Atividade A4 CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL

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Pergunta 1)
Barroso (1987) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B. Para medir a área de um trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,04 m. Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios composta, calcule uma aproximação para a área da região descrita.
 
	Perpendiculares
	Comprimento (metros)
	1
	3,37
	2
	4,43
	3
	4,65
	4
	5,12
	5
	4,98
	6
	3,61
	7
	3,85
	8
	4,71
	9
	5,25
	10
	3,86
	11
	3,22
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 273.
Resposta: 1,75 metros quadrados
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos
image0085e3c4351_20211112215638.gif
image0545e3c4351_20211112215638.gif 
image0105e3c4351_20211112215639.gif
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor deimage0555e3c4351_20211112215639.gif metros quadrados.
 
	image0125e3c4351_20211112215639.gif
	image0135e3c4351_20211112215639.gif
	image0145e3c4351_20211112215639.gif
	0
	0
	3,37
	1
	0,04
	4,43
	2
	0,08
	4,65
	3
	0,12
	5,12
	4
	0,16
	4,98
	5
	0,2
	3,61
	6
	0,24
	3,85
	7
	0,28
	4,71
	8
	0,32
	5,25
	9
	0,36
	3,86
	10
	0,4
	3,22  
Pergunta 2)
Quando desejamos saber a precisão que estamos trabalhando com a regra dos trapézios simples, podemos utilizar a expressão para o erro de truncamento. Em vista disso, determine uma cota para o erro máximo de truncamento cometido no cálculo da integral image0825e3c4351_20211112215725.gif, quando utilizamos a regra dos trapézios simples.
Resposta: 4,527
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios simples, temos que a fórmula do erro de truncamento é dada por:
image0835e3c4351_20211112215725.gif
Portanto, uma cota para o erro máximo de truncamento é igual aimage0845e3c4351_20211112215725.gif.
Pergunta 3)
Analise a figura abaixo que representa a fotografia de um lago com as medidas em quilômetros.
image0385e3c4351_20211112215635.jpg
Fonte: Décio Sperandio; João Teixeira Mendes; Luiz Henry Monken e Silva. Cálculo numérico, 2ª edição. São Paulo: Editora Pearson, 2014, p. 222
 
Calcule uma aproximação para a área localizada acima da reta horizontal, em quilômetros quadrados, por meio da regra dos trapézios composta utilizando todos os pontos possíveis nesta região.
Resposta: 279
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 7 pontos distintos, encontramos a área solicitada. Assim, na parte superior, temos:
image0165e3c4351_20211112215635.gif
image0395e3c4351_20211112215636.gif 
image0405e3c4351_20211112215636.gif
Logo, arrumando e substituindo os pontos lidos na Figura, podemos calcular o valor deimage0415e3c4351_20211112215636.gif.
	image0125e3c4351_20211112215636.gif
	image0135e3c4351_20211112215636.gif
	image0145e3c4351_20211112215637.gif
	0
	6
	3
	1
	12
	6
	2
	18
	9
	3
	24
	10
	4
	30
	9
	5
	36
	8
	6
	42
	6
Pergunta 4)
(Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmula do erro de truncamento, aproxime pela regra dos trapézios composta, com 5 pontos distintos, o comprimento de arco da curva image0215e3c4351_20211112215624.gif de image0225e3c4351_20211112215624.gif a image0235e3c4351_20211112215625.gif. Lembre-se que o comprimento de arco de uma curva genérica image0245e3c4351_20211112215625.gif do ponto image0255e3c4351_20211112215625.gif ao ponto image0265e3c4351_20211112215625.gifé dada por
image0275e3c4351_20211112215625.gif 
 Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 366.
Resposta: 2,99
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, temos
image0285e3c4351_20211112215626.gif
image0295e3c4351_20211112215626.gif 
image0305e3c4351_20211112215626.gif
Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da lei da função do integrando, podemos calcular o valor deimage0315e3c4351_20211112215626.gif.
 
	image0125e3c4351_20211112215626.gif
	image0135e3c4351_20211112215627.gif
	image0145e3c4351_20211112215627.gif
	0
	0
	4,123105626
	1
	0,25
	1,802775638
	2
	0,5
	1,414213562
	3
	0,75
	3,640054945
	4
	1
	6,08276253
Pergunta 5)
Franco  (2013) Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de um paraquedista em queda livre na atmosfera é dada pela equação:
image0855e3c4351_20211112215706.gif
em que image0865e3c4351_20211112215706.gif é a aceleração da gravidade (9,8 image0875e3c4351_20211112215707.gif), image0015e3c4351_20211112215707.gif é a massa do paraquedista (75 kg), image0885e3c4351_20211112215707.gif é o coeficiente de arrasto (13,4 image0895e3c4351_20211112215707.gif) e image0905e3c4351_20211112215707.gif é o tempo (em image0915e3c4351_20211112215708.gif) a partir do início da queda. Suponha que o paraquedista salte de uma altura de 3500 metros. Sabe-se que o espaço percorrido por ele entre os instantes de tempo image0925e3c4351_20211112215708.gif e image0935e3c4351_20211112215708.gif é dado por:
image0945e3c4351_20211112215708.gif,
A partir da regra dos trapézios composta, com 6 pontos distintos, desconsiderando a fórmula do erro de truncamento, calcule o espaço percorrido pelo paraquedista entre os instantes image0955e3c4351_20211112215708.gif e image1045e3c4351_20211112215709.gif.
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 373.
Resposta: 19,71 metros
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos
image0345e3c4351_20211112215709.gif
image1055e3c4351_20211112215709.gif 
image0365e3c4351_20211112215709.gif
Assim, arrumando e substituindo os pontos obtidos através da lei da função, podemos calcular o valor deimage1065e3c4351_20211112215709.gif metros .
 
	image0125e3c4351_20211112215710.gif
	image0135e3c4351_20211112215710.gif
	image0145e3c4351_20211112215710.gif
	0
	2
	16,48049477
	1
	2,2
	17,82738402
	2
	2,4
	19,12699418
	3
	2,6
	20,38098486
	4
	2,8
	21,59095741
	5
	3
	22,75845698
Pergunta 6)
Para Franco (2013) a determinação da área da seção reta de rios e lagos é importante em projetos de prevenção de enchentes (para o cálculo de vazão da água) e nos projetos de reservatórios (para o cálculo do volume total de água). A menos que dispositivos tipo sonar sejam usados na obtenção do perfil do fundo de rios/lagos, o engenheiro deve trabalhar com valores da profundidade, obtidos em pontos discretos da superfície. Um exemplo típico da seção reta de um rio é mostrado na Figura abaixo:
image0595e3c4351_20211112215714.jpg
 
Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013.
 
Use a fórmula dos trapézios composta sobre os respectivos pontos igualmente espaçados para calcular a área da região da seção reta do rio compreendida entre 0 e 10 metros de distância da margem esquerda desse rio.
Resposta: 29,6 metros quadrados
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos
image0345e3c4351_20211112215714.gif
image0605e3c4351_20211112215715.gif 
image0365e3c4351_20211112215715.gif
Assim, arrumando e substituindo os pontos lidos na Figura, podemos calcular o valor deimage0615e3c4351_20211112215715.gif metros quadrados.
 
	image0125e3c4351_20211112215715.gif
	image0135e3c4351_20211112215716.gif
	image0145e3c4351_20211112215716.gif
	0
	0
	0
	1
	2
	1,8
	2
	4
	2
	3
	6
	4
	4
	8
	4
	5
	10
	6
Pergunta 7)
Para Barroso (1987) uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B. Para medir a área de um trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,06 m. Usando os dados tabelados e a regra dos trapézios simples, calcule uma aproximação para a área da região compreendida entre as perpendiculares6 e 7.
 
	Perpendiculares
	Comprimento (metros)
	1
	3,45
	2
	4,68
	3
	4,79
	4
	5,13
	5
	5,68
	6
	5,97
	7
	6,85
	8
	5,71
	9
	5,34
	10
	4,97
	11
	3,44
Referência: BARROSO, L. C. et al. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987, p. 273.
Resposta: 0,38 metros quadrados
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios simples, temos
image0565e3c4351_20211112215711.gif 
image0575e3c4351_20211112215712.gif
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor deimage0585e3c4351_20211112215712.gif metros quadrados.
 
	image0125e3c4351_20211112215713.gif
	image0135e3c4351_20211112215713.gif
	image0145e3c4351_20211112215713.gif
	0
	0
	5,97
	1
	0,06
	6,85  
Pergunta 8)
(Franco, 2013, adaptado) Sem utilizar a fórmula do erro de truncamento, aproxime pela regra dos trapézios composta, com 6 pontos distintos, o comprimento de arco da curva image0215e3c4351_20211112215628.gif de image0235e3c4351_20211112215629.gif a image0325e3c4351_20211112215629.gif. Lembre-se que o comprimento de arco de uma curva genérica image0245e3c4351_20211112215629.gif do ponto image0255e3c4351_20211112215629.gif ao ponto image0265e3c4351_20211112215629.gifé dada por
image0335e3c4351_20211112215630.gif
 Referência: Franco, Neide Maria Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2013, p. 366.
Resposta: 11,05
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 6 pontos distintos, temos
image0345e3c4351_20211112215630.gif
image0355e3c4351_20211112215630.gif 
image0365e3c4351_20211112215630.gif
Assim, arrumando e substituindo os pontos determinados a partir da lei da função do integrando, podemos calcular o valor deimage0375e3c4351_20211112215630.gif.
 
	image0125e3c4351_20211112215631.gif
	image0135e3c4351_20211112215631.gif
	image0145e3c4351_20211112215631.gif
	0
	1
	6,08276253
	1
	1,2
	8,062257748
	2
	1,4
	10,04987562
	3
	1,6
	12,04159458
	4
	1,8
	14,03566885
	5
	2
	16,03121954
Pergunta 9)
(Décio Sperandio et al, 2014, p. 222, adaptado) A Figura representa a fotografia de um lago com as medidas em quilômetros. Calcule uma aproximação para a área localizada abaixo da reta horizontal, em quilômetros quadrados, por meio da regra dos trapézios composta utilizando todos os pontos possíveis nesta região.
 
image0435e3c4351_20211112215621.jpg
Referência: Décio Sperandio; João Teixeira Mendes; Luiz Henry Monken e Silva. Cálculo numérico, 2ª edição. São Paulo: Editora Pearson, 2014.
Resposta: 220
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 5 pontos distintos, encontramos a área solicitada. Para a parte inferior, temos:
image0285e3c4351_20211112215621.gif
image0445e3c4351_20211112215621.gif 
image0455e3c4351_20211112215622.gif
Logo, arrumando e substituindo os pontos lidos na Figura, podemos calcular o valor deimage0465e3c4351_20211112215622.gif.
 
	image0125e3c4351_20211112215622.gif
	image0135e3c4351_20211112215622.gif
	image0145e3c4351_20211112215622.gif
	0
	8
	4
	1
	16
	5
	2
	24
	9
	3
	32
	8
	4
	40
	7
Pergunta 10)
A velocidade instantânea de uma motocicleta foi medida em vários momentos e registrada numa tabela como segue abaixo:
 
	t (segundos)
	v (km/h)
	0
	20
	120
	22
	240
	23
	360
	25
	480
	30
	600
	31
	720
	32
	840
	40
	960
	45
	1080
	50
	1200
	65
Referência: Elaborado pelo autor.
Uma vez que o motociclista não anotou a quilometragem da motocicleta e deseja calcular uma aproximação da distância percorrida, em metros, determine essa aproximação usando a regra dos trapézios composta sobre todos os pontos dados na tabela.
Resposta: 11350
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando a regra dos trapézios composta com 11 pontos distintos, temos
image0085e3c4351_20211112215633.gif
image0525e3c4351_20211112215633.gif 
image0105e3c4351_20211112215633.gif
Assim, arrumando e substituindo os pontos dados na tabela, podemos calcular o valor deimage0535e3c4351_20211112215633.gif.
 
	image0125e3c4351_20211112215633.gif
	image0135e3c4351_20211112215634.gif
	image0145e3c4351_20211112215634.gif
	0
	0
	20
	1
	120
	22
	2
	240
	23
	3
	360
	25
	4
	480
	30
	5
	600
	31
	6
	720
	32
	7
	840
	40
	8
	960
	45
	9
	1080
	50
	10
	1200
	65