AOL4 CÁLCULO DIFERENCIAL

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1. Pergunta 1
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Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais.
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial.
( ) Substituir os valores nas integrais.
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações.
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
3, 4, 2, 1, 5
2. 
5, 2, 3, 4, 1.
3. 
2, 4, 1, 5, 3.
4. 
5, 1, 4, 2, 3.
5. 
2, 1, 3, 4, 5.
2. Pergunta 2
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O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir:
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x².
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w.
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões integráveis.
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x original.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II e IV.
2. 
I e III.
3. 
I, II e III.
4. 
II e IV.
5. 
II e III.
3. Pergunta 3
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O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as afirmativas a seguir:
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções.
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade.
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos de du e um termo independente de integral.
IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e III.
2. 
I, II e IV.
3. 
II e IV.
4. 
I, II e III.
5. 
I, III e IV.
4. Pergunta 4
1/1
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I.  pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
II.  pode ser resolvida pelo método de substituição u du.
III.  é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV.  pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
III e IV.
2. 
II e IV.
3. 
I, II e IV.
4. 
II, III e IV.
5. 
I, II e III.
5. Pergunta 5
1/1
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque:
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1. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de integração por partes.
2. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
3. 
ambas são axiomas da matemática.
4. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes.
5. 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
6. Pergunta 6
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As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções.
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais.
II. ( ) A fórmula  representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação em x.
III. ( )  representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função.
IV. ( )  pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
V, F, V, V.
2. 
V, V, V, F.
3. 
V, V, F, V.
4. 
V, V, F, F
5. 
F, F, V, F.
7. Pergunta 7
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As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a determinação de uma área de interesse.
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2.
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, F, V, F.
2. 
F, F, V, V.
3. 
V, F, F, V.
4. 
F, V, V, F.
5. 
F, V, F, F.
8. Pergunta 8
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O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do integrando.
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O método trabalha com a eliminaçãode radicais específicos do integrando.
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis.
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método.
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
F, F, V, V.
2. 
V, V, F, F.
3. 
V, F, F, F.
4. 
V, V, V, F.
5. 
V, V, F, V.
9. Pergunta 9
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A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples é a da integral de uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos de integração da integral definida podem ser manipulados para a resolução dessas integrais de outras maneiras.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus conhecimentos acerca dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2.
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo o intervalo em subintervalos.
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2.
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o trabalho dessa força é dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo para esse deslocamento.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
F, F, V, F.
2. 
V, V, F, F.
3. 
F, V, F, V.
4. 
V, F, F, F.
5. 
V, F, F, V.
10. Pergunta 10
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A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I.  pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
II.  pode ser resolvida pelo método de substituição u du.
III.  é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV.  pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II, III e IV.
2. 
I, II e III.
3. 
I, II e IV.
4. 
III e IV.
5. 
II e IV.