Lei dos senos

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Lei dos senos
A lei dos senos é uma relação entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer.
A Lei dos Senos determina que num triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.
Esse teorema demonstra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.
Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos admite as seguintes relações:
Exemplo
Para compreender melhor, vamos calcular a medida dos lados AB e BC desse triângulo, em função da medida b do lado AC.
Pela lei dos senos, podemos estabelecer a seguinte relação:
Logo, AB = 0,816b e BC = 1,115b.
Obs: Os valores dos senos foram consultados na tabela das razões trigonométricas. Nela, podemos encontrar os valores dos ângulos de 1º a 90º de cada função trigonométrica (seno, cosseno e tangente).
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos de trigonometria. Por isso, eles são chamados de ângulos notáveis. Confira abaixo um quadro com os valores:
	Relações Trigonométricas
	30°
	45°
	60°
	Seno
	1/2
	√2/2
	√3/2
	Cosseno
	√3/2
	√2/2
	1/2
	Tangente
	√3/3
	1
	√3
Aplicação da Lei dos Senos
Utilizamos a Lei dos Senos nos triângulos acutângulos, onde os ângulos internos são menores que 90º (agudos); ou nos triângulos obtusângulos, que apresentam ângulos internos maiores que 90º (obtusos). Nesses casos, também é possível utilizar a Lei dos Cossenos.
O objetivo principal da utilização da Lei dos Senos ou Cossenos é de descobrir as medidas dos lados de um triângulo e ainda, de seus ângulos.
Representação de triângulos segundo seus ângulos internos
E a Lei dos Senos no Triângulo Retângulo?
Como mencionado acima, a Lei dos Senos é utilizada nos triângulos acutângulos e obtusângulos.
Já nos triângulos retângulos, formados por um ângulo interno de 90º (reto), utilizamos o Teorema de Pitágoras e as relações entre seus lados: cateto oposto, adjacente e hipotenusa.
Representação do triângulo retângulo e seus lados
Esse teorema possui o seguinte enunciado: "a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa". Sua fórmula é expressa:
h2 = ca2 + co2
Assim, quando temos um triângulo retângulo, o seno será à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa:
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Já o cosseno, corresponde à proporção entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa, representado pela expressão:
Lei dos Cossenos
Faremos, aqui, o estudo da lei dos cossenos e suas aplicabilidades.
Vejamos a demonstração da lei dos cossenos:
Considere o triângulo acutângulo abaixo, sendo CH a altura relativa ao lado AB.
No triângulo BCH, temos que:
 No triângulo ACH, temos que:
Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos:
De forma análoga, obtemos:
As três igualdades anteriores são chamadas de Lei dos Cossenos, que diz: “Num triângulo qualquer, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado”.
Lembre-se que a Lei dos cossenos vale para qualquer triângulo.
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1. Determine o valor de x no triângulo ABC acutângulo abaixo.
Solução: Aplicando a lei dos cossenos, temos que:
Exemplo 2. Determine o valor de y no triângulo obtusângulo abaixo.
Solução: Lembrando que a lei dos cossenos também é válida para o triângulo obtusângulo, temos que:
Exemplo 3
Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:
x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.
Exemplo 4
Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.
Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.
Aplicando a lei dos cossenos
a = 7, b = 6 e c = 5
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.
Exemplo 5
Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
–
–
LEI DOS SENOS
Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer.
Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei.
Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB.
No triângulo ACH, temos que:
No triângulo BCH, temos que:
De (I) e (II), obtemos:
Assim, podemos concluir que:
Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos.
A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para qualquer triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado.
Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos.
Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo:
Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos:
Sabemos que sen 120o = sen 60o. Assim, teremos:
Exemplo 2. No triângulo acutângulo a seguir, determine o valor de x.
Solução: Utilizando a lei dos senos, temos que: