Atividade de Autoaprendizagem 1

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1. Pergunta 1
0/0
Para calcular o divergente de um campo vetorial, primeiro se faz a derivada parcial das componentes em suas respectivas direções (lembrando que i, j e k representam as componentes nas direções de x, y e z). Depois, essas derivadas parciais são somadas, resultando em um campo escalar.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais divergentes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xzi+xyzj-y2 k, o divergente é ∇∙F=zi+xzj.
II. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xyzi-x2 yk, o divergente é ∇∙F=yz.
III. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=cosxzj-sinxyk, o divergente é ∇∙F=0.
IV. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=ex sinyi+ex cosyj+zk, o divergente é ∇∙F=2ex siny+1.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, F, V, F.
2. 
F, V, V, F.
Resposta correta
3. 
F, F, V, V.
4. 
V, V, F, F.
5. 
V, F, F, V.
2. Pergunta 2
0/0
Curvas de níveis são as regiões em uma função em que ela possui sempre o mesmo valor. Para a construção de curvas de níveis, basta fazer f(x,y)=k, no qual k corresponde a uma constante. Isso equivale a fazer um mapa das linhas da função onde a função tem o mesmo valor k.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre curvas, analise as funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas características.
1) f(x,y)=cos⁡(x)+sen(y).
2) f(x,y)=4x+3y.
3) f(x,y)=(x+y)/(x2+y2 ).  
4) f(x,y)=y^2.
Curvas de níveis:
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
3, 1, 4, 2.
Resposta correta
2. 
3, 2, 4, 1.
3. 
1, 2, 3, 4.
4. 
2, 3, 4, 1.
5. 
4, 3, 1, 2.
3. Pergunta 3
0/0
O estudo dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é importante, também, para a definição de algumas possíveis operações a serem realizadas entre eles. O Laplaciano, por exemplo, é definido pelo cálculo do divergente de um gradiente de uma função escalar f. Tome como exemplo uma funçãof(x,y,z)=xyz.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca dos campos divergentes, gradientes e rotacionais, e acerca do Laplaciano, afirma-se que o Laplaciano escalar dessa função é 0 porque:
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1. 
as derivadas parciais de são 0.
Resposta correta
2. 
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R².
3. 
o operador diferencial nabla é escrito na forma (∂2/∂x + ∂2/∂y + ∂2/∂z).
4. 
os eixos x, y e z são ortogonais entre si.
5. 
as derivadas parciais de  são 1.
4. Pergunta 4
0/0
O conhecimento da natureza de um objeto matemático permite uma manipulação algébrica desse objeto de forma mais precisa. No caso dos campos gradientes, divergentes e rotacionais, o conhecimento acerca de suas naturezas é fundamental para manipulá-los entre si.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca da natureza dos campos gradientes, divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Um campo gradiente é um campo vetorial.
II. ( ) Um campo rotacional é um campo vetorial.
III. ( ) Um campo divergente é um campo vetorial.
IV. ( ) Um campo divergente em R³ é escrito na forma ∂A/∂x + ∂B/∂y + ∂C/∂z.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, F, F, F.
2. 
F, V, F, V.
3. 
V, F, V, F.
4. 
V, V, F, V.
Resposta correta
5. 
V, V, F, F.
5. Pergunta 5
0/0
Em funções de uma variável, uma função é contínua quando, para todo a pertencente ao domínio da função. Isto é, o limite da função no ponto existe, a função no ponto está definida e ambos são iguais para todo ponto do domínio.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre continuidade de funções de várias variáveis, analise as afirmativas a seguir.
I. Uma função f(x,y) é contínua quando  para todo (a,b) pertencente ao domínio.
II. A função  é contínua no domínio
III. A função definida por partes f é descontínua.
IV. A função definida por partes  é descontínua.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II, III e IV.
2. 
I, II e IV.
Resposta correta
3. 
I e II.
4. 
II e IV.
5. 
I, III e IV.
6. Pergunta 6
0/0
A interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável é a de que ela representa a inclinação da reta tangente ao ponto da função que se calcula a derivada. Sabendo disso, a derivada pode ser aplicada para determinar os pontos de máximo e mínimo da função. Basta derivar e igualar a zero. Uma vez achado estes pontos, para determinar se é um ponto de máximo ou de mínimo, faz-se o teste da segunda derivada (se a segunda derivada no ponto for positiva, é ponto de mínimo e se for negativa, de máximo). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir.
I. A interpretação geométrica da derivada parcial é a inclinação da reta tangente à curva da direção que se calcula a derivada.
II. Para determinar os pontos de máximo e mínimo em funções de duas variáveis, basta igualar uma das derivadas a zero.
III. No teste da segunda derivada, os sinais das derivadas segundas em x e em y devem ser os mesmos para termos um ponto de máximo ou mínimo.
IV. O ponto destacado no gráfico tem as derivadas parciais em x e em y igual a zero.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II, III e IV.
2. 
I, II e IV.
3. 
I, III e IV.
Resposta correta
4. 
I e II.
5. 
II e IV.
7. Pergunta 7
0/0
Em limite de funções de uma variável, há apenas duas formas de se aproximar do ponto do qual se quer calcular o limite. Pode-se aproximar pela esquerda〖f(x)=L_1 〗 ou pela direita Neste contexto, diz-se que o limite de f(x) existe quando L1=L2, isto é, se os limites laterais convergem para o mesmo número. Em duas variáveis, não há apenas dois sentidos para se aproximar do ponto (a,b), há infinitas direções e caminhos.
Considerando essas informações e seus conhecimentos de limites, quando o limite em funções de duas variáveis ( existe é porque:
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1. 
f(x,y) está definido em (a,b).
2. 
os limites laterais por x e por y convergem para a mesma constante, isto é, 
3. 
existe pelo menos um caminho que se aproxima de (a,b) e converge para um número real L.
4. 
a é igual a b.
5. 
o limite por todos os caminhos que se aproximam de (a,b) convergem para a mesma constante L.
Resposta correta
8. Pergunta 8
0/0
Derivar em três variáveis é o mesmo procedimento que derivar para duas. Considere as outras variáveis como constantes e use as técnicas de derivação convencionais. Por exemplo, para f(x,y)=x+y+1, a derivada em y é fy (x,y)=1.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir.
I. A derivada em relação a z da função f(x,y,z)=x2+y2+z2 é fz (x,y,z)=2z.
II. A derivada em relação a x da função f(x,y,z)=sen(√(x2+y2+z2 )) é fx (x,y,z)=cos⁡(√(x2+y2+z2 ))/(2√(x2+y2+z2 )).
III. A derivada em relação a y da função f(x,y,z)=ln⁡xyz é fy (x,y,z)=1/y.
IV. As primeiras derivadas de f(x,y,z)=ex+y+z são iguais.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II e IV.
2. 
I e II.
3. 
II, III e IV.
4. 
I, III e IV.
Resposta correta
5. 
II e IV.
9. Pergunta 9
0/0
A representação do domínio de uma função de duas dimensões pode ser feita de maneira matemática, escrevendo analiticamente o conjunto ou visualmente, hachurando o plano XY. A forma de determinar qual é o domínio é verificar se a função possui alguma proibição de valor, por exemplo, f(x)=1/x. Como não há divisão por zero na matemática, X não pode ser zero, sendo o seu domínio D={x ϵ R ┤|x≠0}.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir colocando V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s).
I. ( ) O domínio da função f(x,y) =√(x+y)/(x-1) x é D = {(x, y) | x+y≥0 e x≠1};
II. ( ) O domínio da função f(x,y)=ln⁡ (y^2-x) é D = {(x, y)| x≥y²};
III. ( ) O domínio da função f(x,y) = x²-y² é D = R² (todo par ordenado real);
IV. ( ) O domínio da função f(x,y)=1/√(4-x+y) é D = {(x,y) | x-y ≥4}.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
V, V, V, F.
2. 
F, V, V, F.
3. 
V, V, F, F.
4. 
V, F, V, F.
Resposta correta
5. 
F, V, F, V.
10. Pergunta 10
0/0
Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função cruza os eixos das coordenadas cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as outras variáveis referentes aos outros eixos. Por exemplo, f(x,y)=x+y2-3, fazendo y=0, temos f(x,0)=x-3. Fazendo f(x,0)=0, temos que a função cruza o eixo x em x=3.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). 
I. ( ) A função f(x,y)=1 não cruza os eixos x e y.
II. ( ) A função f(x,y)=1-x-y cruza os eixos x e y respectivamente em x=1 e y=1.
III. ( ) A função f(x,y)=√(x2+y2 ) cruza o eixo y em y=1.
IV. ( ) A função f(x,y)=√(16+x2+y2 ) cruza o eixo z em f(0,0)=4.
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, V, F
2. 
V, V, V, F
3. Incorreta:
V, V, F, F
4. 
V, V, F, V
Resposta correta
5. 
F, V, F, V