Pesquisa Operacional

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Universidade de Brasília 
IE - Instituto de Ciências Exatas 
Departamento de Estatística 
Pesquisa Operacional 1 
Professora: Maria Amélia 
Alunos: Erique Pereira Neto - 11/0011058 
 Geiziane Silva de Oliveira – 11/0012160 
 
 
 
Trabalho de P.O.1 
1.1. Um fazendeiro tem 500 hectares de terra e deseja determinar a área 
de plantio alocada para as seguintes três culturas: trigo, milho e soja. 
Man-days (mão-de-obra), custo de preparação e o lucro por hectare 
de cada cultura estão resumidos na tabela abaixo. 
 
Cultura Man-days Custo de preparação $ Lucro $ 
Trigo 6 100 60 
Milho 8 150 100 
Soja 10 120 80 
 Sabe-se que o número máximo de man-days disponíveis são 5000 e que 
o fazendeiro tem $60 000 para preparação. 
Modelando o Problema de Programação Linear: 
 Variáveis de Decisão: 
Xi = quantidade de hectares alocados para o plantio da cultura i, 
com i=1,2,3, onde 1 = trigo, 2 = milho, 3 = soja. 
 Função Objetivo: 
O fazendeiro deseja alocar uma quantidade de hectares para o 
plantio de cada cultura de maneira a maximizar o seu lucro. Logo 
o objetivo do fazendeiro é maximizar o lucro. 
 Restrições: 
O fazendeiro tem recursos limitados, ele tem à sua disposição 500 
hectares de terra, $60 000 para a preparação do plantio e possui 
5000 man-days disponíveis. Essas são as restrições de recursos do 
P.L. 
 
Logo, o P.L. associado a este problema é: 
P.L : Max Z = 60X1+100X2+80X3 
 S.a 6X1 + 8X2 +10X3 ≤ 5000 (man-days) 
 100X1+150X2+120X3 ≤ 60.000 (preparação) 
 X1 + X2 + X3 ≤ 500 (terra) 
 X1, X2, X3 ≥ 0 
 
Agora, olhando do ponto de vista de uma pessoa que queira comprar a 
fazenda, o objetivo dela seria minimizar o valor pago pelos recursos do 
fazendeiro. Então temos que o problema Dual será: 
D: Min ɸ = 5000λ1+60000λ2+500λ3 
 S.a 6λ1 + 100λ2 + λ3 ≥ 60 ( I ) 
 8λ1 + 150λ2 + λ3 ≥ 100 ( II ) 
 10λ1 + 120λ2 + λ3 ≥ 80 ( III ) 
 λ1, λ2, λ3 ≥ 0 
 
Em que λi = valor pago por cada unidade do recurso i, i = 1,2,3, onde 
1 = man-days, 2 = dinheiro para a preparação e 3 = hectares de terra. 
A interpretação da restrição ( I ) seria que o valor pago pelos recursos 
usados na plantação de trigo tem que ser pelo menos o lucro que o 
fazendeiro obtém com a plantação dessa cultura, senão a venda não seria 
vantajoso para o mesmo. A interpretação para as restrições ( II ) e ( III ) é 
a mesma só que para as culturas de milho e soja, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
1.2. Colocando o P.L na forma padrão: 
 Max Z = 60X1+100X2+80X3 
 S.a 6X1 + 8X2 +10X3 +X4+0X5+0X6 ≤ 5000 (man-days) 
 100X1+150X2+120X3+0X4+X5+0X6 ≤ 60.000 (preparação) 
 X1 + X2 + X3+0X4+0X5+X6 ≤ 500 (terra) 
 X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0 
O tablô inicial é: 
 X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS 
Z 60 100 80 0 0 0 
X4 6 8 10 1 0 0 5000 
X5 100 150 120 0 1 0 60000 
X6 1 1 1 0 0 1 500 
 
O tablô ótimo é: 
 X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS 
Z 6,667 0 0 0 0,667 0 40000 
X4 0,667 0 3,6 1 -0,053 0 1800 
X5 0,667 1 0,8 0 0,0067 0 400 
X6 0,333 0 0,2 0 -0,007 1 100 
 
 
 
Análise de sensibilidade para o parâmetro “b”. 
Escolhe-se b3=500, somando se ∆ temos b3’=500+∆. Temos de determinar 
o valor de ∆ pra o qual a solução continua na otimalidade. 
XB = (X4, X2, X6) 
XN = (X1, X5, X3) = (0, 0, 0) 
b3 = 
 
 
 
 
 
 
Para garantir a otimalidade devemos ter 
Logo, = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
═> 
 
 
 
 
Assim, para qualquer a solução permanece ótima, ou seja, se 
diminuirmos a quantidade de hectares de terra para a plantação de soja, a 
solução continua ótima. Só para efeito de constatação, fazendo , 
temos b3’= 420 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de sensibilidade para o parâmetro “c”. 
Pegando uma variável não-básica no tablô ótimo, encontrar um valor de e 
verificar até que ponto a solução permanece ótima. 
Começando por ═> 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
Logo devemos ter ═> . 
Como 
 é variável não-básica, a solução permanece ótima para qualquer 
 . 
Supondo 
═> 
 
 
 
 
 
 
 , o que não altera a solução ótima, o valor de continua 40 000. 
Analisando o parâmetro “C” para variáveis básicas, alteram-se todos os 
custos relativos e o valor de Z. 
XB = (X2, X4, X6) 
CB = (C2, C4, C6) = (100,0,0) 
Tomando C2 = 100 e fazendo , então o novo valor de 
 = 
 
 
 
 
 ═> ═> 
 
 
 ═> 
 
 =CB 
 
 
 
 
═> 
 =CB 
 
 
 
 
═> . 
Para satisfazer as três desigualdades e garantir a otimalidade pegamos 
 , 
min . 
O novo valor de e o valor de passa a ser 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . A solução continua ótima e aumenta. 
 
 
 
Mudando um coeficiente de uma variável não-básica, por exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, se a quantidade de man-days for aumentada de 6 para 9 na 
cultivação do trigo, a solução ainda continuaria ótima.