MAT 3 - [aula 12] - Cilindros

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M I L I T A R
PROF.
DISCIP.
ANO
SUB.
Italo
Matemática Matemática III
2021
“É melhor lançar-se à luta em busca do triunfo, mesmo expondo-se ao insucesso, do que ficar na fila dos pobres de espírito, que nem gozam muito nem
sofrem muito, por viverem nessa penumbra cinzenta de não conhecer vitória e nem derrota.”
Franklin D. Roosevelt
Cilindros
Questões EsSA
���(EsSA-2012) QUESTÃO 1.
Dobrando-se a altura de um cilindro circular reto e triplicando o raio de
sua base, pode-se afirmar que seu volume fica multiplicado por
(a) 6.
(b) 9.
(c) 12.
(d) 18.
(e) 36.
���(EsSA-2019) QUESTÃO 2.
Um cilindro equilátero é aquele cilindro reto que possui altura igual ao dobro
do raio da base. Sabendo que o volume é calculado pela fórmula π · R2 · h,
quando mede o volume de um cilindro equilátero que possui raio igual a π?
(a) 6 · π
(b) 2 · π4
(c) π
(d) 4 · π2
(e) π6
Questões EEAr
���(EEAR-2001) QUESTÃO 3.
A secção meridiana de um cilindro equilátero tem 4
√
2 cm de diagonal. O
volume do cilindro, em cm3, é de:
(a) 16π
(b) 24π
(c) 32π
(d) 54π
���(EEAR-2001) QUESTÃO 4.
Um cilindro circular reto tem o volume igual ao de um cubo de aresta a
e a área lateral igual à área total do cubo. O raio e a altura desse cilindro
medem, respectivamente:
(a) a
2
e 3πa
(b) a
3
e 9a
π
(c) 2a e 3πa
(d) 3a e 9a
π
���(EEAR-2002) QUESTÃO 5.
Um tanque cilíndrico com água tem raio da base R. Mergulha-se nesse
tanque uma esfera de aço e o nível da água sobe 9
16
R. O raio da esfera é
(a) 3
4
R
(b) 9
16
R
(c) 3
5
R
(d) R
2
���(EEAR-2002) QUESTÃO 6.
A área da secção paralela ao eixo de um cilindro circular reto, de 8m de
altura e 1m de raio, feita a 0, 6m do eixo, em m2, é
(a) 16, 00
(b) 12, 80
(c) 6, 40
(d) 8, 60
���(EEAR-2002) QUESTÃO 7.
A geratriz de um cilindro de revolução mede 10 cm. Qual o seu raio da base,
sabendo-se que, aumentando-se esse raio em 10 cm e mantendo-se a altura, a
área lateral do novo cilindro é igual à área total do primeiro?
(a) 2, 5 cm
(b) 5
√
2 cm
(c) 10 cm
(d) 20 cm
���(EEAR-2002) QUESTÃO 8.
Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e raio
da base 3m. O nível da água nele contida está a uma distância do fundo do
tanque igual aos 2
3
da sua altura. Adotando-se π = 3, 14, a quantidade de
litros de água que o cilindro contém é
(a) 113010
(b) 113040
(c) 113050
(d) 113080
���(EEAR-2003) QUESTÃO 9.
Um barril, cuja forma é a de um cilindro reto, está repleto de vinho. Este
vinho deve ser distribuído em copos cilíndricos de altura igual a 1
8
da altura
do barril, e de diâmetro da base igual a 1
5
do diâmetro da base do barril. A
quantidade de copos necessária para distribuir todo o vinho é
(a) 400
(b) 300
(c) 200
(d) 100
���(EEAR-2004) QUESTÃO 10.
Um vaso tem formato de um cilindro reto, de 16 cm de altura interna e 6 cm
de diâmetro interno. Ele contém água até 1
3
de sua altura. Acrescentando-
se uma quantidade de água equivalente ao volume de uma esfera de 6 cm de
diâmetro, o nível da água subirá
(a) 3 cm.
(b) 4 cm.
(c) 5 cm.
(d) 6 cm.
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���(EEAR-2005) QUESTÃO 11.
Num cilindro circular reto, o diâmetro da base mede 8 cm e a geratriz, 10 cm.
A área lateral desse cilindro, em cm2, é
(a) 160π.
(b) 80π.
(c) 80.
(d) 40.
���(EEAR-2005) QUESTÃO 12.
Um prisma quadrangular regular esta circunscrito a um cilindro equilátero.
Se a aresta da base do prisma mede 4 cm, então o volume do cilindro, em cm3,
é:
(a) 16π.
(b) 12π.
(c) 8π.
(d) 4π.
���(EEAR-2006) QUESTÃO 13.
Um plano determina dois semicilindros quando secciona um cilindro reto
de 2, 5 cm de altura e 4 cm de diâmetro da base, passando pelos centros de
suas bases. A área total de cada um desses semicilindros, em cm2, é aproxi-
madamente igual a
(a) 28.
(b) 30.
(c) 38.
(d) 40.
���(EEAR-2007) QUESTÃO 14.
O raio da base de um cilindro equilátero e a aresta de um cubo são congru-
entes. A razão entre as áreas totais do cilindro e do cubo é
(a) 2.
(b) 4.
(c) π.
(d) 2π.
���(EEAR-2008) QUESTÃO 15.
Um cilindro de cobre tem volume V, raio da base R = 50 cm e altura H =
40 cm. Este cilindro será derretido para fazer cilindros de volume v, raio r = R
5
e altura h = H
4
. Dessa forma, V
v
=
(a) 50.
(b) 100.
(c) 150.
(d) 200.
���(EEAR-2008) QUESTÃO 16.
Um retângulo, de lados 2m e 5m, gira 360◦ em torno de seu maior lado. A
área lateral do sólido obtido, em m2, é
(a) 10.
(b) 20.
(c) 10π.
(d) 20π.
���(EEAR-2008) QUESTÃO 17.
A diagonal da secção meridiana de um cilindro equilátero mede 10
√
2 cm.
A área lateral desse cilindro, em cm2, é
(a) 250π.
(b) 200π.
(c) 100π.
(d) 50π.
���(EEAR-2012) QUESTÃO 18.
Um cilindro de altura H = 5 cm e raio da base R = 4 cm, tem volume V =
π cm3.
(a) 50
(b) 60
(c) 70
(d) 80
���(EEAR-2013) QUESTÃO 19.
Um cilindro equilátero cuja geratriz mede 8 cm, tem área lateral igual a
π cm2.
(a) 128
(b) 64
(c) 32
(d) 16
���(EEAR-2015) QUESTÃO 20.
Os especialistas alertam que é preciso beber, em média, 2 litros de água por
dia. Isso equivale a 10 copos com capacidade de 200 cm3. Um copo cilíndrico
com esta capacidade e 2 cm de raio da base tem, aproximadamente,
cm de altura. (Considere π = 3)
(a) 17
(b) 18
(c) 19
(d) 20
���(EEAR-2016) QUESTÃO 21.
Um cilindro de 18 cm de altura e raio da base igual a 5 cm contém água até
a metade de sua altura. Por algum motivo, houve necessidade de despejar
essa água em um outro cilindro com 40 cm de altura, cujo raio da base mede
4 cm.
Considerando π = 3, o valor que mais se aproxima da altura atingida pela
água no segundo cilindro é
(a) 14 cm
(b) 16 cm
(c) 20 cm
(d) 24 cm
���(EEAR-2018) QUESTÃO 22.
Um cilindro equilátero tem 196π cm2 de área lateral. O raio da base desse
cilindro mede cm.
(a) 5
(b) 6
(c) 7
(d) 8
���(EEAR-2019) QUESTÃO 23.
Um cilindro circular reto, de altura igual a 2
3
do raio da base e de 12π cm2
de área lateral, possui raio da base igual a cm.
(a) 5
(b) 4
(c) 3
(d) 2
2
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Questões EsPCEx
���(EsPCEx-2000) QUESTÃO 24.
Num recipiente em forma de cilindro circular reto, com raio da base 2 cm e
altura 6
√
3 cm (dimensões internas), há um volume de água de 16
√
3 cm3. O
maior ângulo α que o plano da base do cilindro pode fazer com a horizontal
para que a água não derrame ao se inclinar o cilindro é de, aproximadamente
(considere: tg 30◦ = 0, 58, tg 40◦ = 0, 84, tg 50◦ = 1, 19, tg 60◦ = 1, 73 e tg 70◦ =
2, 75),
(a) 30◦
(b) 40◦
(c) 50◦
(d) 60◦
(e) 70◦
���(EsPCEx-2002) QUESTÃO 25.
Dois recipientes, um em forma de cilindro e o outro, de paralelepípedo,
cujas bases estão num mesmo plano, são unidos por uma tubulação com uma
válvula no meio. Inicialmente, a válvula está fechada, o paralelepípedo está
vazio e o cilindro é ocupado, em parte, por um líquido cujo volume é de
2000π litros, atingindo uma altura de 2 metros. A válvula é aberta e, após
certo tempo, verifica-se que os dois recipientes têm o mesmo nível do líquido.
Considerando desprezível o volume da tubulação que une os dois reservatórios
e sabendo que a área da base do paralelepípedo é de 1, 5πm2, o volume final,
em litros, de líquido no paralelepípedo é
(a) 600π
(b) 800π
(c) 1000π
(d) 1200π
(e) 1500π
���(EsPCEx-2003) QUESTÃO 26.
Uma lata cilíndrica está completamente cheia de um líquido que deve ser
distribuído totalmente em potes iguais entre si, também cilíndricos. A altura
de cada pote é igual a 2
5
da altura da lata e o diâmetro de sua base é 1
3
do diâmetro da base da lata. Para tal distribuição, a quantidade mínima de
potes a serem utilizados é
(a) 22.
(b) 23.
(c) 24.
(d) 25.
(e) 26.
���(EsPCEx-2004) QUESTÃO 27.
Se a área lateral e a área total de um cilindro reto são 2πA e 2πS respecti-
vamente, então, o volume deste sólido é igual a:
(a) πA
√
S − A
(b) πS
√
S − A
(c) πA
√
S + A
(d) πS
√
S + A
(e) π
√
S + A
���(EsPCEx-2006) QUESTÃO 28.
Um tonel, em forma de cilindro circular reta, tem 60 cm de altura. Umaminiatura desse tonel tem 20 cm de altura e raio diretamente proporcional à
altura. Se a miniatura tem 100m` de volume, então o volume do tonel original
é de
(a) 30 `
(b) 27 `
(c) 2, 7 `
(d) 3 `
(e) 300m`
���(EsPCEx-2007) QUESTÃO 29.
Uma barraca de campanha militar possui o formato apresentado no desenho
abaixo.
A curva ABC é um arco de 90◦ de uma circunferência com 10 metros de
raio. O segmento mede 20 metros. Admitindo π = 3, 14, podemos concluir
que o volume do interior da barraca é de aproximadamente:
(a) 480m2
(b) 570m2
(c) 618m2
(d) 1140m2
(e) 2880m2
���(EsPCEx-2011) QUESTÃO 30.
A figura abaixo representa dois tanques cilíndricos, T1 e T2, ambos com
altura h, e cujos raios das bases medem R e R
√
2, respectivamente. Esses
tanques são usados para armazenar combustível e a quantidade de combustível
existente em cada um deles é tal que seu nível corresponde a 2
3
da altura.
O tanque T1 contém gasolina pura e o tanque T2 contém uma mistura
etanol-gasolina, com 25% de etanol.
Deseja-se transferir gasolina pura do tanque T1 para T2 até que o teor de
etanol na mistura em T2 caia para 20%.
Nessas condições, ao final da operação, a diferença entre a altura dos níveis
de T1 e T2 será
(a) 1
2
h
(b) 1
3
h
(c) 1
4
h
(d) 1
5
h
(e) 1
6
h
3
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Questões EFOMM
���(EFOMM-2005) QUESTÃO 31.
A figura abaixo representa um cilindro de motor de combustão, cujo pistão
se desloca entre A e B, comprimindo o ar em seu interior. Se a relação de
compressão de ar, entre os volumes máximo e mínimo é de 10 : 1 e o volume
mínimo é de 0, 5 ` , então o diâmetro do pistão será ( considere π = 3)
(a) 6000
AB
(b) 20
√
15AB
AB
(c) 200
√
AB
(d) 20, 8
√
AB
(e) 12, 5
√
15AB
���(EFOMM-2007) QUESTÃO 32.
Um copo com o formato de um cilindro circular reto, cujo diâmetro interno
mede 4 cm está cheio de jacuba (suco de sabor não identificável) atá a borda.
Inclinando esse corpo, despeja-se o líquido nele contido até que atinja a marca
que dista da borda, 16
π
cm3. O volume do líquido despejado é
(a) 16 cm3
(b) 20 cm3
(c) 32 cm3
(d) 64 cm3
(e) 80 cm3
���(EFOMM-2008) QUESTÃO 33.
Cabeço: coluna de ferro, de altura reduzida, encravada à beira de
um cais ou junto à borda de uma embarcação, para nela se dar volta
à espia de amarração conforme figura acima.
A bordo de um navio em Belém, durante uma aula de Cálculo, a professora
propôs a um grupo de alunos que calculassem a massa, em gramas, de um
cabeço. De acordo com a figura acima, considerando a densidade do ferro
7, 8 g/cm3 e π ≈ 3, a massa encontrada foi:
(a) 54.000 g
(b) 421.200 g
(c) 432.000 g
(d) 435.000 g
(e) 52.000 g
���(EFOMM-2009) QUESTÃO 34.
Na construção de um prédio, para levar água da cisterna à caixa superior,
foram usados canos de ferro de duas polegadas. Considerando os dados abaixo,
qual a massa aproximada de cada um desses canos?
Use π = 3, 14
Comprimento de um cano: 6m
Diâmetro externo: 5 cm
Diâmetro interno: 4, 4 cm
Densidade do ferro: 7, 8 g/cm3
(a) 16.720 g
(b) 17.750 g
(c) 18.920 g
(d) 20.720 g
(e) 21.550 g
Questões AFA
���(AFA-2006) QUESTÃO 35.
Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 30 cm
e raio da base 10 cm está cheio de água. São feitos, simultaneamente, dois
furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm de altura do fundo. Cada
um desses furos permite uma vazão de 1 litro por minuto. A quantidade de
água restante no reservatório após 4π
3
minutos é, em litros,
(a) π
(b) 3π
4
(c) 2π
3
(d) π
4
���(AFA-2011) QUESTÃO 36.
Uma vinícola armazena o vinho produzido em um tanque cilíndrico (reto)
com sua capacidade máxima ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente
em barris idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários mercados
de uma cidade.
Sabe-se que cada mercado receberá 2 barris de vinho, com altura igual a 1
5
da altura do tanque e com diâmetro da base igual a 1
4
do diâmetro da base do
tanque. Nessas condições, a quantidade x de mercados que receberão os barris
(com sua capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo
(a) 0 < x < 20
4
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(b) 20 ≤ x < 40
(c) 40 ≤ x < 60
(d) 60 ≤ x < 80
���(AFA-2015) QUESTÃO 37.
Na figura abaixo, tem-se um cubo cuja aresta mede k centímetros; as su-
perfícies S1 e S2, contidas nas faces desse cubo, são limitadas por arcos de
circunferências de raio k centímetros e centros em, respectivamente, D e B, H
e F.
O volume do sólido formado por todos os segmentos de reta com extre-
midades em S1 e S2, paralelos a CG e de bases S1 e S2, é, em cm3, igual
a
(a) k
3(π − 1)
2
(b) k
3(π − 2)
2
(c) k
3(π − 1)
4
(d) k
3(π − 2)
4
Questões EN
���(EN-2010) QUESTÃO 38.
Três cilindros circulares retos e iguais têm raio da base R, são tangentes entre
si dois a dois e estão apoiados verticalmente sobre um plano. Se os cilindros
têm altura H, então o volume do sólido compreendido entre os cilindros vale
(a) R
2H(4
√
3 − π)
4
(b) 3π
√
3R2H
2
(c) R
2H(4
√
3 − π)
2
(d) R
2H(3
√
3 − π)
2
(e) R
2H(2
√
3 − π)
2
���(EN-2014) QUESTÃO 39.
Sabendo-se que um cilindro de revolução de raio igual a 20 cm, quando
cortado por um plano paralelo ao eixo de revolução, a uma distância de 12 cm
desse eixo, apresenta secção retangular com área igual à área da base do
cilindro. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos é
(a) 6000π2
(b) 5000π2
(c) 4000π2
(d) 3000π2
(e) 2000π2
Questões UERJ (qualificação)
���(UERJ-2007) QUESTÃO 40.
Em uma estação de tratamento de efluentes, um operador necessita preparar
uma solução de sulfato de alumínio de concentração igual a 0, 1mol/L, para
encher um recipiente cilíndrico, cujas medidas internas, altura e diâmetro da
base, estão indicadas na figura abaixo.
Considerando π = 3, a quantidade mínima de massa de sulfato de alumínio
necessária para o operador realizar sua tarefa é, em gramas, aproximadamente
igual a:
(a) 3321
(b) 4050
(c) 8505
(d) 9234
���(UERJ-2010) QUESTÃO 41.
A figura a seguir representa um fio AB de comprimento igual a 100 cm,
formado de duas partes homogêneas sucessivas: uma de alumínio e outra,
mais densa, de cobre. Uma argola P que envolve o fio é deslocada de A para
B.
Durante esse deslocamento, a massa de cada pedaço de comprimento AP é
medida. Os resultados estão representados no gráfico abaixo:
A razão entre a densidade do alumínio e a densidade do cobre é aproxima-
damente igual a:
(a) 0, 1
(b) 0, 2
(c) 0, 3
(d) 0, 4
���(UERJ-2017) QUESTÃO 42.
Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura AA ′ de 10 cm.
O plano α, perpendicular à seção meridiana ABB ′A ′, que passa pelos pontos
B e A ′ das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem.
5
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O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano α e a base
inferior, em cm3, é igual a:
(a) 8π
(b) 12π
(c) 16π
(d) 20π
Questões UERJ (discursivas)
���(UERJ-2004) QUESTÃO 43.
Em um supermercado, podemos encontrar manteiga em dois tipos de em-
balagens de forma cilíndrica:
• a menor tem raio da base medindo 4 cm, altura igual a 5 cm, contém 200 g
e custa R$1, 75;
• a maior tem diâmetro da base medindo 10 cm, altura igual a 8 cm e custa
R$4, 00.
Supondo que a densidade da manteiga seja constante, determine:
a) a quantidade de manteiga, em gramas, contida na embalagem maior;
b) a embalagem que apresenta o menor preço por unidade de medida.
���(UERJ-2005) QUESTÃO 44.
Um lago circular com diâmetro de 40m e profundidade uniforme de 3m
tem 80% de sua capacidade ocupada por água poluída que apresenta uma
concentração de sais de mercúrio de 0, 5 kg por litro. Uma indústria despeja no
lago, a uma taxa de 10 ` por segundo, água poluída com a mesma substância,
porém com concentração de 1, 5 kg por litro.
a) Considerando π = 3, calcule o número de horas necessário para que o
lago fique totalmente cheio.
b) Supondo uma mistura homogênea, determine a concentração de sais de
mercúrio no lago, no instante em que ele está cheio.
���(UERJ-2010) QUESTÃO 45.
Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes porum plano que contém
duas diagonais de faces opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga,
uma lata com a forma de um cilindro circular reto, conforme ilustrado abaixo.
Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na
divisória, calcule a razão entre o volume do cilindro e o da caixa.
Questões UFRJ
���(UFRJ-2011) QUESTÃO 46.
Considere a superfície cilíndrica S obtida a partir da superposição dos seg-
mentos AB e DC do retângulo ABCD indicado a seguir.
Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a superfície S, partindo
do ponto P para chegar ao ponto Q. Determine o comprimento desse caminho.
GABARITO
Questão 1: D
Questão 2: B
Questão 3: A
Questão 4: B
Questão 5: A
Questão 6: B
Questão 7: C
Questão 8: B
Questão 9: C
Questão 10: B
Questão 11: B
Questão 12: A
Questão 13: C
Questão 14: C
Questão 15: B
Questão 16: D
Questão 17: C
Questão 18: D
Questão 19: B
Questão 20: A
Questão 21: A
Questão 22: C
Questão 23: C
Questão 24: D
Questão 25: D
Questão 26: B
Questão 27: A
Questão 28: C
Questão 29: B
Questão 30: A
Questão 31: B
Questão 32: C
Questão 33: ANULADA
Questão 34: D
Questão 35: C
Questão 36: C
Questão 37: B
Questão 38: E
Questão 39: B
Questão 40: D
Questão 41: C
Questão 42: D
Questão 43: 500 g de manteiga, b) A embalagem maior apresenta manor
preço por unidade de medida.
Questão 44: a) 20h, b) 0, 7kg/L
Questão 45: Vcilindro
Vcubo
= π
(2 −
√
2)2
4
Questão 46: 3
√
2
6
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