6 PONTOS, DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS (1)

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POSIÇÕES, DIREÇÕES E PLANOS 
EM CRISTAIS
Identificar posições, direções e planos em um cristal é importante
nos metais e suas ligas.
A existência de determinados conjuntos de planos e direções
compactos, desempenham papel importante na deformação
plástica de metais.
A existência de propriedades dependentes da orientação
cristalográfica resulta na necessidade de se determinar posições,
direções e planos.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
COORDENADAS DE PONTOS
l A posição de um ponto 
numa rede cristalina é 
definida, num sistema de 
coordenadas cartesianas, 
em termos do número de 
parâmetros de rede em 
cada direção. As 
coordenadas são escritas 
como as três distâncias.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
l São representadas entre 
colchetes=[uvw]
l Representam as projeções 
nas direções x y z, 
respectivamente
l Direções paralelas sempre 
terão o mesmo índice
[010]
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
• Se a subtração der 
negativa, coloca-se 
uma barra sobre o 
número
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
l Os números devem ser 
divididos ou 
multiplicados por um 
fator comum para dar 
números inteiros
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
FAMÍLIA DE DIREÇÕES
l Para algumas estruturas cristalinas, várias direções não paralelas com
índices diferentes são, na realidade, equivalentes; isto significa que o
espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o mesmo.
Por exemplo, em cristais cúbicos, todas as direções representadas pelos
seguintes índices são equivalentes:
[100], [100], [010], [010], [001] e [001]
l Por conveniência as direções equivalentes são agrupadas em família,
que é representada entre colchetes: <100>
l Direções em cristais cúbicos que possuam os mesmos índices
independentes da ordem ou do sinal são equivalentes: Ex: [123] e [213]
l Isto não é verdadeiro para outros sistemas cristalinos.Ex: TETRAGONAL-
[100] e [010] são equivalentes, mas [100] e [001] não.
_ _ _
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
l São representados de maneira similar às 
direções
l São representados pelos índices de Miller = 
(hkl)
l Planos paralelos são equivalentes tendo os 
mesmos índices
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Plano (001) com referência à 
origem no ponto O
Outros planos (001) 
equivalentes
Plano (110) com referência à 
origem no ponto O
Outros planos (110) 
equivalentes
Plano (111) com referência à 
origem no ponto O
Outros planos (111) 
equivalentes
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos (010)
l São paralelos aos eixos
x e z (paralelo à face)
l Cortam um eixo (neste
exemplo: y em 1 e os
eixos x e z em ¥)
l 1/ ¥, 1/1, 1/ ¥ = (010)
l Os números devem ser
divididos ou
multiplicados por um
fator comum para dar
números inteiros.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos (110)
l São paralelos a um 
eixo (z)
l Cortam dois eixos
(x e y) 
l 1/ 1, 1/1, 1/ ¥ = (110)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos (111)
l Cortam os 3 eixos 
cristalográficos
l 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111)
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
FAMÍLIA DE PLANOS {110}
É paralelo à um eixo
O
O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
FAMÍLIA DE PLANOS {111}
Intercepta os 3 eixos
O
O
O
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
PLANOS NO SISTEMA CÚBICO
l A simetria do sistema cúbico faz com que a família
de planos tenham o mesmo arranjo e densidade
atômica.
l Deformação em metais envolve deslizamento de
planos atômicos. O deslizamento ocorre mais
facilmente nos planos e direções de maior
densidade atômica.
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
PLANOS DE MAIOR 
DENSIDADE ATÔMICA NO 
SISTEMA CCC
l A família de planos {110} no 
sistema ccc é o de maior 
densidade atômica
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
 
PLANOS DE MAIOR 
DENSIDADE ATÔMICA NO 
SISTEMA CFC
• A família de planos {111} no 
sistema cfc é o de maior 
densidade atômica
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
DENSIDADE ATÔMICA LINEAR E PLANAR
l Densidade linear = átomos/cm (igual ao fator de
empacotamento em uma dimensão)
l Densidade planar = átomos/unidade de área (igual ao fator
de empacotamento em duas dimensões)
DL
LL
LA
LA
LL=
DENSIDADE ATÔMICA LINEAR
DENSIDADE ATÔMICA PLANAR
AP
AA
AA
AP=
AA
AP
CFC- plano (110)
Determine os índices de Miller de direção A, B e C da Figura
A
B C
Determine os índices de Miller dos planos A, B e C da Figura
Calcule a densidade planar e a fração de empacotamento planar para os 
planos (010) e (020) do polô- nio, cúbico simples, com um parâmetro de rede 
de 0,334 nm.
• A difração de raios X é uma ferramenta usada para medir a
cristalinidade e outras variáveis dependentes da rede
• A difração de raios X também auxilia a esclarecer o significado físico
dos planos e dos índices de Miller
• A radiação eletromagnética (incluindo os raios X e a luz visível) se
move em ondas. Cada tipo de onda eletromagnética tem um
comprimento de onda (l) característico.
• A faixa de comprimentos de onda dos raios X tem aproximadamente
a mesma dimensão que a maioria das distâncias interatômicas.
DIFRAÇÃO DE RAIO X
DIFRAÇÃO DE RAIO X
Quando uma onda atinge um objeto sólido (por exemplo, um núcleo
atômico), ela reflete com um ângulo de reflexão igual ao ângulo de
incidência.
Feixe de raios X
atingindo átomos em
uma rede.
Uma fonte emite raios X contra uma 
amostra e um detector recebe os feixes 
difratados.
Equação de Bragg
Equação que relaciona o 
espaçamento interplanar em uma 
rede à interferência construtiva 
dos raios X difratados. 
n = ordem das reflexões (considerada como 1), 
l = comprimento de onda do feixe de raios X,
d = espaçamento interplanar
q = ângulo de incidência. 
Ordens de reflexão
maiores do que 1 são
consideradas pelos índices de Miller.
• Os dados gerados por um experimento de difração de raios X
consistem em medidas das leituras da intensidade no detector em
função do ângulo de incidência.
• O ângulo é geralmente lido como 2q, pois tanto a fonte quanto o
detector fazem um ângulo q
Cada pico no difratograma corresponde a 
um plano diferente no cristal
Podemos determinar o espaçamento
interplanar do plano correspondente a
cada pico.
Planos identificados pelo seus índices de Miller
correspondentes
Qualquer plano dado em um sistema cúbico