3 3-Regra da cadeia e derivação implícita

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As derivadas de funções podem ser aplicadas na interpretação de problemas relacionados a taxas de variação,
como é o caso do estudo de lucros marginais, velocidade instantânea de veículos, entre outros. No entanto, só é
possível estudar derivadas se as funções em questão forem deriváveis ou diferenciáveis, podendo ser avaliadas
em pontos ou em conjuntos.
Por de�nição, a derivada é caracterizada por um limite, desde que ele exista. No entanto, quando o objetivo é
aplicar as derivadas na resolução de problemas reais, em que os conceitos são utilizados como ferramentas para
outras áreas, se as funções em estudo são de categorias conhecidas, como funções polinomiais, exponenciais,
logarítmicas, exponenciais, racionais, ou ainda, como combinações entre elas, obtidas por meio de soma, produto,
quociente ou composição de funções, pode-se recorrer às regras de derivação como uma forma de simpli�car o
processo de obtenção das derivadas. Dessa forma, é possível agilizar o processo de resolução dos problemas,
principalmente quando existe um tempo limitado para sua resolução, como no atendimento a empresas e
indústrias por meio de consultorias, por exemplo.
Regra da cadeia
Existem regras de derivação para soma, multiplicação por escalar, produto e quociente de funções, as quais
podem ser articuladas com as derivadas de funções conhecidas. No entanto, quando as funções são obtidas por
meio de composição de funções, é necessário aplicar uma regra especí�ca, conhecida como regra da cadeia. Se o
objetivo é avaliar a derivada, por exemplo, da função  , é preciso observar, inicialmente, que a função 
 pode ser descrita como a composição entre funções   e  , em que   e  . Pela regra
da cadeia, é sabido que:
   
desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis nos pontos ou conjuntos em estudo. Como   e 
, pela regra da cadeia segue que:
   
Pode-se ainda articular a regra da cadeia com outras regras de derivação quando necessário, como é o caso da
função  , cuja derivada é determinada a partir da aplicação da regra da cadeia em conjunto com
as regras da soma, da constante e da potência.
f(x) = e2x f
g (f = g ∘ h) g(u) = eu h(x) = 2x
f'(x) = (g ∘ h) '(x) = g'(h(x)) ⋅ h'(x)
g'(u) = eu
h'(x) = 2
f'(x) = g'(h(x)) ⋅ h'(x) = e2x ⋅ 2 = 2e2x
j(x) = √x2 − 1
Derivação implícita
Quando estudamos funções reais, existem situações nas quais uma variável é de�nida implicitamente a partir de
outra, como é o caso da expressão  , por exemplo, a qual de�ne   implicitamente em função de  .
Nessas situações, pode-se empregar o método da derivação implícita para determinar a derivada  , a qual
envolve o emprego da regra da cadeia e pode ser aplicada, por exemplo, no cálculo da inclinação de retas
tangentes aos grá�cos de curvas representadas por equações, como é o caso de  , por exemplo.
x2 + y2 = 1 y x
dy/dx
x2 + y2 = 1
Cálculo Diferencial e Integral
Regra da cadeia e derivação implícita
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Saiba mais
Diz-se que   é de�nido implicitamente em função de   quando não é possível “isolar”   na equação em
estudo e obter uma expressão do tipo  . Por exemplo, da expressão   podemos inferir
que   ou  , e como as duas possibilidades devem ser consideradas, não é possível
expressar   como função de   de forma explícita, a partir de uma única igualdade na forma  .
y x y
y = f(x) x2 + y2 = 1
y = √1 − x2 y = −√1 − x2
y x y = f(x)
Seja no estudo das regras de derivação, na sua aplicação em problemas resolvidos por derivação implícita, ou
mesmo na resolução de problemas que envolvem a aplicação das derivadas na interpretação e resolução de
problemas práticos, não basta apenas aplicar as regras de derivação, é necessário garantir que todas as hipóteses
relacionadas sejam veri�cadas. Ou seja, só é possível aplicar as derivadas quando as funções envolvidas são
diferenciáveis nos pontos ou conjuntos considerados, garantindo que os limites correspondentes existam,
possibilitando a obtenção de resultados e soluções válidas para os problemas em estudo.
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Para �xar!
Vamos concluir esta webaula relembrando as principais regras de derivação? Con�ra-as a seguir:
• Regra da constante:  .
• Regra da potência:  .
• Regra da soma:  .
• Regra da multiplicação por escalar:  .
• Regra do produto:  .
• Regra do quociente:  .
• Regra da cadeia:  .
(c) ' = 0, c ∈ R
(xn) ' = nxn−1
(f + g) ' = f' + g'
(cf) ' = c (f') ,  c ∈ R
(f ⋅ g) ' = f' ⋅ g + f ⋅ g'
( )
′
=
f
g
f'⋅g−f⋅g'
g2
(f ∘ g) ' = (f'(g)) ⋅ g'
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