Apostila Analise Exploratória de Dados

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Análise Exploratória de Dados (CC0269) 
 
Professor: Paulo Rogério Faustino Matos 
Monitor: Felipe Deus 
Contatos: 
 paulomatos@caen.ufc.br felipedeusdanobrega@gmail.com 
Período: 2013 – I 
Carga horária/ Créditos: 64 horas/ 4 créditos 
Horário da Disciplina: 3a e 5a (18:30 – 20:10) 
Horário de atendimento do monitor: segunda-feira, das 14:00 às 18:00 (NCF/CAEN) 
Pré-requisitos: - x - 
 
 
 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
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Programa da disciplina 
 
I – OBJETIVO 
Com a atual disponibilidade dos recursos computacionais e a partir do aprofundamento do estudo 
das ciências matemática e estatística, inúmeros são os avanços evidenciados na análise de dados e 
modelagem de fenômenos, sejam estes de natureza comportamental, na área de saúde, econômica ou 
atuarial, diferenciando estas ciências das demais, ao permitir que se testem empiricamente arcabouços e 
modelos, por exemplo. 
Em suma, em um estudo empírico o pesquisador se depara com o usual problema de analisar e 
entender um determinado conjunto de dados relevante ao seu objetivo particular. Assim, o primeiro passo 
em estudos aplicados consiste em sujar as mãos com os dados, visando transformá-los em informações, de 
forma que possam fundamentar comparações e conclusões. 
Os objetivos serão: (i) propiciar ao aluno não somente um maior contato com métodos 
quantitativos per si, mas sim familiarizá-lo com as técnicas, fazendo-o reconhecer sua relevância e aplicação 
quando da solução de modelos econômicos e (ii) conjugar conhecimentos acadêmicos e profissionais através 
de uma exposição clara, didática e objetiva, abordando conceitos teóricos que norteiam a análise e o 
raciocínio analítico, como também propondo casos e exercícios, dos mais simples e usuais aos mais 
complexos e específicos. 
 
 
II – EMENTA 
Introdução; Análise dos dados; Métricas estatísticas; Análise bidimensional. 
 
 
III – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
#1. Introdução 
Estatística descritiva e inferencial 
 População e amostra 
Variáveis qualitativas e quantitativas 
 
#2. Análise dos dados (B&M: 2 e FBS&C: 2) 
 Tipos de variáveis 
 Representação gráfica 
 Representação tabular 
 
 
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#3. Métricas estatísticas (B&M: 3 e FBS&C: 3) 
 Medidas de posição 
 Medidas de dispersão 
 Quantis 
 Assimetria e curtose 
Box plot 
 
#4. Análise bidimensional (B&M: 4) 
Variáveis qualitativas 
Variáveis quantitativas 
 
 
IV – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFIAS 
Bibliografia Básica: 
[B&M] Bussab, Wilson e Morettin, Pedro, “Estatística básica”. Ed. Saraiva, 6ª edição, 2010 
[FBS&C] Fávero, L. Belfiore, P., Silva, F. e Chan, B., “Análise de dados”. Ed. Campus, 1ª edição, 2009 
 
 
 
V – METODOLOGIA 
- Aulas presenciais teóricas 
- Apresentação de estudos de caso 
- Resolução de exercícios 
- Utilização de softwares (Excel) 
 
 
VI – AVALIAÇÃO 
A nota final será determinada pela média ponderada das seguintes notas parciais: 
- 40% referentes à avaliação individual 
- 40% referentes à trabalho em equipe 
- 20% referentes à lista de exercícios individual 
 
 
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VII – CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR 
Paulo Rogério Faustino Matos é Doutor em Economia pela Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV-RJ, 
2003 - 2006), onde foi bolsista Nota 10 da FAPERJ – destinada ao primeiro lugar do curso – e Engenheiro 
Civil pela Universidade Federal do Ceará (UFC, 1997 - 2002). Atualmente é Professor Adjunto III nos 
programas de Graduação em Ciências Atuariais da UFC e de Pós-Graduação em Economia da UFC 
(CAEN/UFC). Em termos de pesquisa, é pesquisador do CNPq, compõe o grupo de pesquisadores do 
Laboratório de Estudo da Pobreza (LEP/CAEN) e do Núcleo de Conjuntura Econômico-Financeira 
(NCF/CAEN), é parecerista de algumas das principais revistas em finanças e economia do país e membro 
da Sociedade Brasileira de Finanças (SBFin). Suas áreas de pesquisa são: i) Finanças Internacionais; ii) 
Apreçamento de Ativos e iii) Sistema Financeiro e Desenvolvimento. Participa atualmente como 
Conselheiro do Instituto de Desenvolvimento Econômico, Social e de Políticas Públicas (IDESPP). 
Endereço para CV lattes: http://lattes.cnpq.br/0288522400109962 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
1. Introdução ............................................................................................................................................................................ 6 
 
2. Análise dos dados ..................................................................................................................................................... 11 
 
3. Métricas estatísticas ............................................................................................................................................... 26 
 
4. Análise bidimensional ....................................................................................................................................... 53 
 
 
 
 
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1. Introdução 
1.1. Contexto histórico 
Desde a antigüidade, as civilizações já demonstravam preocupação em registrar o número de 
habitantes, de nascimento, de óbitos e até faziam estimativas das riquezas individual ou social. Uma 
aplicação bastante comum era a cobrança de impostos por parte do estado, o que possivelmente motivou o 
uso da ciência estatística, cuja origem vem de status, que significa em latim Estado. Com essa palavra faziam-
se as descrições e dados relativos aos Estados, tornando a Estatística um meio de administração para os 
governantes. 
Mais recentemente se passou a falar em estatística em várias ciências de todas as áreas do 
conhecimento humano, onde pode definir a Estatística como “um conjunto de métodos e processos 
quantitativos que servem para estudar e medir os fenômenos coletivos”. Ao se estudar os fenômenos 
coletivos, o que interessa são os fatos que envolvem os elementos desses fenômenos, como eles se 
relacionam e qual o seu comportamento. 
 
1.2. Amostra e população 
A estatística consiste em uma espécie de matemática aplicada, podendo ser vista como um 
conjunto de técnicas utilizadas para planejar experimentos, obter dados e organizá-los, resumi-los, analisá-
los, interpretá-los e deles extrair conclusões. Esta ciência tal e qual a estudamos hoje em dia, faz uso do 
sistema numérico hindu-arábico, o qual foi introduzido nas sociedades que habitam o ocidente há cerca de 
oito séculos. 
Como veremos em detalhes na subseção a seguir, iremos trabalhar com dados numéricos ou não, 
os quais precisam ser coletados. A vertente da ciência que lida com a extração de dados consiste na teoria da 
amostragem, cujo estudo se dá durante o curso de inferência estatística. 
Mesmo antes de um estudo detalhado sobre esta teoria de amostragem, os conceitos de população 
a mostra precisam ser abordados. 
Definição 1: (População) População é o conjunto constituído por todos os indivíduos que 
representam pelo menos uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar (inferir). Assim 
sendo, o objetivo das generalizações estatísticas está em dizer se algo acerca de diversas características da 
população estudada, com base em fatos conhecidos.Definição 2: (Amostra) Amostra pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada 
da totalidade de observações abrangidas pela população, através da qual se faz inferência sobre as 
características da população. Uma amostra tem que ser representativa, a tomada de uma amostra bem como 
seu manuseio requer cuidados especiais para que os resultados não sejam distorcidos. 
Mas qual a relevância de se estudar uma amostra? Bem, em muitos fenômenos, ou é muito custoso, 
toma muito tempo, destrói a população ou é mesmo impossível se observar todos os elementos que 
compõem a população completa. Nestes casos, se observa um subconjunto, ou seja, uma amostra. Um 
exemplo interessante consiste na coleta de dados sobre a população brasileira. 
Exemplo 1: Em 2010, o IBGE realizará o XII Censo Demográfico, que se constituirá no grande 
retrato em extensão e profundidade da população brasileira e das suas características sócio-econômicas e, ao 
mesmo tempo, na base sobre a qual deverá se assentar todo o planejamento público e privado da próxima 
década. O Censo 2010 será um retrato de corpo inteiro do país com o perfil da população e as 
características de seus domicílios. 
 
 
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A fase preparatória da operação censitária teve início em 2007 e seus trabalhos foram 
intensificados a partir de 2008. A coleta está fixada para começar em 1º de agosto de 2010 e o início da 
divulgação dos resultados em dezembro do mesmo ano. Percorrer por inteiro um país como o Brasil, de 
dimensões continentais, com cerca de 8 milhões de km2 de um território heterogêneo e, muitas vezes, de 
difícil acesso, é uma tarefa que envolve grandes números. Veja, a seguir, as dimensões do Censo 2010. 
- Universo a ser recenseado: todo o Território Nacional 
- Número de municípios: 5.565 municípios 
- Número de domicílios: aproximadamente 58 milhões de domicílios 
- Número de setores censitários: 314.018 setores censitários 
- Pessoal a ser contratado e treinado: cerca de 240 mil pessoas 
- Orçamento previsto: R$ 1,4 bilhão 
A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - PNAD investiga anualmente, de forma 
permanente, características gerais da população, de educação, trabalho, rendimento e habitação e outras, 
com periodicidade variável, de acordo com as necessidades de informação para o País, como as 
características sobre migração, fecundidade, nupcialidade, saúde, segurança alimentar, entre outros temas. 
A PNAD 2009 investigou 399.387 pessoas em 153.837 domicílios por todo o país a respeito de temas como 
população, migração, educação, trabalho, família, domicílios e rendimento, tendo setembro como mês de 
referência. 
 
1.3. Áreas da estatística 
Em uma sequência tradicional, o estudo da estatística tem seu início caracterizado pela análise 
exploratória dos dados, ou seja, análise através de gráficos, tabelas ou métricas estatísticas descritivas a partir 
das informações coletadas junto às entidades portadoras de características comuns úteis na compreensão do 
comportamento de interesse. 
Após esta etapa, já de conhecimento dos elementos de probabilidade incondicional e condicional, 
faz-se uso de relações matemáticas funcionais paramétricas de forma que se possa modelar a probabilidade 
de se observar determinadas realizações em variáveis aleatórias isoladamente ou conjuntamente. 
Assim, somente a partir de uma amostra coletada, o fenômeno poderá ser estudado 
estatisticamente, sendo para tal, necessário descobrir qual distribuição que possui o melhor fitting e uma vez 
descrita esta distribuição, fazer uso de técnicas de estimação para que se obtenha valores para os parâmetros 
da distribuição ou de outras características de interessa desta população. Como estimar tais valores dos 
parâmetros populacionais a partir de amostras e analisar as propriedades destes parâmetros são etapas do 
estudo de inferência estatística. 
Por fim, é possível que um pesquisador se dedique mais especificamente às inúmeras técnicas de 
estimação dos parâmetros, as quais compõem a análise multivariada, onde se estuda análise de regressão, 
análise discriminante, correlação canônica, componentes principais, dentre outras ferramentas. Um vez 
modelado corretamente o fenômeno e usada a técnica de estimação adequada, além de se entender sobre os 
parâmetros populacionais, pode-se ainda realizar exercícios de previsão, de forma que tentemos antever 
resultados prováveis. 
Em suma, em um estudo científico rigoroso o qual envolva estatística, é estritamente necessário 
que se observe com detalhes os dados antes de levantar suposições estatísticas e testes de hipóteses. Mas o 
uso indiscriminado de pacotes estatísticos computacionais, sem o exame cuidadoso dos dados profissionais 
da área, conduz, às vezes, a resultados aberrantes. 
 
 
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1.4. Definições relevantes 
A seguir, apresentaremos as definições mais relevantes da estatística descritiva. 
Definição 3: (Dados estatísticos) Dados são tido como os elementos mais importantes quando do 
uso da estatística, os dados são os fatos e números coletados, a matéria-prima a ser analisada e sintetizada 
para apresentação e interpretação. 
É importante também que venhamos a trabalhar outras definições básicas, a fim de evitarmos o 
uso incorreto e impreciso da linguagem estatística. 
Definição 4: (Elementos) Elementos são as “entidades” sobre as quais os dados são coletados. 
Definição 5: (Variáveis) Variáveis são as características de interesse para os elementos, podendo ser 
observadas ou medidas 
Definição 6: (Observações) Observações são o conjunto de medidas coletadas para um 
determinado elemento. 
A mensuração de determinado fenômeno ou objeto é um processo por meio do qual os números 
ou símbolos são anexados a uma característica, em função de determinados procedimentos. 
Definição 7: (Variável qualitativa) Variável cujos “valores” não são numericamente mensuráveis, 
sendo expressos por atributos, classes, categorias ou qualidades: sexo, cor da pele, classe social, formação, 
etc. Se tais variáveis possuem uma ordenação natural, indicando intensidades crescentes de realização, são 
classificadas de qualitativas ordinais (por ex: classe social - baixa, média ou alta). Se não for possível 
estabelecer uma ordem natural entre seus valores, são classificadas como qualitativas nominais (por ex: sexo 
- masculino ou feminino). 
Definição 8: (Variável quantitativa) Variável que assume valores numéricos. Tais variáveis podem 
ser classificadas ainda em discretas ou contínuas. Variáveis discretas podem ser vistas como resultantes de 
contagens, e assumem, em geral, valores inteiros, como por exemplo, anos de estudo. Neste caso, é possível 
uma bijeção com um conjunto enumerável não necessariamente finito, como os inteiros. Já as variáveis 
contínuas podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo especificado e são, geralmente, resultados 
de uma mensuração. Neste caso, a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto dos 
números reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites, como o peso em kg 
de uma pessoa mensurado por uma balança muito acurada. 
Para exemplificar, observemos a tabela 1.1. seguir. Nesta tabela, podemos identificar inicialmente 
que há 6 características de interesse, ou variáveis: formação, ter concluído pós-graduação, anos de estudo, 
altura e peso. Os dados (90 ao todo) desta amostra foram obtidos ao coletarmos as medidas ou observações 
para cada um dos elementos, ou seja, cada um dos funcionários. 
Uma primeira curiosidade que “salta aos olhos” consiste no fato de que há variáveis que assumem 
valoresnuméricos enquanto outras não, como a altura e a formação, respectivamente. Tal distinção ocorre, 
pois é possível analisarmos, para qualquer amostra, tanto variáveis qualitativas, como quantitativas. 
Outro aspecto a ser destacado nesta tabela é que a mesma nos fornece dados de apenas uma 
amostra dos funcionários e não de todos os funcionários da empresa em questão. Entendendo o termo 
população como o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum, 
definimos então amostra como sendo uma “pequena” parcela representativa da população que é examinada 
com o propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população. 
Isso ocorre, pois em qualquer estudo científico enfrentamos o dilema de se analisar a população ou 
uma amostra. Obviamente teríamos uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, ou seja, 
a população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. 
 
 
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Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudarmos a população em virtude de 
distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. 
 
Tabela 1.1. 
Amostra dos funcionários da Empresa XXX com suas respectivas características 
Funcionário Formação 
Pós-
graduação 
Anos de 
estudo 
Salário 
(R$) 
Altura 
(cm) 
Peso (Kg) 
Antônio Filho Administração Sim 24 5.500,00 156 65,8 
Bernardo Aguiar Contabilidade Não 21 3.650,00 175 80,9 
Carlos Smitch Economista Não 22 3.650,00 202 99,9 
Ciro Alcântara Engenharia Sim 25 35.000,00 180 79,1 
Débora Lima Psicologia Não 20 5.500,00 145 46,1 
Eduardo Rossi Marketing Sim 24 7.800,00 180 85,1 
Flavio Gomes Economista Não 23 2.800,00 165 67,7 
Ingrid Paes Engenharia Não 20 3.650,00 180 76,9 
João Mendonça Jornalista Sim 23 5.120,00 178 75,5 
Marcelo Vilar Direito Não 21 8.930,00 161 60,9 
Mirian Carvalho Comunicação Sim 24 4.500,00 168 65,1 
Noraide Mendes Direito Sim 22 8.930,00 150 54,7 
Orlando Moraes Odontologia Não 22 6.500,00 179 80,8 
Pedro Malta Engenharia Não 21 3.650,00 190 89,9 
Rodrigo Broa Nutrição Não 22 2.800,00 187 78,9 
 
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é 
confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Neste contexto, 
mesmo não sendo pertencendo ao escopo desta seção, é importante que venhamos a saber que os 
parâmetros são valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la, sendo 
necessário examinar toda a população, enquanto, estimativa é um valor aproximado do parâmetro, 
calculado com o uso apenas de uma amostra. 
Neste contexto, devemos ainda definir o que seria uma estatística. Ainda com o objetivo de 
resumir, ou descrever o conjunto de dados, usaremos algumas medidas características, usadas para 
representar, de uma forma ou de outra, a própria distribuição do conjunto de dados. Qualquer medida 
obtida a partir das informações dos dados é chamada estatística. 
O objetivo de se calcular estatísticas é resumir as informações obtidas em um único valor, de modo 
que esse valor dê uma característica da amostra, que possa nos levar a ter uma idéia de uma característica da 
população. Exemplos básicos de estatísticas seriam, por exemplo, a soma dos anos de estudo dos 
funcionários pertencentes á amostra, ou mesmo, o valor de peso do aluno mais “magro” desta sala. 
Para que a inferência seja válida, é necessário que haja um bom uso da técnica de amostragem, 
determinando corretamente a população, dimensionando precisamente o tamanho da amostra e primando 
pela aleatoriedade, sendo esta última característica extremamente relevante para que venhamos a garantir, 
tanto quanto possível, o acaso na escolha. 
 
 
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Um último aspecto a ser analisado é disposição dos dados em questão, se estes se encontram 
identificados pelo caráter variável ao longo do tempo ou se dentre diferentes elementos. 
Para melhor entendermos o primeiro caso, observemos a tabela 1.2. a seguir. 
 
Tabela 1.2. 
Indicadores financeiros selecionados da Empresa XXX (quadriêncio 2003 – 2006) 
Indicador 2003 2004 2005 2006 
Receita operacional bruta (R$ milhões) 20.895 29.020 35.350 46.746 
Exportações (US$ milhões) 4.229 5.534 7.021 9.656 
Exportações líquidas (US$ milhões) 3.672 4.618 6.339 8,784 
Lucro líquido (R$ milhões) 4.509 6.460 10.443 13.431 
Investimentos (US$ milhões) 1.988 2.092 4.998 26.324 
 
Nela, possuímos valores coletados de várias características, como por exemplo, receita operacional, 
exportações, etc., para apenas um elemento, ou seja, a Empresa XXX. Claramente os valores para cada uma 
dessas características estão sofrendo alteração de uma observação para outra em razão do efeito temporal. 
Estamos diante, portanto de séries temporais de características de uma mesma empresa. 
Para segundo caso, voltemos a observar a tabela 1.1. Nela não há efeito temporal influenciando os 
valores, uma vez que foram todos coletados em um mesmo período. O que faz com que haja diversos 
valores para uma mesma característica, como salário, por exemplo, são os diversos elementos observados, ou 
seja, os diversos funcionários da amostra. Dizemos comumente que estamos diante de dados cross-section, ou 
em corte transversal. Este detalhamento será explorado na seção seguinte. 
Em softwares como o Statistical Package for the Social Sciences (SPSS), ou ainda o Microsoft Access, é 
possível criar rótulos (labels) de variáveis qualitativas, sejam estas nominais ou ordinais, assim como 
planilhas ricas em macros para variáveis quantitativas. 
Com relação à obtenção direta dos dados a partir de questionários, é preciso que este seja 
estruturado tendo em vista o tratamento a ser realizado nos dados, assim como o objetivo final da pesquisa. 
Em teoria da amostragem, assim como nas disciplinas aplicadas, são abordadas práticas úteis na elaboração 
de questionários. 
 
 
 
 
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2. Análise de dados 
2.1. Introdução 
A análise exploratória de dados nos fornece um extenso repertório de métodos para um estudo 
detalhado dos dados, antes de adaptá-los, ou mesmo usá-los em inferências ou regressões. Nessa abordagem, 
a finalidade é obter dos dados a maior quantidade possível de informação, que indique modelos plausíveis a 
serem utilizados numa fase posterior, a análise confirmatória de dados ou inferência estatística. 
Em um estudo estatístico, uma vez definido o que se pretende pesquisar, ou seja, especificado 
corretamente o problema, as próximas etapas seriam o planejamento, a qual visa definir as questões 
relacionadas ao levantamento das informações e a coleta de dados, na qual se registra sistematicamente os 
dados observados. 
De posse dos dados, precisamos começar a “tratá-los”, “manipulá-los”, para assim poder apresentá-
los e usá-los em inferências. 
Assim, de uma maneira mais formal, definimos as atividades de coleta, organização, descrição dos 
dados, cálculo e interpretação de coeficientes como compondo a estatística descritiva. 
Iremos nos ater aqui nesta seção à organização e descrição dos dados. Nas seções seguintes, iremos 
lidar com o cálculo e interpretação das estatísticas calculadas. 
 
2.2. Representação tabular e gráfica 
Basicamente, há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente. A apresentação 
tabular, ou seja é uma apresentação numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo 
ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística.A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma apresentação geométrica permitindo uma 
visão rápida e clara do fenômeno. 
É importante conhecer e saber construir os principais tipos de tabelas, gráficos e medidas resumo 
para realizar uma boa análise descritiva dos dados. Vamos tentar entender como os dados se distribuem, 
onde estão centrados, quais observações são mais freqüentes, como é a variabilidade, etc., tendo em vista 
responder às principais questões do estudo. 
Cada ferramenta fornece um tipo de informação e o seu uso depende, em geral, do tipo de variável 
que está sendo investigada. 
A seguir, algumas das abordagens mais usadas e relevantes. 
 
2.2.1. Representação tabular 
Apresentação tabular numérica de dados é a representação das informações por intermédio de uma 
tabela. Uma tabela é uma maneira bastante eficiente de mostrar os dados levantados e que facilita a 
compreensão e interpretação dos dados. Para organizar uma série estatística ou uma distribuição de 
frequências, existem algumas normas nacionais ditadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT) as quais devem ser respeitadas. Assim, toda tabela estatística de conter: 
a) Elementos essenciais 
∙ Título – indica a natureza do fato estudado (o quê?), as variáveis escolhidas na análise do fato 
(como?), o local (onde?) e a época (quando?). 
 
 
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∙ Corpo – é o conjunto de linhas e colunas que contém, respectivamente, as séries horizontais e 
verticais de informações. 
∙ Cabeçalho – designa a natureza do conteúdo de cada coluna. 
∙ Coluna indicadora – mostra a natureza do conteúdo de cada linha. 
b) Elementos complementares (se necessário) 
∙ Fonte – é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável pela sua organização ou 
fornecedora dos dados primários. 
∙ Notas – são colocadas no rodapé da tabela para esclarecimentos de ordem geral. 
c) Sinais convencionais 
∙ – (hífen), quando o valor numérico é nulo; 
∙ ... (reticência), quando não se dispõe de dado; 
∙ ? (ponto de interrogação), quando há dúvidas quanto à exatidão do valor numérico; 
∙ 0; 0,0; 0,00 (zero), quando o valor numérico é muito pequeno para ser expresso pela unidade 
utilizada, respeitando o número de casas decimais adotado; 
∙ X (letra x), quando o dado for omitido. 
d) Numerar as tabelas quando houver mais de uma. 
e) As tabelas devem ser fechadas acima e abaixo por linha horizontal, não sendo fechadas à direita 
e à esquerda por linhas verticais. É facultativo o emprego de traços verticais para separação de colunas no 
corpo da tabela. 
f) Os totais e subtotais devem ser destacados. 
g) Manter a uniformidade do número de casas decimais. 
A título de ilustração, observemos as tabelas 2.1. e 2.2. a seguir. 
Como exemplo, observemos este trecho abaixo extraído de Matos, Oquendo e Trompieri (2012). 
 
“Utilizam-se 155 observações de retornos mensais de índices de bolsas de valores dos BRICs entre janeiro/1998 
e novembro/2010 (fontes: CMA e Bloomberg). São eles Índice Bovespa (São Paulo, Brasil), Shanghai Composite 
(Xangai, China), SENSEX-30 (Bombaim, Índia) e o Russian Trading System Index (Moscou, Rússia). 
As características e códigos dos índices são descritas na tabela 2.1., enquanto as principais estatísticas 
descritivas estão na Tabela 2.2.” 
 
Tabela 2.1. 
 
 
 
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Tabela 2.2. 
 
 
O interessante nestas tabelas é que na primeira, há somente dados cadastrais, ou seja, qualitativos 
sobre os índices das bolsas, enquanto na segunda tabela, constam apenas dados numéricos, os quais não 
foram exatamente coletados de alguma fonte, mas sim calculados pelos autores. Trata-se de estatísticas 
descritivas associadas aos 4 momentos da distribuição de probabilidade, objeto de estudo da seção 3. 
 
2.2.2. Representação gráfica 
A seguir, algumas das representações mais usuais de dados através de gráficos. 
Diagrama circular: para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em 
setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor (multiplica-se a freqüência relativa por 
100). Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas nominais. A título de ilustração, 
observemos os diagramas a seguir na figura 2.1. Como exemplo, segue trecho de Matos e Nogueira (2012). 
“O presente trabalho foca-se nos Fundos Multimercados Multiestratégia por poderem adotar mais de uma 
estratégia de investimento, sem o compromisso declarado de se dedicarem a uma em particular, admitindo alavancagem. 
Segundo a ANBIMA (2011), esse seguimento representa 54,5% da indústria Brasileira de Multimercados com mais de 
2.900 fundos e patrimônio total superior a R$ 216 bilhões, conforme observa-se na figura a seguir.” 
 
Figura 2.1: Participação % dos Fundos de Investimento Multimercado por Modalidade 
 
Fonte: ANBIMA (09/2011) 
0,65  1,48 
1,00 
1,48 
11,91  0,40 
54,50 
3,11 
23,53 
1,96 
Balanceados
Capital Protegido
Long And Short ‐Neutro
Long And Short ‐Direcional
Multimercados Macro
Multimercados Trading
Multimercados Multiestrategia
Multimercados Multigestor
Multimercados Juros e Moedas
Multimercados Estrategia Especifica
 
 
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Gráfico de barras: para construir um gráfico de barras, representamos os valores da variável no eixo 
das abscissas e suas as freqüências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da variável 
desenhamos uma barra com altura correspondendo à sua freqüência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é 
interessante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a 
presença de tendência nos dados. Observe a figura 2.2. a seguir. 
 
Figura 2.2: Relação dívida/PIB 
 
 
Dispersão X vs. Y: Pode ser útil para a análise que se consiga visualizar em um locus gráfico, 
possíveis padrões de relação entre duas variáveis distintas, sendo neste caso aconselhável o uso de um 
gráfico de dispersão nos eixos X e Y. A título de ilustração, observemos os diagramas a seguir na figura 2.3. 
 
 
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15 
Como exemplo, observemos este trecho abaixo extraído de Pinto, Matos e Simonassi (2012). 
“Ainda sob esta ótica, Caetano (2006) afirma que países com características demográficas similares às 
brasileiras despendem com previdência como proporção do PIB algo em torno de 4%. O autor ainda ressalta, dentre os 
52 países analisados em sua pesquisa, que o Brasil possui percentual de contribuintes na força de trabalho inferior a 
mediana internacional e valor médio da aposentadoria em relação à renda per capta equivalente a 59,4%, enquanto a 
medida internacional se situa em 48,3%. Tais indicadores demonstram que proporcionalmente o país possui 
representatividade contributiva modesta para níveis elevados de benefícios, revelando um perfil desastroso para a 
sustentabilidade de qualquer sistema previdenciário. 
 
Figura 2.3: Gastos com Previdência Social e proporção da população com 65 anos ou mais 
 
Fonte: Giambiagi et al. (2007, p.181) 
 
Perfazendo a análise de variáveis abordadas no estudo de Giambiagi et al. (2007), seria acertado esperar que 
a proporção de pessoas acima de 65 anos na população do país e o percentual do PIB gasto com benefícios 
previdenciários apresente uma correlação positiva. A Figura 5 traz esta realidade, em que se observa que paísescom 
populações mais idosas gastam mais com previdência, o que os coloca no quadrante direito superior. Por outro lado, 
países considerados jovens tendem a permanecer no quadrante esquerdo inferior. Já no quadrante direito inferior, apesar 
da população mais velha, situam-se nações que registram gastos modestos, geralmente explicado por questões culturais, 
sistemas eficientes alcançados por reformas prévias ou forte crescimento do PIB. O Brasil é o único país da análise que 
se encontra deslocado de sua realidade demográfica, mas com dispêndios em níveis semelhantes a de países como 
Holanda e Reino Unido. 
Diante deste cenário, verifica-se que o Brasil é um país fora do padrão internacional, com regras generosas, 
incompatibilidade demográfica, baixo esforço contributivo ao mesmo tempo em que repõe parcelas elevadas da renda. 
Um panorama tão custoso do ponto de vista fiscal exige a adoção mandatória de medidas em esforço mútuo por parte 
do Estado e da sociedade.” 
 
Distribuição de freqüência: quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem 
aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por 
 
 
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16 
classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe. Não há um modo 
único de se alocar valores em intervalos, mas sugere-se o seguinte procedimento: 
1. Determina-se o menor, o maior valor para o conjunto e a amplitude (maior – menor); 
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao 
menor valor das observações; 
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao 
maior valor das observações; 
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando ࡷ ൌ ૚ ൅ ૜, ૜. ࢒࢕ࢍሺ࢔ሻ ou ࡷ ൌ √࢔ 
, onde n é a quantidade de observações. K deve estar compreendido entre 5 a 15; 
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude das classes assim: Ac = (Ls – Li)/K. Não é 
necessário que as classes tenham exatamente a mesma amplitude, mas usualmente assume-se isso; 
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, definem-se os limites para cada classe 
(inferior e superior). 
Comumente, usamos o histograma para representar graficamente uma distribuição de freqüências. 
Este recurso consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área igual à 
freqüência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densidade de 
freqüência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns 
autores utilizam a freqüência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode 
ocasionar distorções (e, conseqüentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas 
nas faixas. Abaixo um histograma ilustrativo contendo a distribuição de freqüência (figura 2.4.). 
 
Figura 2.4: Histograma e possíveis distribuições (fitting) de operações descobertas de aquisição de títulos 
públicos do governo americano de curto prazo 
 
 
Normalmente, as operações com ativos financeiros possuem retornos brutos em torno de 1,0, 
sendo possível observar neste histograma (statigraphics ou easyfit) que há uma maior frequência de retornos 
entre 0,93 e 1,03, com poucas observações a partir de 1,15 ou abaixo de 0,89. É possível ainda observar que 
distribuições melhor fitam o histograma. 
 
 
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17 
Gráficos ou lineares: são freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com 
um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem 
intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo 
gráfico. A título de ilustração, observemos os diagramas a seguir na figura 2.5. 
Como exemplo, observemos este trecho extraído de Matos, Oquendo e Trompieri (2012). 
“É evidente ao se analisar os gráficos de retornos acumulados (Figura 3) que as bolsas destes países dividem uma 
tendência de longo prazo comum. A bolsa chinesa apresenta certo descolamento em alguns momentos. Todas apresentam 
valorização no período de “boom” econômico entre 2002 e 2007 aproximadamente, assim como forte queda por ocasião 
da crise financeira internacional de 2008, tendo as bolsas de China e Índia iniciado seu período de perdas mais cedo 
que Brasil e Rússia. Todas ainda apresentaram recuperação importante durante os anos 2009 e 2010, embora neste 
período a intensidade de recuperação tenha sido mais heterogêneo.” 
 
Figura 2.5: Retorno acumulado nominal mensal dos índices dos BRIC´s. 
 
 
Mapa: o uso de mapas com cores diferentes para variáveis quantitativas ou qualitativas é menos comum, 
mas igualmente útil quando da necessidade em se observar muitas observações ao mesmo tempo, todas elas 
sobre uma mesma variável, a qual assume diferentes valores em um mesmo instante de tempo para várias 
economias. 
Observe o exemplo da figura 2.6. 
 
 
 
 
 
 
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18 
Figura 2.6: Dívida pública per capita em diversas economias 
 
 
 
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19 
Como exemplo, visando apresentar um mix de tabelas e recursos gráficos disponíveis, observemos 
este trecho abaixo extraído de Pinto, Matos e Simonassi (2012). 
“No início de sua história como instituição, a previdência encontrava-se figurada através dos IAPs e CAPs. 
Ressalte-se que tais institutos eram configurados em moldes semelhantes aos fundos de previdência complementar 
conhecidos atualmente e regidos pela acumulação de seus recursos. 
Baseada em regimes capitalizados, a previdência, muitas vezes era utilizada como fonte de financiamento 
para diversos setores da economia. Segundo Oliveira et al. (1999), muitos recursos dos institutos foram investidos em 
hospitais e ambulatórios, na Companhia Vale do Rio Doce, na Companhia Hidroelétrica do Vale de São Francisco, 
bem como na construção de Brasília. O baixo rendimento das aplicações, associado ao não pagamento da cota de 
responsabilidade da União, a sonegação por parte dos empregadores e o processo inflacionário, impossibilitaram, já na 
década de 1950, a manutenção de um sistema capitalizado, o que ocasionou a adoção do sistema praticado nos dias de 
hoje, o de repartição simples. 
Nas últimas décadas, tem-se observado as consideráveis dificuldades de países que adotam este tipo de regime e 
um movimento crescente de reformas e migrações a sistemas capitalizados. Tais modificações possuem origem na 
inadequação destes sistemas frente às mudanças demográficas, econômicas e sociais pelas quais o mundo tem passado. 
Em relação aos aspectos demográficos, destacam-se o forte processo de envelhecimento, o aumento progressivo 
da longevidade e as baixas taxas de natalidade. No Brasil, cenário semelhante ocasiona a diminuição da base de 
financiamento e o aumento das despesas com benefícios. Enquanto na década de 1940, registrava-se 31 contribuintes 
por beneficiário, esta proporção reduz para menos de 3 para 1 já no início dos anos 80. Somado a este fator o alto grau 
de informalidade registrado durante anos, a ampliação da cobertura sem apropriada fonte de custeio e a concessão de 
aposentadorias precoces, foi possível observar o surgimento do déficit previdenciário, despertando as discussões em tornodo equilíbrio financeiro do RGPS. 
A Tabela 2.3 traz o histórico dos resultados anuais do RGPS. Nota-se o grande aumento no saldo 
previdenciário negativo na última década, chegando a contabilizar valores 60 vezes maiores do que há 15 anos. 
Segundo Dantas (2009), o ritmo de crescimento das despesas com benefícios do RGPS associado a pouca 
expansão da arrecadação desencadearam o debate sobre a necessidade de uma reforma da Previdência no Brasil. Na 
Figura 2.7, acompanha-se claramente este processo de ampliação dos gastos previdenciários, iniciado com o advento da 
Lei nº 8.213/91, em que se determinou a padronização dos benefícios urbanos e rurais. 
Notórias são as particularidades associadas aos benefícios rurais que contribuem para este movimento. 
Compostos em sua grande maioria de benefícios praticamente de caráter assistencial, mesmo que arrolados dentro do 
grupo dos previdenciários, apresentam-se carentes de financiamento através de contribuições, pela própria fragilidade e 
larga inexistência de relações de trabalho formalizadas. A segunda característica refere-se à menor idade de concessão de 
benefício em relação aos trabalhadores urbanos, que são os principais contribuintes do sistema. 
Em relação à arrecadação, também se observa a tendência de crescimento, porém em níveis inferiores às 
despesas. Segundo Dantas (2009), entre 1993 e 1992, as despesas com benefícios tiveram um aumento de 34,5%, 
enquanto as receitas cresceram 13,6%. 
Em 2010, os gastos previdenciários alcançaram a ordem de 6,9% do PIB, enquanto se registrou receitas 
correspondentes a 5,7%, gerando um déficit de 1,2% do PIB, porém, no início da década de 90, este resultado era 
superavitário. 
 
 
 
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Ano
Arrecadação Líquida
 (em milhões R$)
Despesas com Benefícios 
(em milhões R$)
Saldo Previdenciário
(em milhões R$)
1990 70.902,98 43.934,75 26.968,23
1991 63.736,56 46.067,49 17.669,07
1992 62.878,05 50.144,89 12.733,16
1993 71.451,90 67.463,36 3.988,55
1994 76.251,67 74.429,94 1.821,73
1995 91.596,05 92.326,85 (730,80)
1996 99.851,29 100.488,95 (637,66)
1997 103.285,17 110.463,79 (7.178,62)
1998 105.202,85 121.220,77 (16.017,92)
1999 105.448,80 125.598,18 (20.149,38)
2000 101.938,93 132.935,27 (30.996,34)
2001 117.467,40 141.404,53 (23.937,13)
2002 120.848,69 149.592,04 (28.743,35)
2003 117.727,41 156.130,44 (38.403,03)
2004 128.736,02 172.572,83 (43.836,81)
2005 140.843,11 189.625,33 (48.782,21)
2006 155.438,53 208.465,90 (53.027,37)
2007 169.617,72 223.915,81 (54.298,09)
2008 185.151,91 226.372,20 (41.220,29)
2009 196.511,04 242.945,40 (46.434,36)
2010 217.525,07 261.878,31 (44.353,24)
a Valores expressos em reais constantes, atualizados pelo INPC mensal, a preço de dezembro/2010.
b Fonte: Anuário Estatístico da Previdência Social.
Tabela 2.3.
Arrecadação líquida, Despesa com Benefícios e Saldo Previdenciário de 1990 a 2010 a, b
 
 
A partir de 1995, o aumento do universo de beneficiários, a crise econômica e a política de concessão de 
ganhos reais do salário mínimo serviram como catalisadores do déficit. Quando se registrou o primeiro resultado 
previdenciário negativo, iniciaram-se as tentativas de combate à sua expansão. Como reflexos desta necessidade, foram 
aprovadas a Emenda Constitucional n.º 20 de 1998, que estabeleceu, em linhas gerais, a relação entre a fonte de 
custeio e os benefícios, e a Lei n.º 9.876/99, normativo que instituiu o fator previdenciário com objetivo de desestimular 
a aposentadoria precoce. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21 
Figura 2.7: Evolução do saldo previdenciário, da arrecadação líquida e de despesas (benefícios) do RGPS 
 
Fonte: MPAS e BACEN. 
a Valores expressos em reais constantes, atualizados pelo INPC mensal, a preço de dezembro/2010. 
 
 
2.3. Exercícios 
Exercício #1. Observe a base de dados contida na Tabela 2.3. 
a) Construa um histograma para o saldo previdenciário. Comente. 
b) Construa um gráfico de dispersão (eixos X e Y) para as variáveis arrecadação líquida e despesas 
com benefícios. Comente se há algum padrão entre estas duas grandezas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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-2%
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2%
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‐50.000
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100.000
150.000
200.000
250.000
300.000
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
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Saldo Previdenciário Arrecadação líquida Despesa com benefícios 
Saldo previdenciário/ PIB Arrecadação líquida/ PIB Despesa com benefícios/ PIB
 
 
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22 
Exercício #2. Observe os dados contendo índices de variação de preço (inflação) de diversas 
economias em vários continentes na Tabela 2.4. 
a) Identifique a melhor forma de representar graficamente estes dados. 
b) Monte um histograma para as inflações de 2007 e outro para as inflações de 2011. Compare e 
comente. 
 
Tabela 2.4. 
Inflações de um cross-section de economias 
 
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23 
Exercício #3. Observe os dados na Tabela 2.5. Construa um gráfico linear mensal para as variáveis 
arrecadação líquida e despesas com benefícios. 
a) Comente se há algum padrão entre estas duas grandezas.b) Há algum sinal de sazonalidade, ou seja, comportamento atípico de determinados meses do ano. 
Comente possíveis razões. 
Tabela 2.5. 
Rubricas previdenciárias 
Arrecadação líquida (em 
R$ constantes de 
dez/2010, com base no 
INPC)
Despesa com benefícios 
previdenciários (em R$ 
constantes de dez/2010, 
com base no INPC)
Fonte: Ministério da 
Previdência
Fonte: Ministério da 
Previdência
jan-08 R$ 13.136.719.488,11 R$ 19.101.981.368,67
fev-08 R$ 13.914.652.924,72 R$ 16.279.693.997,70
mar-08 R$ 14.083.655.906,04 R$ 17.143.108.589,12
abr-08 R$ 14.579.536.959,18 R$ 17.794.034.758,48
mai-08 R$ 14.450.551.944,75 R$ 17.595.963.323,85
jun-08 R$ 14.651.635.955,58 R$ 17.893.000.207,87
jul-08 R$ 14.890.654.608,24 R$ 17.341.226.683,78
ago-08 R$ 14.817.939.080,00 R$ 19.378.247.043,72
set-08 R$ 15.061.302.428,95 R$ 23.378.659.125,25
out-08 R$ 15.037.390.509,53 R$ 17.167.824.220,64
nov-08 R$ 15.073.245.317,91 R$ 19.769.724.189,65
dez-08 R$ 25.454.628.028,69 R$ 23.528.738.804,19
jan-09 R$ 13.251.852.623,69 R$ 20.232.230.517,16
fev-09 R$ 14.459.740.664,57 R$ 17.300.501.644,76
mar-09 R$ 15.570.977.058,99 R$ 19.001.555.312,52
abr-09 R$ 15.355.171.289,37 R$ 18.732.887.606,59
mai-09 R$ 15.600.531.036,88 R$ 18.568.515.481,32
jun-09 R$ 15.171.832.478,08 R$ 18.819.665.713,72
jul-09 R$ 15.377.570.789,89 R$ 18.707.118.886,46
ago-09 R$ 15.486.615.247,63 R$ 21.069.840.498,57
set-09 R$ 15.129.898.190,81 R$ 24.978.985.964,58
out-09 R$ 15.922.634.805,59 R$ 18.894.270.131,49
nov-09 R$ 17.938.128.217,27 R$ 21.263.839.552,30
dez-09 R$ 27.246.091.981,71 R$ 25.375.989.760,03
jan-10 R$ 14.855.323.907,21 R$ 18.769.047.175,40
fev-10 R$ 15.937.738.791,82 R$ 19.900.395.957,84
mar-10 R$ 16.528.421.372,26 R$ 23.528.196.285,23
abr-10 R$ 16.870.588.671,01 R$ 19.982.094.010,55
mai-10 R$ 17.057.213.183,57 R$ 19.720.992.901,31
jun-10 R$ 17.074.542.192,17 R$ 19.935.688.207,42
jul-10 R$ 17.358.693.215,77 R$ 20.002.666.791,96
ago-10 R$ 17.872.271.156,77 R$ 23.457.111.363,54
set-10 R$ 17.567.935.279,61 R$ 26.995.411.173,70
out-10 R$ 17.850.969.383,15 R$ 20.059.136.441,42
nov-10 R$ 18.027.644.911,00 R$ 22.478.634.723,89
dez-10 R$ 30.523.729.644,36 R$ 27.048.937.407,80
Data
 
 
Exercício #4. Observe os Patrimônios líquidos das empresas registradas junto à ANS como 
filantrópicas nos anos de 2008 a 2010 (Tabela 2.6.). Monte um histograma de cada cross-section para cada 
ano. É possível inferir algo sobre a crise financeira de 2008 sobre este segmento? Seria necessário ou 
recomendável retirar algumas das observações, em razão do seu comportamento extremo na amostra? 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
24 
Tabela 2.6. 
PL de filantrópicas 
 
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Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
25 
Exercício #5. Observe os retornos (variação de cotação) dos índices das principais bolsas de valores 
da A. Latina (Tabela 2.7). Identifique qual a melhor representação gráfica para ambas as séries temporais. 
 
Tabela 2.7. 
PL de filantrópicas 
BOGOTÁ UENOS AIRE CARACAS LIMA SANTIAGO SÃO PAULO
IGBC MERVAL IBVC IGBVL IPSA IBOVESPA
jan-08 -12,519% -7,743% -8,087% -13,183% -3,732% -7,334%
fev-08 1,053% 2,512% -6,543% 14,908% -1,646% 6,212%
mar-08 2,109% 0,547% 4,717% 6,520% 10,269% -4,496%
abr-08 8,420% -4,669% 2,871% -7,666% -5,701% 10,446%
mai-08 -1,090% 0,904% -11,792% -5,197% -6,405% 6,175%
jun-08 -19,444% -4,227% 4,431% -11,980% -11,808% -10,907%
jul-08 3,946% -10,620% 4,717% -12,309% 2,007% -8,734%
ago-08 -0,135% -3,674% 6,546% -4,609% -2,731% -6,670%
set-08 2,211% 1,688% 8,763% -3,454% 3,677% -11,424%
out-08 -20,712% -34,712% 3,346% -32,784% -17,266% -25,066%
nov-08 13,338% 8,164% 6,381% 15,594% 7,154% -2,048%
dez-08 6,456% 4,671% 1,490% -6,305% 3,258% 2,118%
jan-09 -5,876% -1,668% -0,445% -4,333% 8,604% 4,089%
fev-09 -2,713% -6,361% 7,704% -3,779% 2,028% -0,200%
mar-09 -0,661% 3,192% 13,591% 38,385% -0,459% 3,638%
abr-09 8,780% 6,062% -5,144% 6,682% -0,224% 15,007%
mai-09 7,310% 12,324% -12,026% 21,844% 9,204% 12,091%
jun-09 4,379% -4,932% 1,925% -5,012% 4,972% -3,489%
jul-09 5,824% 3,765% -1,703% 4,939% -2,368% 6,253%
ago-09 3,592% 4,120% 11,099% 1,361% -2,648% 2,901%
set-09 5,652% 9,462% -6,355% 2,973% 0,670% 8,599%
out-09 -10,612% -0,407% -1,437% -8,987% -1,390% -0,363%
nov-09 5,031% 1,491% 5,125% 0,621% 5,320% 8,532%
dez-09 -0,467% 6,704% 1,838% -1,632% 6,356% 1,541%
Data
 
 
 
 
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26 
3. Métricas estatísticas 
3.1. Introdução 
Comumente, ouvimos notícias em jornais tais como esta: “....... ao longo do último mês, o retorno 
médio de uma ação ON da Companhia Vale do Rio Doce (VALE 3) foi de 5,45 %, tendo portanto batido o mercado, 
apesar de ter apresentado uma maior oscilação, cerca de 1,98 % ....” 
Assim como a maioria das informações estatísticas contidas nos jornais, revistas e demais tipos de 
publicação, os fatos numéricos acima reportados consistem na manipulação de dados ou observações, de 
forma a reuni-los e apresentá-los de forma clara para que o leitor possa entender. Tais sumários, sejam 
tabulares, gráficos ou numéricos, são conhecidos como estatísticas descritivas. 
Vimos inicialmente, no capítulo anterior, que a representação gráfica adequada pode ser bem mais 
informativa que uma simples representação tabular, por permitir obervar comportamentos ao longo do 
tempo ou dentre um corte transversal de dados. Um passo adiante neste processo consiste no cálculo de 
métricas estatísticas a partir da amostra, ou mesmo, a partir de toda a população. A partir destes cálculos, 
será possível sumarizar em um ou poucos números representativos toda uma amostra. 
 
3.2. Conceitos básicos e definições 
Suponha que você esteja diante de um processo de entendimento sobre a distribuição de renda de 
toda uma população de funcionários públicos no Brasil, a qual segueuma determinada “função de 
distribuição de probabilidade”. Sua suspeita é a de que na média, a faixa salarial é superior à média 
observada na iniciativa privada, em torno de R$2.300,00. A partir de uma amostra “aleatória”, se observa a 
média amostral തܺ e pode se fazer inferência sobre sua hipótese em investigação. Mas o quão próximo teria 
que ser തܺ de R$2.300,00 para se afirmar que o setor público ganha melhor ou pior que o setor privado? 
Perceba que o estudo das propriedades da distribuição de തܺ são fundamentais neste caso! Mesmo 
sendo este um assunto estudado apenas em inferência estatística, nesta etapa inicial e descritiva da pesquisa 
estatística, procede-se com o cálculo das estatísticas descritivas. Mais especificamente, iremos definir agora o 
que é uma estatística e depois apresentar as mais comumente extraídas da amostra. 
Definição 1: Seja ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, … , ܺ௡ uma amostra aleatória de tamanho n de uma população e 
ܶሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … , ݔ௡ሻ uma função com contradomínio em Թ௡ e cujo domínio contenha o espaço amostral de 
ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, … , ܺ௡. Então, uma variável ou vetor aleatório ܻ ൌ ܶሺ ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, … , ܺ௡ሻ que consista em uma 
função dos valores da amostra será dito uma estatística e sua distribuição de probabilidade será a dita 
distribuição amostral. Observe que esta definição é muito ampla, sendo a única restrição mais técnica, que 
esta não possa depender de um parâmetro da distribuição dos elementos da amostra aleatória. A estatística 
deverá ser simplesmente uma função dos elementos da amostra aleatória. 
As inúmeras estatísticas vão desde funções muito simples, como o maior valor da amostra, ás 
médias, ou métricas de dispersão, por exemplo, dentre outras. 
 
3.3. Medidas de tendência central 
3.3.1. Aspectos teóricos 
Qual seria o peso médio em Kg dos alunos desta turma? Apesar de delicada, essa seria uma questão 
simples, facilmente a partir de uma coleta direta de dados junto aos próprios alunos. Estamos assim, diante 
de uma situação que requer o uso de estatísticas que de certa forma procuram identificar um valor em 
 
 
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27 
torno do qual os dados tendem a se agrupar. Podemos definir medidas de posição como sendo as 
estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação 
ao eixo horizontal do gráfico um histograma. Apesar desta definição um tanto prolixa, tais medidas são bem 
simples e extremamente comuns, como veremos a seguir. 
 Dentre todas as medidas de posição, destacamos como as mais importantes, as medidas de 
tendência central ou promédias – estatísticas que visam localizar o centro de um conjunto de dados.1 
As medidas de tendência central mais utilizadas são: a média aritmética, a moda e a mediana.2 
Média aritmética: Definimos a média aritmética amostral ( തܺ) como sendo simplesmente a razão 
entre a soma dos valores de todas as observações e a quantidade total destas observações que compõem a 
amostra. Formalmente, esta estatística pode ser obtida através da seguinte fórmula: 
 
തܺ ൌ
ݔଵ ൅ ݔଶ ൅ڮ൅ ݔ௡
݊
ൌ෍
ݔ௜
݊
௡
௜ୀଵ
 
 
Quando do cálculo de algumas estatísticas, passa a ser relevante que venhamos a definir se estamos 
trabalhando com toda a população ou se apenas com uma amostra desta. Sendo a média a estatística em 
questão, quando do estudo de uma população e não de uma amostra, o que muda é apenas a letra que 
denota a média populacional aritmética (ࣆ), apesar de ࣆ e ࢄഥ possuírem exatamente a mesma fórmula. 
Exemplo 3.1: Calcule o a receita operacional média e o lucro líquido médio da empresa XXX, com 
base na amostra de tempo durante 2003 a 2006. Compare estes valores. Ver Tabela 3.1., a seguir. 
 
Tabela 3.1. 
Indicadores financeiros selecionados da Empresa XXX (quadriêncio 2003 – 2006) 
Indicador 2003 2004 2005 2006 
Receita operacional bruta (R$ milhões) 20.895 29.020 35.350 46.746 
Exportações (US$ milhões) 4.229 5.534 7.021 9.656 
Exportações líquidas (US$ milhões) 3.672 4.618 6.339 8,784 
Lucro líquido (R$ milhões) 4.509 6.460 10.443 13.431 
Investimentos (US$ milhões) 1.988 2.092 4.998 26.324 
 
Baseado na definição, podemos constatar que a média aritmética várias propriedades: 
1ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores das 
observações de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante. 
2ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores observados de uma variável por 
uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 
3ª propriedade: Uma característica que torna a utilização da média vantajosa em certas aplicações 
é o fato de que quando se pretende representar a quantidade total expressa pelos dados, podemos utilizar a 
média, uma vez que, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade 
pretendida. 
 
1 Algumas das outras medidas de posição existentes são as separatrizes, as quais que englobam: os decis, os quartis e os percentis. 
2 Outros promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática. 
 
 
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28 
4ª propriedade: A soma algébrica do desvio de cada uma das observações em relação à média 
aritmética é nula. 
5ª propriedade: Há unicidade na média de uma amostra. 
É importante que se tenha maturidade para perceber que se por um lado tal estatística possui 
características desejáveis, como por exemplo, a extrema facilidade de seu cálculo e sua interpretação, por 
outro lado, trata-se de uma medida extremamente sensível aos dados, ou mais especificamente, bastante 
sensível a mudanças nos valores observados, sendo, portanto necessário ter cuidado com a sua utilização, 
pois a mesma pode dar uma imagem “distorcida” dos dados. 
Mais especificamente, veremos nos exemplos que, ao levar em consideração todos os dados 
coletados da amostra ou população, a média passa a depender dos valores extremos, ou outliers. Outras 
métricas de tendência central, não necessariamente. 
Extensões: Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que floresceu por volta de 400 a.C., 
definiu que existiam três tipos de média: i) um número é a média aritmética de dois outros quando o 
excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, ii) a média geométrica 
quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e iii) a 
média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à 
quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro. 
Assim, quando diante de uma série que evolua, ao longo do tempo, por exemplo, não de maneira 
linear, mas exponencial, então a média geométrica (ܩ) pode ser mais indicada, assim como no caso de uma 
evolução recíproca, onde a média harmônica (ܪ) é mais indicada. 
Seguem as relações destas métricas, ambas para um conjunto de observações positivas: 
 
ܩ ൌ ඥݔଵ. ݔଶ … . ݔ௡
೙ ൌ ඩෑݔ௜
௡
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Exemplo 3.2: Em uma certa situação, a média harmônica provê a correta noção de média. Por 
exemplo, se metade da distância de uma viagem é feita a 40 km por hora e a outra metade da distância a 60 
km por hora, então a velocidade média para a viagem é dada pela média harmônica, que é 48; isso é, o total 
de tempo para a viagem seria o mesmo se se viajasse a viagem inteira a 48 quilômetros por hora. Note, 
entretanto que se a viagem fosse metade do tempo em uma velocidade e a outra metade na outra 
velocidade, a média aritmética, nesse caso 50 km por hora,proveria a correta noção de média. 
Exemplo 3.3: Em finanças, a média harmônica é usada para calcular o custo médio de ações 
compradas durante um período. Por exemplo, um investidor compra $1000 em ações todo mês durante 
três meses. Se os preços na hora de compra forem de $8, $9 e $10, então o preço média que o investidor 
pagou por ação é de $8,926. Entretanto, se um investidor comprasse 1000 ações por mês, a média 
aritmética seria usada. Outras utilizações são em previsões do tempo que é o campo estudado pelos 
meteorologistas. 
Exemplo 3.4: Se um investimento rende 50% no primeiro ano e 90% no segundo ano, qual o 
rendimento médio desse investimento? 
 
 
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Moda: A moda (ܯ݋) ou valor modal, como o próprio nome diz, trata-se do valor mais observado 
dentro da amostra, do conjunto de dados em questão, isto é, aquele valor que ocorre com maior frequência 
em uma série de valores. A moda deve ser utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e 
aproximada de posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais “típico da distribuição”. 
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda. 
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais obviamente não se pode calcular a média e 
por vezes a mediana. Quando estivermos lidando com dados em tempo contínuo, então graficamente 
poderemos identificar a classe modal. 
É interessante que observemos que apesar de simples e intuitiva, não há necessidade formalizarmos 
muito a definição desta estatística, como por exemplo, através de uma fórmula. 
Exemplo 3.5: (Qualitativamente) Qual seria a formação modal de todos os estudantes desta sala de 
aula? 
Exemplo 3.6: (Quantitativamente) Qual seria o peso modal dos alunos desta sala? 
Baseado na definição, podemos analisar as propriedades da moda: 
1ª propriedade: Não se pode assegurar a unicidade da moda, nem mesmo a sua existência. Sendo, 
portanto a moda uma estatística facilmente reconhecida, bastando para isso procurar o valor (ou a categoria 
para casos qualitativos) que mais apareça, o que poderíamos dizer no caso de uma amostra onde nenhum 
valor se repete mais de uma vez? E isso ocorre com freqüência? Neste caso, estamos diante de uma amostra 
amodal. 
Exemplo 3.7: Qual seria a data de aniversário modal das alunas desta sala? 
E o que poderíamos dizer no caso da existência de mais de um valor ou mais de uma categoria que 
se repete bastante? Teríamos uma amostra bimodal, caso houvesse duas modas, trimodal, se três e assim 
sucessivamente. 
Exemplo 3.8: (Quantitativamente) Qual a idade modal de todos os estudantes desta sala? 
Mediana: A mediana (ܯ݀) de um conjunto de valores observados, os quais estejam dispostos 
segundo uma ordem (crescente ou decrescente), é o valor (pertencente ou não ao conjunto) situado de tal 
forma que, o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos, ou seja, a mediana é o valor 
que divide esse conjunto ordenado ao meio, com 50% dos elementos sendo menores ou iguais à mediana e 
os outros 50% sendo maiores ou iguais à mediana. 
De outra forma, podemos entender esta estatística como sendo o valor que ocupa a posição central 
dos dados ordenados. Com base na definição, atentemos para o fato de que o primeiro passo para o cálculo 
de uma mediana é ordenar os dados, na ordem crescente ou decrescente, indiferentemente. Feito isto, uma 
primeira especificidade desta estatística consiste no fato de que sua fórmula muda dependendo da 
quantidade de observações. 
Assim, se o número de observações for ímpar, teremos que a mediana será o termo da amostra de 
ordem dada por ሺ݊ ൅ 1ሻ/2. Quando de uma amostra contendo uma quantidade par de observações, o 
valor mediano será então a média aritmética dos dois valores centrais, ou seja, os termos de ordem ݊/2 e 
ሺ݊ ൅ 2ሻ/2 . 
Baseado na definição, podemos analisar as propriedades da mediana: 
1ª propriedade: Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência 
da mediana com um dos elementos da série. 
2ª propriedade: Porém, quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá 
coincidência da mediana com um dos elementos da série. 
 
 
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 Veremos a seguir, que uma vez exemplificado, torna-se bem simples esta de obter esta intuitiva 
estatística. 
Exemplo 3.9: Qual seria a mediana do rendimento mensal que os funcionários desta sala 
gostariam de possuir quando da aposentadoria? Qual seria agora esse valor do rendimento mensal desejado 
mediano, caso essa amostra incluísse também o professor? 
Em suma, vimos as 3 métricas de tendência central mais comumente reportadas em estudos 
empíricos. Listaremos a seguir algumas observações, as quais estabelecem comparações interessantes entre as 
estatísticas de medida central aqui estudadas. 
1ª observação: Em uma série, em um conjunto qualquer de valores observados, a mediana, a 
média e a moda não possuem, necessariamente, o mesmo valor. 
2ª observação: A mediana depende da posição e não dos valores per si dos elementos na série 
ordenada. Essa é uma das diferenças mais marcantes entre mediana e a média, uma vez que esta última por 
refletir todos os dados da amostra, se deixa influenciar fortemente pelos valores extremos. 
3ª observação: Suponhamos um caso em que os dados estejam distribuídos de uma maneira 
aparentemente, ou graficamente, simétrica. Podemos claramente deduzir que neste caso, a média aproxima-
se da mediana. De fato, isto somente ocorrerá, quando em distribuições simétricas ou pertencentes à 
família Cauchy. Ver Casela e Berger (2002) para maiores detalhes deste teorema. 
Exemplo 3.10: Seja a unidade de Carajás, a que possui atualmente o maior volume anual de 
extração de minério de ferro extraído. Suponha que, esta apresente no próximo ano um aumento muito 
significativo desse volume, enquanto as demais unidades permaneçam com o mesmo volume, teremos 
então que o volume médio de uma unidade sofrerá um notável aumento (a média é muito sensível a valores 
extremos), o mesmo não ocorrendo com a mediana, a qual permanece constante. Tal diferença faz com que 
o uso da mediana seja recomendado quando da observação de valores muito extremos, "muito grandes" ou 
"muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os 
responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a 
mediana, como podemos observar no exemplo a seguir. 
 Exemplo 3.11: Suponha que nesta sala, dos n funcionários, n-1 possuam salários cujos valores 
possuem uma mesma ordem aproximada de grandeza e apenas um dos alunos (felizardo) possua um salário 
extremamente mais elevado que os dos demais. Neste caso, seria justo e “informativo” incluir este 
funcionário com melhor remuneração na amostra, tira a média aritmética e divulgar na imprensa o salário 
médio de um funcionário da companhia? Não seria mais apropriado e intuitivo obter a mediana? 
 Exemplo 3.12: Observemos a Tabela 3.1, seria mais informativo reportar o investimento anual 
médio ou mediano da empresa XXX, ao longo do período compreendido entre 2003 e 2006? 
Tomemos cuidado, pois o “mau” uso da estatística descritiva, por mais simples que seja, pode 
informar de maneira distorcida a amostra em questão. É preciso que se use a medida de tendência central 
que melhor represente esta amostra. 
 
3.4. Medidas de dispersão 
3.4.1. Aspectos teóricos 
Observe a seguinte afirmação: “Imaginem uma situação na qual o professor avisa