apostila-matematica

Prévia do material em texto

Matemática 
Esta apostila foi elaborada seguindo rigorosamente o programa 
oficial das escolas e contém exercícios e testes com respostas, 
inclusive de provas já realizadas. 
Direitos reservados - Academiapremilitar.com.br 
Cdora. Profª Vera Lucia dos Santos. 
ÍNDICE
Capítulo 1 - Conjuntos ....................................................................................................................................03
Noções Básicas da Teoria dos Conjuntos ........................................................................................................03
Elementos, Pertinência ......................................................................................................................................03
Representação de conjuntos .............................................................................................................................03
Conjuntos Iguais ..............................................................................................................................................03
Subconjuntos ....................................................................................................................................................03
Conjunto das partes de um conjunto .............................................................................................................. 04
Operações com conjuntos ................................................................................................................................04
Exercícios ......................................................................................................................................................... 06
Conjuntos Numéricos .....................................................................................................................................07
Conjuntos dos Números Naturais ...................................................................................................................07
Conjuntos dos Números Inteiros ......................................................................................................................07
Conjuntos dos Números Racionais .................................................................................................................07
Conjunto dos Números Irracionais .................................................................................................................... 08
Conjuntos dos Números Reais ........................................................................................................................08
Intervalos.............................................................................................................................................................08
Operações com Intervalos .................................................................................................................................09
Exercícios ..........................................................................................................................................................10 
MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
16.1
1.
2.
2.1
2.2
2.3
3.
4.
5.
6.
6.1
Capítulo 2 - Função do 1º grau....................................................................................................................................12
Função do 1º grau ..........................................................................................................................................12
Função constante.............................................................................................................................................12
Função linear....................................................................................................................................................12
Função afim......................................................................................................................................................12
Zero ou raiz da função afim..............................................................................................................................13
Pontos de intersecção com eixos do plano.....................................................................................................13
Funções crescente e decrescente...................................................................................................................13
Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Exercícios.........................................................................................................................................................14
Capítulo 3 - Função Quadrática .............................................................................................................................17
Equações do 2º grau ...................................................................................................................................................17
Exercícios ....................................................................................................................................................................17
Funções quadráticas ..................................................................................................................................................19
Definição ....................................................................................................................................................................19
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola ................................................................................................19
Concavidade ..............................................................................................................................................................19
Zeros ou raízes das funções ......................................................................................................................................19
Exercícios ..................................................................................................................................................................20
Soma e Produtos das Raízes ....................................................................................................................................21
Exercícios ..................................................................................................................................................................21
Inequações do 2º grau ..............................................................................................................................................22
Exercícios ..................................................................................................................................................................22
Função Módulo de x f(x) = |x| ....................................................................................................................................24
Propriedades ............................................................................................................................................................ 24
Exercícios ..................................................................................................................................................................25
Gabaritos....................................................................................................................................................26
CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS
1. NOÇÕES BÁSICAS DA TEORIA DOS CONJUNTOS
Vamos expor aqui uma rápida revisão das principais noções da Teoria dos Conjuntos, naquilo que importa ao nosso
 objetivo: ConjuntosNuméricos.
CONJUNTO é qualquer coleção de objetos, qualquer amontoado de coisas, tipos, fatos, letras, números, etc.
Estabelecer uma conexão com as idéias aqui apresentadas, com o assunto posterior é muito importante para o real 
entendimento da Matemática das Funções.
1.1 - ELEMENTO, PERTINÊNCIA
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição:
 conjunto
 elemento
 pertinência entre elemento e conjunto
Se x pertence ao conjunto A, escrevemos => x  A,
caso contrário, escrevemos => x  A
- 03 -
Relação de Pertinência
Seja A um conjunto e x um elemento.
1.2 - REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS
Um conjunto pode ser representado de várias maneiras, por exemplo:
a) escrevendo os seus elementos entre chaves:
 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
b) indicando uma propriedade que caracteriza seus elementos:
 B = { x | x é número natural par} ou
 B = { x  lN | x é par}
Também podemos representar um conjunto por diagrama (figuras). Exemplo:
a) 1. .2
.3 .4
b)
.a .b
 .c
 
.d
c)
A B U
A B
A representação do item c chama-se diagrama de “Uenn”
1.3 - CONJUNTOS IGUAIS
Definição: Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e vice-versa.
Em símbolos :
A = B  { x, x  A x
1.4 - SUBCONJUNTOS
Definição: Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a 
B. Usamos a notação A  B (lê-se A “está contido” em B).
Para indicarmos que A é subconjunto de B. Também podemos utilizar a notação de B  A para expressar a mesma
idéia (B  A lê-se B “contém” A).
Os símbolos  e  são denominados sinais de inclusão. Em símbolos, a definição fica assim:
A  B  { V x, x x B} 
 
1.4.1 - Propriedades da Inclusão
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades: 
a 1 )   A
a 2 ) A  A (reflexiva)
a 3 ) (A  B e B  C)  A = B (anti-simétrica)
a 4 ) (A  B e B  C) A  C (transitiva)
- 04 -
1.5 - CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
Dado um conjunto qualquer, podemos formar outros “conjuntos” com o(s) elemento(s) dete. Veja o exemplo:
A = {x,y} podemos escrever os seguintes subconjuntos: 
 
 P (A) = {, {x}, {y}, {x , y}, donde
 
 P (A) => conjunto das partes de A (lê-se: P de A)
Genericamente, calculamos o número total de subconjuntos de um conjunto usando:
n P (A) = 2 => (n é o número de elementos do conjunto)
 
1.6 - OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
1.6.1 - Reunião (ou União) de Conjuntos
Definição: dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A ou B.
PROPRIEDADES DE REUNIÃO
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1) A  B = B U A
2) A A = A
3) A   = A
4) (A  B)  C = A  (B  C)
(comutativa)
(idempotente)
(elemento neutro)
(associativa)
1.6.2 - Intersecção de Conjuntos
Definição: dados dois conjuntos A e B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B é o que se chama
 “intersecção de A e B”.
 A  B = {x|x  A e x  B}
A  B = { x|x  A ou x  B}Em símbolos =>
Em diagrama=> a)
A
A
AB
B
B
Em símbolos =>
Em diagrama=> a)
A B
PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a
1 ) A  B = B A
a
2 ) A  A = A
a3 ) A  U = A
a4 ) A  B (B  C) = (A  B )  C
a
5 ) A  B =   A  B
(comutativa)
(idempotente)
(elemento neutro) onde U: conjunto Universo
(conjuntos dijuntos)
(associativa)
- 05 -
1.6.3 - Diferença de conjuntos
DEFINIÇÃO: Dados dois conjuntos A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B, chama-
 se diferença entre A e B.
 Em símbolos => A - B = { x | x  A e x  B}
 Em diagrama =>
.1 .3
.2 .4
.5
 .6 .7
A B
1.6.4 - Complemento de Conjunto
DEFINIÇÃO: Dados dois conjuntos A e B, sendo B subconjunto de A, a diferença A - B chama-se conjunto comple-
 mentar de B em relação a A.
Em símbolos => 
B
A
C = A - B; B  A
Em diagrama =>
A
B
ANOTAÇÕES
- 06 -
Exercícios de fixação - 1
1) No diagrama Venn, como no modelo abaixo, sombreie os seguintes conjuntos:
a) A  (B  C)
b) A  (B U C)
c) (A  B) U ( A  C)
d) A U (B  C)
e) (A U B)  (A U C)
A B
C
U
2) Trace o diagrama Venn para os três conjuntos não-vazios A, B e C, de tal maneira que A, B e C, tenham as 
seguintes propriedades:
a) A  B; C  B; A  C = 
b) A  B; C  B; A  C  
c) A  C; A  C; B  C = 
d) A  (B  C); B  C; C  B; A  C
3) Sejam A e B dois conjuntos finitos. Provar que: n = n + n - nA B A B A B
O símbolo n representa o número de elementos do conjunto X.x 
4) Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês. 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas.
a) Quantos alunos estudam inglês ou francês? 
b)Quantos alunos não estudam em nenhuma das duas?
marca
número de
consumidores
A
109 203 162 25 41 28 5 115
B C A e B B e C C e A A, B e C nenhuma das três
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas foram consultadas?
b) Quantas pessoas não bebem os refrigerantes A ou C?
c) Quantas pessoas bebem somente o refrigerante B?
d) Quantas pessoas bebem pelo menos dois tipos de refrigerantes?
5) Numa cidade três empresas de refrigerantes disputam o mercado.
Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os seguintes resultados tabelados abaixo.
2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
2.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
É o conjunto formado pelos números inteiros positivos, incluindo o 0 (zero) - símbolo IN. 
- 07 -
IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Neste conjunto definimos todas as operações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. A
adição e a multiplicação gozam das seguintes propriedades:
(M.3) Elemento neutro da multiplicação
a.1 = a,a  IN.
Distributiva da multiplicação relativamente à adição
a (b + c) = ab + ac,a, b, c  IN.
(MA.4)
Associativa da adição
(a + b) + c = a + (b + c),  a, b, c  IN
Comutativa da adição
a + b = b + a, a, b  IN
Elemento neutro da adição
a+ 0 = a,  a  IN
(A.2)
(A.3)
(M.1)
(M.2)
Associativa da multiplicação
(ab) c = a (bc),  a, b, c  IN
Comutativa da multiplicação
ab = ba,  a, b  IN 
(A.1)
A subtração e a divisão possuem a propriedade fundamental.
2.2 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo - o seguinte conjunto:z
 = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}z
No conjunto são definidas também todas as operações. A adição e a multiplicação apresentam as mesmas proprie-
dades vistas no conjunto IN, porém acrescenta-se mais uma propriedade relativa à adição:
z
(A.4) Simétrico ou oposto
 a  ,  -a  | a+ (-a) = 0z z
E é devido a esta propriedade, que podemos definir em a operação de subtração, estabelecendo que: z
a - b = a + (-b),  a, b  z
2.3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo Q - o seguinte conjunto:
 
( I )
( II )
igualdade : a
b
= _c
d
 ad = bc
_c
d
a_
b
adição: + =
ad + bc 
bd
multiplicação: _c
d
a_
b
. = ac
bd
Q = { ..., -1, ..., -1 , ..., 0, ... + 1 , ..., +1, ...}
 2 3
O conjunto dos números da forma a, onde a  e b  * , para os quais adotam-se as seguintes definições:
 b
z z
( III )
(IV) divisão: a : c = a . d .
 b d b c
Pode-se verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam as seguintes propriedades:
(A.1) 
(A.2)
(A.3)
(A.4)
a + c = c + a 
b d d b 
a + c + e = a + c + e
b d f b d f( ) ( )
( )a + - a = 0b ba + 0 = a
b b
( )
( )
( )a . c . e = a c . eb d f b d f
a . c = c . a
b d d b
a . 1 = a
b b
a . c + e = a . c + a . e
b d f b d b f
 a  Q e a  0,  b  Q a . b = 1
 b b a b a 
(M.1)
(M.2)
(M.3)
(M.A.4)
(M.4)
a_
bNotemos finalmente que todo número racional pode ser representado por número decimal.
Ex: = 0,25 ; = 0,5 
o
1 ) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, isto é, é uma decimal exata.
2º) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é uma
dízima periódica. Ex: = 0,333333... ; = 0,285714285714...
Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos: 
1
4
1
3
2
7
1
2
- 08 -
2.4 - CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Chama-se conjunto de números irracionais - símbolo II - o conjunto de todos os números decimais não exatos e não-
periódicos, bem como toda raiz não exata.
3
 = { 0, 15161718...; 3 ; - 5 ; 4 ;  ; e; ...} II
2.5 - CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Chama-se o conjunto dos números reais - IR - aquele formado por todos os números naturais, inteiros e racionais com 
 representação decimal, isto é, as decimais exatas, as não exatas e periódicas (que são números racionais) e as 
decimais não exatas e não periódicas (chamadas números irracionais). Assim, todo racional é número real.
Em símbolo => lR = lN   Q  z II
Em diagrama => 
Q
 z
lN II
lR
E além dos racionais, estão em IR números como:
 2 = 1, 4142136...
 

  = 3, 14159265... chamados números irracionais.
As operações de adição e multiplicação em IR gozam das mesmas propriedades vistas para o conjunto Q.
 
Com a introdução dos números irracionais, a radiciação é uma operação em IR , isto é, + a IR para todo a  IR .+
Os números reais serão representados em uma reta denominada “reta real”, ou seja, “reta numérica”.
2.6 INTERVALOS
Intervalos na reta real
 Intervalo fechado
Dados os números reais a e b, com a < b, indicamos por [a,b] o intervalo fechado nos extremos a e b, isto é:
[a,b] = {x  R| a  x  b}
b
N
a
 Intervalo aberto
Dados os reais a e b , com a<b, indicamos por ]a, b[ o intervalo aberto nos extremos a e b, isto é,
a b
]a,b[ = {x  R| a < x < b}
 Intervalo semi-aberto ou semi-fechado
Dados os reais a e b, com a < b, indicamos por ]a,b] o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, isto é, 
a b
]a, b] = {x  R| a < x  b}
Do mesmo modo, indicamos por [a,b[ o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, isto é,
o intervalo ]a,b] também pode ser indicado por ]a,b]. 
- 09 -
a b
[a,b[ = {x  R | a  x < b}
intervalo que também pode ser indicado por [a,b[.
Nota: O intervalo aberto ]a,b[ é às vezes indicado também por (a,b), quando não houver possibilidade de confusão
 com a notação consagrada para um par ordenado de números.
2.7 - OPERAÇÕES COM INTERVALOS
2.7.1 - Reunião de Intervalos
DEFINIÇÃO: Dados dois intervalos, chama-se reunião de intervalos a combinação de seus extremos.
Exemplo:
] -1 ; 3]  [ 2; 4[ [ -1 ; 3]
 [ 2 ; 4 ]
 ] -1 ; 3 ]  [2 ; 4] 
 ] -1 ; 3]  [ 2 ; 4 ] = ] -1 ; 4] ou
] -1 ; 3 ]  [ 2 ; 4 ] = { x  lR | -1 < x  4}
-1 3
-2 4
-1 4
 2 4
2 4
2 6,5
Resposta: 
2.7.2 - Intersecção de Intervalos
DEFINIÇÃO: Dados dois intervalos, chama-se intersecção de intervalos a combinação de seus extremos comuns.
Exemplo:
A = { x  lR | -2 < x  4 } e
B = { x  iR | 2  x  6,5}
Resposta: A  B = [ 2 ; 4 ] ou
 A  B = { x  lR | 2  x  4 } 
A
B
A  B
ANOTAÇÕES
- 10 -
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
6. Relacione usando os símbolos  , ,  ,  e :
a) -3 ______ z
 z
 z
b) - 3 ______ 
 2
c) -7 ______ lN
d) + 5 ______ lN
 7
e) + 9 ______ Q
f) - 9 ______ Q
 5
g) 0,25 ______ Q
h) lN ______
i) Q ______ 
j)  ______ 
l) 3 ______ lR
m) - 4 _____ lN
z
II
7. Determine a reunião e a intersecção dos seguintes intervalos:
a) [ -2 ; 4 ] e [ 1 ; 5]
b) [ - ; 2 ] e { x  lR | 0  x < 5}
c) { x  lR | -1 < x  3 } e [ -2 ; 3 ]
d) [ -5 ;  [ e ] -  ; 5 ]
- 11 -
�

� 
  
� 


�
�
�
�
U
K
Z
M
M
 Y
03 (EPCAR-2000) Assinale a alternativa FALSA. 
a) – IN = conjunto dos números inteiros negativos
b) Q – = conjunto dos números racionais não-inteiros 
c) +  = 
d) * = conjunto dos números inteiros não nulos
04 – (EEAR-2002) Dados os conjuntos  4,3,2,1A  ,  5,4,3B  e  5,2,1C  . Ao determinar
o conjunto M, tal que:  4,3,2,1MA � ,  5,4,3MB � , BAMC �  , podemos concluir
que M é um conjunto
a) vazio. c) que possui dois elementos.
b) unitário. d) que possui três elementos.
GABARITO
1. E
2. B
3. C
4. C
1. FUNÇÕES DO 1º GRAU
1.1 - Função constante
Dado um número real k, a função definida por f(x) = k, para todo x real, é chamada função constante. Ex: f (x) = 2
y = 2
x
O gráfico de uma função constante
é sempre uma reta paralela ao
eixo dos x. 
x
0
1
3
-1
1/3
y
2
2
2
2
2
1.2 Função linear
o
Uma função f de IR em IR denomina-se linear quando é definida pela equação do 1 grau com duas variáveis y = ax,
com a  IR e a  0.
Ex: A função f é definida pela equação y = 3x.
Gráfico: No plano cartesiano, podemos construir o gráfico de uma função linear para isso, atribuímos valores arbitrá-
rios para x (esses valores devem pertencer ao domínio da função);
Obtemos valores correspondentes para y (são as imagens dos valores de x pela função dada);
Para cada par ordenado (x,y) associamos um ponto do plano cartesiano.
Ex: No plano cartesiano, construir o gráfico
da função linear definida pela equação y = 2x.
x
0
1
-2
3
y = 2 (0) = 0
y = 2 (1) = 2
y = 2 (-2) = -4
y = 2 (3) = 6
y = 2x
(0, 0)
(1, 2)
(-2, -4)
(3, 6)
(x, y)
  A
  B
  C
  D
valores arbitrários
para x
 
pares ordenados
obtidos
O conjunto dos infinitos pontos A, B, C, D, E,... denomina-se gráfico da função linear definida pela equação y = 2x.
y
x
B
D
y = 2x
-2
1 3
2
6
-4
c
A
0
CAPÍTULO 2 - FUNÇÃO DO 1º GRAU
- 12 -
Observando o exemplo, podemos concluir que:
No plano cartesiano, o gráfico de uma função linear é uma reta que passa pelo ponto de origem 0.
Observação: Como uma reta é sempre determinada por dois pontos, basta representarmos dois pontos A e B para
obter o gráfico da função linear no plano cartesiano.
1.3 Função afim
oUma função f de IR em IR denomina-se afim quando é definida pela equação do 1 grau com duas variáveis y = ax +b,
com a e b IR e a  0.
Ex: a função f definida pela equação y = x + 2
A Função Linear é caso particular da função afim, quando b = 0.
A construção do gráfico de uma função afim, no plano cartesiano, é feita da mesma maneira que procedemos para a
função linear.
Ex: construir, no plano cartesiano, o gráfico da função afim, definida pela equação y = x +2.
C
A
B
D
- 1 1
-3
3
0
y
x
O conjunto dos infinitos pontos A, B, C, D, … denomina-se gráfico da função afim definida por y = x + 2.
Pelo exemplo dado, podemos concluir que:
No plano cartesiano, o gráfico de uma função afim é uma reta que não passa pelo ponto origem 0 quando b  0.
1.4 Zero ou raiz da função afim
Definimos com zero (ou raiz) de uma função a todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(X) = 0.
De forma mais exata, temos:
x é zero de y = f(x)  f(x) = 0
oLogo, no caso da função afim, basta resolvermos a equação do 1 grau.
f(x) = 0 e f(x) = ax + b  ax + b = 0
Ex: O zero (ou raiz) da função f(x) = 2x - 3 é 2x - 3 = 0, logo x = 3_
2
Podemos interpretar o zero dafunção afim, com sendo a abcissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x.
Ex: Construindo o gráfico da função f(x) = 2x - 3, podemos
notar que a reta intercepta o
eixo dos x em x = 
3
2
_
ou seja, no ponto ( 3
2
_, 0). (figura a)
1.5 Pontos de intersecção com os eixos do plano
Assim como a raiz (ou zero) da função afim é o ponto onde a reta intercepta o eixo x , vemos também, que o
coeficiente linear, ou seja, o número b, é o ponto onde temos abcissa nula, isto é, quando x = 0 temos f(0) = b, logo é
o ponto (0,b). (veja a fig. a ( 0 , -3 ) )
1.6 Funções crescente e decrescente
Vamos utilizar uma linguagem prática (não matemática) para transmitirmos a idéia de função crescente e decrescente.
Seja a função f: A  B definida por y = f(x) e A ,  A.1
  A função é crescente no conjunto A, se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y também aumenta.
y
x3




3
2
_
(o,b)
-3
0
(fig. a)
A


x1 x2
f (x )2
f (x )1
{
y
x
x
0
 1
-1
-3
y = x + 2
y = 0 + 2 = 2 
y = 1 + 2 = 3
y = (-1) + 2 = 1
y = (-3) + 2 = -1
(x,y)
(0,2)
(1,3)
(-1,1)
(-3,-1)
A
B
C
D
- 13 -
2
3
Em linguagem simbólica, temos: f é crescente quando:
( x , x ) (x < x  f(x ) < f(x )).1 2 1 2 1 2
  A função é decrescente no conjunto A , se, aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y diminui.1

f(x )1
f(x )2
A1
x1 x2{
y
x
1.6.1 Teorema
A função afim é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente angular for positivo (negativo).
O coeficiente angular á a letra “a”.
Ex: Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR:
a) y = -4x + 5 b) y = 7x - 1
Solução:
a) É decrescente, pois o coeficiente angular é negativo (a = -4 < 0)
b) É crescente, pois o coeficiente angular é positivo (a = 7 > 0)
Exercícios
o1) Obtenha os zeros das funções de 1 grau:
a) f(x) = -5x + 10
b) f(x) = x
2
_ - 9
c) f(x) = 2x - 6
d) f(x) = _____2 - 3x
5
2) Determine os pontos de intersecção das retas dadas 
com eixo dos x:
a) y = 3x - 2
b) y = 3x - 2
c) y = 0,1x
d) y = 2 - 
3
_x
o3) Quais das seguintes funções de 1 grau são crescen-
tes?
a) y = 3x
b) y = 3x - 2
c) y = x - 
1_
2
d) y = 3x + 1
e) y = 2 - 3x
f) y = x_4
- 1
5) Estudar segundo os valores do parâmetro m, a varia-
ção (crescente, decrescente ou constante) das funções 
abaixo:
a) y = (m - 1) x + 2
Solução:
Se m - 1 > 0, isto é, m > 1, então a função é crescente
em IR;
Se m - 1 < 0, isto é, m < 1, então a função é decrescente
em IR;
Se m - 1 = 0, isto é, m = 1, então a função é constante.
b) y = (m + 2) x - 3
c) y = (4 - m ) x + 2
d) y = 4 - (m +3) x
e) y = x (m - 1) + 3
4) Quais das seguintes funções são decrescentes?
a) y = 1 - x
2b) y = x + 1 + x(1 -x)
2 c) y = (x - 2) - (x + 1)(x - 1)
___1 - x
3
d) y = (x- 2) (x + 3) - x (x + 1)
e) y = x - 0,9x
f) y = 
- 14 -
- 15 -
1
1
2
y
x
07 – (CPCAR-1999) Sobre a função f, de  b,a em IR, cujo gráfico se vê abaixo, é verdade que 
a
a c d e b
5
b
y
x
a) f(x)  0 para todo x no intervalo  e,d . 
b) f é crescente no intervalo  b,0 . 
c) f(e)  f(d). 
d) f tem apenas duas raízes reais. 
 
 
 
805020
10
30
.ml
0 Kgf
a) 20 c) 2 
b) 40 d) 4 
 
 
a) f(x) < 0 se 
2
1
  x  0 
b) y cresce a medida que x decresce 
c) f(x) = 0 quando x = 1 
d) a reta passa pelo ponto P(1,3) 
09-(AFA-2000) Se f e g são funções de IR em IR definidas por f(3x+2) =
5
23 x
 e g(x–3) = 5x – 2, então 
f(g(x)) é 
 
 
a) 
5
4x 
 
 
b) 
5
95x 
 
 
c) 5x + 13 
 
d) 
5
115x 
 
 
- 16 -
O1. EQUAÇÕES DO 2 GRAU
o
Denomina-se equação do 2 grau com uma variável toda equação da forma:
onde x é a variável e a, b, c  IR, com a  0.
2
ax + bx = c = 0
o
a) Equações incompletas do 2 grau.
A equação se diz incompleta quando b = 0 ou c= 0 ou b = c = 0.
Resolução das equações incompletas.
o 2
1 caso: A equação é da forma ax + bx = 0, onde c = 0
Ex.: 2x - 5x = 0
x (x - 5) = 0  colocando o fator x em evidência
x (x - 5)  x = 0
ou
x - 5 = 0  x = 5
S = {0,5}
{
o 22 caso: A equação é de forma ax + c = 0, onde b = 0.
Ex.: 25x - 45 = 0
25x = 45
2x = 45_
5
2
 x = 9  x =  x = +_ 9 +_ 3
S = {-3, 3}
ob) Equações completas do 2 grau:
Quando nenhum termo da equação for igual a zero.
Resolução de equações completas.
discriminante da equação. ()
2 = b - 4ac
 fórmula resolutiva (x)
x =
________-b +_ 
2a
Ex:
2
x - 5x + 6 = 0 {
a = 1
b = -5
c = 6

2 = b - 4ac
2 = (-5) - 4(1)(6) = 1
x = 
________-b +_ 
2a
 x = 
__________+_-(-5) 1
2 . 1
 x = 
_______+_5 1
2 {
x’ = 3
x” = 2
CAPÍTULO 3 - FUNÇÃO QUADRÁTICA
s = {2,3}
- 17 -
3º caso: A equação é da forma ax² = 0, onde a = b = 0.
Ex.: 3x² = 0
x² = 0  3
x = 0 => x = 0
S = { 0 }

Exercícios
o
1) Resolver no conjunto IR as seguintes equações do 2 grau.
2a) x + x(2x - 15) = 0
b) (x - 4) (x + 3) + x = 52
2 2
c) (x + 3) + (x - 3) - 116 = 0
2
d) (4 + 2x) - 16 = 0
- 18 -
2) Resolva:
a) x (x + 1) + x = 8
b) x (3x - 2) + 2 (3x -2) = 0
c) y (2y + 1) - 6 = 0
d) (x + 5) (x - 5) + 41 = 8x
e) 3t (t + 1) = 2 (5t - 1)
f) (x + 4) (x - 3) - 14 = (1 - x) (x - 2)
2 2g) (2 - x) + 2 = (2x +1) + 10
2h) (3y + 1) - 8 = (y +1) (8y -1)
2i) x + x_
2
- 
1
2
_ = 0
j) 
2x
3
_
+
3
4
_ = x
2l) x = ____5x + 12
2
2m) 7y - 
1
2
_
= 
3y
2
_
+ 5
n)
2x + 4
5
_____ = 2 - x
2o) (x - 1) = 
x_
2
p) (x - 2
3
_ ) (x - 
q) x (x + 1)
4
______
x + 5
x - 3
____ - 3 = 
23x 
2
__
2x
4
__ +
r)
s)
3
4
_ ) = 5
24
_
x - 5
12
____- =
5 (2x - 1)
6
_______
x - 7
x + 2
_____
= 3(x - 1) - 1
2
g) 3y (y + 1) + (y - 3) = y + 9
h) 2x (x + 1) = x (x + 5) + 3 (12 - x)
2
e) (t - 1) = 3t + 1
2 
f) (5 + x) - 10 (x + 5) = 0
2. FUNÇÕES QUADRÁTICAS
2.1 Definição 
2Quando associa a cada x  IR o elemento (ax + bc + c)  IR, onde a  0, isto é:
f : IR  IR
2x  ax + bx + c , a  0.
2.2 O gráfico da função quadrática é uma parábola.
2Ex: Construir o gráfico de y = x - 4x + 3 x
-1
0
1
2
3
4
5
2y = x - 4x + 3
8
3
0
-1
0
3
8
(0,2)
4, 3
(3,0) x
y
(2,-1)
(-1,8)
(1,0)
(5,8)
2.3 Concavidade
2A parábola representativa da função quadrática y = ax + bx + c pode ter a concavidade voltada “para cima” ou voltada
“para baixo”.
3. ZEROS OU RAÍZES DAS FUNÇÕES
2Os zeros (ou raízes) da função quadrática f(x) = ax + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as
soluções da equação do segundo grau
Observe que a existência de raízes reais para equação acima está condicionada ao fato de   IR.
logo, temos três casos a considerar:
o1 ) caso: 
> 0; temos duas raízes reais e distintas que são:
x = 1
________-b + 
2a
________x = 2
-b - 
2a;
o2 ) caso:  < 0; não existem raízes reais.

x = x =1 2
__-b
2a
o3 ) caso:
  = 0; temos duas raízes reais e iguais:
Geometricamente, dizemos que os zeros da função quadrática são os pontos onde as parábolas cortam o eixo dos x.
Veja as figuras abaixo:

y
x
y
x
y
x
X2X1
Se a > 0, a concavidade está voltada para cima.
y
x
a)
y
x
Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo.b) 
1º caso 2º caso 3º caso
x = x1 2
- 19 -
Exercícios
3) Determine o parâmetro K (K  IR), de modo que a fun-
2
 ção f(x) = x - 2x + K tenha:
a) dois zeros reais diferentes
b) um zero real duplo
c) nenhum zero real
4) Determine “m” para que a função 
2f(x) = (m + 1)x - 2mx + m + 5 possua raízes reais e 
desiguais.
25) Sendo a e b as raízes da função f(x) = 2x - 5x + m -3 
e sabendo que , determine a e b.1
a
_ +
1
b
_ =
4
3
_
6) Determine os valores de m para que a função 
2 2f(x) = x + (3m + 2) x + (m + m + 2) 
tenha duas raízes reais iguais.
2
7) Se a equação (m + 2) x + (3 - 2m) x + (m - 1) = 0 possui 
raízes reais, determine os valores de m para que isto 
aconteça.
- 20 -
2Ex: Determinar os valores de m para que a função quadrática f(x) = mx + (2m - 1)x + (m - 2) tenha duas raízes reais 
distintas:
Solução:
Na função,temos: a = m ; b = 2m - 1 ; c = m - 2
2
 = (2m - 1) - 4.(m). (m - 2) = 4m + 1, como
 > 0  4m + 1 > 0  m > 
-1
4
__ e m  0 (condição de existência)
S = { m  R / m > -1 e m  0}
 4
-1 - 1 0
 4
Graficamente:
4. SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
2Se x e x são raízes da equação ax + bx + c = 0, temos:1 2
A soma das raízes é dada por: x + x = -1 2
b
a
__
S = -
b
a
__
O produto das raízes é dado por: x . x =1 2
c
a
__
P = c
a
__
o Podemos efetuar a discussão de uma equação do 2 grau através da seguinte exposição:
 > 0
( 2 raízes
diferentes)
P > 0
(2 raízes do
mesmo sinal)
P = 0
(Uma raiz nula)
S > 0  2 raízes positivas diferentes
S < 0  2 raízes negativas diferentes
S > 0  1 raiz positiva e outra nula
S < 0  1 raiz negativa e outra nula
P < 0  uma raiz positiva e outra negativa
{
{ {
 = 0  raiz dupla, ou seja: x = x = -1 2
-b
2a
___
 < 0  não há raízes reais
Exercícios
28) Dada a função f(x) = (K - 2)x - 3Kx + 1, calcule o valor 
de K para que a soma das raízes seja igual ao seu pro-
duto.
9) Determine o valor de K, para o qual a função 
2f(x) = 3x - (K + 1)x + 3, tenha uma raiz igual ao dobro da 
outra.
10) Sabendo - se que x e x são raízes da função qua-1 2 
2drática f(x) = x - 8x + m, determine “m” para que se te-
nha 3x - 4x = 3.1 2
- 21 -
2 2
ax + bx + c > 0 ou ax + bx + c < 0 ou
2 2
ax + bx + c  0 ou ax + bx + c  0, com a  0
O conjunto universo da variável é o conjunto IR.
 - Resolução:
Resolver uma inequação do segundo grau com uma variável é determinar o seu conjunto solução, isto é, o conjunto
2
dos valores reais de x para os quais a função y = ax + bx + c é positiva ou negativa.
o
1 Exemplo:
2
Resolver a inequação x - 3x + 2 > 0
2
(significa determinar para que valores reais de x a função y = x - 3x + 2 é positiva).
2
x - 3x + 2 = 0
2
 = ( -3) - 4 (1) (2)=
= 9 - 8 = 1 > 0
4
2
__
x =
 3 +_1__________
2 (1)
3 +_______
2
1
=
x’ = = 2
2
2
__
x” = = 1
pelo esquema temos:
S = {x  IR / x < 1 ou x > 2}
O
5. INEQUAÇÕES DO 2 GRAU
o 
Chama-se inequação do 2 grau com uma variável toda inequação da forma:
_+ +
Esquema
a = 1 > 0
1 2
X
o2 Exemplo
2Resolver a inequação -4x + 4x - 1 < 0
2(significa determinar para que valores de x a função y = -4x + 4x - 1 é negativa).
2- 4x + 4x - 1= 0 . (-1)
24x - 4x + 1 = 0
2 = (-4) - 4 (4) (1) =
= 16 -16 = 0
4
2 (4)
___ 4
8
__ 1
2
__= =
1
2
__
pelo esquema, temos:
S = {x IR / x  }
1
2
__
x =
X
Esquema: 
a = -4 < 0
Exercícios
o12) Resolva as seguintes inequações do 2 grau com uma variável, sendo U = IR.
2e) -4x + 11x - 6  0
2f) x + x > 7x + 16
2g) x  2x + 3
2 2h) 3x - 30 > 2x + 51
2a) x + 2x - 3 > 0
2b) -x + 10x - 25 > 0
2c) x + 4x + 7 > 0
2d) x - 13x + 36  0
- 22 -
13) Resolver as seguintes inequações:
a) x - 2____
4
3 - x____
2
- <
5
3
_
b) 3x__
2
- 7x - 1_____
2
- 4x + 1
3
_ < 0
c) 3(x + 12) < 4 (2x + 8)
x - 3____
5
d) - <x - 1____
10
1_
2
e) - > x - 32x + 1
3
_____ x + 6
5
______
2 2f) (x - 1) - 7 > (x - 2)
g) 3x - 4 + <
x_
4
5x
2
__
h) - < -
5
6
_x - 1
2
____ 2(1 - 3x)
3
______1
4
_
i) 2x - >x - 4
5
____ 2(2x - 3)
3
______
j) - > 3 -2x - 1
3
____ x - 4
2
_____ x
4
_
- 23 -
2 2i) 8(x - 3) + 1 < 5(x - 1) - 6
2l) x <
9
1 _
2m) (x - 1)  3 - x
2 2n) (x + 2) + (x - 2) > x
1
4
_o) 4
3
_2x -
3
8
_ 7
6
_
> x +
j) (x - 1) (x -2) < 0
6. FUNÇÃO MÓDULO DE X f(x) = x
Esta função leva cada x real em y que é igual ao valor absoluto ou módulo de x.
x  y =| x|
Domínio D = IR
Imagem Im {y  IR | y  0}
x y
0
1
2
0,5
-1
-2
0
1
2
0,5
1
2
Note que a cada x > 0 esta função associa y = x, a cada x negativo ela associa y igual ao oposto de x, isto é, y = -x, e
se x = 0, então y = 0, isto pode ser resumido no seguinte:
 x, se x  0
- x, se x < 0
Graficamente:
y
x
2
1
0,5
-2 -1 0 0,5 1 2
{y = x =
6.1 Propriedades
Para a  0, temos:
1ª Propriedade: | x | = a  x = a ou x = - a
2ª Propriedade: | x | = | y | x = y ou x = - y 
3ª Propriedade: | x | < a  - a < x < a
4ª Propriedade: | x | > a  x < - a ou x > a
5ª Propriedade: | a + b |  | a | + | b |
6ª Propriedade: | a |² = a²
- 24 -
Exercícios
14) Resolva as equações:
a) 1 + 5 x = 11
b) x - 1 = 2
c) 32x - 3 = 15
d) | x |² - 2 | x | + 1 = 0
e) 2 | x |² - 7 | x | + 3 = 0
15) Dê os valores de x que satisfazem a cada uma das 
inequações:
a) | x | > 3 
 2
b) | x |³ > 3
c) | x | > 1,5
d) | 2x - 5 | > 3
- 25 -
16) (Colégio Naval-1998) Considerando o gráfico acima 
referente ao trinômio do 2º grau , pode-se afirmar que:
(A) 0;0;0  cba 
(B) 0;0;0  cba 
(C) 0;0;0  cba 
(D) 0;0;0  cba 
(E) 0;0;0  cba 
17) (CPCAR 99) A soma e o produto das raízes da função 
2real f dada por f(x) = x + bx + c são, respectivamente, 2 e 3. 
O vértice do gráfico desta função é o par ordenado
a) (1, –2) . c) (–1, 1). 
b) (1, –4). d) (–1, –4). 
 
- 26 -
CAPÍTULO 1
A
C
a) b) c)
d) e) 
página 6 
1) 
a) c)
 d)
U
U U
U
B
C
A B
C
A
A A
B B
C C
B
A B
2)
b) NÃO TEM RESPOSTA
U
A
C B
U
A B
C
3) Seja: A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 3, 4, 5, 6, 7 } temos NA = 4,
NB = 5, NAUB = 7 e NAB = 2 , 
logo N AUB = NA + NB - NAB
7 = 4 + 5 - 2
Graficamente:
1.
2.
.3
.4
.5
.6
.7
4)
a) 332
b) 83
169 52 111
I
F
83
A
F
115
B C
61
20
142 36
5
23
98
Página 10
6) 
a) 
b) 
c) 
j) 
l) 
m) 
7) 
a) [ -2 ; 5 ] e [ 1 ; 4 ]
b) ] -  ; 5 [ e { x  IR | 0  x  2 }
c) { x  IR | -2  x  3 } e ] -1 ; 3 ]
d) ] -  ; +  [ e { x  IR | -5  x  5 }

5)
a) 500
b) 257
c) 142
d) 84
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
CAPÍTULO 2
Página 14
2
3
4
3
2
3
6) d
7) a
8) b
9) b
 
- 27 -
CAPÍTULO 3
Pág. 17
1)
a) x’ = 0 e x” = 5
b) x’ = 8 e x “ = 8
c) x’ = 7 e x” = 7
d) x’ = 0 e x” = -4
e) t” = 0 e t” = 5
f) x’ = -5 e x” = 5
g) x’ = 0 e x” = 1
h) x’ = -6 e x” = 6
 Pág 18
02)
a) x’ = -4 e x” = 2
b) x’ = -2 e x” = 2/3
c) y’ = -2 e y” = 3/2
d) x’ = x” = 4
e) t’ = 1/3 e t” = 2
f) x’ = -3 e x” = 4
g) x’ = -5/3 e x” = -1
h) y’ = -2 e y” = 3
i) x’ = -1 e x” = 1/2
j) x’ = x” = 3/2
l) x’ = -3/2 e x” = 4
m) y = -11/14 e y =1
n) x’ = -6 e x” = 1
o) x1 = 1/2 e x” = 2
p) x’ = 1/4 e x” = 7/6
q) x’ = 1/2 e x” = 2
r) x’ = -1/3 e x” = 7
s) x’ = x” =  IR
Pág. 20
03)
a) K < 1
b) K = 1
c) K > 1
04) m < 5/5
05)
06) m < -2 ou m > 2/5
07) m < 17/16 c/ m  -2
Pág 21
08) K = 1/3
09) K = 2
10) m = 15
Pág. 22
12)
a) S = { x  lR / x < -3 ou x > 1 }
b) S = {x  lR / 5 - 5 2 < x < 5 + 5 2 }
c) S =  x’ ou x”  lR
d) S = { x  lR / x  4 ou x  9}
e) S = { x  lR / 3  x  2 }
 4
f) { x  lR / x < -2 ou x > 8 }
g) S = { x  lR / -1  x  3 }
h) { x  lR / x < -9 ou x > 9 }
i) S = { x  iR / -2 < x < 2 }
j) { x  lR / 1 < x < 2 }
l) S = { x  lR / -1 < x < 1 }
 3 3
m) { x  iR / -1 < x < 2}
n) S =  x’ ou x”  iR
o) { x  iR / x < 5 ou x > 4 }
 2
 

Pág. 23
Pág. 25
13) 
a) x < 44/9
b) x’ > 5/36
c) x > 4/5
d) x > 0
e) x < 4
f) x > 3/2
g) x < 16/3
h) x < 7/30
i) x > -42/47
j) x > 16/5
14)
a) x = -2 e x = 2
b) x = 3
c) x = -1 e x = 4
d) x = -1 e x = 1
e) x = -3; x = -1/2; s = 1/2 e x = 3
15) 
a) x < -3/2 ou x > 3/2
b) x <- 3 e x 3
c) x < -1,5 ou x > 1,5
d) x < -4 ou x > 4
16) E 
17) A

- 28 -MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
ÍNDICE
Capítulo 6 - Progressões ......................................................................................................................................44
Progressão Aritimética (PA)....................................................................................................................................44
Definição de Progressão aritimética.......................................................................................................................44
Termo Geral da PA.................................................................................................................................................44
Soma dos n primeiros termos da PA......................................................................................................................44
PAs de três termos..................................................................................................................................................44
Propriedades das PAs.............................................................................................................................................45
Exercícios...............................................................................................................................................................45
Progressão Geométrica .........................................................................................................................................46
Definição de Progressão Geométrica ....................................................................................................................46
Termo Geral da PG.................................................................................................................................................46
Soma dos primeiros termos da PG.........................................................................................................................46
PGs de três termos ................................................................................................................................................47
Média Geométrica .................................................................................................................................................47
Soma dos Termos da PG infinita ...........................................................................................................................47
Exercícios...............................................................................................................................................................48
Gabaritos...............................................................................................................................................................49
Capítulo 4 - Funções recíproca e exponencial ..................................................................................................29
Função recíproca F (x) = 1/x ....................................................................................................................................29
Exercícios ................................................................................................................................................................ 29
Função exponencial ................................................................................................................................................. 30
Propriedades ........................................................................................................................................................... 30
Imagem .................................................................................................................................................................... 30
Gráfico ...................................................................................................................................................................... 30
Equações exponenciais ........................................................................................................................................... 31
Exemplo 1 ................................................................................................................................................................ 31
Exercícios ..................................................................................................................................................................32
Exemplo 2 ................................................................................................................................................................. 32
Exercícios ................................................................................................................................................................. 33
Exemplo 3 ................................................................................................................................................................ 33
Exercícios ................................................................................................................................................................. 33
Exemplo 4 ................................................................................................................................................................ 34
Exercícios ................................................................................................................................................................... 35
Capítulo 5 - Função Logarítmica ....................................................................................................................36
Função Logarítmica ............................................................................................................................................ 36
Logaritmo ............................................................................................................................................................ 36
Propriedades ....................................................................................................................................................... 36
Exercícios ............................................................................................................................................................ 36
Condições de existência ......................................................................................................................................38
Propriedades Operatórias ...................................................................................................................................38 
Exercícios .............................................................................................................................................................38
Convenção .......................................................................................................................................................... 39
Mudança de base ................................................................................................................................................ 39
Exercícios ............................................................................................................................................................ 39
Função Logarítmica ............................................................................................................................................. 40
Exercícios ............................................................................................................................................................. 41
1.
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
- 29 -
CAPÍTULO 4 - FUNÇÕES RECÍPROCA E EXPONENCIAL
1. FUNÇÃO RECÍPROCA f(x) = 1 
 x
1 1
2 1/2
3 1
3_
x y
f: x  y = 1
x
Domínio D = IR* y = x = 2
Imagem Im = IR* y = 
1
3
x = 3
x y
1/2
-
1
3
_
-1
-
-1
-2
-3
O gráfico é uma curva chamada hipérbole. Esta curva não encontra os eixos coordenados, embora deles se aproxime
indefinidamente; dizemos que os eixos 0x e 0y são assíntonas desta hipérbole, dita uma hipérbole eqüilátera porque
suas assíntonas (os eixos 0x e 0y, no caso) são perpendiculares entre si.
Note que y = é a mesma relação expressa por xy = 1 e que a relação dada por xy = K (onde K é uma constante) é
a mesma que y = K_
x
1_
x
.
Exercícios
1) Os gráficos das funções f(x) = e g(x) = 3 intercep-
tam-se em qual ponto do plano cartesiano? 
1
x
_
2) Obtenha os pontos de intersecção dos gráficos de 
y = e de y = 2x - 1.1
x
_
3) Resolva em R* as equações:
a) = x
1
x
_
b) =
1
x
_ x
4
_
c) = 3 - x d) x + 1 =2
x
_ 1
3x
__
Estas funções são usadas para descrever o comportamento de duas grandezas que variam relacionadas, mantendo
constante o produto de seus valores, o que ocorre em muitos fenômenos.
1
2
Graficamente
y
x
4) É dada a função f(x) = para todo x em R*, pergun-
ta-se:
a) Existe valor de x para o qual f(x) = 0?
b) Para que valores de x tem-se f(x) > 0?
c) Para que valores de x tem-se f(x) < 0?
1
x
_
5) Seja a função f(x) = , definida para x em IR - {2}.
a) Para que valor de x tem-se f(x) = 0,1?
b) Para que valores de x tem-se f(x) > 0?
1___
x - 2
- 30 -
6) Obtenha os pontos de intersecção da curva x . y = 2 com y = .
x
2
_
2. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: dado um número real a, tal que 0 < a  1; chamamos função exponencial de base a a função f de IR em
xlR que associa a cada x real o número a . Em símbolos:
f: IR  IR
xx  a
Ex:
xa) f(x) = 3 xc) f(x) = ( 2 )
2.1 Propriedades
a x1 ) Na função exponencial f(x) = a , temos
0x = 0  f(0) = a = 1
Isto é, o par ordenado (0,1) pertence a função para todo a  IR * - {1}. Geometricamente, isto significa que o gráfico+
cartesiano de toda função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
a x2 ) A função exponencial f(x) = a será crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Portanto, dados os reais x e x , temos:1 2
a) Se a > 1
dados, x < x  f(x ) < f(x ), a função é crescente.1 2 1 2
E, a título de um conhecimento técnico, temos também que:
a x 3 ) A função exponencial f(x) = a , com 0 < a  1, é injetora pois, dados x e x tais que x  x vem f(x )  f(x ), não1 2 1 2 1 2
importando se a função é crescente ou decrescente.
2.2 Imagem
xNo estudo de potências de expoente real, vimos que se a  IR *, então a > 0,  a  IR. Logo, podemos afirmar que, a+
ximagem da função exponencial é Im (a ) = IR *.+
xIm (a ) = IR *+
1
2
_( )
x
b) f(x) =
b) Se 0 < a <1
dados x < x  f(x ) > f(x ), a função é decrescente.1 2 1 2
*
*
+
+
2.3 . Gráfico
xCom base em todas as afirmações feitas até então, com relação ao gráfico cartesiano da função f(x) = a , podemos
dizer:
a x1 ) a curva representativa está toda acima do eixo dos x (abcissa), pois y = a > 0,  x  IR .+
a2 ) corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
a3 ) se a > 1 é uma função crescente e se 0 < a < 1é uma função decrescente.
xLogo, um dos aspectos de f(x) = a é
(0,1)
y
x
xy = a
(a > 1)
xy = a
(0 < a < 1)
(0,1)
x
y
Exemplos:
o x1 ) Construir o gráfico da função exponencial de base 2, f(x) = 2 (a = 2 > 0)
x xy = 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
1/8
1/ 
1/
4
2
1
2
4
8
1
4
 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 x
y
xf(x) = 2
2
3
5
6
8
7
9
o x2 ) Construir o gráfico da função exponencial de base , f(x) = ( )1
2
_ 1
2
_
x xy =(1/2)
-3
-2
-1
0
1
2
3 1/8
1/ 4
1/2
1
2
4
8
2.4 Equações exponenciais
Definição: são equações com incógnitas no expoente.
EX:
x xa) 4 - 2 = 2  
3
27
Existem dois métodos fundamentais para resolução das equações exponenciais. A princípio vamos expor um 
deles, sendo que o segundo será apresentado à medida que aprofundarmos os nossos estudos na área dos 
l o g a r i t m o s .
o1 ) Método da redução a uma base comum
O próprio nome já nos diz o processo de resolução. Com efeito, o método será aplicado quando , ambos os membros 
da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potência, forem redutíveis à 
b c
a = a  b = c (0 < a  1)
Atenção: É muito importante (e fundamental) que todas as propriedades operacionais das potências e da radicia-
ção estejam bem esclarecidas e prontas (conscientemente) a serem utilizadas.
Exemplo 1:
Resolver as seguintes equações exponenciais:
x 3 x 3 x -5a) 8 =  (2 ) =  (2 ) = 2
3x -5 2 = 2  3x = -5 
1
32
__ 1
52
__
x = - __
5
3
2x + 5 2x + 5 0
c) 11 = 1 11 = 11  2x + 5 = 0  2x = - 5  x = - 5
2
__
xb) ( 3 ) =
x = __
8
3
x 1/2 x 4b) ( 3 ) = 81  (3 ) = 3  3 = 3 => 
3

3 x
2
__ 4
3
__x2
4
3 = 
1
4
 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 x
y
2
3
5
6
8
7
9
- 31 -
Exercícios:
7) Resolver as seguintes equações exponenciais:
xa) 3 = 243
xb) ( 4 ) =
x
c) 125 = 0,04
3x -1
d) 2 = 32
x
e) (1/5) = 125
xf) 8 = 0,25
x
g) 100 = 0,010

5
 8
1__ 2x + 1i) 8 = 
3
x -1
4
2 - 3x
j) 8 = 32
x - x - 16
l) 2 = 16
3x - 1 2x - 1
m) 2 = 16  
3
Exemplo 2:
Resolver as equações exponenciais abaixo:
x-1 x - xx 2 2 2a) (2 ) = 42 = 2  x - x = 2  x - x - 2 = 0
logo x = 2 ou x = -1
2
s = { -1,2 }
3x + 4 2x - 3
h) 7 = 49

3 x - 1xo) ( 9) = 27
x - x 
n) 8
2 x + 1
= 4
( ) ( )
2 x + 3x - 18 = 0, logo x = 3 ou x = -6
x = -6 (não serve pois x >0)
 s = {3}
x-2 2x-5 3x-2
b) 5 . 25 - 5 = 0
x

2x
x-2 (2x - 5) 3x-22 5 . (5 ) - 5


x

2x
2 .5 . 5 = 5
x-2
2
__
__ __
x-2
2
__
x-2
2
__ 3x-2
2x
___
5 = 5  =+
_____4x-10
x
+
_____4x-10
x
3x-2
2x
___
2x - 5 3x - 2
x 2x
= 0
- 32 -
Exercícios:
8) Resolver as equações exponenciais abaixo:
a) =
x+2 x3 . 9
5x -1
243
________ 2x81
3-4x
27
_______
3x-1 2x+3
e) 2 . 4 =
3
8
x
8
__3x - 1 x-3 b) 2 - 8 = 0
x+1

3 3x+7
x+1 x-1 x + x + 4
d) (9 ) = 3
2
X-1 2X-3 5X+3
f) 8 . 4 = 2
6X+12x-7 x+1 3x-13 4c) (3 ) : 9 = (3 )
Exemplo 3:
Resolver a equação exponencial abaixo:
x-1 x+1 x+2 x+3x
2 + 2 + 2 - 2 + 2 = 120 (1)
Solução: observe que podemos colocar x - 1 em evidência:
x-1 2 3 42 (1 + 2 + 2 - 2 + 2 ) = 120
x-1 x-1 x-1 3
2 . 15 = 120  2 = 8  2 = 2  x - 1 = 3  x = 4
Ou então podemos resolver de outra maneira; vamos escrever a equação (1) da seguinte forma:
x x 2 x 3 x
 + 2 + 2 . 2 - 2 . 2 + 2 . 2 = 120
x2
2
_
x
empregando uma incógnita auxiliar, isto é, pondo 2 = y, temos:
15y = 240
x
y = 16, como y = 2 , temos:
x x 4
2 = 16  2 = 2  x = 4y + 2y + 4y - 8y + 16y = 240
y
2
_
2 3
 + y + 2y - 2 . y + 2 . y = 120
Exercícios:
9) Resolver as seguintes equações exponenciais:
3x 3x+1 3x+2 3x+3
a) 2 + 2 + 2 + 2 = 240
4x-1 4x 4x+1 4x+2
b) 5 - 5 - 5 + 5 = 480
x+2 x+1 2x+1 x
c) 2.4 - 5.4 - 3.2 - 4 = 20
x-1 x+1 x+2x
d) 3 - 3 + 3 + 3 = 306
x-2 x+1xe) 5 - 5 + 5 = 505
- 33 -
Resolver as equações em IR :+
x - 7x + 12
a) x = 1
2
Solução: devemos, a priori, examinar inicialmente se 0 e 1 são soluções da equação.
Se x = 0 na equação proposta, temos: 120 = 1 (falso), logo 0 não é solução
Se x = 1, temos: 61 = 1 (verdadeiro), logo 1 é solução
Vamos supor agora que 0 < x  1, então temos
x2 - 7x + 12 0 2x = x  x - 7x + 12 = 0  x = 4 ou x = 3
Os valores x = 4 e x = 3 são soluções pois satisfazem a condição 0 < a  1. A solução final é
S = {1,3,4}
12) Resolver a equação exponencial (Desafio)
3 =
81________
2(x + 1 )
2 x
3
(x + 1 )
 x
10) Utilize o processo da incógnita auxiliar e resolva as seguintes equaçõesexponenciais:
x x
a) 9 + 3 = 90
2x xb) 5 + 5 + 6 = 0
x+1 3-x
c) 4 + 4 = 257
x x
d) 4 + 4 = 5.2
2x-1 x-1
e) 10 - 11.10 + 1 = 0
2x - ½2xf) 5.2 - 4 - 8 = 0
 x  x
11) Resolver a equação 25 - 124 . 5 = 125
Exemplo 4:
- 34 -
14) Resolver os seguintes sistemas de equação:
a)
x
4 = 16 y
x+1
2 = 4y{ c)
x y
2 - 2 = 24
x + y = 8{
d)
2+( y - x )2+(x - y)
2 = 4 . 2
x + y = 5
2 2 
{
Exercícios:
13) Resolva as equações em IR :+
x - 5x + 6
a) x = 1
x - 3x - 4
b) x = 1
2
2
2 - 3x
c) x = 1
x - 2 
d) x = 1
2
b)
x ( y )3 - 2 = 77
3 - 2 = 7
2
2{ x2 y2
- 35 -
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 
29 168 xx 
( ) Se 42 x então 646 x 
( ) Se 646 x então 2x 
( )   3232 22  
( ) Se 2,010 x então 04,0102 x 
( ) 
nnn 2522 2 � 
(A) (F) (V) (V) (V) (F) 
(B) (V) (F) (V) (V) (V) 
(C) (V) (F) (V) (V) (F) 
(D) (V) (V) (F) (V) (V) 
(E) (V) (F) (V) (F) (V) 
 
1. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1. 1 Logaritmo
xDado um número a positivo e diferente de 1, e um número b positivo, se a = b, dizemos que o expoente real x é o
logaritmo de b na Base a. Indicamos por log b e lemos logaritmo de b na base a.a
xlog b = x  a = ba
Exemplos:
2a) log 9 = 2 (pois 3 = 9)3
-3b) log 8 = -3 (pois (1/2) = 81/2 
1/2c) log 10 = ½ (pois 10 = 1010  
Se x = log a, dizemos que:b
b é a base do logaritmo (b > 0 e b  1)
a é o logaritmando ou antilogaritmo (a > 0)
x é o logaritmo (x  IR)
1.2 Propriedades
É conseqüência direta da definição de logaritmo as seguintes propriedades, úteis muitas vezes nos exercícios:
mlog a = m (a < 0 e a  1)a
log abb = a
Por exemplo:
3a) log 64 = log 4 = 34 4 
3b) log 1000 = log 10 = 310 10
c) log 0,001 = log 10 = -310 10
3 2/3 d) log 8 = log 2 = log 2 = 2 2 2 

Exercícios
1) Dê os valores dos logaritmos:
a) log 8 =2 
b) log 100 =10
c) log 0,01 =10
d) log 3 =3
a) log 81 b) log 82
-3
5
2) Calcular o valor de log 625.
3) Calcule: 
1
2 1
2
3
2
1
3
3
2
- 36 -
1ª P)
2ª P)
 D E F I N I Ç Õ E S:
1ª) log b = 1b
2ª) log 1 = 0b
O logaritmo de um número qualquer,
positivo, de base igual a este número é igual
a 1 (um). .
O logaritmo de 1 (um) em qualquer base,
positiva e diferente de 1 é igual a zero. .
Exemplos:
loga) 5 = 25 b) = 51
2( (
1
2
log 5
e) log 1 =5
CAPÍTULO 5 - FUNÇÃO LOGORÍTMICA
5
25
7) Calcule:
a) log 64 + log 0,1 - log 0,25 =2 10 0,5
b) log (log 16) - log (log 81) =2 2 2 3
c) log 625 . log 343 . log 128 =5 7 2
b) log = 02
2x - 3
x - 1
_____
4) Calcule o logaritmo da raiz quadrada de 1/3 na base 3 3.
5) Calcule:
9) Resolver a equação exponencial:
x x+1 x9 - 3 = 5 + 3
e) log 0,1 =10
a) log 1 =3
 27
b) log 1 =2
 8
8) Resolva as equações:
2a) log (x + 3x - 1) = -21
 3
c) log 8 =1
 2
6) Calcule o valor da expressão dada y, em cada caso:
a) y = log (x - 2) + log (x - 3), para x = 42 2
b) y = log (x +1) + log (3x - 2),para x = 12 1
 2
d) log =2
1
4
- 37 -

c) log 27 =3
2+log 53g) 3 =
d) log 32 =4
3-log 255h) 5 =
e) log 2 2 =2 
log 3. log 7b 3i) b =
f) log 25 5 = 1
5
log 5 . log 33 aj) a =
1.4 Propriedades Operatórias
Com as propriedades operatórias podemos resolver muitas equações e inequações logarítmicas.
1ª propriedade: log (b . c) = log b + log c.a a a
2ª propriedade: log b = log b - log c.a a a
 c
m3ª propriedade: log b = m . log b (m  IR)a a
Exemplos:
1. log (0,13 . 0,57) = log 0.13 + log 0,572 2 2
2. log 2 = log 2 - log 53 3 3
 5
33. log 7 = 3log 72 2
- 38 -
1.3 Condições de existência
 Para que exista em logaritmo, ou seja, que tenhamos resposta, é necessário observarmos as seguintes condi-
ções:
a) O logaritmando deve ser positivo. (log a) a > 0.b 
b) A base deve ser positiva e diferente de 1 (um). (log a) b > 0 e b  1.b
Exemplo 1: 
f (x) = log (x - 3)2
C.E. x - 3 > 0 => x > 3  D = { x  R / x > 3 }
Exemplo 2:
y = log 9x - 5
C.E. x - 5 > 0 => x > 5
 x - 5  1 => x  5 + 1 e x  6 }
Exercícios:
10) Determine o domínio ds seguintes funções:
a) y = log ( x - 9 )3
b) y = log ( x² - 4)5
c) f (x) = log ( x² - 9 )x + 1 
d) log 9 x² - 6x + 9) = f (x)x
- 39 -
log b =a
log bc
log ac
_______
Exemplos:
1) x5 = 13
x5 = 13  x = log 135
x x5 = 13  log 5 = log 13  = x.log 5 = log 1310 10 10 10
I
II
Obtemos:
x =
log 1310
log 510
______
I II
log 1310
log 510
______
Comparando e , concluímos que:
log 13 =5
2) log 5 =2
log 5
log 2
_____
3) log 40 = = = log 409 3 
log 403 
log 93
_______ log 403 
2
_______
Exercícios
11) Dado log2 = 0,3 calcule:
a) log 20 b) log 200
a) log 6 
b)log 60 
c) log 18 
d) log 72
14) Resolver as equações:
a) log (x -2) + log (x - 3) = 04 4
b) log x + log (x+2) = 32 2
c) log (x - 2) + log (x + 4) = 23 3
d) log x + log 3x + log 27 = 53 3 3
1
2
1.6 Mudança de Base:
Em Geral:
1.5 Convenção
Foi convencionado que ao escrevermos um logaritmo, omitindo sua base, adotaremos o valor da nossa base numérica,
ou seja, 10.
Ex.: log 2 é o mesmo que log 210
log 5 é o mesmo que log 510
Quando a base é 10, chamamos de: Logaritmos decimais ou vulgares ou Logaritmos de Briggs.
Ainda existe um logaritmo cuja base é irracional, chamamos de: Logaritmos neperianos ou logaritmos naturais e seu
valor aproximado é 2,71828... Indicamos:
ln x ou log xc
NOTA: Todas as propriedades, já estudadas, valem também para os logaritmos neperianos (em homenagem a JOHN
NAPIER).
12) Dados log2 = 0,3 e log3 = 0,5 calcule:
13) Resolver a equação logarítmica log (x - 2) + log (X - 3) = 1:2 2
18) Tomando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule:
log 209
1.7 Função Logarítmica
Dada uma base a (a > 0 e a  1), para cada número positivo x temos um único valor de log x; temos portanto uma a
função:
y = log x definida para x > 0a 
Domínio = {x  IR / x > 0}
Imagem = IR
Domínio = {x  IR / x > 0}
Imagem = IR
Esta função, y = log x, é crescente pois quaisquer que sejam x1 e x2 reais positivos, x2 > x1  log x2 > log x1.2 2 2
x y
1
2
4
8
½
¼
0
-1
-2
-3
1
2
Esta outra é uma função decrescente pois quaisquer que sejam x1 e x2 positivos, x2 > x1  log x2 < log x11 1 
Em geral, a função logarítmica y = log x, tem as seguintes características:a
Domínio D = {x  IR | x > 0}
Conjunto - Imagem Im = IR
O par ordenado (1,0) pertence à função
Se base a > 1, a função é crescente; se base 0 < a  1, a função é decrescente.
15) Resolver a equação 2 log (x + 9) = 3 + log (x + 7)2 2
16) Resolver a equação 2 log (x - 2 ) - log (x + 1) = 22 2
17) Se log2 = 0,30 obtenha:
a) log 21 
 10
19) Resolver a equação log (x - 2) - log (x + 1) = 1.2 4
20) Resolva as equações:
a) log x + log x = 63 9
b) log (x - 3) - log (x - 3) = 14 16
2c) log (2x - 1) - log (3x - 4x + 2) = 03 9
b) log 1100
 2
2 2
- 40 -
y = log x2
x y
1
2
4
8
½
¼
0
1
2
3
-1
-2
o1 ) 
 Gráfico
Vamos inicialmente fazer os gráficos 
de y = log x e y = log x2 1 
 
 2
x
y
1
2
2-1
-2
43
3
1
2º) y = log x1
2
x
y
1 2 4
-1
-2
-3
-4
3
1
2
a) f(x) = log x2,5
c) g(x) = log x2
b) h(x) = log x0,8
25) Resolva as inequações:
a) log (2x - 5) > 02
c) log x < 42
d) log x < ½3
f) log x < -10,5
 Exercícios
21) Faça um esboço do gráfico da função:
a) log x3
c) log x10
23) Obter os valores de x que satisfazem à inequação:
a) log x > 32
 
b) log X < 1 5c)log 3x < 00,5
24) Obter os valores de x que verifiquem a inequação,
em cada caso:
a) log x > 210
b) log x1
3
d) t(x) = log x5
3
e) log x <11 
3
b) log x > 22 
3
c) log (x - 1) < -11 
3
b) log (x - 3 ) < 21 
 4
2
d) log (x - 3) < 14
- 41 -
22) Quais das funções logarítmicas seguintes são crescentes?
26) Assinale as proposições verdadeiras:
a) log x > log 7  x > 72 2
b) log x < log 5  0 < x < 53 3
d) log x  log   x  1,5 1,5
c) log x  log 4,1  0 < x  4,11 1 
3 3
o27) Resolva as seguintes inequações do 2 grau com uma
variável, sendo U = IR:
2a) x + 2x - 3 > 0
2c) x + 4x + 7 > 0
2e) -4x + 11x - 6  0
2b) -x + 10x - 25 > 0
2d) x - 13x + 36  0
2
f) x + x > 7x + 16
2 2
h) 3x - 30 > 2x + 51
j) (x-1) (x - 2) < 0
2m) (x - 1)  3 - x
28) Resolver as seguintes inequações:
a) - <
x -2
4
___ 3 - x
2
____ 5
3
__
c) 3 (x + 12) < 4 (2x + 8)
e) - > x - 32x + 1
3
_____ X + 6_____
5
g) 3X - 4 + X < 5X
2
______
i) 2x - >x - 4
5
_____ 2 (2x - 3)
3
_________
d) - < 1
 2
x - 1
10
____ x - 3
5
____
2 2f) (x - 1) - 7 > ( x- 2)
h) - 1 < -x - 1
2 4
____ ____ 2( 1 - 3x)
3
_______ 5
6
__
j) - > 3 -2x - 1
3
_____ x - 4
2
_____ x__
4
4
2o) 1 x - 4 > 3 x + 7
4 3 8 6
2l) x < 1
 9
2 2n) (x + 2) + (x - 2) > x
- 42 -
2
g) x  2x + 3
2 2
i) 8 ( x - 3) + 1 < 5 (x - 1) - 6
b) - - 4x + < 03x
2
__ 7x - 1
2
_____ 1
3
- 43 -




2loglog
22
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
c
b
a) 6,3 c) 2,52 
b) 12,8 d) 12,4 
- 44 -
CAPÍTULO 6 - PROGRESSÕES
1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
1.1 Definição de Progressão Aritmética
Uma seqüência de números a ; a ; … ; a ; a 1; … é uma progressão aritmética quando cada um dos seus termos, a 1 2 n-1 n
partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r (chamada razão da PA).
PA: a : a + rn n-1 , n  2
Se r >0, a PA é crescente; se r<0, a PA é decrescente e se r = 0, a PA é constante.
Assim, se conhecemos o primeiro termo (a ) da PA e sua razão (r), é fácil determinarmos a seqüência de números1
desta PA.
Exemplo: Dado a = 7 e r = 2, temos:1
PA: 7; 9; 11; 13; 15
+ 2 + 2+ 2+ 2
a = a + (n-1)rn 1
Essa igualdade é conhecida como fórmula do termo geral da PA, e é bastante útil na resolução de uma série de 
problemas.
oExemplo: Calcule o 10 termo da PA: 2;7;
Resolução: a = 2 (primeiro termo da PA)1
fazendo n = 10 na fórmula do termo geral, vem:
a = 4710
1.2 Termo Geral da PA
S = n
a + a1 n . n
2
Exemplos de aplicação:
Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA onde 
a = 5 e a = 65.1 20
S20 = 
a + a1 20
2
. 20 = (5 + 65). 10 = 700
Resposta: 700
1.3 Soma dos n primeiros termos da PA.
a = a + (10 - 1)r10 1
a = a + 9r10 1
a = 2 + 9.5 10
oPortanto, o 10 termo desta PA é 47.
1.4 PAs de três termos
PA: x - r ; x ; x + r
São muito comuns problemas envolvendo apenas três termos consecutivos de uma PA.
Exemplo de aplicação:
A soma de três números dé 180 e estão em PA. Quanto é 
necessariamente um número? Então: x - r + x + x + r = 180
3x = 180
x = 60
Resposta: 60
Resolução: Sejam os números x-r; x; x+r
1.5 Propriedades das PAs
Observando a PA de 9 termos
1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33
17 = 
1 + 33
2
- 45 -
Verificamos que:
o1 ) O termo médio (17) é a média aritmética dos extremos (1 e 33):
o2 ) A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos, é igual à soma dos extremos:
1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33
5 + 29 = 34
9 + 25 = 34
13 + 21 = 34
1 + 33 = 34
Então, para a PA: a ; a ; a ; … a ; a , temos:1 2 3 n-1 n 
a = médio
a + a1 n
2
(n ímpar)
a + a = a + a = a + a2 n-1 3 n-2 1 n
1. Calcule r e classifique a PA em cada um dos casos abaixo:
a) PA: 2; 5;...
b) PA: 3_
4
2
5
_; ;... d) PA: -4; -12; -20;...
2. Escreva os cinco primeiros termos da PA onda a = 4 1
 e r = 7.
6. Interpole 5 meios aritméticos entre 1 e 67.
7. Numa PA tem-se a = 44 e a = 64. Determine o pri-10 15
 meiro termo e a razão.
8. Calcule a soma dos 40 primeiros termos da PA onde 
 a = -6 e a = 261 40
9. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da 
 PA: -10; 0;...
10. Três pedaços de madeira têm suas medidas em PA, 
 sendo que a soma dessas três medidas vale 300 cm. 
 Quanto mede necessariamente um pedaço.
5. Calcule o centésimo número ímpar positivo.
4. Calcule a razão da PA onde a = 3 e a = -511 25
o3. Calcule o 10 termo da PA: 3; 7;...
c) PA: -1, 1;...
EXERCÍCIOS
2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
21. Definição de Progressão Geométrica
Uma seqüência de números a a ; a a ; a ;... é uma progressão geométrica quando cada um dos seus termos, a1; 2 3; ...; n-1 n
partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante q (chamada razão da PG).
PG: a : a . qn n-1 , n 2
Se q>1, a PG é crescente; se r 0<q<1, a PG é decrescente; se q = 1, a PG é constante; se q<0, a PG é alternanda ou
 oscilante.
Assim, se conhecemos o primeiro termo (a ) da PG e a sua razão (q), é fácil determinarmos a seqüência de números1
desta PG.
Exemplo: Dado a = 3 e q = 2, temos:1
PG: 3; ;6; 12; 24; 48; …
x2 x2x2x2
2.2 Termo Geral da PG
n-1
a = a . qn 1 
Essa igualdade é conhecida com fórmula do termo geral da PG.
oExemplo: Calcule o 8 termo da PG: 3; 6;... q = 6
3
_= 2Resolução: a = 3 (primeiro termo da PG)1
fazendo n = 8 na fórmula do termo geral, vem: 8-1a = a . q8 1
7a = a . q8 1
7a = 3 . 28
a = 3 . 1288
a = 3848
- 46 -
2.3 Soma dos n primeiros termos da PG
S = n
na (q -1)1
q - 1 ou S = n 
a . q - an 1
q - 1
Exemplo de aplicação: 
Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG, onde 
a = 3 e q = 21
S5 = 
1 5a (q - 1)
 q - 1
=
53(2 - 1)
2 - 1
= 
3(32 - 1)
1
= 93
Resposta: 93
Resolução:
fazendo as substituições a = 3, q = 2 e n = 5 na fórmula 1
da soma:
oPortanto, o 8 termo desta PG é 384.
2.5 Média Geométrica
Dizemos que o termo médio é média geométrica entre os outros dois.
Se a, b e c são termos consecutivos de uma PG, então b é média geométrica entre a e c.
2PG: ...; a; b; c;...  b = a . c
Exemplo de aplicação:
Determine x sabendo que x - 2, 2x + 3 e 4x - 1 estão, 
nesta ordem, em PG.
2.6 Soma dos termos da PG infinita
S = 
a1
1 - q
Exemplo de aplicação:
Calcule a soma dos termos da PG infinita onde a = 3 e q = 1
1
3
_
Resolução: S =
a1
1 - q
= 3
1
3
_1 -
= 
3
2_
3
9
2
_=
Resolução: sejam os números 
temos:
x
q
_ 3. x . xq = 8  x = 8  x = 2
x + x . q = 8
{
aSubstituindo x = 2 na 2 equação, vem:
2 + 2 . q = 8  q = 3
2.4 PGs de três termos
x
q
_PG: ; x; xq
Exemplos de aplicação:
O produto de 3 números em PG é 8. Determine-os, 
sabendo que a soma dos dois últimos é 8.
x
q
_ ; x e x.q (q 0)
Resposta: Os números são: , 2 e 6.2_
3
- 47 -
1
3
_
Resolução:
Utilizando a propriedade da média geométrica, temos:
2(2x + 3) = (x - 2) (4x - 1)
2 2
4x + 12x + 9 = 4x - x - 8x + 2
21x = - 7
x = - 
11. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da PG onde a = 1 e q = -2.1
12. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG: 3, 3
2
_ ;...
o
13. Calcule o 10 termo PG onde a = 1
1
81
_ e q = -3.
14. Calcule a razão da PG onde a = 1 e a = 5.1 4
15. Calcule a soma dos termos da PG infinita onde a = 6 e q = 1
1
10
_
2 3
16. Determine x na equação x + x + x + … = 5.
17. Calcule a razão da PG onde a = 3 e a = 12.1 6
18. Suponha que os números 2, x, y e 1458 estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Desse modo o valor de x + y é:
a) 90 b) 100 c) 180 d) 360
19. O primeiro termo de uma progressão geométrica em que a = 1 e a = 9 é:3 5
a) b) 1
27
_ 1_
9
c) 1
3
_ d) 1 e) 0
e) 1460
1_
8
1_
2
1_
4
20. A soma dos termos da progressão geométrica: 1; ; ; é:
a) 2 b) 0 c) 3 d)1,75 e) n.d.a.
Exercícios
- 48 -
a) 11. 
b) 12. 
c) 13. 
d) 14. 
a) 24 b) 20 c) 18 d) 8 
- 49 -
Gabarito:
1) P ( ; 3)
2) P (1;1) e P ( - ; -2)
3)
a) x’ = -1 ou x’’ = 1
b) x’ = -2 ou x’’ = 2
c) x’ = 2 ou x = 4
d) 
1
3
1
2
4)
a) não (x  0)
b) {x  IR / x > 0}
c) {x  IR / x < 0}
5)
a) x = 12
b) {x  IR / x > 2}
6) S = {(-2;-1), (2;1)}
2
3
1
2
3
2
11) x = 9 12) x = 1
13)
a) S = {1, 2, 3}
b) S = {-1, 4}
c) S = { }
d) = { - 2 , 2 }
14)
a) S = {(3 ; 4)}
b) S = {(4, 2)}
c) S = {(5 ; 3)}
d) S = {(2 ; 3), (-3 ; 8)}
15) C
16) B
17) D
CAPÍTULO 4
Pág. 29
Pág. 32
9)
a) x’ = 
b) x =
4
3
1
2
c) x = 1
d) x = 3
e) x = 2
Pág. 33
Pág. 34
Pág. 35
Pág. 36
1)
a) 3
b) 2
c) -2
d) 1
e) 0
2) 8
3)
a) - 4
b)
c) 6
d)
e)
f) -
g) 45
h) 5
i) 7
j) 5
3
2
3
2
3
2
5
2
5
2
1
3
1
2
4) -
5)
a) -3
b) -
c) - 3
d) - 2
e) -
6)
a) 1
b) 1
7)
a) 3
b) 0
c) 84
8)
a) -5 ou 2
b) -1 ou 2
5
9) x = log3
CAPÍTULO 5
Página 38 
10)
a) D = { x  IR / x > 9}
b) D = { x  IR / x < -2 ou x > 2}
c) D = { x  IR / x > 3}
d) D = { x  IR / x > 0 e x  1}
Página 39 
11)
a) 1,3
b) 2,3
12)
a) 0,8
b) 1,8
c) 1,3
d) 1,9
13) 4
14)
a)
b) 2
c) - 1 + 17
d) 3
5 + 5
2
Página 40 
15) -5
16) 8
17)
a) -0,3
b) -0,15
18) 1,35
19) 8
20)
a) 81
b) 19
c) 1
Página 41 
21)
a)
b)
c)
y
2
1
0 1 x
y
2
1
0
-1
-2
x
y
1
0
-1
1 x
22)
a) crescente
b) decrescente
c) crescente
d) crescente
23)
a) S = {x  IR / x > 8}
b) S = {x  IR / 0 < x < 5}
c) S = {x  IR / x > }
1
3
4
9
1
3
24)
a) S = {x  IR / x > 100}
b) S = {x  IR / 0 < x < }
c) S = {x  IR / 0 < x < 4}
d) S = {x  IR / 0 < x < 3 }
e) S = {x  IR / x > }
f) S = {x  IR / x > 2}
- 50 -
3
4
1
3
1
3
5
2
44
9
1
36
4
5
16
3
7
30
16
5
25)
a) S = { x  IR / x > 3}
b) S = { x  IR / x > 1}
c) S = { x  IR / x > 4}
d) S = { x  IR / 3 < x < 7}
26) a ;b e c
27)
a) S = { x  IR / x < -3 ou x > 1}
b) S = { }
c) S = IR
d) S = { x  IR / x  4 ou x  9}
e) S = { x  IR /  x  2}
f) S = { x  IR / x < -2 ou x > 8}
g) S = { x  IR / -1  x  3}
h) S = { x  IR / x < -9 ou x > 9}
i) S = { x  IR / x < -2 ou x > 2}
j) S = { x  IR / 1 < x < 2}
l) S = { x  IR / - < x < }
m) S = { x  IR / -1  x  2}
n) S = IR
o) S = { x  IR / x < - ou x > 4}
28)
a) S = { x  IR / x < }
b) S = { x  IR / x > - }
c) S = { x  IR / x > }
d) S = { x  IR / x > 0}
e) S = { x  IR / x < 4}
f) S = { x  IR / x > 5}
g) S = { x  IR / x < }
h) S = { x  IR / x < }
i) S = { x  IR / x > -6}
j) S = { x  IR / x > }
- 51 -
 Capítulo 6
 Página 45
1) a)
 
 b) 
 
r = 3
PA crescente
r = 2
PA crescente
r = - 8
PA decrescente
r = -
PA decrescente
9
4
7
20
2) PA: 4, 11, 18, 25, 32
3) a = 3910
4) r = -
5) a = 199100
6) PA: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67
7) a =8 r = 41
8) S = 40040
9) S = 90015
10) 100 cm
 Página 48
11) S = 216
12) S =7
13) a = -24310
314) q = 5
15) S = 
16) x =
5
17) q = 4
18) C
19) B
20) S =
21) B
22) A
381
64
20
3
15
8
5
6
c)
d)
29) C
30) C
31) D
- 52 -
MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
Í N D I C E
Capítulo 7 - Matrizes........................................................................................................................................55
Matriz................................................................................................................................................................55
Igualdade da Matriz............................................................................................................................................ 55
Exercícios ...........................................................................................................................................................56
Adição de Matrizes.............................................................................................................................................56
Matriz - soma.....................................................................................................................................................56
Propriedades......................................................................................................................................................56
Produto de um número por matriz.....................................................................................................................56
Matriz Oposta.....................................................................................................................................................56
Diferença de Matrizes........................................................................................................................................56
Exercícios .......................................................................................................................................................... 57
Matrizes Importantes ...................................................................................................................................... 57
Multiplicação de Matrizes...................................................................................................................................58
Produto de Matrizes............................................................................................................................................58
Exercícios .......................................................................................................................................................... 58
Matriz Transposta..............................................................................................................................................59
Propriedades da Transposta..............................................................................................................................59
Exercícios .......................................................................................................................................................... 59
Matriz Inversível..................................................................................................................................................60
Unicidade da Inversa...........................................................................................................................................60
Propriedades da Matriz Inversa..........................................................................................................................60
Exercícios ...........................................................................................................................................................60
Capítulo 8 - Determinantes..................................................................................................................................62
Determinante de 1ª ordem ................................................................................................................................62
Determinante de 2ª ordem ................................................................................................................................62
Determinante de 3ª ordem ................................................................................................................................64
Determinantes de uma matriz ................................................................................................................................64
Menor complementar .............................................................................................................................................64
Propriedades Determinantes .................................................................................................................................65