Matematica Financeira em Atuaria

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Matemática financeira em atuária (EG 312) 
 
Professor: Paulo Rogério Faustino Matos 
Monitor: José Roberto 
Contatos: 
 paulomatos@caen.ufc.br jrobsantos.ufc@gmail.com 
Período: 2013 – I 
Carga horária/ Créditos: 64 horas/ 4 créditos 
Horário da Disciplina: 3a e 5a (20:30 – 22:10) 
Horário de atendimento do monitor: 4a (14:00 – 18:00) no NCF/CAEN 
Pré-requisitos: - x - 
 
 
 
 
 
Matemática financeira em atuária Prof. Dr. Paulo Matos 
 
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Programa da disciplina 
 
I – OBJETIVO 
Conjugar conhecimentos acadêmicos e profissionais através de uma exposição clara, didática e 
objetiva, abordando conceitos teóricos que norteiam a análise e o raciocínio analítico, como também 
propondo casos e exercícios, dos mais simples aos mais complexos. 
Apresentar detalhadamente, ainda que a nível intermediário, o arcabouço inicial da Teoria de 
Investimentos, mais especificamente administração financeira e suas aplicações, aos alunos da graduação, 
capacitando-os com as noções e ferramentas necessárias ao gerenciamento básico de risco de instituições 
(não-) financeiras. 
Desenvolver o aprendizado de base teórica que possibilite a tomada de decisões financeiras 
concernentes à endividamento, financiamento, previdência complementar e análise de viabilidade. 
 
 
II – EMENTA 
Considerações iniciais; Análise dos juros; Anuidades; Sistemas de amortização; Análise de 
viabilidade financeira. 
 
 
III – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
#1. Considerações iniciais (MJ: 1 e B&E: 2) 
Introdução 
Conceitos básicos e definições 
 
#2. Análise dos juros (MJ: 2, 3, 4, 5 e 6 e B&E: 5 e 8) 
 Juros simples 
 Juros compostos 
 Tipos de taxas 
 Descontos 
 Juros reais 
 Estudo de caso: Previdência complementar 
 
#3. Anuidades (MJ: 7 e B&E: 8) 
 Anuidades inteiras 
 Anuidades variáveis 
Estudo de caso: Ação revisional em financiamento de veículos 
 
#4. Sistemas de amortização (MJ: 8 e B&E: 8) 
Amortização no final 
Modelo americano de amortização 
Modelo francês de amortização 
 
 
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Modelo hamburguês de amortização 
Modelo misto de amortização 
Modelo em progressão geométrica de amortização 
Estudo de caso: Simulações de financiamento imobiliário versus crise 
 
Opcional: 
#5. Análise de viabilidade financeira (B&E: 13) 
Taxa média de retorno contábil 
Payback 
VPL 
TIR 
ILL 
Break even 
Estudo de caso: Franquias 
 
IV – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFIAS 
Bibliografia Básica: 
[MJ] Juer, Milton, “Matemática financeira”. Ed. Qualitymark, 1ª edição, 2003 
[B&E] Brigham, Eugene, e Ehrhardt, Michael, “Administração financeira: teoria e prática”. Ed. 
Thomson, 10ª edição, 2007 
 
 
 
V – METODOLOGIA 
- Aulas presenciais teóricas 
- Apresentação de estudos de caso 
- Resolução de exercícios 
- Utilização de softwares (Excel) e máquina científica (HP 12-C) 
 
 
VI – AVALIAÇÃO 
A nota final será determinada pela média ponderada das seguintes notas parciais: 
- 60% referentes a duas avaliações individuais 
- 20% referentes ao trabalho em equipe 
- 20% referentes à lista de exercícios individual 
 
 
 
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VII – CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR 
Paulo Rogério Faustino Matos é Doutor em Economia pela Fundação Getulio Vargas 
(EPGE/FGV-RJ, 2003 - 2006), onde foi bolsista Nota 10 da FAPERJ – destinada ao primeiro 
lugar do curso – e Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará (UFC, 1997 - 2002). 
Atualmente é Professor Adjunto III nos programas de Graduação em Ciências Atuariais da UFC 
e de Pós-Graduação em Economia da UFC (CAEN/UFC). Em termos de pesquisa, é pesquisador 
do CNPq, compõe o grupo de pesquisadores do Laboratório de Estudo da Pobreza (LEP/CAEN) 
e do Núcleo de Conjuntura Econômico-Financeira (NCF/CAEN), é parecerista de algumas das 
principais revistas em finanças e economia do país, membro da Sociedade Brasileira de Finanças 
(SBFin) e editor associado do periódico Brazilian Business Review (BBR). Suas áreas de pesquisa 
são: i) Finanças Internacionais; ii) Apreçamento de Ativos e iii) Sistema Financeiro e 
Desenvolvimento. Participa atualmente como Conselheiro do Instituto de Desenvolvimento 
Econômico, Social e de Políticas Públicas (IDESPP). 
Endereço para CV lattes: http://lattes.cnpq.br/0288522400109962 
 
 
 
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1. Considerações iniciais 
1.1. A ciência financeira 
“Você possui uma economia depositada em uma conta corrente, a qual você pretende investir visando 
sua aposentadoria, por exemplo. Em que ativo investir? Os preços dos ativos estariam corretos? Quando 
mudar de investimento?” 
 
Diariamente, estamos expostos a diversas perguntas as quais exigem que tomemos decisões. 
Em que e quando investir? Fazer leasing ou consórcio? O que recomendar àquela empresa com 
relação ao projeto de ampliação? 
O que haveria em comum a todas essas perguntas? A necessidade de se possuir um sólido 
conhecimento da Teoria de Finanças. 
Segundo Bodie e Merton (2002), Finanças pode ser vista como a ciência capaz de estudar 
como as pessoas alocam recursos escassos ao longo do tempo, cujas aplicações no mundo dos 
negócios compreendem desde a administração de recursos pessoais, as escolhas ótimas como 
cidadão a partir de informações públicas, até a busca por melhores oportunidades de carreira. 
A Teoria de Finanças pode ser decomposta em duas clássicas e fortemente interligadas 
áreas de conhecimento: finanças corporativas e apreçamento de ativos. 
A primeira destas áreas visa estudar a teoria financeira e os mecanismos de tomada de 
decisão empresarial no âmbito econômico-financeiro, o que compreende questões, tais como: a 
estrutura ótima de capital, a política de dividendos, governança corporativa, fusões e aquisições. 
A segunda aborda como se comporta o equilíbrio no mercado financeiro, assumindo que 
as ações das empresas, títulos do governo e todos os demais ativos financeiros encontram-se 
disponíveis e analisando as decisões financeiras dos investidores. 
Neste contexto, o conhecimento de matemática financeira, relevante nestas duas vertentes 
que compõem a ciência financeira, auxilia na compreensão de que as decisões financeiras 
envolvem duas dimensões: o tempo e o risco, sendo o principal papel dos mercados financeiros o 
de transferir recursos entre pontos diferentes no tempo e entre estados da natureza. 
 
1.2. Introdução 
 
“Quem nunca, ao final das compras, ouviu a seguinte pergunta: á vista ou parcelado com juros?” 
 
Sempre nos deparamos com essa e com outras perguntas que envolvem o valor do dinheiro 
ao longo do tempo. 
O que responder nessas horas? 
Tais perguntas, em geral são extremamente fáceis de responder, desde que conheçamos 
alguns princípios de Matemática Financeira. 
 
 
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A Matemática Financeira consiste em uma ciência aplicada que estuda o valor de moedas 
financeiras ao longo do tempo, com intuito de regulamentar e subsidiar todas as operações não 
liquidadas à vista, podendo, portanto ser considerada como uma ferramenta que nos auxilia a 
tomar decisões financeiras ótimas, ou seja, que maximizem a riqueza dos investidores. 
De maneira bem pragmática, podemos afirmar que estamos diante de uma ferramenta de 
cálculo que nos permite identificar qual o melhor financiamento,se um determinado 
investimento vai dar lucro ou prejuízo (esperado) e assim fazer comparações consistentes entre 
diferentes alternativas de transações financeiras. 
Sendo mais detalhista, na prática esta ferramenta irá nos permitir: 
- calcular o valor de uma prestação; 
- calcular o saldo devedor de um financiamento; 
- decidir qual o melhor financiamento dentre vários; 
- verificar se um determinado investimento vai dar lucro ou prejuízo; 
- verificar se é melhor alugar ou comprar um equipamento; 
- saber quanto devemos poupar mensalmente para atingir um determinado objetivo; 
- saber o lucro que teremos em uma operação financeira; 
- saber quanto tempo um projeto demora para dar lucro; 
- saber quanto deveríamos ter, hoje, para cobrirmos gastos futuros; 
- definir quanto devemos cobrar de juros para ter lucro; 
- determinar qual é a taxa de juros real e efetiva que estamos pagando / recebendo; 
- determinar a rentabilidade de um investimento; 
A seguir, apresentamos exemplos extremamente fáceis e introdutórios que nos mostram a 
relevância de se saber Matemática Financeira, mesmo em casos simples e rotineiros. 
 
Exemplo 1.1: Suponha que você esteja vendendo um bem usado por R$ 100,00. Você 
recebe duas propostas... 
- proposta A: pagamento à vista de R$ 1.000,00; 
- proposta B: pagamento de R$ 1.050,00 daqui a um mês. 
O que é melhor? Receber R$ 1.000,00 hoje ou receber R$ 1.050,00 daqui a um mês? 
 
R.: Bem, primeiramente essa resposta não necessariamente é única, dependendo totalmente da 
condição em que você se encontra. 
Se uma taxa de juros para aplicações de 10% ao mês está disponível para você, então não havendo 
uma necessidade extrema de dinheiro hoje, você deverá preferir a proposta A, recebendo assim os R$ 
1.000,00 à vista, pois poderá aplicá-los, obtendo, em um mês, R$ 1.100,00. 
Fazendo isso você terá mais do que os R$ 1.050,00 (também daqui a um mês) da proposta B. Tal 
raciocínio serve para qualquer taxa de juros acima de 5% ao mês. 
 
 
 
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Exemplo 1.2: Suponha agora, que você receba uma terceira proposta (C) para esse bem, na 
qual há uma oferta de pagamento de R$ 1.200,00 daqui a um mês. Você mudaria de idéia quanto 
à sua posição inicial de vender á vista? 
 
R.: Se essa taxa de juros para aplicações de 10% ao mês for a melhor que você dispõe, então você 
deve preferir receber os R$ 1.200,00 daqui a um mês – proposta C –, pois, se você aceitar a proposta A – 
R$ 1.000,00 hoje – e aplicar o que recebeu, você terá, ao fim de um mês, R$ 1.100,00, que valem menos 
do que estaria recebendo pela proposta C. 
 
Exemplo 1.3: Agora, considere as mesmas propostas, porém para valores da ordem de 
R$100,00 e depois da ordem de R$ 1bilhão. 
 
Em suma, aspectos como custo de oportunidade, necessidade e risco são essenciais para 
que tomemos a decisão mais acertada! 
 
1.3. Conceitos básicos e definições 
 
“Como podemos transformar o valor do dinheiro no tempo?” 
 
1.3.1. Taxa de juros 
Normalmente, a cessão de bens de qualquer natureza – moeda, imóveis, máquinas, etc..., – 
para uso temporário por outra pessoa faz-se, mediante o pagamento de uma remuneração ou 
indenização ao cessionário. Tratando-se de um imóvel ou de uma máquina, tal remuneração seria 
o aluguel ou um arrendamento. 
Porém, tratando-se de moeda ou capital circulante, tal remuneração seria chamada de juros 
(i, do inglês interest rate), certamente o “termo” que mais se ouve no mercado financeiro, até 
mesmo por leigos, o que se dá pelo fato da extrema importância deste elemento na realização das 
transações não liquidadas à vista, determinando o quanto vai ser aumentado ou diminuído do 
capital ao longo do tempo. Nós economistas definimos juros como sendo a remuneração do uso 
do fator capital financeiro. 
É importante esclarecer que partimos da premissa de que existem inúmeros ativos, 
investimentos financeiros ou simplesmente oportunidades de aplicação disponíveis – poupança, 
instrumentos de renda fixa, títulos do governo, imóveis, ações, etc. – que podem ser adquiridos 
por qualquer investidor que disponha de capital. Sabemos que para todo capital, uma vez 
aplicado, o mesmo deverá receber uma remuneração definida ex ante ou apenas ex post, que 
poderá ser maior ou menor, dependendo do tipo de investimento feito. 
 
 
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Assim, todo capital parado e não investido – que consequentemente não está sendo 
remunerado – perde o que poderia estar recebendo sob a forma de juros, o que configura uma 
medida de custo de oportunidade perdido. 
Logo, é justo e economicamente defensável que se pague uma indenização (juros e correção 
monetária) a quem cede a outrem recursos monetários ou créditos indispensáveis para promover a 
junção de fatores de produção que, convenientemente combinados, geram um maior valor 
Uma definição básica e objetiva de taxa de juros seria o custo do dinheiro ao longo do 
tempo. Apesar de correta, entendemos que o conceito de taxa de juros pode ser associado à 
natureza da operação que se encontra sendo feita, de forma que: 
- os juros podem ser considerados como o custo a ser pago pelo uso temporário do capital 
de terceiros, através de operações de empréstimo ou financiamento, por exemplo; ou 
- consistirem na remuneração obtida de um capital aplicado em uma atividade produtiva 
por um determinado período, como uma poupança. 
É esta concepção que fundamenta o dilema que norteia, em linhas gerais, o mercado 
financeiro, onde avaliamos sempre as taxas de juros ofertadas nas mais diversas operações visando-
se obter: 
 
 
Figura 1.1. Esquema “simplório” de objetivos 
 
 A Mais ALTA taxa de juros vis-à-vis Mais BAIXA taxa de juros 
 nas APLICAÇÕES nos EMPRÉSTIMOS 
 
 
 
Este raciocínio se aplica também nos casos de contas a pagar, procurando priorizar dívidas 
sobre as quais incida uma maior taxa de juros por atraso em sua quitação. 
No entanto, pode acontecer de nem sempre esta máxima ditar o comportamento do 
investidor, o qual pode estar priorizando outro aspecto, como liquidez, diversificação... 
Existem ainda muitos outros elementos presentes nas operações financeiras usais que 
influenciam diretamente o capital e seu valor, tais como: o volume do capital em questão, a 
quantidade de moeda disponível no mercado, o prazo das operações, o mercado onde está 
localizado o capital e os riscos envolvidos resultantes da confiança depositada no tomador e no 
projeto e a qualidade e o valor das garantias oferecidas. 
Essas variáveis estão sempre interligadas, possuindo importância singular dentro do 
contexto das operações financeiras, que têm na figura do fluxo de caixa sua principal ferramenta. 
Temos, portanto que a elaboração, o entendimento, a interpretação e a análise das equivalências 
dos fluxos de caixa serão etapas imprescindíveis na fixação do estudo desta ciência. 
 
 
 
 
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1.3.2. Fluxo de caixa e o aspecto temporal 
Fluxo de caixa consiste em um artifício que representa as entradas e saídas de capital ao 
longo do tempo, podendo ser puramente numérico, feito através de quadros e planilhas ou 
gráfico, permitindo uma melhor visualização. A seguir temos um diagrama para exemplificação. 
 
 
 
 
Figura 1.2. Fluxo de caixa genérico 
 
 
 
 
Em um fluxo de caixa gráfico, em geral, representamos o tempo na escala horizontal, seja 
este em dias meses ou ano,sendo o zero a convenção utilizada para marcar a data inicial, 
conseqüentemente o um para fixar o final do primeiro período e assim em diante. 
As saídas de capital são obviamente os pagamentos a serem realizados, apresentando 
sempre sinal negativo, sendo representados por setas com sentido para baixo. As entradas de 
dinheiro consistem em recebimentos, possuindo sinal sempre positivo e setas com sentido para 
cima. 
 
1.3.3. Valores presente e futuro 
Possivelmente, o objetivo principal de uma análise de um fluxo de caixa consiste em 
“trazer” todas as receitas e todos os pagamentos para o valor presente, ou mesmo jogá-los todos 
para o valor futuro, o que será equivalente, em termos de análise de investimento, desde que 
corretamente convertidos.1 Sob esta ótica, precisamos entender melhor o aspecto temporal. 
Em princípio, estamos todos no tempo presente. Quando recebemos ou aplicamos algum 
valor hoje, R$ 100,00, por exemplo, isso significa que este valor é o próprio valor presente. Mas e 
se esta mesma quantia somente estivesse em “sua mão daqui a um mês”? Neste caso, não mais 
deveríamos considerar esse valor como sendo o valor presente. Seria necessário calculá-lo, 
descontando esse valor de R$ 100,00 a alguma taxa mensal. 
 
1 Quando do estudo de regime de juros compostos na subseção 1.4, poderemos formalizar esta análise através de fórmulas. 
 
 
 
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Da mesma forma, quando vamos receber, pagar ou aplicar algum valor no futuro, seja este 
no próximo ano ou no próximo mês, isso significa que tal valor é o valor futuro. 
Os valores presente e futuro são usualmente representados nas calculadoras financeiras 
respectivamente, por PV – Presente Value – e FV – Future Value. Comumente, nos referimos ainda 
a tais valores como sendo respectivamente o capital inicial, ou principal (P) e o montante (S) 
Confusões podem surgir neste contexto temporal, uma vez que a Matemática Financeira 
baseia-se, fundamentalmente, em convenções, de maneira que um valor considerado futuro – FV 
– pode ser também um valor presente – PV – em relação a outro valor alocado mais no futuro. 
 
1.3.4. Operações financeiras e prazos 
Operação financeira é o nome genérico que o mercado utiliza para referir-se a operações de 
empréstimos, financiamentos, desconto antecipado de duplicatas, aplicação em fundos de 
investimentos e outros. Em resumo, são as transações que efetuamos no dia-a-dia, sejam de 
aplicação ou de captação de recursos. 
Sabemos também que, em toda operação financeira, existem pelo menos dois lados: o lado 
do investidor ou que empresta e o lado do tomador de empréstimo. 
Assim, quando depositamos algum dinheiro na poupança, nós somos o investidor; a 
instituição do depósito é o tomador de empréstimo, que recebe nosso investimento. Se 
depositamos hoje, temos uma saída de caixa, de uma valor que chamamos de principal, 
esperando receber futuramente (entrada de caixa) um valor, chamado de montante que deve ser 
igual à soma de nosso investimento inicial com os juros dessa aplicação. 
Visando à padronização dos prazos, comerciantes medievais adotaram algumas regras 
simplificadoras dos cálculos, criando o mês e o ano comerciais. Segundo a convenção adotada, o 
mês comercial tem 30 dias, enquanto o ano, por ser decomposto em exatos 12 meses, tem, 
portanto, 360 dias. 
Porém, é possível que em situações mais específicas e criteriosas, seja necessário se ater à 
contagem exata dos dias úteis ou corridos no calendário vigente no local da operação, caso em 
que usamos o termo de juros exatos e não mais o termo comercial. 
 
1.3.5. Revisitando as taxas de juros 
Já sabemos que a taxa de juros é o valor que se paga ao investidor por sua aplicação ou 
investimento, durante um determinado período de tempo, ou seja, com um prazo determinado. 
Para calcularmos os juros, precisamos da taxa de juros pactuada entre as partes, do valor da 
operação e do prazo. 
A taxa de juros, como indica o próprio nome, é uma taxa, geralmente expressa em base 
percentual e em referência a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc ... 
 
 
 
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Exemplo 1.4: Seja a taxa de juros da poupança de 8% ao ano (ou simplesmente 8% a.a.) e 
o valor da operação ou principal de R$ 1.000,00, então os juros relativos a um ano de aplicação 
serão de R$ 80,00, sendo o montante de R$ 1.080,00. 
 
Ao efetuarmos cálculos com taxas de juros, devemos sempre adotar uma única unidade 
de tempo! Se as taxas de juros forem em anos e o número de períodos em meses, devemos colocar 
o tempo em anos, ou de forma mais prática, colocar obter esta taxa de juros ao mês. Retornando 
ao problema anterior... 
 
Exemplo 1.5: Sendo principal de R$ 1.000,00 e a uma taxa de juros disponível de 8% a.a., 
qual será o montante desta aplicação ao final de 10 meses? 
 
R.: Para calcular esse total, devemos transformar trabalhar a ideia de conversão de periodicidade da 
taxa de juros, passando a ser de uma taxa anual para uma taxa mensal e aí calcular o montante. O método 
usado para resolver tal problema depende do regime de juros em questão, juros simples, compostos ou 
contínuos. Estes regimes serão detalhados na seção seguinte. 
 
 
 
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2. Análise dos juros 
2.1. Regime de capitalização simples 
 
“Quem se beneficiaria do regime de juros simples: tomadores de empréstimo, ou investidores?” 
 
2.1.1. Relações básicas 
Em uma transação financeira realizada em regime de juros simples, tem-se que os juros de 
cada período da composição são calculados sempre em função de um mesmo capital, o 
inicialmente empregado (principal), não havendo, portanto, em nenhuma hipótese, capitalização 
de juros, ou seja, a cobrança de juros em “cima de juros”. 
Evidencia-se dessa forma, ao se analisar um investimento, por exemplo, um 
comportamento em que o crescimento do dinheiro aplicado se dá de forma linear, em 
conformidade com uma progressão aritmética de razão igual ao valor dos juros periódicos. 
Assim, investindo hoje um principal a uma determinada taxa de juros (i), por um prazo 
(n), você espera receber no futuro um montante que deve ser igual ao principal acrescido dos 
juros, os quais, sob um regime de capitalização simples, serão calculados como sendo o produto 
entre o principal ou valor presente (PV), a taxa de juros (i) e o prazo (n), em acordo com a 
seguinte relação: 
 
niPVJuros ××= 
 
Assim, como o valor futuro é sempre dado pela soma de principal e juros, temos que em 
um regime de capitalização simples a relação entre PV, i, prazo n e o valor futuro FV é dada por 
 
)1( niPVnPVxiPVJurosPVFV ×+=×+=+= 
 
Exemplo 2.1: Suponha que você ligue para o seu banco querendo aplicar R$ 500,00, a 
uma taxa de 0.60% ao mês, pelo prazo de 3 meses. Quanto você deverá receber de juros? E com 
quanto você ficaria ao final da operação? 
 
R.: Notemos que PV = R$ 500,00, i = 0,006 a.m. (= 0.60% a.m.), n = 3 meses. Aplicando a 
fórmula de juros, temos que os juros serão dados por 00,9$3006,000,500$ RR =×× , enquanto o valor 
futuro, ou montante é dado pelo principal acrescido dos juros, ou seja, R$ 509,00. 
 
Em razão da necessidade de se satisfazer às mais diversas situações financeiras, adotamos 
alguns tipos de taxas e respectivas nomenclaturas visando uma maior transparência das transações 
financeiras: 
 
 
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- Taxa efetiva ou real: Consiste na taxa em que a unidade de referência de seu tempo 
coincide com a unidade de tempo utilizada nos períodos da composição, não havendo 
assim necessidade de haver nenhum tipo de conversão de unidades. No exemplo 2.1, a 
taxa era efetiva, ou seja, era mensal e o período de composição também! 
 
- Taxas proporcionais: Taxas que, mesmo com períodos de capitalização diferentes, 
transformam um mesmo principal (PV) em um mesmo montante (FV) ao longo de um 
mesmo prazo (n), em regime de juros simples. Observando a relação de cálculo linear dos 
juros, niPVJuros ××= , é possível formalizar: 
 
)(%360)(%12)(%4)(% ........ damataaa iiii ×=×=×= 
 
Exemplo 2.2: Após observar a restituição do seu imposto de renda, você verificou que o 
mesmo foi de R$ 3.600,00. Sua esposa, por ter um perfil conservador e estar pretendendo viajar 
futuramente para a Europa, sugere que você aplique esse dinheiro por um período de dois anos e 
seis meses, comprando títulos do governo, os quais rendem 12% ao ano. Com base no valor 
futuro obtido dessa operação, daria para viajar? 
 
R.: A partir do enunciado e das conversões que devem ser feitas, temos o seguinte que PV = R$ 
3.600,00, i = 0,12 a.a, n = 30 meses. Aplicando a fórmula de montante, temos que: 
 
00,680.4$)5,212,01(00,600.3$ RRFV =×+×= . 
 
Observe que a conversão, visando uniformidade das unidades da taxa de juros e prazo foi feita 
ajustando-se o prazo. Ajustando agora a taxa de juros, temos que a taxa proporcional a 12% a.a consiste em 
1% ao mês. Utilizando a fórmula de montante, 
 
00,680.4$)3001,01(00,600.3$ RRFV =×+×= .2 
 
Infelizmente, com essa taxa de juros, para a Europa, não vai ser possível viajar! 
 
Exemplo 2.3: Imagine que daqui a dois anos, você precisará ter R$ 1.200,00. 
Considerando que você tenha conseguido uma boa aplicação cuja taxa de juros seja de 20% ao 
ano, no regime de juros simples. Quanto você precisaria aplicar hoje? 
 
R.: Mais uma vez, observe que a partir dos dados disponíveis, temos que FV = R$ 1.200,00, i = 
0,20 a.a, n = 2 anos. Manipulando a fórmula de montante, temos que 
 
 
2 Lembre-se de que para efetuarmos os cálculos, a taxa de juros deve estar na mesma unidade de tempo que os períodos de aplicação. 
 
 
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14,857$)22,01/(00,200.1$)1/( RRniFVPV =×+=×+= . 
 
É importante que se ressalte que apesar das vantagens, dentre as quais, a facilidade do 
cálculo, o regime de juros simples não parece ser tão útil assim, em razão da sua limitada aplicação 
em cenários realistas, nos quais há capitalização de juros. Algumas das poucas aplicações do 
regime simples seriam as operações de curtíssimo prazo, como por exemplo, overnight e desconto 
de duplicatas, assunto que será enfatizado apenas na seção 2.5. 3 
 
Exemplo 2.4: Suponha que um investidor aplique a uma taxa simples de 4% ao mês, 
resgatando ao final de 4 meses e 20 dias de operação a quantia de R$1.500,00. Qual o valor 
inicialmente aplicado e qual o valor dos juros auferidos? 
 
R.: Mais uma vez, observe que a partir dos dados disponíveis, temos que FV = R$ 1.500,00, i = 
4,00 a.m, n = 140 dias. Manipulando a fórmula de montante, temos que: 
 
04,264.1$]140)30/04,0(1/[00,500.1$)1/( RRniFVPV =×+=×+= . 
 
Os juros são dados pelo diferencial, ou seja, R$235,96. 
 
Exemplo 2.5: Um capital ficou depositado durante 15 meses à taxa simples de 30% ao ano. 
A soma desse capital e dos respectivos juros correspondentes foi reaplicada por 8 meses e 20 dias a 
uma taxa de 28% ao ano. No final, o montante resgatado foi de R$120.000,00. Qual o valor 
inicial da aplicação? 
 
R.: Observe que a partir dos dados disponíveis, temos duas operações seguidas, de forma que podemos 
resolver de trás pra frente, da operação mais recente pra mais antiga. Na segunda operação, o FV = R$ 
120.000,00, i = 28,00 a.a, n = 260 dias = 260/360 anos. Manipulando a fórmula de montante, temos 
que o principal da operação 2 é: 
 
16,815.99$]260)360/28,0(1/[00,000.120$)1/()2()2( RRniFVPV =×+=×+= . 
 
Assim, sabemos que este valor que se refere ao principal da segunda operação 
)2(PV consiste no 
montante da primeira 
)1(FV . Logo, replicando os cálculos, 
 
84,592.72$]15)12/30,0(1/[16,815.99$)1/()1()1()1( RRniFVPV =×+=×+= 
 
 
3 Na seção 1.5 iremos abordar exemplos mais aplicados sobre operações de curtíssimo prazo. 
 
 
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15 
Todas estas contas podem ser feitas usando os comandos da HP 12-C, bastando para tal 
sempre converter os juros para o período em questão, de forma que o período possa ser 
considerado n = 1. 
 
2.1.2. Equivalência de fluxos em regimes de juros simples 
Uma vez que o investidor se depare com um fluxo em que haja operações regidas por juros 
simples, as quais ocorram em mais de duas datas diferentes, este terá que decidir em que 
momento deseja obter a equivalência deste fluxo. Em suma, isso se dá em razão da seguinte 
verdade: em regime de juros simples, capitais equivalentes em uma data não o serão em outra. 
 
Exemplo 2.6: Suponha que sua família deseje poupar uma quantia hoje, de forma que esta 
possa honrar com o compromisso associado a um parcelamento de uma viagem. O pagamento 
desta viagem prevê dois desembolsos, um com 5 meses de R$10.000,00 e um último de 
R$12.500,00 ao final do 12º mês. Quanto precisa ser poupado hoje? Responda às perguntas: i) 
inicialmente acompanhando o saldo devedor ao longo do tempo, de forma que este zere ao final 
do 12º mês, ii) descontando tudo a valor presente e iii) levando tudo ao valor futuro. As respostas 
batem nas 3 soluções? 
 
O que ocorre neste caso é que no primeiro caso, ao acompanhar o saldo, está se 
incorporando capitalização de juros. Não que seja errado, pois todas as formas consistem em 
refinamentos e podem ser aplicadas sempre, desde que não seja especificado na questão qual 
adotar. Assim, é possível que em muitos casos, seja necessário se definir ou a técnica de 
acompanhar o saldo, ou estabelecer uma data focal, a qual servirá de base para que todas as 
entradas e saídas sejam trazidas ou levadas em termos de valor nesta data específica. 
 
2.1.3. Prazo médio e Taxa média de juros 
Em algumas operações financeiras, é comum que se deseje estabelecer um parâmetro que 
seja de fácil compreensão e que sumarize todo um fluxo de caixa complexo em um só número. 
Este número pode ser o prazo médio, ou a taxa de juros média. 
Caso haja um fluxo com K capitais, C1, ..., CK, cada uma delas realizadas nos períodos n1, ..., 
nK todas elas com regidas por juros simples idênticos ao longo do tempo, i. Observe então que um 
período médio para estas operações nmédio pode ser obtido assim, a partir da igualdade dos valores 
dos juros: 
 
).......(.........)....(. 2211221121 KKKKKmedio nCnCnCiniCniCniCCCCin +++=+++=+++ 
 
Exemplo 2.7: Obtenha o prazo médio em um regime de juros simples, de forma que se 
obtenha o mesmo valor de juros (R$) que o obtido em um fluxo que tenha três entradas, uma de 
 
 
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R$50.000,00 em 5 meses, outra R$100.000,00 em 12 meses e uma terceira de R$120.000,00 em 
15 meses. Este resultado depende da taxa de juros? Monte o fluxo de caixa. 
 
Por fim, caso se disponha de um fluxo com mesmo prazo para várias entradas e saídas, é 
possível obter uma taxa média tal que, esta sumarize todas as demais. 
 
).......(.........)....(. 2211221121 KKKKKmedio iCiCiCnniCniCniCCCCin +++=+++=+++Exemplo 2.8: Imagine uma entrada de R$ 500,00 rendendo 3% a.m., outra entrada de R$ 
1.500,00 rendendo 1,5% a.m e uma saída de R$ 300,00 rendendo 4,5% a.m. Identifique qual a 
taxa média de juros que proporciona o mesmo valor de juros que o obtido com o fluxo acima. 
Este resultado depende do prazo das operações. 
 
2.1.4. Exercícios sobre regime de capitalização simples 
Exercício #1: Exemplo 2.6 da nota de aula. 
Exercício #2: Exemplo 2.7 da nota de aula. 
Exercício #3: Exemplo 2.8 da nota de aula. 
Exercício #4: Exercício 9, pág. 38, cap 3 do livro [MJ]. 
Exercício #5: Exercício 11, pág. 39, cap 3 do livro [MJ]. 
Exercício #6: Exercício 12, pág. 39, cap 3 do livro [MJ]. 
Exercício #7: Exercício 18, pág. 39, cap 3 do livro [MJ]. 
Exercício #8: Exercício 19, pág. 40, cap 3 do livro [MJ]. 
Exercício #9: Uma letra de câmbio possui prazo de 330 dias corridos e apresenta valor de 
emissão (valor presente) de R$50.000,00 e rendimento de 60% no referido período. Dado que o 
imposto de renda na fonte, para o caso em questão é cobrado antecipadamente e segundo a 
alíquota de 50% sobre 20% do rendimento, pergunta-se: quais são as taxas anuais de 
rentabilidade em termos líquido e bruto? 
Exercício #10: Certo indivíduo, em compromisso por obrigações assumidas com outra 
pessoa, assinou, tempos atrás, uma nota promissória com valor de R$ X e que se vence daqui a 
dois anos. Admitindo-se que este indivíduo proponha ao credor reformar seu compromisso 
original de modo a substituí-lo por uma nova nota promissória pagável de hoje a um ano, 
determinar o valor nominal desta nota se a taxa de juros simples for de 100% ao ano. Para tal, 
derive as relações deste valor nominal em função da data focal expressa em anos e represente esta 
evolução em um gráfico. 
 
 
 
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2.2. Regime de capitalização composta 
 
 “Juros sobre juros ..... Bom para quem?” 
 
2.2.1. Relações básicas 
Vimos que em raras operações de curtíssimo prazo, é válido o regime de capitalização 
apenas do capital inicialmente empregado, ou seja, o regime de juros simples. No entanto, na 
maioria das operações financeiras realizadas atualmente nos mercados financeiros mundiais, 
adota-se o regime de juros compostos, no qual a obtenção dos juros de cada período da 
capitalização se dá da seguinte forma: “cada um dos períodos apresenta no seu início, um saldo 
existente, que consiste no montante parcial do período anterior. Dessa forma, ao final do 
período correspondente, os juros são calculados em função deste saldo inicial, passando a 
incorporá-lo, constituindo assim um novo montante parcial, que será o saldo existente no 
início do período seguinte”. 
Em juros simples, os juros incidem a cada período sempre sobre um mesmo principal, 
definido em t = 0, enquanto em juros compostos, os juros incidem a cada período sobre um 
novo principal, o qual incorpora juros do período anterior, havendo capitalização de juros! 
Assim, como no regime de juros simples, o valor futuro ou montante é sempre dado pela 
soma de principal ou valor presente e dos juros. Porém, a análise do comportamento de um 
investimento neste regime de juros mostra um crescimento exponencial do dinheiro aplicado, 
semelhante a uma progressão geométrica de razão igual ao valor da taxa de juros, em fração 
decimal, acrescido de uma unidade, ou seja, 1 + i. 
Formalmente, em regime de juros compostos, temos que, para um valor presente (PV), a 
uma taxa de juros (i) e um prazo (n), o valor futuro será dado por: 
 
niPVFV )1( +×= 
 
Por definição, para obtermos os juros, bastaria que calculássemos FV – PV. 
 
Exemplo 2.9: Qual o montante de uma aplicação de R$ 1.000,00 em títulos do governo 
que rendem 12% ao ano por um período de 35 anos? 
 
R.: Facilmente, identificamos que PV = R$1.000,00, i = 12% ao ano e n = 35 anos. Usando a 
relação anterior, obtemos que o montante é dado por 62,799.52$)12,01(00,000.1$ 35 RR =+× . 
 
 
 
 
 
 
 
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O que pode vir a se constatar, a partir da comparação dos dois regimes, é que no primeiro 
apenas o principal rende juros, enquanto no segundo regime há a capitalização de juros, já que os 
rendimentos são calculados em função dos montantes parciais dos períodos anteriores. Uma 
primeira pergunta que se faz comumente é: qual dos dois é o melhor? Depende do lado da 
operação ao qual você pertence! 
É possível que a operação envolva diferentes taxas de juros ao longo do tempo, sendo neste 
caso, a relação associando o prazo, os juros, o principal e o montante dada por: 
 
)1()1(...)1()1( 121 k
N
kN iPViiiPVFV +Π×=+××+×+×= = 
 
Exemplo 2.10: Suponhamos que você esteja na situação anteriormente descrita e que você 
possa agora escolher entre o regime de juros simples ou compostos para capitalizar seu 
investimento. O que você escolheria? E se você fosse o gestor responsável pelo investimento em 
questão, ou seja, aquele que irá tomar emprestado os R$ 1.000,00 nesses 35 anos? 
 
R.: Em um regime de juros simples, tendo identificado os elementos em questão, bastaria usarmos a 
relação de montante abordada na seção 2.1, para obter que o novo montante seria dado por 
00,200.5$)3512,01(00,000.1$ RR =×+× . Observando esse novo montante, fica muito claro qual regime é 
melhor para cada lado da transação. 
 
Relembre: Aplicações com juros simples evoluem linearmente, já quando os juros são 
compostos, a evolução é exponencial! 
 
Visando visualizar esta evolução, observe o comportamento retratado na figura 2.1, a 
seguir, onde o valor futuro cresce com o tempo, tão mais fortemente, quanto maior forem os 
juros. 
 
 
 
 
Como seria na máquina financeira HP 12-C: 
Pressionar 1.000,00; depois [ CHS ]; depois [ PV ] 
Pressionar 12; depois [ i ] 
Pressionar 35; depois [ n ] 
Por fim, pressionar [ FV ] ......... 
 
 
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Figura 2.1: Evolução do valor futuro (1 unidade monetária) 
 
 
Fonte: B&E 
 
 
2.2.2. Tipos de taxas em juros compostos 
Novamente, porém agora em regime de juros compostos, em razão da necessidade de se 
satisfazer às mais diversas situações financeiras, adotamos alguns tipos de taxas e respectivas 
nomenclaturas visando uma maior transparência das transações financeiras: 
 
- A Taxa efetiva ou real permanece sendo, em qualquer dos regimes, a taxa em que a 
unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo utilizada nos 
períodos da composição. 
 
- Taxa Nominal: Taxa em que a unidade de referência de tempo não coincide com a 
unidade de tempo dos períodos da composição. Essa taxa geralmente é fornecida em 
termos anuais (i% ao ano), enquanto os períodos são em meses ou semestres. 
 
- Taxas equivalentes: Taxas se encontram diretamente relacionadas às taxas 
proporcionais, só que se aplicam apenas em regime de juros compostos. Formalizando, 
com base na relação de cálculo de juros compostos, PViPVJuros n −+×= )1( , temos que: 
 
360
..
12
..
4
.... )](%1[)](%1[)](%1[)](%1[ damataaa iiii +=+=+=+ 
 
 
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Observação: A transformação da taxa nominal em taxa efetiva é sempre realizada no 
regime de capitalização simples, por convenção de mercado, mesmo que o problema a ser 
resolvido envolva capitalização composta. Nesses casos, o que interessa é a taxa efetiva do período 
de capitalização embutida na taxa nominal obtida no regime de juros simples!!!Exemplo 2.11: Um determinado financiamento anuncia que trabalha a uma taxa anual 
de 12%, sendo a amortização dada pelo pagamento de parcelas mensais. Este fato extremamente 
comum no mercado imobiliário pode ser considerado como uma espécie de propaganda enganosa 
por ser esta taxa divulgada uma taxa nominal. A realidade funciona da seguinte forma: 
 
12% a.a. nominais ...... corresponde (em regime de juros simples) à ...... 1% a.m. efetivo 
 
Como os sistemas de amortização se dão em geral pelo regime de juros compostos essa 
taxa de juros cobrada de 1% ao mês corresponde a uma taxa efetiva de 12,68% ao ano. Desta 
forma, estamos diante de um financiamento com taxas efetivas de: 1% ao mês ou 12,68% ao ano. 
Resumindo, uma taxa nominal é “anunciada”, entretanto, seu valor nunca é o utilizado 
de fato usado nos cálculos das prestações, por não representar uma taxa efetiva. Este é um 
exemplo real praticado em alguns financiamentos sob a forma de uma estratégia de marketing 
chamada de Tabela Price de amortização amplamente usada no mercado imobiliário. O 
mecanismo utilizado é exatamente o mesmo descrito acima. Outra prática que também usava os 
mesmos artifícios era o famoso overnight que anuncia taxas mensais nominais, mas que praticava 
taxas diárias efetivas somente em dias úteis.4 
 
Exemplo 2.12: O gerente do seu banco lhe oferece uma aplicação financeira com taxa 
nominal de 18% ao ano e capitalização mensal. Você dispõe de R$ 5.000,00 livres para aplicar 
com esse gerente hoje. Porém, sua dúvida se deve ao fato de que você também possui uma dívida 
de R$ 4.900,00 a ser quitada hoje. Tal dívida pode, no entanto, ser arrolada, sendo a taxa de juros 
efetiva nesse caso de 20% ao ano. Como proceder? 
 
R.: Uma taxa nominal de 18% ao ano corresponde a 1,5% ao mês. Uma vez que o que importa é 
a taxa efetiva embutida na taxa nominal, podemos facilmente obter que a taxa equivalente a 1,5% ao mês é 
19,56% ao ano. Assim, você possui um bom investimento em suas mãos, o qual rende quase 20% ao ano, no 
entanto, você possui uma dívida que evolui a uma taxa superior de 20%, fazendo com que a melhor 
estratégia seja quitar a dívida hoje e aceitar a aplicação financeira do gerente, porém investindo apenas R$ 
100,00. Esse caso é equivalente a você tomar um empréstimo de R$ 4.900,00 para poder aplicar com o 
gerente. Dizemos nesse caso que o dinheiro que você possui para investir é “caro”, pois ele é remunerado a 
uma taxa mais elevada que a que você dispõe para poder investi-lo. 
 
4 Operações realizadas no open market por um prazo mínimo de um dia, restrita a instituições financeiras. Mais sobre adiante. 
 
 
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21 
Exemplo 2.13: Suponha, porém que você não acreditou nas contas do exemplo anterior e 
quis “pagar pra ver”. Calcule em quanto tempo, o montante de sua aplicação será tal que não 
mais será possível se quer quitar a dívida. 
 
R.: Em um simples exercício de simulação, observe que em cinco anos e sete meses, a dívida a ser 
paga será de 99,560.13$)20,1(00,900.4$ )12/67( RR =× , valor esse superior ao montante de sua aplicação 
dado por 98,557.13$)015,1(00,000.5$ 67 RR =× . 
 Por fim, temos ainda outros dois tipos de taxa de juros: os juros que ocorrem nos prazos comerciais, 
levando em consideração apenas os dias úteis, são chamados de juros comerciais. Operações com juros 
comerciais não costumam considerar os juros exatos, ou seja, aqueles que levam em consideração os dias, os 
meses e os anos civis. 
 
Exemplo 2.14: Suponha que aos 50 anos você ganhe um prêmio no valor R$ 150.000,00. 
Calcule qual teria que ser a taxa de juros constante (em um regime de capitalização composto) 
para que ao aplicar o prêmio ganho hoje, você seja capaz de se aposentar com 60 anos, vivendo 
com um rendimento fixo mensal de R$ 5.000,00. Assuma que a expectativa de vida de um 
brasileiro homem seja de 75 anos e que uma vez aposentado, não mais haverá incidência de juros 
sobre sua riqueza. 
R.: Para um rendimento mensal de R$ 5.000,00 durante 15 anos, ou 180 meses, seria necessário 
um montante acumulado para daqui a 10 anos de R$ 900.000,00, valor que funcionará como nosso FV. 
Sendo o valor disponível para aplicação de R$ 150.000,00, temos assim os dados necessários para o cálculo 
dos juros desta transação. Usando a relação de montante em tempo composto, temos que 
120)1(00,000.150$00,000.900$ iRR +×= . Assim, os juros são: [ ] 01504,016 )120/1( =− ou 1,50% ao mês. 
 
 
 
 
Exemplo 2.15: Imagine que você receba hoje uma herança no valor de R$ 150.000,00 e 
que você pretenda usá-la no futuro para comprar um apartamento que hoje custa R$ 290.000,00. 
Para sua sorte, o seu gerente lhe oferece uma aplicação que te permite obter uma taxa de 
rendimento de 2% ao mês, enquanto o índice de reajuste do imóvel é um índice de inflação 
(constante) de 4,5% ao ano. Quanto tempo você precisaria para conseguir comprar este 
apartamento com esta herança? 
 
Como seria na máquina financeira HP 12-C: 
Pressionar 150.000,00; depois [ CHS ]; depois [ PV ] 
Pressionar 900.000,00; depois [ FV ] 
Pressionar 120; depois [ n ] 
Por fim, pressionar [ i ] ....... 
 
 
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R.: Nosso problema pode ser lido da seguinte forma: achar o valor para n tal que, 
 
)12/()045,1(00,000.290$)02,1(00,000.150$ nn RR ×≥× 
 
Por simulação ou usando logaritmos, achamos que em 42 meses (6 anos e meio), o montante da 
aplicação será tal que, seu valor superara o valor do imóvel devidamente corrigido. 
 
2.2.2. Equivalência de fluxos em regimes de juros compostos 
Comum a todos os casos vistos até então, está o fato de que em regime de juros compostos, 
não faz diferença qual a data focal escolhida, pois o fluxo será equivalente em qualquer período, 
independente se o cálculo é feito atualizando o saldo devedor, ou o fluxo é “zerado” em uma data 
ou outra! 
Em suma, estando diante de um fluxo de caixa o qual possui a operação Cj no período j, 
em juros compostos constantes ao longo do tempo, valem as seguintes relações de equivalência: 
 
 
 
Exemplo 2.16: Refaça o Exercício #6 na subseção 2.1. (Exercício 12, pág. 39, cap 3 do livro 
[MJ]), assumindo diferentes datas focais: tempo zero, 8º mês, 13º mês, 15º mês e carregando o 
saldo devedor, para ambos os regimes (simples e compostos). Para simplificar, durante o período, 
assuma juros de 5% a.m.. 
 
2.2.3. Séries de pagamentos ou recebimentos 
Quando do uso de regimes de capitalização com juros compostos passa a fazer sentido nos 
preocuparmos não somente com fluxos de caixa simples, os quais possuem apenas um principal e 
um montante, uma entrada e uma saída, por exemplo, mas também com fluxos mais complexos 
que apresentem parcelas, ou seja, entradas e saídas ao longo do período da operação. Do inglês 
payment, em geral denotamos as parcelas por PMT. 
Assim, suponha que haja um fluxo de caixa no qual, a partir de um valor presente 
inicialmente empregado PV e de N parcelas fixas e sucessivas a serem pagas ao final de cada 
período, PMT, seja possível gerar um montante FV. Assim, teremos a seguinte relação: 
 
 
 
Nesta relação acima, indicamos i1, por exemplo, para mostrar a incidência da taxa de juros 
no período 1 e assim em diante. A mesma notação vale para PMT1,.... Reescrevendo, temos: 
 
 
 
[ ]{ } FVPMTiPMTiPMTiPV NN =−+−+−+ )1.(.......)1.()1.( 2211
[ ] [ ]{ })1()1(. 1111 kN jkjNjNjNj iPMTPMTFViPV +ΠΣ++=+Π +=−==
j
jN
j i
C
PV
)1(1 +Σ= = jNjNj iCFV −= +Σ= )1.(1
 
 
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Sendo as parcelas constantes, é possível simplificar: 
 
 
 
Sendo os juros constantes ao longo do tempo: 
 
 
Usando conhecimentos sobre soma dos termos de uma PG: 
 
 
 
Por fim, caso seja um fluxo tal que, a série de pagamentos uniformes com taxas constantes 
seja capaz de zerar o saldo devedor, por exemplo, então o cálculo da parcela é dado por: 
 
 
 
Esta relação é muito útil no estudo de de amortizações com parcelas constantes! 
 
É possível ainda aplicar o limite quando N tende para o infinito, como em um fluxo de 
perpétuas anuidades, ou no caso de um preço hoje de uma ação com fluxo infinito de dividendos 
regulares e constantes, de forma que se chegue na relação . A ideia sobre perpetuidade 
originou-se dos títulos emitidos pelo governo britânico, logo após as Guerras Napoleônicas, os 
Consols. 
 
Exemplo 2.17.a: Analisemos novamente o exemplo 2.14. Façamos uma alteração que 
venha a tornar o problema mais realista: suponha agora que as condições permanecem as mesmas, 
porém, durante o seu período de aposentadoria, no qual há a “despoupança” constante no valor 
de R$ 5.000,00 mensais por 15 anos, o montante que havia sido acumulado continua rendendo, 
só que a uma taxa de 1% ao mês. Sob esse novo cenário, calcule qual deveria ser a taxa de juros 
constante durante a década (em um regime de capitalização composto) para que ao aplicar o 
prêmio ganho hoje, o montante acumulado seja capaz de propiciar a aposentadoria citada. Essa 
taxa deve ser menor ou maior que a encontrada no exemplo 2.14? 
 
R.: Aparentemente complicado, estamos diante de um problema também simples, apesar de mais 
trabalhoso. Precisamos agora saber o novo montante que precisa ser obtido a partir do prêmio aplicado 
durante 10 anos. Para calculá-lo, basta entender que ao final dos 75 anos, não mais deverá haver dinheiro 
para aposentadoria, ou seja, o FV nesse caso será nulo. Durante esse período de 15 anos, ou 180 meses (n) 
haverá pagamentos mensais constantes de R$ 5.000,00 (PMT), os quais serão retirados de uma aplicação 
que rende 1% (i) ao mês. De posse desses dados, podemos calcular o nosso PV. 
[ ] [ ]{ })1(1.)1(. 1111 kN jkNjjNj iPMTFViPV +ΠΣ++=+Π +=−==
{ }jNNjN iPMTFViPV −−= +Σ++=+ )1(1.)1.( 11
[ ]
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +−+++=+
i
iiPMTFViPV
N
N )1()1(1)1.(
1)1(
)1.(.
−+
+= N
N
i
iiPVPMT
iPVPMT .=
 
 
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24 
 
 
Esse novo PV de R$ 416.608,32 passa a ser o montante da aplicação do prêmio. Logo, temos agora 
que para a aplicação, PV será de R$ 150.000,00, n = 120 meses e FV será de R$416.608,32. Análogo 
ao problema anterior, basta usar a fórmula dada por [ ]{ } 00855,0100,000.150$/416.608,32$ )120/1( =−RR , 
para acharmos a nova taxa de juros. Claramente, esta taxa de 0,855% ao mês é bem mais baixa que a 
anterior de 1,504% ao mês, pois agora a despoupança é bem mais suave na aposentadoria. 
 
 
 
 
Figura 2.2: Fluxo de caixa do exemplo 2.17 
 
 
Exemplo 2.17.b: Ainda como base o exemplo 2.14, suponha que para gerar um montante 
de R$ 900.000,00, não mais haverá um prêmio de R$ 150.000,00, sendo, portanto necessário 
poupar todo mês. Calcule o valor da parcela a ser poupada durante essa década, de forma que aos 
60 anos, com uma taxa de juros de 1,504% ao mês, você tenha o montante requerido. 
Como seria na máquina financeira HP 12-C: 
Pressionar 150.000,00; depois [ CHS ]; depois [ PV ] 
Pressionar 416.608,32; depois [ FV ] 
Pressionar 120; depois [ n ] 
Por fim, pressionar [ i ] ....... 
Como seria na máquina financeira HP 12-C: 
Pressionar 5.000,00; depois [ CHS ] ; depois [ PMT ] 
Pressionar 1,00; depois [ i ] 
Pressionar 180; depois [ n ] 
Por fim, pressionar [ PV ] ....... 
 
 
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25 
R.: O nosso objetivo agora é calcular o pagamento de 120 (n) parcelas fixas, as quais sendo 
reajustadas a uma taxa de juros mensal de 1,504% (i) têm que gerar um montante de R$ 900.000,00 (FV). 
De posse desses dados, podemos calcular os nossos PMT ou no excel, ou na máquina HP 12-C. 
 
 
 
O valor obtido será de – R$2.708, 49, sendo o sinal negativo indicando que tais parcelas deverão ser 
pagas e não recebidas. Obedecendo tal fluxo de caixa, teremos certamente ao final da década o montante 
requerido para uma aposentadoria tranquila. 
 
Exemplo 2.18: Suponha que um casal vá à Caixa Econômica Federal visando obter um 
financiamento para a compra de um imóvel usado, cujo valor para compra (pedida do 
proprietário) é o valor de mercado: R$ 80.000,00. Lá obtiveram o seguinte plano: 
- plano de pagamento com parcelas mensais fixas de R$ 1.243,65 durante 20 anos. 
- valor do financiamento dado pelo valor de mercado. 
a) Qual a taxa de juros que está sendo cobrada neste caso? Sob o cenário econômico atual e 
baseado nas taxas de juros disponíveis para você no mercado, você aceitaria esse 
financiamento? 
b) Suponha agora, que o casal após ter visto as condições propostas pela Caixa vá ao 
Bradesco, onde lá ouvem a seguinte proposta: 
- plano de pagamento (com carência de 12 meses) com parcelas mensais fixas durante 30 
anos. 
- juros mensais de 1,65% ao mês. 
- valor do financiamento dado pela avaliação do imóvel pelo engenheiro do Bradesco, o 
qual sugeriu um valor de R$ 75.000,00. 
Qual dos dois financiamentos deveria ser escolhido pelo casal? 
Exemplo 2.19: Você acabou de adquirir um Celta 1.4 por R$32.000,00. Você então 
encontra o seu vizinho interessado em adquirir este Celta sob a seguinte condição: assume o seu 
financiamento de 60 parcelas fixas mensais de R$ 1.080,00, recebe o carro porém exige uma 
quantia de R$ 3.000,00. O que você faria nesse caso? 
- desfaria negócio com a financeira da montadora mediante pagamento de R$2.300,00 de 
multa, 
- repassaria o empréstimo sob as condições descritas acima para o seu vizinho, 
- venderia o carro, já considerado agora usado, com depreciação de 10%. 
Como seria na máquina financeira HP 12-C: 
Pressionar 900.000,00; depois [ FV ] 
Pressionar 1,054; depois [ i ] 
Pressionar 120; depois [ n ] 
Por fim, pressionar [ PMT ] ....... 
 
 
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2.2.4. Taxa over 
Define-se a taxa over como sendo um valor reportado ao mês, o qual consiste numa taxa 
nominal, cuja respectiva taxa diária proporcional passa a ser capitalizada em regime de juros 
compostos pelo número de dias úteis associados à operação. Para saber a taxa efetiva mensal, basta 
levar em consideração a quantidade de dias úteis nos 30 dias corridos seguintes. 
Em suma, para uma taxa over mensal dada por (%)overi a respectiva taxa mensal efetiva
(%)efi é dada pela seguinte relação, onde ud.# representa a quantidade de dias úteis: 
 
..#)30/1(1 udoverfe ii +=+ 
 
Exemplo 2.20: Suponha que hoje uma financeira tenha tido um custo de funding de 
12,68% ao ano e que este recurso captado pode ser investido em uma aplicação consignada que 
rende 1,85% a.m. Ambas as operações de captação e empréstimo possuem o mesmo prazo, ou 
seja, 180 dias. 
a) Calcule o spread ao ano desta operação casada, caso ambas sejam liquidadas no prazo 
prometido. 
b) Suponha um atraso de 5 dias no recebimento do empréstimo sem que houvesse a 
chance de cobrar um imposto ou multa. Qual o novo spread anual da operação casada? 
c) Sendo possível inserir uma multa em cima do montante emprestado, qual deveria ser 
esta para que o spread obtido na letra a fosse mantido constante? Essa multa depende da 
quantidade de dias atrasados ou não? Depende do montante ou do principal? 
 
2.2.5. E os tributos? Ganhos líquidosvs. brutos 
Há algumas operações financeiras, em que são cobrados custos além dos tais juros. É muito 
comum que em uma operação de crédito junto à financeira ou banco, haja uma Taxa de Abertura 
de Crédito, TAC, um valor fixo a ser acrescido ao principal a ser emprestado, mesmo que o 
cliente não embolse este adicional, claro. Em outros casos, há custos, tais como: o IOF – Imposto 
sobre operação financeira –, alíquota aplicada sobre o valor da operação financeira, reduzindo o 
valor líquido liberado pelo banco. Outra particularidade consiste na exigência de saldo médio 
(SM) a título de reciprocidade a ser oferecida pelo cliente para obtenção de faixa de desconto de 
duplicatas. Este saldo consiste em um percentual do valor da operação retido pelo banco, sem 
qualquer remuneração sobre este. Por fim, é possível que haja custos com outros impostos, sendo 
em geral esta cobrança através de alíquota sobre o principal, descontada no ato da contratação da 
operação, ou cobrança de comissão (capitalizada em juros simples) também incidindo quando da 
contratação do serviço financeiro. 
 
Exemplo 2.21: Suponha que um investidor aplique em um CDB junto ao banco XXX. O 
banco promete pagar em 30 dias corridos, 98% da taxa over, a qual corresponde a 90% da SELIC 
mensal. A SELIC anual está em 10,75%. No dia da aplicação, é preciso recolher IOF de 50% 
 
 
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sobre o ganho da operação considerando o float de 2 dias. Monte o fluxo de caixa dessa operação, 
contendo o efetivo valor aplicado e o montante a ser resgatado. Quais os juros efetivos? Suponha 
agora o mesmo cenário da operação anterior, porém o pagamento do imposto somente se dá no 
final. Monte o novo fluxo de caixa e veja quais os juros efetivos. 
 
Exemplo 2.22: Neste mesmo banco, um empresário necessita de um empréstimo de 
R$35.000,00 em um prazo de 45 dias para fluxo de caixa. Nestes casos, a linha de financiamento 
do banco XXX é de 125% da taxa over, a qual corresponde a 90% da SELIC mensal. A SELIC 
anual está em 10,75%. Porém, o empresário precisa pagar os custos de taxa de abertura de capital, 
R$523,10 no ato da contratação da operação, sendo este valor acrescido ao principal emprestado. 
Monte o fluxo de caixa, calcule o montante a ser pago no final e os juros efetivos da operação. 
 
Exemplo 2.23: Esta mesma empresa, antes de contratar esta operação no banco XXX, 
analisa a alternativa de realizar um swap, ou seja, uma troca de fluxo de caixa. Ela pede para um 
investidor que a remunere o principal líquido (descontada a TAC) à taxa efetiva do banco e em 
troca, remunera o investidor, a partir do mesmo principal, claro, a uma taxa indexada ao câmbio 
R$/US$. O investidor consulta a previsão do câmbio no relatório FOCUS/BACEN, atualmente 
em 1,73 e observa que a depreciação prevista é de 1,13% em um mês e 2,16% em dois meses. 
Como investidor, ele deve ou não aceitar a operação de swap? 
 
2.2.6. Operações de descontos 
Em algumas operações sob o regime de juros simples, é bastante comum a adoção de dois 
tipos de taxas: 
 
- Taxa de Rentabilidade (i): Os juros i são calculados sempre em função do principal, ou 
seja, do valor presente durante n períodos, para produzir o valor futuro. Essa consiste na 
prática comumente chamada de Desconto Racional, “Desconto por dentro” ou Cobrança 
de Juros Posteriori. 
 
- Taxa de Desconto (d): Os juros d são calculados sempre em função do montante, ou seja, 
do valor futuro durante n períodos, para produzir o valor presente. Temos assim, um 
Desconto Irracional, Desconto comercial, “Desconto por fora” ou Cobrança de Juros 
Antecipados. As taxas de desconto, na maioria das vezes, são expressas em termos de juros, 
com capitalização simples, salvo indicação em contrário dos bancos ou dos exercícios que 
iremos fazer. 
 
Vejamos a relação entre estas taxas formalmente!!! 
Até o presente momento, havíamos trabalhado apenas com casos em que a taxa em questão 
era a de rentabilidade, ou seja, a fórmula do montante era dada por FV = PV (1 + i x n). 
Agora, no entanto quando do uso da taxa de desconto, a fórmula passa a ser dada por: 
 
 
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PV = FV (1 ‐ d x n) 
 
Dessa forma, os juros passam a incidir sobre o montante. Aparentemente, incautos podem 
ser levados a imaginar a equivalência entre ambas, não percebendo a diferença maliciosa 
existente. Para entendermos o que de fato está ocorrendo, temos que saber qual a taxa de 
rentabilidade embutida na taxa de desconto, o que pode ser facilmente obtida pela fórmula a 
seguir. Substituindo PV na relação acima, a qual leva em consideração a taxa de rentabilidade, 
temos que a taxa de rentabilidade embutida que você irá pagar, i, é dada por: 
 
i =d/ (1 ‐ d x n) 
 
Exemplo 2.24: Se formos ao banco para aplicar, hoje, um valor de R$ 100,00, a uma taxa 
de 10% de juros simples ao ano, iremos obter um valor futuro de R$ 110,00 daqui a um ano. 
Estamos falando em taxa de rentabilidade nesse caso. Porém, se formos ao banco para realizar 
uma operação de desconto de um título, com valor futuro de R$ 110,00 (daqui a um ano), a uma 
taxa anual (de desconto) de 10% de juros simples, iremos obter hoje o valor de R$ 99,00. 
Claramente, evidenciamos uma diferença não desprezível, quando do uso de taxas de 
desconto vis-á-vis taxas de rentabilidade. 
O surgimento dessas taxas de desconto se deve à sua aplicação para desconto de borderô de 
duplicatas e pagamento de notas promissórias. Esta iniciativa, por parte do mercado financeiro, se 
deu visando gerar uma maior arrecadação de dinheiro com a cobrança de juros antecipados. 
Trata-se, de certa forma, de um artifício em que se anuncia uma taxa de juros d e a aplica sobre o 
montante, o que não fica necessariamente evidente para quem irá pagar os juros, podendo gerar 
uma falsa impressão de que a incidência destes seria sobre o principal. 
As taxas de desconto bancário normalmente é utilizado nas operações bancárias de: 
 
- Desconto de duplicatas: Quando uma empresa vende uma mercadoria, ela emite uma 
nota fiscal. De acordo com a lei, essa nota fiscal deve ter algumas vias, de forma que, uma via 
acompanha a mercadoria vendida e fica com o comprador, a segunda permanece com o vendedor 
e é encaminhada para a contabilidade da empresa que vendeu a mercadoria, enquanto uma 
terceira via deve permanecer fixada ao talão de notas fiscais e dependendo da legislação em vigor, 
podendo ser exigidas ainda outras vias. Caso essa empresa necessite de dinheiro, os bancos podem 
adiantar-lhe os valores que ela tem a receber de seus compradores. Na verdade, o que o banco faz 
é adiantar os pagamentos que ela tem a receber dos clientes na data estabelecida para esses 
pagamentos. Denominamos esse processo de desconto de duplicata. Obviamente, o banco cobra 
uma taxa por esse adiantamento. Ele cobra esse valor adiantado, liberando para a empresa – 
vendedora da mercadoria, que está descontando a duplicata – um valor menor que o valor do 
pagamento a ser feito no futuro pelo comprador da mercadoria. 
 
 
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Além da cobrança dos juros antecipados (desconto bancário), há outros custos, tais como: o 
IOF – Imposto sobre operação financeira –, alíquota aplicada sobre o valor da operação 
financeira, reduzindo o valor líquido liberado pelo banco. Outra particularidade consiste na 
exigência de saldo médio (SM) a título de reciprocidade a ser oferecida pelo cliente para obtenção 
de faixa de desconto de duplicatas. Este saldo consiste em um percentual do valorda operação 
retido pelo banco, sem qualquer remuneração sobre este. Dessa forma, a receita líquida obtida 
pela empresa possuidora da duplicata (PV) será dada por: 
 
PV = FV x [1 – (n x d) – (SM) – (IOF)] 
 
- Desconto de promissórias: O conceito de desconto de promissórias é o mesmo do de 
desconto de duplicatas. Uma promissória é um instrumento de confissão de dívida. O emitente 
da promissória é aquele que a assina, reconhecendo que deve e que vai pagar determinado valor 
em data fixada neste mesmo documento. 
 
Exemplo 2.25: Suponha que sua empresa necessite de capital de giro. Você então vai ao 
banco para realizar uma operação de desconto de duplicatas. No caso da sua empresa, o valor total 
das duplicatas seria de R$ 36.000,00, as quais possuem vencimento para daqui a quatro meses. A 
taxa de juros do banco (desconto bancário ou por fora) é de 2,5% ao mês. Com relação aos 
demais custos, desconsideremos a existência do IOF, enquanto o saldo médio exigido pelo banco 
é de 20% do valor da operação. Qual seria o valor líquido (principal, ou valor presente) a ser 
recebido pela sua empresa para ser investido em capital de giro? Qual a taxa de rentabilidade 
embutida nessa operação? 
 
R.: 
PV = R$ 36.000,00 x [1 – ( 4 x 0,025) – (0,20)] = R$ 36.000,00 x 0,70 
 
PV = R$ 25.200,00 
 
Relembremos ainda que ao final do período de quatro meses, haverá o ressarcimento do saldo médio, 
que nesse caso foi no valor de R$ 7.200,00. 
Para calcular a taxa de rentabilidade embutida, consideremos ambos os casos, com e sem o saldo 
médio. No primeiro caso, o banco libera para sua empresa um valor de R$ 25.200,00 de um total de R$ 
28.800,00 a ser recebido em quatro meses. Usando a relação )41(00,200.25$00,800.28$ ×+×= iRR , isso 
implica em uma taxa dada por 3,57% ao mês. No segundo caso, o banco libera para sua empresa um valor 
de R$ 32.400,00 de um total de R$ 36.000,00 a ser recebido em quatro meses. Usando a relação 
)41(00,400.32$00,000.36$ ×+×= iRR , isso implica em uma taxa dada por 2,78% ao mês. 
 
 
 
 
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30 
2.2.7. Juros reais: o efeito da correção monetária... 
Até o momento, os cálculos foram desenvolvidos, sem que considerássemos o efeito 
inflacionário, ou seja, a evolução dos preços de bens e serviços ao longo do tempo, padecendo do 
mal da “ilusão monetária”, como dizem os economistas! 
A relevância de se inserir os efeitos inflacionários em um estudo de matemática financeira é 
tão maior quanto maior for o prazo da operação em questão, uma vez que o preço de uma cesta 
básica hoje em R$30,00 é provavelmente superior, mas praticamente igual à praticada a um ou 
dois meses, porém bem superior ao preço praticado há doía anos e muito superior ao preço 
praticado há 10 anos... No Brasil, esta relevância em um contexto atual é tal que, considerando-se 
a meta de inflação praticada pelo Banco Central de 4,5% ao ano, os preços tendem a dobra em 
aproximadamente 16 anos. Ou seja, em 32 anos, período inferior ao tempo de trabalho padrão 
para que um servidor do sexo masculino possa se aposentar, os preços quadruplicariam, sendo 
este efeito inflacionário indispensável em cálculos envolvendo previdência, por exemplo. 
Sobre o regime de metas de inflação, atualmente adotado no Brasil, ler o trecho abaixo 
extraído de Matos e Neto (2010). 
 
“O Brasil experimentou durante um longo período o regime de câmbio fixo, em que o Banco Central 
não possui controle sobre a taxa de juros nem pode financiar o déficit público através da emissão de moeda, 
tendo então passado por diversas crises desde a década de 50, com destaque para a crise da dívida externa da 
década de 80 e a desaceleração econômica na década de 90. 
 Durante a década de 80 até meados da década de 90, o Brasil apresentou índices de inflação 
altíssimos, tendo sido, por exemplo, a média anual de inflação entre 1986 e 1994 foi de 842,5%, atingindo 
o pico de 82,39% de inflação mensal em março de 1990, conforme pode ser visto na evolução do IPCA 
(Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo - IBGE) na Figura 1. 
Motivado por um cenário insustentável e explosivo da evolução de preços dos mais básicos bens, em 
janeiro de 1999 passou a vigorar o regime cambial flutuante, em no qual cabe ao Banco Central intervir 
através de operações de open market, comprando e vendendo títulos públicos, tendo sido este um dos alicerces 
macroeconômicos para que em 2 de junho de 1999, o Brasil adotasse o regime de metas de inflação, cujo 
target é definido e amplamente divulgado pelo Conselho Monetário Nacional (CMN), composto pelo 
Ministro da Fazenda, Ministro do Planejamento e o Presidente do Banco Central do Brasil. 5 
De acordo com a Tabela 2, em que se reporta a evolução das metas obtidas do próprio Banco 
Central do Brasil, este regime monetário tem sido caracterizado pela adoção de metas com um dígito com 
bandas anuais de correção, na ordem de 2% ou 2,5% acima e abaixo do centro, permitindo assim ao Banco 
Central certa flexibilidade no controle do IPCA, índice de referência que mede a variação do custo da cesta 
de consumo representativa da população com renda até 40 salários mínimos em 12 regiões metropolitanas do 
país. 
 
5 Através de uma operação de open market o Banco Central poderia vender títulos públicos contraindo assim a base monetária e 
aumentando a taxa de juros. Haveria incentivo à entrada de capital externo, obrigando assim o Banco Central a comprar reservas 
internacionais para impedir a queda na taxa de câmbio. Mas esta operação aumentaria a base monetária e diminuiria a taxa de juros. O 
capital externo para de entrar no país quando a taxa de juros voltar ao nível anterior. 
 
 
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31 
Figura 1 
Evolução da variação ao mês do Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA/IBGE)  
 
 
Um ingrediente de extrema relevância na condução de tal regime consiste na credibilidade que 
consegue ser emitida pela autoridade monetária quando de suas decisões, tendo em vista o aspecto associado 
às expectativas e crenças intrínsecas dos agentes econômicos, além da assimetria de informação, sendo neste 
sentido, necessário que a instituição prime pela transparência e comunicação, manutenção de um ambiente 
de previsibilidade e estabilidade, monitoramento das expectativas de inflação, atuação cautelosa da política 
monetária e autonomia operacional. 
 
 
 
‐5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
jan/80 jan/82 jan/84 jan/86 jan/88 jan/90 jan/92 jan/94 jan/96 jan/98 jan/00 jan/02 jan/04 jan/06 jan/08 jan/10
Ano Meta Limites  Inflação IPCA (% a.a.)
1999 8,0% 6,0 a 10,0% 8,94%
2000 6,0% 4,0 a 8,0% 5,97%
2001 4,0% 2,0 a 6,0% 7,67%
2002 3,5% 1,5 a 5,5% 12,53%
2003 4,0% 2,0 a 6,0% 9,30%
2004 5,5% 3,5 a 7,5% 7,60%
2005 4,5% 2,0 a 7,0% 5,69%
2006 4,5% 2,5 a 6,5% 3,14%
2007 4,5% 2,5 a 6,5% 4,46%
2008 4,5% 2,5 a 6,5% 5,90%
2009 4,5% 2,5 a 6,5% 4,31%
2010 4,5% 2,5 a 6,5% 3,10%*
a Fonte: DEPEC ‐ BACEN
* Inflação acumulada até de janeiro a julho de 2010.
Regime de Metas de Inflação no Brasil de 1999 a 2010 a
Tabela 2
 
 
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32 
Empiricamente, ajustes graduais segundo uma tendência previsível, em vez de choques de maior ordem 
de grandeza inesperados, além de períodos bem conduzidos de ajuste, são vistos como capazes de afetar 
positivamente esta credibilidade. Ainda sobre este aspecto, visando estabelecer uma punição pública para a 
autoridade monetária em questão, adota-se no Brasil a prática em que casoa meta não seja cumprida, o 
presidente do Banco Central deve divulgar, em carta aberta ao Ministro da Fazenda, os motivos pelos quais 
a meta não foi atingida e também um plano de ação, com prazo, que será adotado para que a meta volte aos 
patamares pré-estabelecidos.” 
 
Observa-se que além dos elevados níveis evidenciados em um passado recente, esta taxa 
possui níveis de oscilação que tornam indispensável levá-la em consideração. 
Há no Brasil, várias métricas de inflação, sendo necessário compreender bem em que 
cenário estamos, para que seja feito o uso do correto índice. Segue lista dos mais conhecidos:6 
 
- Índice Geral de Preços: calculado pela Fundação Getulio Vargas (doravante FGV). É uma média 
ponderada do índice de preços no atacado (IPA), com peso 6; de preços ao consumidor (IPC) no 
Rio de Janeiro e São Paulo, com peso 3; e do custo da construção civil (INCC), com peso 1. 
Usado em contratos de prazo mais longo, como aluguel.. 
 
- Índice de Preços por Atacado: calculado pela FGV, com base na variação dos preços no 
mercado atacadista. Este índice é calculado para três intervalos diferentes e compõe os demais 
índices calculados pela FGV (IGP-M, IGP-DI e IGP-10) com um peso de 60%. 
Índice Geral de Preços: disponibilidade Interna, da FGV, índice que tenta refletir as variações 
mensais de preços, pesquisados do dia 01 ao último dia do mês corrente. Ele é formado pelo IPA 
(Índice de Preços por Atacado), IPC (Índice de Preços ao Consumidor) e INCC (Índice Nacional 
do Custo da Construção), com pesos de 60%, 30% e 10%, respectivamente. O índice apura as 
variações de preços de matérias-primas agrícolas e industriais no atacado e de bens e serviços finais 
no consumo. 
 
- Índice Geral de Preços do Mercado: produzido pela FGV, com metodologia igual à utilizada no 
cálculo do IGP-DI. A principal diferença é que, enquanto este abrange o mês fechado, o IGP-M é 
pesquisado entre os dias 21 de um mês e 20 do mês seguinte. 
Índice Geral de Preços 10: também da FGV, é elaborado com a mesma metodologia do IGP e do 
IGP-M, mudando apenas o período de coleta de preços: entre o dia 11 de um mês e o dia 10 do 
mês seguinte. 
 
- Índice preços ao Consumidor: índice que considera a variação dos preços na cidade do Rio de 
Janeiro, calculado mensalmente pela FGV e que toma por base os gastos de famílias com renda de 
um a 33 salários mínimos. 
 
6 Fonte: Wikipedia. 
 
 
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33 
- Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas: índice da 
Universidade de São Paulo (USP), pesquisado no município de São Paulo, que tenta refletir o 
custo de vida de famílias com renda de 1 a 20 salários mínimos, divulga também taxas 
quadrissemanais.No cálculo são utilizados sete grupos de despesas: habitação (32,79%), 
alimentação (22,73%), transportes (16,03%), despesas pessoais (12,30%), saúde (7,08%), vestuário 
(5,29%) e educação (3,78%).O IPC/FIPE mede a variação de preços para o consumidor na cidade 
de São Paulo com base nos gastos de quem ganha de um a vinte salários mínimos. Os grupos de 
despesas estão compostos de acordo com o POF (Pesquisas de Orçamentos Familiares) em 
constante atualização. A estrutura de ponderação atual é restrita a assinantes e pode ser verificada 
no portal da FIPE após a assinatura semestral. De maneira geral a ponderação é similar ao 
INPC/IBGE e IPCA/IBGE. O período de pesquisa das variações de preços ocorre a partir do 
primeiro ao último dia de cada mês. A publicação dos índices ocorre normalmente no período de 
dez a vinte do mês subseqüente. A FIPE divulga também as variações de preços das últimas quatro 
semanas imediatamente anteriores. Deste modo este índice "evita" sustos e indica tendências 
fortes das variações de preços principalmente da camada de renda da população analisada. A FIPE 
divulga o IPC desde Fevereiro de 1939. O índice de Preços ao Consumidor do Município de São 
Paulo é o mais tradicional indicador da evolução do custo de vida das famílias paulistanas e um 
dos mais antigos do Brasil. Começou a ser calculado em janeiro de 1939 pela Divisão de 
Estatística e Documentação da Prefeitura do Município de São Paulo. Em 1968, a 
responsabilidade do cálculo foi transferida para o Instituto de Pesquisas Econômicas da USP e, 
posteriormente em 1973, com a criação da FIPE, para esta instituição. 
 
- O IPC/FIPE: mede a variação de preços para o consumidor na cidade de São Paulo com base 
nos gastos de quem ganha de um a vinte salários mínimos. Os grupos de despesas estão 
compostos de acordo com o POF (Pesquisas de Orçamentos Familiares) em constante atualização. 
A estrutura de ponderação atual é restrita a assinantes e pode ser verificada no portal da FIPE 
http://www.fipe.com.br após a assinatura semestral. De maneira geral a ponderação é similar ao 
INPC/IBGE e IPCA/IBGE. O período de pesquisa das variações de preços ocorre a partir do 
primeiro ao último dia de cada mês. A publicação dos índices ocorre normalmente no período de 
dez a vinte do mês subseqüente. A FIPE divulga também as variações de preços das últimas quatro 
semanas imediatamente anteriores. Deste modo este índice "evita" sustos e indica tendências 
fortes das variações de preços principalmente da camada de renda da população analisada. A FIPE 
divulga o IPC desde Fevereiro de 1939. O índice de Preços ao Consumidor do Município de São 
Paulo é o mais tradicional indicador da evolução do custo de vida das famílias paulistanas e um 
dos mais antigos do Brasil. Começou a ser calculado em janeiro de 1939 pela Divisão de 
Estatística e Documentação da Prefeitura do Município de São Paulo. Em 1968, a 
responsabilidade do cálculo foi transferida para o Instituto de Pesquisas Econômicas da USP e, 
posteriormente em 1973, com a criação da FIPE, para esta instituição. 
 
 
 
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34 
- Índice do Custo de Vida: publicado pelo DIEESE (Departamento Intersindical de Estatística e 
Estudos Socioeconômicos), também medido na cidade de São Paulo e que reflete o custo de vida 
de famílias com renda média de R$ 2.800 (há ainda índices para a baixa renda e a intermediária). 
Índice Nacional de Preços ao Consumidor: média do custo de vida nas 11 principais regiões 
metropolitanas do país para famílias com renda de 1 até 8 salários mínimos, medido pelo IBGE 
(Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). Compõe-se do cruzamento de dois parâmetros: a 
pesquisa de preços de nove regiões de produção econômica, cruzada com a pesquisa de orçamento 
familiar, (POF) que abrange famílias com renda de 1 (um) a 6 (seis) salários mínimos. 
Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo: também do IBGE, calculado desde 1980, 
semelhante ao INPC, porém refletindo o custo de vida para famílias com renda mensal de 1 a 40 
salários mínimos. A pesquisa é feita em nove regiões metropolitanas (São Paulo, Rio de Janeiro, 
Belo Horizonte, Porto Alegre, Recife, Belém, Fortaleza, Salvador e Curitiba) além dos municípios 
de Goiânia e Brasília, tendo sido escolhido como alvo das metas de inflação ("inflation targeting") 
no Brasil. A partir do dia 30 de junho de 1999, o CMN (Conselho Monetário Nacional) 
estabeleceu o IPCA como índice oficial de inflação do Brasil. 
 
- Índice Nacional de Custos da Construção: um dos componentes das três versões do IGP, o de 
menor peso. Reflete o ritmo dos preços de materiais de construção e da mão-de-obra no setor. 
Utilizado em financiamento direto de construtoras/incorporadoras. 
 
- Custo Unitário Básico: índice que reflete o ritmo dos preços de materiais de construção e da 
mão-de-obra no setor, que é calculado por