 10 
A figura representa o brinquedo Piramix. Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada face 
dividida em 9 triângulos equiláteros congruentes. Se, a partir de cada vértice, for retirada uma pirâmide 
regular cuja aresta é 
1
3
 da aresta do brinquedo, restará um novo sólido. A razão entre as superfícies 
totais desse sólido e do Piramix equivale a: 
 
 
a) 
4
9
 b) 
5
9
 c) 
7
9
 d) 
8
9
 e) 
10
9
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 26 
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Questão 11 (UEFS-Adaptada) 
Em uma publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de 
carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 
pentágonos e 20 hexágonos regulares, como em uma bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto 
norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi denominada de fulereno. Determine o número de 
átomos de carbono em uma molécula e o número de ligações entre eles. 
 
Questão 12 
Um poliedro convexo tem 8 faces, das quais duas são hexagonais e seis quadrangulares. Determine a 
soma dos ângulos de todas as faces e o número de vértices. 
 
Questão 13 
Qual é o polígono da base de uma pirâmide na qual a soma dos ângulos das faces é 12 radianos? 
 
Questão 14 (Uerj) 
Para construir poliedro convexo, um menino dispõe de folhas retangulares de papel de seda, cada 
uma com 56 cm de comprimento por 32 cm de largura, e de 9 varetas de madeira, cada uma com 40 
cm de comprimento. Na construção da estrutura desse poliedro, todas as faces serão triangulares e 
cada aresta corresponderá a uma vareta. Admita que o menino usará as 9 varetas e que todas as 
faces serão revestidas com o papel de seda. Determine o número mínimo de folhas do papel de seda 
necessárias para revestir o poliedro. 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Questão 15 
Sabe-se que um poliedro convexo tem oito faces e que o número de vértice é maior que 6 e menor 
que 14. Dessa forma, o número de arestas e qual que: 
a) 14  A  20 
b) 14  A < 20 
c) 13 < A < 19 
d) 13  A  19 
e) 12  A  19 
 
Questão 16 
Um poliedro é formado por 10 faces pentagonais. O número de diagonais desse poliedro é: 
a) 60 b) 81 c) 100 d) 121 e) 141 
 
Questão 17 (UECE) 
A razão entre os volumes de dois cubos é 
1
64
. Em relação às arestas dos cubos, podemos dizer que: 
a) são iguais. 
b) uma delas é o dobro da outra. 
c) uma delas é o triplo da outra. 
d) uma delas é o quádruplo da outra. 
 
Questão 18 
A área da base de um prisma regular de base hexagonal é 
212 3 cm . Calcule a área lateral do 
prisma, sabendo que a aresta lateral é o dobro da aresta da base. 
 
Questão 19 (UECE) 
Se o volume de um cubo de 6 cm de arestas é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para 
base um quadrado de 6 cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é: 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
Anotações 
 
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27 
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Questão 20 (UFPE) 
Na pirâmide quadrangular abaixo, os planos que passam por A, B, C e D e por E, F, G e H são 
paralelos. Se VF = 3, VB = 5 e a área de EFGH é 18, qual á área de ABCD? 
 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 28 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra 
a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A 
inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, 
uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o 
segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma 
oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na 
imagem. 
 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e 
duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da 
base desse prédio ocupa na avenida um espaço 
a) menor que 100m2. 
b) entre 100m2 e 300m2. 
c) entre 300m2 e 500m2. 
d) entre 500m2 e 700m2. 
e) maior que 700m2. 
 
Questão 02 
Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por 
um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica 
utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. 
 
 
 
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no 
tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3? 
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de 
altura. 
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. 
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. 
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. 
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 
 
Questão 03 
Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender 
caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão 
as planificações dessas caixas. 
 
 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir 
dessas planificações? 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro,prisma e tronco de cone. 
 
Questão 04 
A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços 
utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia 
tem o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as 
dimensões indicadas na figura que segue. 
 
 
 
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na 
medida da grandeza 
a) massa. 
b) volume. 
c) superfície. 
d) capacidade. 
e) comprimento. 
 
Questão 05 
Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de 
paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da 
barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de 
largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. 
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a 
medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é 
igual a 
a) 5 cm. 
b) 6 cm. 
c) 12 cm. 
d) 24 cm. 
e) 25 cm. 
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29 
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Questão 06 
Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, 
seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A 
aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que e 
interno, mede 8 cm. 
 
 
 
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de 
a) 12 cm3. 
b) 64 cm3. 
c) 96 cm3. 
d) 1 216 cm3. 
e) 1 728 cm3. 
 
Questão 07 
Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza 
caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. 
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o 
número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma 
caixa é igual a 
a) 4. d) 24. 
b) 8. e) 32. 
c) 16. 
 
Questão 08 
Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma 
pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo 
das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas 
poderia ter uma das faces pentagonal. 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? 
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a 
interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas 
laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. 
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, 
quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face 
em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 
lados. 
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de 
uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o 
plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa 
interseção tem 5 lados. 
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como 
interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número 
de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono 
tem 5 lados. 
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-
se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas 
laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o 
polígono tem 4 lados. 
Questão 09 
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide 
quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da 
base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 
troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte 
superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base 
superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, 
com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, 
unindo-os, conforme a figura. 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a 
pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas 
mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com 
parafina para fabricar uma vela? 
a) 156 cm3. 
b) 189 cm3. 
c) 192 cm3. 
d) 216 cm3. 
e) 540 cm3. 
 
Questão 10 
Uma eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com 
grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de 
embarcações. No esquema a seguir, está representada a descida 
de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais 
alto do rio Paraná até o nível da jusante. 
 
A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e 
largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o 
esvaziamento da câmara é de 4.200 m3 por minuto. Assim, para 
descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação 
leva cerca de 
a) 2 minutos. 
b) 5 minutos. 
c) 11 minutos. 
d) 16 minutos. 
e) 21 minutos. 
 
 
 
 
 
 30 
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 22 - Prof. Raul Brito) 
Questão 11 
Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor 
pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a 
água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa, ao 
longo de um período anual chuvoso. 
As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a 
quantidade média mensal de chuva na região, em milímetros, e a 
forma do reservatório a ser construído. 
 
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 
100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro 
quadrado, a profundidade (ñ) do reservatório deverá medir 
a) 4 m b) 5 m c) 6 m d) 7 m e) 8 m 
 
Questão 12 
Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 
100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora 
acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco 
retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima 
necessária de caixas para esse envio é: 
a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17 
 
Questão 13 (Mack-SP) 
Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 4 quadrangulares e 
5 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: 
a) 25 b) 12 c) 15 d) 9 e) 13 
 
Questão 14 
Quando João entrou na sala do professor, fez uma observação 
sobre a beleza do objeto de vidro que estava sobre os papéis do 
mestre. Este, não resistindo à tentação de propor um problema, 
característica do matemático, apresentou ao aluno a seguinte 
questão: 
Calcule o número de arestas e de vértices desse peso de papel, 
que é um poliedro convexo de seis faces quadrangulares e duas 
hexagonais. 
 
Questão 15 (PUC-SP) 
Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas? 
a) Hexaedro d) Icosaedro 
b) Octaedro e) Tridecaedro 
c) Dodecaedro 
 
Questão 16 
Um poliedro convexo é formado por quatro faces triangulares, duas 
faces quadrangulares e uma face hexagonal. O número de vértices 
desse poliedro é: 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
Questão 17 (UECE) 
Considere um poliedro convexo, P, formado por 12 faces 
pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Determine o 
número de vértices de P. (Esse tipo de poliedro sérvio de 
“inspiração” para o modelo da bola de futebol utilizada pela 
primeira vez na Copa do Mundo de 1970). 
a) 56 b) 58 c) 60 d) 62 
 
Questão 18 (Fuvest) 
O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, 
então, afirmar que essa pirâmide possui: 
a) 33 vértices e 22 arestas. 
b) 12 vértices e 11 arestas. 
c) 22 vértices e 11 arestas. 
d) 11 vértices e 22 arestas. 
e) 12 vértices e 22 arestas. 
 
Questão 19 (PUC-SP) 
A altura de um prisma reto mede 10 cm, e sua base é um 
hexágono regular cujo apótema mede 8 cm. Nessas condições, 
determine a área total e o volume desse prisma. 
 
Questão 20 (Vunesp) 
As faces de uma paralelepípedo retangular têm por área 6cm2, 
9cm2 e 24cm2. O volume desse paralelepípedo é: 
a) 1 296cm3. 
b) 48cm3. 
c) 39cm3. 
d) 36cm3. 
e) 
36 6 cm . 
 
Questão 21 
(Cesgranrio) Para fazer o telhado de uma casa de cartolina, um 
quadrado de centro D e de lado 2 é recortado, como mostra a 
figura I. Os lados AB = CD = EF = GM medem 3 . Montando o 
telhado (figura II), sua altura h é: 
 
a) 
2
 b) 
2
5
 c) 
3
10
 d) ( )−2 3 e) 
3
5
 
 
Questão 22 (Sefet) 
A área totalda pirâmide triangular regular, com todas as arestas 
iguais a 5 cm, vale, em cm2: 
a) 5 3 b) 10 3 c) 15 3 d) 20 3 e) 25 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 23 – Prof Raul Brito 
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
 
GEOMETRIA ESPACIAL – PARTE 2 - 
CORPOS REDONDOS 
 
Cilindro Circular 
Denomina-se cilindro circular à reunião dos segmentos 
congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade nos pontos do 
círculo de raio R e situados num mesmo semi-espaço dos 
determinados por α. 
R
eixo
A P
Q
B C
r
g
h
R
 
Elementos: 
- Geratriz: AB = g 
- Altura: AC = h 
- Raio da Base: R 
- Plano: α 
- Eixo: reta r 
 
Atenção !!! 
Num cilindro reto as geratrizes são perpendiculares a α, ou seja, 
g = h, enquanto que num cilindro oblíquo as geratrizes são 
inclinadas em relação ao plano α, ou seja, g ≠ h, como é o caso 
acima. 
 
Cilindro de Revolução (CILINDRO RETO) 
Sólido gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo 
que contém um de seus lados. 
 
Áreas 
 Área da Base (AB): = π⋅ 2BA R 
 
 Área Lateral (AL): = π⋅ ⋅LA 2 R h 
 
 Área Total (AT): = π ⋅ +TA 2 R (R h) 
Volume 
= π⋅ ⋅2V R h 
 
Dica !!! 
Cilindro Equilátero 
 
É um cilindro circular reto onde h = 2R. 
 
Cone Circular 
Denomina-se cone circular a reunião dos segmentos de reta com 
uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo de raio R 
pertencentes ao plano α, sendo V ∉ α. 
 
V
g
h
C B
R A
base
r 
Elementos: 
- Geratriz: VA = g 
- Altura: VC = h 
- Raio: R 
- Plano: α 
- Eixo: reta r 
 
Atenção !!! 
Num cone reto a reta r que passa pelo vértice e pelo centro da 
base é perpendicular ao plano α, enquanto que num cone oblíquo, 
a reta r é oblíqua (inclinada) em relação ao plano α, como é o caso 
da figura acima. 
 
Cone de Revolução (CONE RETO) 
Sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de 
um eixo que contém um de seus catetos. 
 
 
 
 
 
 32 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
Áreas 
 
 Área da Base (AB): = π⋅ 2BA R 
 
 Área Lateral (AL): = π⋅ ⋅LA R g 
 
 Área Total (AT): = π ⋅ +TA R (R g) 
 
 
Volume 
 
= ⋅π⋅ ⋅2
1V R h
3
 
 
Dica !!! 
 
Cone Equilátero 
 
 
É um cone circular reto onde g = 2R. 
 
Tronco de Cone Reto 
 
Considere o cone VAC de altura h e raio da base R. O sólido 
determinado entre a base do cone e o plano β, paralelo à base do 
cone, denomina-se tronco de cone. 
 
 
 
Elementos: 
 Base Maior: círculo de raio R → AB = πR2 (área) 
 Base Menor: círculo de raio r → Ab = πr2 (área) 
 Altura do Tronco: k = h – d 
 Geratriz do Tronco: G 
 
Como ∆VO1D ~ ∆VO2C, então: 
 
= = = σ
−
h R g
d r g G
 = σ2B
b
A
A
 = σ
cone
maior 3
cone
menor
V
V
 
 
σ = razão de semelhança 
 
Áreas 
 
 Área Lateral (AL): = π ⋅ +LA G (R r) 
 
 Área Total (AT): = + +T L B bA A A A 
 
 
Volume 
 
V = Vmaior – Vmenor 
π
= + ⋅ +2 2
kV (R R r r )
3
 
 
Esfera 
 
É o sólido obtido pela rotação completa de um semicírculo em 
torno de um eixo que contém o diâmetro. 
 
Poderíamos também, definir uma esfera do seguinte modo: 
Esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cujas distâncias 
ao ponto O são menores ou iguais a R (raio da esfera). 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
33 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
O conjunto de todos os pontos P do espaço cujas distâncias ao 
ponto O são é iguais a R é denominado superfície esférica de 
centro O e raio R. 
 
 
Área da Superfície Esférica 
 
= π⋅ 2A 4 R 
 
Volume da Esfera 
 
π
= ⋅ 3
4V R
3
 
 
Plano Secante 
A intersecção de um plano com uma esfera é um círculo de raio r (r 
≤ R). Quando o plano passa pelo centro da esfera, a secção é um 
círculo de raio R (raio da esfera), chamado de círculo máximo da 
esfera. 
Um plano distando d do centro da esfera (d < R), determina na 
esfera uma secção de raio r. A relação entre d, r e R é dado pelo 
Teo. de Pitágoras. 
 
Fuso Esférico – Área 
É a parte da superfície esférica compreendida entre dois 
semicírculos máximos com o mesmo diâmetro. De uma maneira 
mais simples de compreender, é imaginar uma laranja e um de 
seus gomos; o fuso esférico é a casca desse gomo. 
 
 
 π⋅ ⋅α=
°
2
fuso
RA
90
 α → graus 
 
 = ⋅ ⋅α2fusoA 2 R α → radianos 
Cunha Esférica – Volume 
É o sólido limitado por dois semicírculos e pela superfície do fuso. 
De uma maneira mais simples de compreender, é imaginar uma 
laranja e um de seus gomos; a cunha esférica é esse gomo. 
 
 
 π⋅ ⋅α=
°
3
cunha
RV
270
 α → graus 
 
 ⋅ ⋅α=
3
cunha
2 RV
3
 α → radianos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
O desenvolvimento da superfície lateral de um cilindro reto é um quadrado de 2cm² de área. 
O volume desse cilindro, em cm3, vale: 
a) 3
2π 
d) 2
3π
 
b) 2
2π 
e) 3
5π
 
c) 3
3π
 
 
Questão 02 
Deseja-se construir um reservatório cilíndrico com tampa para armazenar certo líquido. O volume do 
reservatório deve ser de 50 cm3 e o raio da base do cilindro deve ser 
R = 2 m. Sabendo que o preço do metro quadrado do material utilizado para construir o cilindro vale 
R$ 100,00, determine o custo desse cilindro? 
a) R$ 7513,00 
b) R$ 7135,00 
c) R$ 4511,00 
d) R$ 6512,00 
e) R$ 8522,00 
 
Questão 03 
Um fabricante de leite condensado comercializa seu produto em dois tipos de embalagem. Uma das 
embalagens tem a forma de um cilindro circular reto (figura I) e a outra tem a forma de um 
paralelepípedo reto retângulo (figura II) 
 
Em determinado período, na promoção “oferta do dia”, ambas as embalagens foram vendidas pelo 
mesmo preço. Considerando as medidas indicadas nas figuras, adotando 3 como valor aproximado de 
π e admitindo que cada uma das embalagens esteja totalmente preenchida com o produto, o 
consumidor que optar, no período da oferta, pela embalagem I em vez da embalagem II compra, 
aproximadamente: 
a) 12% a menos do volume de leite condensado contido na embalagem II. 
b) 6% a menos do volume de leite condensado contido na embalagem II. 
c) 6% a mais do volume de leite condensado contido na embalagem II. 
d) 10% a mais do volume de leite condensado contido na embalagem II. 
e) 12% a mais do volume de leite condensado contido na embalagem II. 
 
Questão 04 
A altura de um cone circular reto é o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da 
circunferência dessa base é de 8πcm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é: 
 
a) 64π b) 48π c) 32π d) 16π e) 8π 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
35 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
Questão 05 
Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20cm. Com essa cartolina, um 
menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual é a 
distância do bico do chapéu à mesa? 
a) 10 3 cm d) 20cm 
b) 3c e) 10cm 
c) 20 2 cm 
 
Questão 06 
Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 m/min. O frasco do 
medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na 
figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. 
 
Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1cm3 = 1mλ, e usando a 
aproximação π = 3, o volume, em mλ, do medicamento restante no frasco após a interrupção da 
medicação é, aproximadamente: 
a) 120 b) 150 c) 160 d) 240 e) 360 
 
Questão 07 
Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma exposição. Se, para o 
revestimento total do piso, utilizou-se 78,5m2 delona, quantos metros quadrados de lona se utilizariam 
na cobertura completa do galpão? 
(considerar π = 3,14) 
a) 31,4 b) 80 c) 157 d) 208,2 e) 261,66 
 
Questão 08 
Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por uma plano situado a uma distância de 12cm do 
centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Questão 09 
Pesquisadores da Fundação Osvaldo Cruz desenvolveram um sensor a laser capaz de detectar 
bactérias no ar em até 5 horas, ou seja, 14 vezes mais rápido do que o método tradicional. O 
equipamento, que aponta a presença de micro-organismos por meio de uma ficha ótica, pode se tornar 
um grande aliado no combate às infecções hospitalares. 
Adaptado de Karine Rodrigues. 
http:www.estadão.com.br/ciência/notícias/2004/julho/15 
 
Em certo momento, uma cultura tem 30 000 bactérias. Essas bactérias têm formato esférico, com 
diâmetro de 4 micrômetros (1 micrômetro equivale à milésima parte de 1mm). Nesse momento, o 
espaço ocupado por essas bactérias é, em milímetros cúbicos, igual a: 
(Use: π = 3,1) 
a) 3,72 x 10–1 
b) 9,92 x 10–2 
c) 3,72 x 10–3 
d) 9,92 x 10–4 
e) 9,92 x 10–5 
Anotações 
 
 
 
 
 
 36 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
Questão 10 
Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base é 6cm, contém água até uma certa altura. Uma esfera de 
aço é colocada no interior do recipiente, ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1cm, 
então o raio da esfera é: 
a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 4cm e) 5cm 
 
Questão 11 
(Unimontes-MG) Pretende-se construir duas caixas: uma, de forma cilíndrica, e outra, de forma cúbica, 
e outra, de forma cúbica, com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da Bse de cada caixa tem 
comprimento igual a 4π cm, é CORRETO afirmar que: 
a) as duas caixas têm o mesmo volume. 
b) o volume da caixa cilíndrica é um terço do volume da caixa cúbica. 
c) o volume da caixa cilíndrica é maior que o volume da caixa cúbica. 
d) o volume da caixa cilíndrica é a metade do volume da caixa cúbica. 
 
Questão 12 
(UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma 
superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. 
 
 
 
Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível de água sobe 25%. Considerando π 
igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a: 
a) 10 2 b) a10 2 c) 10 12 d) a10 12 
 
Questão 13 
(UFU-MG) Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que 
está inclinado em relação ao solo em 45º, conforme mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o 
tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o 
tanque pode conter antes de derramar? 
 
 
Questão 14 
(UFTM-MG) Um cone circular reto, de altura 12 cm e raio da base 9 cm, possui área total igual à área 
total de um prisma reto cuja base é um losango de diagonais 8 cm e 6 cm. Nas condições dadas, a 
altura do prisma, em cm, é? 
a) 3,6π – 2,4 
b) 3,6π – 1,2 
c) 10,8π – 4,8 
d) 10,8π – 2,4 
e) 10,8π – 1,2 
Anotações 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
37 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
Questão 15 
(Unimontes-MG) O volume do sólido gerado pela rotação completa do triângulo do triângulo ABC da 
figura a seguir, em torno do eixo x, é de, aproximadamente 
 
a) 16,74 unidades de volume. 
b) 8,37 unidades de volume. 
c) 15,74 unidades de volume. 
d) 7,37 unidades de volume. 
 
 
Questão 16 
(PUC RS) A figura a seguir mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 
2x. Retirando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é: 
a) π
32 x
3
 d) π
22 x
3
 
b) π
34 x
3
 e) π
28 x
3
 
c) π
38 x
3
 
 
 
Questão 17 
(UFPE) Uma esfera de centro O e raio igual a 5 cm é cortado por uma plano P, resultando dessa 
interseção um círculo de raio igual a 4 cm. Assinale, então, a alternativa que fornece a distância de O 
a P. 
a) 10 cm b) 5 cm c) 2 cm d) 1 cm e) 3 cm 
 
Questão 18 
(UFU-MG) Boias de sinalização marítima são construídas de acordo com a figura a seguir, em que um 
cone de raio da base e altura r é sobreposto a um hemisfério de raio r. 
Aumentando-se r em 50%, o volume da boia é multiplicado por: 
a) 8 
b) 27
8
 
c) 9
4
 
d) 4 
 
 
 
Questão 19 
(FGV-SP) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo 
α de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado por α é: 
 
a) 20π m2. 
b) 15π m2. 
c) 10π m2. 
d) 5π m2. 
e) π m2. 
 
 
 
 
Questão 20 
(UFMG) Um cilindro circular reto, cheio de água, tem raio igual a 24 cm. Mergulha-se nele uma esfera 
de 12 cm de raio até ficar totalmente coberta. Retirada a esfera, o nível de água baixa: 
a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 
Anotações 
 
 
 
 
 
 38 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um 
cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 
12m3, cuja base tem um raio R e centro O. Deseja-se construir uma 
ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de 
um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo e com centro da 
base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a 
figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a 
construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha 
um volume de, no mínimo, 4m3. 
 
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer 
r, em metros, estará mais próximo de 
a) 1,6. b) 1,7. c) 2,0. d) 3,0. e) 3,8. 
 
Questão 02 
A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em 
países orientais. 
 
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução 
chamada de 
a) pirâmide. 
b) semiesfera. 
c) cilindro. 
d) tronco de cone. 
e) cone. 
Questão 03 
Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens 
tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante 
pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem 
tradicional à terça parte de sua capacidade. 
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens 
manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio 
da base da embalagem tradicional na construção da nova 
embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, 
após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova 
embalagem. 
Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem 
de suco (a) com a altura da embalagem tradicional (h)? 
a) = ha
12
 
b) = ha
6
 
c) = 2ha
3
 
d) = 4ha
3
 
e) = 4ha
9
 
 
Questão 04 
Uma empresa de refrigerantes, que funciona sem interrupções, 
produz um volume constante de 1 800 000 cm3 de líquido por dia. 
A máquina de encher garrafas apresentou um defeito durante 24 
horas. O inspetor de produção percebeu que o líquido chegou 
apenas à altura de 12 cm dos 20 cm previstos em cada garrafa. A 
parte inferior da garrafa em que foi depositado o líquido tem forma 
cilíndrica com raio da base de 3 cm. Por questões de higiene, o 
líquido já engarrafado não será reutilizado. 
Utilizando 3π ≅ , no período em que a máquina apresentou 
defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas? 
a) 555 d) 13333 
b) 5555 e) 133333 
c) 1333 
 
Questão 05 
O administrador de uma cidade, implantando uma política de 
reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de 
tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e 
montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em 
casas de famílias debaixa renda, conforme a figura seguinte. Além 
disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente 
R$ 2,50 por metro cúbico utilizado. 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
39 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um 
mês pagará a quantia de 
(considere 3π ≅ ) 
a) R$ 86,40. d) R$ 7,20. 
b) R$ 21,60. e) R$ 1,80. 
c) R$ 8,64. 
 
Questão 06 
Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro 
de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que 
quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um 
tubo com raio maior 
 
 
 
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os 
tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, 
quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos 
cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada 
deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base 
igual a 
a) 12 cm d) ( )+6 1 2 cm 
b) 12 2cm e) ( )+12 1 2 cm 
c) 24 2cm 
 
Questão 07 
Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e 
necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na 
figura 
 
 
 
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 
228,26m , considerando 3,14π ≅ , a altura h será igual a 
a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 9 m. e) 16 m. 
Questão 08 
Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os 
diâmetros delas seriam: 
 
 
 
A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce 
superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do 
planeta é 
a) 1
343
 b) 1
49
 c) 1
7
 d) 29
136
 e) 136
203
 
 
Questão 09 
A figura abaixo mostra um reservatório de água na forma de um 
cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está 
completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, 
por um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de 
água. 
 
 
 
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de 
conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas 
abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% 
no consumo de água. Nessa situação, 
a) a quantidade de água economizada foi de 4,5 m3. 
b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do 
dia, foi igual a 60 cm. 
 
 
 
 
 40 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
c) a quantidade de água economizada seria suficiente para 
abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 
450 litros. 
d) os moradores dessas casas economizariam mais de 
R$ 200,00, se o custo de 1m3 de água para o consumidor fosse 
igual a R$ 2,50. 
e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 
10% menor que o representado, teria água suficiente para 
abastecer todas as casas. 
 
Questão 10 
Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a 
peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras 
planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em 
torno da haste indicada obtém-se os sólidos de revolução que 
estão na coluna da direita. 
 
 
 
A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de 
revolução obtidos é: 
a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. 
b) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. 
c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. 
d) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. 
e) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 
 
Questão 11 
(UFPI) Um reservatório com capacidade para 6.280 litros tem a 
forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base desse 
reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede 
Dado: π = 3,14 
a) 1. b) 1,4. c) 1,8. d) 2. e) 2,3. 
 
Questão 12 
(FEI) Uma caixa cúbica de aresta medindo 20 cm está totalmente 
cheia de mercúrio. Despeja-se o seu conteúdo em um tubo 
cilíndrico de 10 cm de raio. A que altura chega o mercúrio no tubo? 
a) 
π
20 cm 
b) 
π
30 cm 
c) 
π
40 cm 
d) 
π
60 cm 
e) 
π
80 cm 
Questão 13 
(UCS) Se as medidas do raio da base e da altura de um cilindro 
circular reto forem acrescidas de 25% de seus respectivos valores, 
os seu volume V sofrerá acréscimo correspondente a 
a) 1 V
64
 
b) 11 V
64
 
c) 45 V
64
 
d) 53 V
64
 
e) 61 V
64
 
 
Questão 14 
Uma lanchonete serve suco de fruta em copos cônicos com 15 cm 
de altura e 8 cm de medida de diâmetro de borda, conforme mostra 
a figura a seguir. 
 
 
 
Dois amigos foram a essa lanchonete e dividiram igualmente entre 
si o conteúdo de uma dessas taças, que estava totalmente cheia. 
Considerando π = 3, determine 
a) a capacidade dessa taça, em litros. 
b) a distância da superfície do suco ao vértice da taça, após um 
dos amigos ter ingerido sua parte. 
 
Questão 15 
(PDC) Na figura a seguir, tem-se a planificação da superfície lateral 
de um cone circular reto, com as medidas indicadas em 
centímetros. 
 
O volume do cone, em centímetros cúbicos, é 
a) 10π. 
b) 12π. 
c) 24π. 
d) 30π. 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 23 - Prof. Raul Brito) 
 
 
 
 
 
41 VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
Questão 16 
(PUC-MG) A região plana limitada por um triângulo retângulo cujos 
catetos medem, respectivamente, AB = 3 m e AC = 4 m gira em 
torno do cateto AC , segundo um ângulo de 30º. A medida do 
volume do sólido gerado por essa rotação, em metros cúbicos, é 
a) π .
6
 c) π3 .
6
 
b) π. d) 2π. 
 
Questão 17 
O centro O de uma esfera de raio R = 4 cm dista 13 cm de um 
ponto P de um plano α. A projeção ortogonal de O sobre α é o 
ponto M, tal que PM = 12 cm. Qual é a posição do plano em 
relação à esfera? 
 
Questão 18 
(UFMG) Observe a figura. 
 
Uma plano intercepta uma esfera segundo um círculo de diâmetro 
AB . O ângulo AÔB mede 90º e o raio da esfera, 12 cm. O volume 
do cone de vértice O e de base de diâmetro AB é 
a) π 39 cm . 
b) π 336 2 cm . 
c) π 348 2 cm . 
d) π 3144 2 cm . 
e) π 31304 cm . 
 
Questão 19 
(UNICAMP) O volume V de uma bola de raio r é dado pela fórmula 
= π 2
4V r
3
. 
a) Calcule o volume de uma borá de raio = 3r cm.
4
 
 Dado: π = 22 .
7
 
b) Se uma bola de raio = 3r cm
4
 é feita com um material, cuja 
densidade volumétrica (quociente da massa pelo volume) é de 
5,6 g/cm3. Qual será a sua massa? 
 
Questão 20 
Calcule o volume de chocolate que deverá ser utilizado para a 
cobertura de um bombom, supondo que a espessura dessa 
cobertura tenha 0,5 cm e que o recheio seja uma esfera com 
diâmetro igual a 3 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 24 – Prof Raul Brito 
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
Introdução: 
Progressão Aritmética ou simplesmente PA é uma sequência 
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao 
anterior somado com uma constante, chamada razão da 
progressão aritmética. 
 
 Representação Matemática: 
( )−1 2 3 4 n 1 na , a , a , a , ... a , a , ... 
 
A sequência acima é uma PA de razão r se: 
 
2 1 3 2 n n 1a a a a ... a a ... r−− = − = = − = = 
 
De maneira geral podemos afirmar que: 
 
n n 1a a r−= + 
 
Fórmula do Termo Geral de uma PA 
Qualquer termo de uma PA pode ser obtido pela fórmula: 
 
= + − ⋅n 1a a (n 1) r 
Em que: 1a é o primeiro termo 
 na é o enésimo termo 
 n é o número de termos 
 r é a razão da PA 
 
Atenção !!! 
 
 Dados dois termos quaisquer na e ka de uma 
Progressão Aritmética, podemos relacioná-los a partir da seguinte 
expressão: n ka a (n k) r= + − ⋅ . 
 
Representações Especiais 
Podemos utilizar as seguintes representações de PA, que 
facilitam a resolução de alguns exercícios: 
 PA de 3 termos → (x – r, x, x + r) 
razão: r 
 PA de 4 termos → (x – 3r, x – r,