Matematica financeira II

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Matemática aplicada à Administração II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACAPI 
Faculdade de Ciências Aplicada Piauiense 
 
Educação Superior por Excelência 
 
Prof.: Me. Reginildo Amorim Coelho 
 
Eu ouço e esqueço. Eu vejo e lembro. Eu faço e aprendo. 
 
 
 Provérbio Chinês 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
01. Palavra do Professor ...................................................................................................03 
02. O contexto das Finanças na História 
 2.1 Dinheiro e o Tempo ............................................................................................04 
 2.2 Juros ....................................................................................................................05 
03. Multiplicação e Divisão 
 3.1 Multiplicação........................................................................................................09 
 3.2 Divisão..................................................................................................................10 
04. Relação Algébrica 
 4.1 Razão ...................................................................................................................09 
 4.2 Aplicações ...........................................................................................................11 
05. Potencialização 
 5.1 Potencialização ....................................................................................................13 
06. Porcentagem .................................................................................................................18 
07. Taxas e Coeficientes 
 7.1 Taxas ....................................................................................................................22 
08. Juros e Aplicações Financeiras 
 8.1 E os juros? ............................................................................................................25 
 8.2 Definições usuais .................................................................................................28 
 8.3 Regra de três ........................................................................................................30 
 8.4 Proporcionalidade ................................................................................................32 
09. Juros Simples 
 9.1 Fórmula para Cálculo do Juros Simples ..............................................................35 
10. Juros Compostos 
 10.1 Fórmula para Cálculo do Juros Compostos ........................................................40 
11. Equivalência de Taxas 
 11.1 Taxas Equivalentes ............................................................................................45 
 11.2 A taxa Nominal ..................................................................................................47 
 11.3 A taxa Efetiva .....................................................................................................49 
 11.4 A taxa Real .........................................................................................................50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Operações Sobre Fluxo de Caixa 
 12.1 Diagrama de fluxo de caixa ................................................................................55 
 12.2 Valor presente ....................................................................................................57 
 12.3 Séries de pagamentos .........................................................................................59 
 12.4 Descontos ...........................................................................................................60 
13. Bibliografia .................................................................................................................62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Queridos estudantes, 
Estamos iniciando este curso de matemática para o curso de Administração com o intuito 
de apreender a manipular as fórmulas e os cálculos necessários para um bom 
empreendendor/administrador. 
Inciaremos com um breve resumo sobre a história do dinheiro e sua aplicação em 
sociedade. Em seguida, uma revisão necessária das operações de multiplicação e divisão, 
ferramentas imprescindiveis para o trabalho com valores monetários. Logo após, 
passaremos ao estudo da razão e da porcentagem que estão presentes na fórmulas de Juros 
Simples e Juros Compostos. Ainda, estudaremos as taxas envolvidas nas diversas 
transações financeiras e, por fim, veremos um pouco sobre as operações sobre fluxo de 
caixa e descontos. 
Ao final deste curso, vocês deverão ser capazes de entender como funcionam os cálculos 
de juros simples e compostos, ainda entender as diversas taxas envolvidas nas operações 
financeiras bem como serem capazes trabalhar com caixa de empresas. 
Desejo a todos muito sucesso e aprendizado! Sincero abraço! 
 
 Professor Reginildo Amorim Coelho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Palavra do Professor 
04 
 
 
 
1.1 Conceitos essenciais de juros simples e compostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pois R$ 1.000,00 hoje não terá o mesmo poder de compra que R$ 1.000,00 daqui a 1 ano e 
vice- -versa, assim descobrir como e porque o valor do dinheiro muda ao longo do tempo é o 
objetivo principal da Matemática Financeira. 
E para aprendermos o conteúdo da Matemática Financeira alguns conceitos são essenciais, 
sem os quais não é possível ler e aprender sobre o tema. Segue alguns destes conceitos: 
AGENTE ECONÔMICO É uma pessoa física ou jurídica que pratica um evento financeiro, 
como uma compra, venda ou empréstimo que possua consequências financeiras. Como 
exemplo, podemos citar quando você vai ao supermercado e faz compras: você está realizando 
um evento financeiro. 
CAPITAL (C), CAPITAL INICIAL (C0) OU PRINCIPAL (P) É o valor disponível 
representado por moeda (dinheiro) ou outro bem que uma pessoa ou uma empresa possui, 
como uma máquina, mercadorias, um imóvel; enfim, tudo que pode ser convertido em 
dinheiro. Este capital permite que aconteçam as trocas entre bens, possibilitando os eventos 
financeiros. 
 
 
1. As Finanças na História Humana e seus Conceitos 
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/20442
2/2/MATEM%C3%81TICA%20FINANCEIRA.pdf 
A disciplina Matemática Financeira é um ramo que 
estuda as alterações do valor do dinheiro com o passar 
do tempo, assim como apresenta diversos mecanismos 
que permitem avaliar como essas alterações ocorrem 
com o passar do tempo. Possui linguagem própria, que 
possibilita a leitura e interpretação pelo olhar das 
finanças. Deste modo, alguns conceitos são 
fundamentais para esta leitura na ótica das finanças. 
Entender Matemática Financeira é entender como 
funciona o mundo do dinheiro, as transações de compra 
juros, dívidas e todas as operações que envolvem 
05 
e venda, empréstimo, prestações, 
 analisar o valor do dinheiro no tempo, 
 
OPERAÇÃO FINANCEIRA É a transferência de capital entre quem possui capital (o credor) 
e quem necessita desse capital (o tomador), desde que estabelecidas as condições necessárias 
para a realização da operação. Tais condições estabelecem: valor da operação, prazo, taxa de 
juros contratada, garantias por parte do tomador, etc. 
JURO (J) É o valor remunerado (pago) ao capital acordado entre as partes, o tomador e o 
credor em uma operação financeira. 
MONTANTE (M) ou (Cn) Podemos conceituar montantecomo a soma do capital (C) mais 
os juros (J) de uma operação financeira. 
VALOR PRESENTE (VP) É o valor de uma operação financeira hoje. É um valor 
intermediário entre o montante (M) e o capital (C). 
VALOR FUTURO (VF ou FV) É o valor de um recurso ou operação em uma data futura. Por 
vezes, é citado como sinônimo de montante. 
TAXA DE JUROS A taxa de juros é a relação entre o capital emprestado e o juro devido. 
DATA FOCAL É a data a ser considerada como base de comparação de valores referidos a 
datas diferentes, é conhecida também como data de avaliação ou data de referência. 
EQUAÇÃO DE VALOR É a equação que possibilita realizar a igualdade de capitais 
diferentes, em períodos diferentes, trazidos para uma mesma data focal com taxa de juros 
fixada. 
CUSTO DE OPORTUNIDADE DO CAPITAL Representa a ação de você abrir mão de uma 
decisão por outra, como por exemplo, deixar o dinheiro na poupança ou investir em uma renda 
fixa. 
FLUXO DE CAPITAIS Representa um deslocamento do capital (dinheiro), ou seja, é o 
movimento do dinheiro. Geralmente quando falamos deste tema nos referimos aos recursos 
que circulam em âmbito de países como o fluxo de capital entre os países em desenvolvimento 
principalmente os pertencentes aos BRIC'S que são: Brasil, Rússia, Índia, China e África do 
Sul. 
ANUIDADES OU RENDAS CERTAS São pagamentos ou recebimentos feitos ao longo do 
tempo. 
AMORTIZAÇÃO É o processo de pagamento de uma dívida. 
CAPITALIZAÇÃO É o processo de constituição de um capital futuro. 
TERMOS OU PARCELAS Representam os valores que devem ser pagos ou recebidos ao 
longo do tempo. 
PERÍODO Representa o intervalo de tempo existente entre dois termos consecutivos. 
 
 
06 
 
 
PRAZO É o tempo de duração da renda. 
CREDOR Pessoa ou instituição que fornece o empréstimo. 
DEVEDOR Pessoa ou instituição que recebe o empréstimo. 
ENCARGOS FINANCEIROS Custo da operação (juros) para o devedor que retorna para o 
credor. 
AMORTIZAÇÃO Pagamento do principal (capital emprestado), geralmente por meio de 
parcelas periódicas. IOF Imposto sobre Operações Financeiras. 
SALDO DEVEDOR Valor da dívida em um determinado momento, depois de deduzido o 
valor já pago ao credor a título de amortização. 
PRESTAÇÃO É composta pela soma do valor da amortização mais os encargos financeiros 
devidos em determinado período. 
CARÊNCIA É o período concedido ao credor para início do pagamento do principal. Pode 
também ser utilizada para postergar o início do pagamento dos juros. 
 
1. 2 Exercício Proposto 
Faça as palavras cruzadas abaixo com perguntas ligadas ao nosso conteúdo 
1. Pagamentos feitos ao longo do tempo. 6. Quem toma ou recebe dinheiro emprestado. 
2. Valor disponível representado por moeda (dinheiro). 7. Quem deve e não paga fica 
3. Valor de remuneração ao capital. 8. Parte dos recursos guardados por uma pessoa 
4. É a soma do capital mais os juros. 9. Aumento de preço de um produto é chamado. 
5. Pessoa ou instituição que empresta dinheiro. 10. Período concedido ao credor para o início do 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07 
pagamento. 
 
2.1 Conceito de Porcentagem 
Toda razão da forma a/b na qual o denominador b =100, é chamada taxa de porcentagem ou 
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. 
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores 
italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada 
nas operações mercantis. 
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 
unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 
O cálculo de 10% de 80, por exemplo, pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: 
10% . 80 = 
10
100
 . 80 = 
800
100
 = 8 ou 
 
 
 
 
Exemplo 1. 
Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um 
número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta 
com número ímpar? 
 
 
Exemplo 2. 
Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou quatro partidas na primeira fase 
e venceu três. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase? 
 
 
Exemplo 3. 
Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. 
Pagou-se R$690,00 pela mercadoria. Qual o preço original da mercadoria? 
 
 
 
2. Porcentagem 
 80 100 % 
 x 10 % 
 100x = 800 
 X = 
800
100
 x = 8 
 
2. 2 Exercícios Propostos 
 
01. Uma aplicação financeira rende 8,5% ao ano. Investindo R$ 700,00 nessa aplicação, que 
montante uma pessoa terá após um ano? 
 
02. Na minha cidade, foi feita uma pesquisa sobre o meio de transporte utilizado pelos alunos 
para chegarem à escola. Responderam à essa pergunta 2 000 alunos. 42% responderam que 
vão de carro, 25% responderam que vão de moto, e o restante de ônibus. Calcule todas as 
porcentagens possíveis. 
 
03. Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto 
acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido? 
 
04. Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e 
consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi? 
 
 
05. Um supermercado está fazendo a seguinte promoção: “leve 4 e pague 3”. Isso equivale a 
conceder a quem leva 4, um desconto de: 
a) 40% 
b) 35% 
c) 33,33% 
d) 30% 
e) 25% 
06. Um carro custa R$ 25000,00 à vista, mas pode ser pago em duas vezes: R$ 15000,00 de 
entrada e R$ 15000,00 ao fim de 30 dias. Que taxa de juros mensal a loja está cobrando do 
cliente que paga em 2 vezes? 
a) 20% 
b) 30% 
c) 40% 
d) 45% 
e) 50% 
NÌVEL: FÁCIL 
NÌVEL: MÉDIO 
 
07. (Bradesco) Uma pessoa contrata um advogado e este consegue receber 90% do valor de 
uma questão avaliada em R$300.000,00. O advogado cobra a título de honorários 15% da 
quantia recebida. Portanto quanto o advogado deve receber? 
 
 
08. A população atual de uma cidade é de 50.000 habitantes. Sabendo que essa população 
cresce a uma taxa de 2% ao ano, qual será a população dessa cidade daqui a três anos? 
 
 
09. A cada ano que passa o valor de um carro usado diminui 15% em relação ao seu preço 
original. Se um carro zero quilômetro custa R$ 12.000,00 qual será o seu valor aqui a 2 anos? 
 
 
 
 
10. Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice 
apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice 
perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, 
o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um 
rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também 
emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada 
confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, 
após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao 
início dessa sequência de visitas, ficou: 
a) exatamente igual 
b) 5% maior 
c) 5% menor 
d) 10% menor 
e) 10% maior 
 
 
 
 
NÌVEL: DIFÍCIL 
 
3.1 Taxas 
As taxas se referem aos valores expressos preferencialmente em porcentagem; enquanto que 
os coeficientes são estritamente numéricos (números decimais). 
Veja um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Note que a taxa básica de juros, a chamada Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia) 
estará sempre atrelada a um valor decimal expresso em porcentagem.A taxa é fixada pelo 
COPOM (Comitê de Política Monetária), órgão representado pelo presidente e diretores do 
Banco Central. Durante as reuniões, eles decidem se abaixam, se aumentam ou se mantém a 
Selic. A decisão deles é baseada em cumprir a meta de inflação do Brasil. Quanto maior a taxa 
Selic, menor é a inflação. Se a taxa básica de juros cai, a inflação sobe. 
 
3.1.1 Taxa nominal 
É quando o período de capitalização dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa 
está referida. 
Exemplos: 
1200% a.a. com capitalização mensal. 
450% a.s. com capitalização mensal. 
300% a.a.com capitalização trimestral 
3.1.2 Taxa Efetiva 
É quando o período de capitalização dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está 
referida. 
Exemplos: 
120% a.m. com capitalização mensal. 
450% a.s. com capitalização semestral. 
1300% a.a.com capitalização anual. 
3. Taxas e Coeficientes 
“Se, de um lado, a expectativa de um corte maior nos juros indica inflação mais alta para 2012 
e 2013, seu impacto na atividade deve acelerar o crescimento econômico no próximo ano, 
avaliam economistas ouvidos pelo Valor. Após a redução de 0,75 ponto percentual na Selic, 
que foi para 9,75% ao ano na semana passada, analistas revisaram ligeiramente para cima 
suas projeções para o avanço do Produto Interno Bruto (PIB) de 2013, de 4,15% para 4,20%, 
segundo o Boletim Focus divulgado nesta segunda-feira pelo Banco Central. As estimativas 
para este ano foram mantidas em 3,3%.” Fonte: 
http://www.valor.com.br/brasil/2566168/queda-da-selic-eleva-projecoes-para-o-pib-de-2013-no-focus, acessado 
em 03/12. 
 
3.1.3 Taxa Real 
É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Coeficientes 
Já os coeficientes dizem respeito a valores independentes da representação em porcentagem, 
os valores passam a ser absolutos. Ou seja, se as taxas são expressas em grupos de 100 partes 
(por cento), os coeficientes servem para qualquer quantidade de dados numéricos e ajudam a 
representar intervalos, variações de máximo e mínimo, de correlação com tabelas 
preestabelecidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.foregon.com/blog/5-taxas-que-o-cartao-de-credito-pode-
conter/ 
 
4.1 Conceito de juros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mathias e Gomes (2013) acrescentam ainda que as pessoas têm preferência temporal em 
consumir ao invés de poupar. Assim temos a seguinte fórmula para calcular os juros: 
 
 para a taxa (i) igual ao tempo (t). 
 
 
 para a taxa (i) ao ano e o tempo (t) em meses. 
 
 
 para a taxa (i) ao ano e o tempo (t) em dias. 
 
Exemplo 1 
Qual o juro pago em um empréstimo de R$ 1.000,00 aplicado por dois anos a taxa de 5% ao 
ano? 
 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de um capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu depois 
de um ano R$240,00 de juros? 
 
 
 
4. Juros Simples 
O termo juro (s) vem de uma premissa básica da 
economia que diz que os recursos são escassos. 
Voltando um pouco ao passado, na época do escambo 
tínhamos a troca de bens entre indivíduos que não 
possuíam uma moeda. Foi a partir da invenção da 
moeda que as trocas entre bens ficaram mais bem 
evidenciadas ou compreensíveis. A moeda trouxe outro 
avanço importante: a possibilidade de ao invés de trocar 
bens por outros, trocá-los por dinheiro. Mathias e 
Gomes (2013) definem juro como o custo do crédito ou 
a remuneração de uma aplicação; é o pagamento pela 
um período de tempo. Logo, quem toma dinheiro 
empresta receberá juros. 
 
https://eutenhodireito.com.br/juros-abusivos-acao-
revisional/ 
utilização do poder aquisitivo durante 
 
 emprestado pagará juros e quem 
 
J = 
𝑐.𝑖.𝑡
100
 
J = 
𝑐.𝑖.𝑡
1200
 
J = 
𝑐.𝑖.𝑡
36000
 
 
Exemplo 3 
Um empréstimo de R$10.000,00 rendeu juros simples de R$2.700,00 ao final de 6 meses. 
Qual a taxa mensal de juros do empréstimo? 
 
 
Exemplo 4 
Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$450.000,00 por 225 dias com 
taxa de juros simples de 5,6% ao mês. 
 
 
Exemplo 5 
Em quanto tempo um capital duplica de valor à taxa de 10% ao ano? 
 
 
Exemplo 6 
Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 20% ao ano para que o juro obtido seja 
igual a 2/5 do capital? 
 
 
Exemplo 7 
Empregam-se 3/4 de um capital a 15% ao ano e o restante a 20% ao ano, obtendo-se, assim, 
um ganho anual de R$ 3.600,00. Qual é o valor desse capital? 
 
 
Exemplo 8 
Maria, dispondo de R$ 1.200,00, resolveu aplicá-los em duas financeiras. Na primeira aplicou 
uma parte a 5% a.m. por 2 meses e na segunda aplicou o restante a 6% a.m. por 5 meses. 
Sendo de R$ 2.400,00 a soma dos juros auferidos nas duas aplicações, determine o valor 
dessas aplicações. 
 
 
 
4.2 Exercícios Propostos 
 
 
11. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 
meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 
 
 
12. A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? 
 
 
13. Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de 
R$ 60.000,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
 
 
14. A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? 
 
 
15. Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por 
R$ 2.700,00 no final de 2 anos? 
 
 
 
16. Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 
 
17. Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido 
seja igual a 4/5 do capital? 
 
18. Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado 
esse capital? 
 
 
NÌVEL: FÁCIL 
NÌVEL: MÉDIO 
19. É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o 
restante a 28% ao ano? 
 
 
 
20. Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, 
assim, um ganho anual de R$ 8.640,00. Qual é o valor desse capital? 
 
 
 
 
21. Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 
20 dias um montante de R$ 586.432,00. 
 
 
 
 
22. Maria, dispondo de R$ 3.000,00, resolveu aplicá-los em duas financeiras. Na primeira 
aplicou uma parte a 8% a.m. por 6 meses e na segunda aplicou o restante a 10% a.m. por 8 
meses. Sendo de R$ 1.824,00 a soma dos juros auferidos nas duas aplicações, determine o 
valor dessas aplicações. 
 
 
 
 
23. O capital de R$ 7.812,00 foi dividido em 2 partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, 
rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o 
valor de cada parte. 
 
 
 
 
 
NÌVEL: DIFÍCIL 
 
5.1 Conceito de Juros Compostos 
Quando vimos na seção anterior os juros simples, entendemos que ele representava um 
valor calculado em cima do valor da dívida, e que o mesmo valor se repetiria mês a mês 
ou ano a ano conforme fosse contratada a operação. No entanto juros simples quase não 
aparecem nas operações financeiras, na sua grande maioria prevalece o regime de juros 
compostos que veremos com mais detalhes agora. 
 
 
 
 
 
Esta modalidade de regime é a mais utilizada no dia-a-dia pelo sistema financeiro. Nesta 
modalidade, os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para calcular 
os juros do período seguinte. Então, os rendimentos auferidos pela aplicação serão 
incorporados à aplicação, participando da geração do rendimento no período seguinte. 
Quando trabalhamos com juros compostos, o dinheiro cresce muito mais rapidamente. 
Neste caso, temos um crescimento exponencial em progressão geométrica ao longo do 
período. Este modelo nos leva àquela expressão que escutamos no nosso cotidiano: "juro 
sobre juro". O modelo descritoacima é conhecido também como regime de capitalização 
composta. 
Nesse regime consideramos que os juros formados em cada período são adicionados ao 
capital formando o montante (capital + juros) do período, esse montante passa a ser o 
novo capital e irá incidir juros sobre esse novo capital e assim sucessivamente. Dizemos 
ainda que os juros são capitalizados, e como não apenas o capital inicial rende juros, 
denominamos juros compostos. Entendemos, então, que a composição do capital mais os 
juros transformam-se em um novo capital. Cada vez que os juros são incorporados ao 
principal, denominamos capitalização. Este termo representa a principal diferença entre 
juros simples e compostos. 
 
5. JUROS COMPOSTOS 
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/204422/2/MATEM%C3%81TICA%20FINANCEIRA.pdf 
Vejamos o exemplo abaixo sobre a diferença entre juros simples e compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
Graficamente, os juros simples têm crescimento linear enquanto os juros compostos têm 
crescimento exponencial. 
 
 
 
 
 
Como calcular os juros compostos da aplicação de um determinado capital a uma certa 
taxa num determinado tempo. 
 Ou 
 
M = Montante final da aplicação ( M = C + J ) 
C = Capital 
i = Taxa 
n = Tempo 
Podemos utilizar a fórmula acima para verificar o rendimento futuro de algumas 
aplicações e também retornar “puxa" grandezas para trás, possibilitando encontrar o 
principal de um determinado montante, ou seja, traz um valor futuro à data anterior. 
 
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/204422/2/MATEM%C3%81TICA%20FINANCEIRA.pdf 
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/204422/2/MATEM%C3%81TICA%20FINANCEIRA.pdf 
 M = C. (1 + i)n J = C [(1 + i)n – 1] 
• Para n positivo temos 
O fator (1 + i)n "joga" grandezas para frente, possibilitando encontrar o montante ou 
valor futuro da aplicação. É a capitalização para data posterior. 
 
 
 
• Para n negativo temos 
O fator (1 + i)-n "puxa" grandezas para trás, possibilitando encontrar o principal de um 
determinado montante, ou seja, traz um valor futuro à data anterior. 
 
 
 
Vejamos abaixo alguns exemplos resolvidos de cálculo de juros compostos 
Exemplo 1 
Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a taxa de 10% a.m. durante quatro meses rende quanto 
de juros? 
 
 
Exemplo 2 
Determine o valor dos juros pagos em um empréstimo de R$ 2.000,00 com taxa de juros de 
1% a.m. pelo período de cinco meses. 
 
 
Exemplo 3 
Suponha um capital de R$ 100.000,00 aplicado a juros compostos capitalizados 
mensalmente durante oito meses resulta ao final do período a R$ 148.000,00. Determine a 
taxa de juros utilizada. 
 
 
 
Exemplo 4 
Determinado valor foi aplicado a juros compostos de 12% a.s. durante dois anos. Sabendo-se 
que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido? Considere 1,064 = 1,26. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Períodos não-inteiros 
Quando tivermos períodos não-inteiros, devemos adequar a fórmula para obtenção da 
parcela equivalente a esse período, são as denominadas capitalizações descontinuas. 
Nestas situações você terá operações com capitalizações anuais e um período fornecido 
em ano e meses. Deste modo, é necessário determinar a parcela equivalente aos meses. 
Neste material, utilizaremos a convenção exponencial. A fórmula para encontramos os 
juros é: 
 
 
Para determinar este valor, temos dois passos a seguir: 
1º) Determinar o montante em juros compostos: M = C.(1+i)n 
2º) Calcular a taxa equivalente. A partir da fração p/q, calcula-se primeiramente a taxa 
equivalente ao intervalo de tempo 1/q aplicando uma das seguintes fórmulas: 
imaior = (1 + imenor)
n – 1 imenor = (1 + imaior)
1/n – 1 
iq + 1 = q√1 + 𝑖 iq + 1 = (1 + i)1/q 
O passo seguinte é capitalizar pelo período em que o montante deve ser aplicado, obtendo: 
[(1+iq)]p = [(1+i)1/q]p 
Chegamos à seguinte fórmula: 
C’n,p/q = Cn (1+i)
p/q 
Substituindo o valor de Cn 
C’n,p/q = C0.(1+i)
n . (1+i)p/q 
então 
 
p = representa o período fracionado no caso mês, se estivermos trabalhando com anos. 
q = representa o período inteiro. 
 
C’n,p/q = C0.(1+i)
n+p/q 
Exemplo 4 
Suponha um capital de R$ 1.000,00 emprestado a uma taxa de juros de 15% a.a., em um prazo 
de quatro anos e seis meses. Assumindo uma capitalização anual, determine o montante final. 
 
 
 
 
Exemplo 5 
Suponha um capital de R$ 2.400,00 emprestado a uma taxa de juros de 5% a.a., em um 
prazo de dois anos e três meses. Assumindo uma capitalização anual, determine o 
montante final. 
 
 
 
5.3 Taxas equivalentes 
Consideram-se duas taxas como equivalentes, se na hipótese de aplicá-las a um mesmo 
prazo e a um mesmo capital for indiferente aplicar em uma ou em outra. 
Sejam as taxas: 
i = referente a um intervalo de tempo p; 
iq = corresponde a um intervalo de tempo igual a fração própria p/q onde q > p; 
Assim a fórmula para cálculo de taxas equivalentes é: 
 
 
Exemplo 6 
Determine a taxa mensal equivalente a uma taxa de 100% a.a. 
 
 
 
 
iquero = (1+itenho)
q - 1 
Outra forma de resolução para problemas de taxas equivalentes é a seguinte: 
a) De um período menor para um maior 
 
 
Onde n = corresponde ao período considerado, ou seja, o problema tem uma taxa de um 
período menor, que deve ser transformado em i equivalente de um período maior. 
Exemplo 7 
5% a. m. corresponde a que i trimestral. No primeiro caso abaixo, n = 3, pois um trimestre 
corresponde a três meses. 
 
 
 
 
b) De um período maior para um menor 
 
 
Exemplo 8 
15,7625% a. t. corresponde a que i mensal? 
 
 
 
 
Exemplo 9 
Suponha que você tem um capital de R$ 1.000,00 e duas taxas de 11,60% a.m. e 39% a.t. 
aplicados durante três meses. Perguntamos: essas taxas são equivalentes? 
 
 
 
 
imaior = (1 + imenor)
n – 1 
imenor = (1 + imaior)
1/n – 1 
Utilize as fórmulas 
acima para encontrar as 
taxas equivalentes. 
if = (1+i)
q -1 
5.4 Taxas Efetivas 
Segundo Lima (1998), é a taxa realmente cobrada no período em que foi fornecida, 
independentemente do período de capitalização. Então, quando queremos ajustar uma taxa 
ao período de capitalização, utilizamos a equivalência de capitais. É o processo de formação 
de juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. É obtida 
pela seguinte expressão: 
 Taxa efetiva 
Onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros. 
 
Exemplo 10 
Suponha uma taxa de juros de 3,8% a.m. Quanto representaria em termos efetivos ao ano. 
 
 
 
Exemplo 11 
Suponha uma taxa de juros de 2,5% a.m. Quanto representaria em termos efetivos ao ano. 
 
 
 
 
Exemplo 12 
Suponha uma taxa de juros de 2,0% a.t. Quanto representaria em termos efetivos ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
01. Quanto é 13% de R$850,00? 
 
a) 130,00 
b) 120,50 
c) 110,50 
d) 108,00 
e) 100,00 
 
02. Um aluguel de R$550,00 sofreu um aumento de 18%. Ele passou a valer: 
 
a) 649,00 
b) 612,00 
c) 504,00 
d) 99,00 
e) 200,10 
 
03. Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., 
durante 125 dias. 
 
a) 5000,00 
b) 9999,20 
c) 4488,55 
d) 5857,59e) 1616,56 
04. Calcular os juros simples de R$1.200,00 a 13 % a.t. por quatro meses e 15 dias. 
 
a) 234,00 
b) 199,20 
c) 148,50 
d) 150,00 
e) 166,00 
05. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 
75 dias? 
 
a) 116.666,67 
b) 125.445,20 
c) 441.488,55 
d) 581.657,59 
e) 161.216,56 
 
 
 
 
6. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
06. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para 
dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 
 
a) 20 meses 
b) 15 meses 
c) 12 meses 
d) 8 meses 
e) 2 meses 
07. Aplicou-se a juros compostos uma capital de R$1.400.000.00, a 4% ao mês, durante 
3 meses. O montante produzido neste período é igual a: 
Obs.: devemos lembrar que 4% = 4/100 = 0,04 
a) 1.880.809,60 
b) 1.990.555,00 
c) 1.988.520,00 
d) 2.700.790,00 
e) 1.574.809,60 
 
08. Qual o capital aproximado que aplicado a juros compostos a 8% ao mês, produz em dois 
meses um montante de R$18.915,00 de juros. 
 
a) 12.880,60 
b) 13.990,20 
c) 14.988,55 
d) 15.700,59 
e) 16.216,56 
 
09. A que taxa ao mês esteve aplicado, em uma caderneta de poupança, um capital de 
R$1.440,00 para, em dois meses, produzir um montante de R$1.512,90? 
 
a) 2,5% ao mês 
b) 2,4% ao mês 
c) 2,3% ao mês 
d) 2,2% ao mês 
e) 2,1% ao mês 
 
10. Uma calculadora é vendida por R$ 140,00 à vista ou em pagamento dividido em dois 
meses com uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Qual o valor a ser pago? 
 
 
11. Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de R$25.000,00 a 25% a.a., 
durante 72 meses. 
 
 
12. Uma pessoa aplicou R$10.000,00 a juro composto de 1,8% a.a. Após quanto tempo 
terá um total de R$11.534,00? 
 
 
 
 
13. Um investidor aplicou R$14.000,00 a juro composto de 2% a.m. Sendo assim, quantos 
reais terá após 8 meses de aplicação? 
 
 
 
14. Aplicou-se a juros compostos um capital de R$1.400.000.00, a 4% ao mês, durante 
3 meses. Determine o montante produzido neste período. 
 
 
 
 
15. Qual o capital que, aplicado a juros compostos a 8% ao mês, produz em 2 meses um 
montante de R$18.915,00 de juros. 
 
 
 
 
16. A que taxa ao mês esteve aplicado, em uma caderneta de poupança, um capital de 
R$440,00 para, em 2 meses, produzir um montante de R$1.512,90? 
 
 
 
 
 
17. Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? 
 
 
18. Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 
 
 
 
19. Qual a taxa mensal equivalente a 60% ao ano? 
 
20. Qual a taxa mensal equivalente a 24% ao ano? 
 
 
 
GABARITO DO EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
01. C 
02. A 
03. A 
04. A 
05. A 
06. D 
07. E 
08. E 
09. A 
10. 154,35 
11. 70.367,43 
12. 8 meses 
13. 16.403,23 
 
14. 1.574.809,600 
 
15. 16.216,56. 
 
16. 2,5% 
 
17. 16,64% a.a. 
 
18. 6,16% a.a. 
 
19. 
 
20. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando usamos juros simples e juros compostos? 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: 
compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as 
aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda 
fixa, etc. Os bancos utilizam os juros compostos, é o modo dessas Instituições lucrarem com 
a concessão de crédito, financiamentos, todas as operações bancárias envolvem juros e 
riscos. As operações de baixo risco rendem pouco juro e as de alto risco rendem mais juros. 
Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de 
curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Tal fato ocorre dado o 
risco de se emprestar dinheiro e não receber o pagamento pela dívida, como o risco de uma 
pessoa (ou empresa) contrair uma dívida alta e não poder pagar, as instituições financeiras 
optam por regimes mais rentáveis de cobrança de juros. 
 
01. MEDEIROS JUNIOR, Roberto José. Matemática Financeira. Disponível em: 
<http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/proeja/matematica_fin.pdf> Acesso em: 
11 de Outubro de 2018. 
02. MACÊDO, Alvaro, F, P. Matemática Financeira. Disponível em: 
<https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/204422/2/MATEM%C3%81TICA%20F
INANCEIRA.pdf> Acesso em: 11 de Outubro de 2018. 
 
7. BIBLIOGRAFIA 
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/proeja/matematica_fin.pdf%3e%20Acesso
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/204422/2/MATEM%C3%81TICA%20FINANCEIRA.pdf
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/204422/2/MATEM%C3%81TICA%20FINANCEIRA.pdf