AOL4 Cálculo Diferencial

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1. Pergunta 1
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Observe o gráfico a seguir:
Os pontos de inflexão são os pontos em que a concavidade de uma função muda de sentido, ou seja, a concavidade que está voltada para cima é alterada para baixo ou vice-versa.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre concavidade e pontos de inflexão da função, analise as afirmativas a seguir:
Agora, assinale a alternativa que apresenta as afirmativas corretas:
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1. 
I, II e IV.
2. 
I, II e III. 
3. 
III e IV.
4. 
II e IV.
5. 
I e II.
2. Pergunta 2
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Observe a figura a seguir:
Uma calha deve ser feita a partir de uma folha metálica retangular de 30 cm de largura, dobrando-se as bordas da folha. O número de centímetros dobrados de cada lado é x.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, para que a calha tenha a capacidade máxima, pode-se afirmar que é necessário dobrar:
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1. 
4 cm de cada lado da folha.
2. 
5 cm de cada lado da folha.
3. 
12 cm de cada lado da folha.
4. 
7,5 cm de cada lado da folha.
5. 
10 cm de cada lado da folha.
3. Pergunta 3
1/1
Existem pontos ao longo do domínio de uma função, que pode ser dividido em diversos intervalos, nos quais, em cada intervalo, a função pode atingir valores máximos ou mínimos.
Considerando as propriedades dos máximos e mínimos estudadas nesta unidade, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Se a função tem um mínimo relativo em um ponto, nesse ponto também há um mínimo absoluto da função.
II. ( ) O ponto onde a derivada da função é igual à 0 é um ponto crítico dessa função.
III. ( ) O gráfico de uma função é um dos principais recursos para a verificação de seus máximos e mínimos.
IV. ( ) Os valores máximo e mínimo absolutos também são chamados de extremos da função.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
F, V, F, V.
2. 
F, F, F, V.
3. 
V, F, F, V.
4. 
V, V, V, F.
5. 
F, F, V, V.
4. Pergunta 4
1/1
Considerando essas informações, pode-se afirmar que o valor de  que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio para a função ƒ(x) = 3x2 + 2x + 5  contínua no intervalo -1,1 é:
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1. 
0.
2. 
-1.
3. 
3.
4. 
2.
5. 
-2.
5. Pergunta 5
1/1
Quando nós tossimos, o raio da nossa traqueia diminui, alterando a velocidade do ar que percorre a traqueia. A velocidade do ar pode ser então dada em função do raio normal r0  da traqueia e do raio, quando ela está contraída r: v(r) = ar2(r0 - r)  , com sendo uma constante positiva.
Considerando essas informações e as etapas para a resolução de problemas de otimização, analise as afirmativas a seguir:
I. É possível encontrar a velocidade do ar que maximiza o raio r da traqueia.
II. O raio r da traqueia não pode assumir valores negativos.
III. Para encontrar um ponto crítico da função v(r) , é preciso determinar a derivada v ′ (r).
IV. O teste da segunda derivada irá determinar os valores de r  , que são pontos de máximo relativo.  
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II, III e IV.
2. 
III e IV.
3. 
I e IV.
4. 
II e III.
5. 
I, III e IV.
6. Pergunta 6
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Pela definição, uma função é crescente em um intervalo se sua derivada nesse intervalo for positiva. Analogamente, a função é decrescente em um intervalo se sua derivada nesse intervalo for negativa.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a interpretação geométrica da derivada, analise as asserções abaixo e a relação proposta entre elas:
I. A função ƒ (x)= x3 é crescente em todo o seu domínio.
Pois:
II. O coeficiente angular da reta tangente à curva é igual a zero.
Agora, assinale a alternativa correta:
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1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
3. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
5. 
As asserções I e II são proposições falsas.
7. Pergunta 7
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Para descobrir o lucro obtido pela comercialização de um produto, basta encontrar a diferença entre a receita de vendas e o custo de produção desse produto. Em uma fábrica de lâmpadas, a receita e o custo em função da quantidade x de lâmpadas são definidos pelas funções R (x) = 3000x - 600x2  e C (x) = 2000 - 200x.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre problemas de otimização, pode-se afirmar que o número de lâmpadas que maximiza o lucro da empresa é:
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1. 
500 lâmpadas.
2. 
50 lâmpadas.
3. 
300 lâmpadas.
4. 
150 lâmpadas.
5. 
600 lâmpadas.
8. Pergunta 8
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Uma bola é lançada verticalmente para cima, e a sua altura em metros, após  segundos, é dada pela função ƒ (t) = 4+ 48t - 16t2 . Deseja-se, então, descobrir quanto tempo decorre desde o lançamento da bola até o momento em que ela atinge sua altura máxima.
Considerando essas informações e os conceitos envolvidos na resolução de problemas de otimização, analise as asserções abaixo e a relação proposta entre elas:
I. Para determinar quanto tempo leva para a bola alcançar a altura máxima, é necessário determinar a primeira derivada da função  ƒ (t).
Porque:
II. No instante em que a altura é máxima, a derivada da função  ƒ (t)  é igual a zero.
A seguir, assinale a alternativa correta:
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1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
2. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
3. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
4. 
As asserções I e II são proposições falsas.
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
9. Pergunta 9
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Considerando que o teste da primeira derivada determinou os pontos críticos de uma função ƒ (x) , foi realizado o teste da segunda para determinar se os pontos críticos são pontos onde existe um mínimo ou um máximo relativo.
Considerando uma possível conclusão para o teste da segunda derivada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. O ponto crítico x = c é um ponto onde há um mínimo relativo da função.
Porque:
II. A segunda derivada de ƒ (x) em x  = c é maior que zero.
A seguir, assinale a alternativa correta:
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1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
2. 
As asserções I e II são proposições falsas.
3. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
5. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
10. Pergunta 10
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Quando aplicamos o processo de derivação em uma função e obtemos outra função derivável, é possível repetir esta ação, sucessivas vezes, e obter a segunda, a terceira, a quarta derivadas da função de origem, e assim por diante.
Considerando o conceito apresentado e o conteúdo estudado na unidade, analise as afirmativas a seguir acerca das derivadas sucessivas da função ƒ(x)=-8x4-5x3+100x:
I. A segunda derivada é uma função polinomial de grau 3.
II. A quarta derivada é igual a ƒ(x)=-192x.
III. A quinta derivada é igual a zero.
IV. A primeira derivada possui três termos diferentes de zero.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II, III e IV.
2. 
II e III.
3. 
III e IV.
4. 
I e IV.
5. 
I e II.