Avaliação Final (Discursiva)

Prévia do material em texto

1
Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas.
Com relação a isso, deduza a fórmula de um paralelogramo utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração. 
Resposta esperada
Sabemos que o volume de um sólido é dado pela integral tripla da função f (x, y, z) = 1. Precisamos agora determinar os limites de integração. O limite para a integração em z é de 0 até c.
Já para x e y temos que decidir se usaremos a integral do tipo 1 ou tipo 2. Nesse caso, determinar os limites do tipo 2 é mais simples, assim -b/2 ≤ y ≤ b/2 e para x temos que encontrar as equações das retas que definem o triângulo: 
Note que a reta que liga os pontos (0, b/2) e (a, 0)  é: 
Note também que metade do triângulo está abaixo do eixo x e metade está acima, assim se tratando de volume é preciso trocar a integral dupla por duas vezes a integral em relação a y de 0 à b/2 e a integral em relação a x de 0 à  . Portanto, o volume é: 
Minha resposta
INTEGRAL 0,c integral 0,h integral 0,l dx dy dz = c . l . h integral 0,c integra0,h l dz dx integral 0,c l.h dx = c . l . h (0, 0, 0) ; (c, 0, 0) ; (0, l, 0) ; (0, 0, h) V(E) = INTEGRAL INTEDRAL INTEDRAL_E dV. V(T)= 1/3. V= (área da base) . 1/3 altura V=b . c /2 . a/3 V= b .c . a/6
2Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que define a sua borda e essa curva pode não ser elementar. Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem ser aplicados.
Resposta esperada
· O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em duas dimensões sobre uma partícula.
· O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
· O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de saída.
Minha resposta
Teorema de Stokes generaliza o Teorema de Greens que tem três dimensões, e relaciona uma integral de linha de um capo vetorial em três dimensões com uma integral de superfície rotacional de um campo vetorial: calcula o trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula. Teorema de Gauss é o mais diferente dos citados pois ele estabelece relação entre uma integral tripla sobre um sólido e uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo vetorial de três dimensões , podendo ser utilizado para calcular fluxo de saída. Teorema de Green troca uma integral de linha por uma integral dupla com diferença das derivadas parciais de função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Pode ser usada para calcular o trabalho de um campo de força com duas dimensões sobre uma partícula.