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Princípios de Amostragem 15/5/2013
1
ACS - Em uma amostragem casual simples as unidades 
amostrais são selecionadas seguencialmente e totalmente ao 
acaso de tal forma que:
�Todos os indivíduos da população (unidade de amostragem) 
têm a mesma probabilidade de ser escolhidos para a amostra; 
�Cada possível subconjunto de indivíduos (amostra) tem a 
mesma probabilidade de ser escolhida.
�A seleção pode ser feita com ou sem reposição
Rosa Maria Salani Mota
1
Amostragem Casual Simples (ACS)
ACS : Exemplo1 : Considerando o exemplo das camisas 
Rosa Maria Salani Mota
2
Você dispõe de 6 camisas distinguiveis para serem usadas nos 5 dias de trabalho 
da semana. Em cada dia da semana você irá escolhe ao acaso uma delas. 
�A mostragem é com reposição se no final do dia, após usa-la, você a repõe 
no guarda roupa com as demais. Neste caso, a camisa escolhida, por 
exemplo, no início da semana tem chance de ser escolhida em pelo menos 
um outro dia da semana. 
�A mostragem é sem reposição se no final do dia , após usa-la, você a 
coloca na lavanderia. Neste caso, você não a repõe no quarda roupa com as 
demais camisas e a camisa que, por exemplo, foi selecionada no inicio da 
semana não tem chance de ser selecionada nos demais dias da semana.
Rosa Maria Salani Mota
3
ACS
�A mostragem é ordenada quando a ordem (dia da semana) que a camisa é 
escolhida importa – neste caso a escolha das camisas (1,2,3,4,5) difere da 
escolha , por exemplo, do conjunto de camisas (2,1,3,4,5).
�A mostragem é não ordenada quando o dia da semana em que a camisa é 
escolhida não é importante – neste caso a escolha das camisas (1,2,3,4,5) 
equivale a escolha , por exemplo, do conjunto de camisas (5,4,3,2,1).
Rosa Maria Salani Mota
4
ACS
O numero total e o numero de amostras que uma unidade
populacional i (i, 1, 2,...,N) pertence a uma amostra será:
�amostragem CS ordenada com reposição (ACSc): 
O numero total de amostras (k) de tamanho “n” em uma 
população de tamanho “N” é:
k = NxNx....xN = Nn
n vezes
� numero de amostras de tamanho n tal que i  �� , i  Ω é 
ki = Nn – (N-1)n = Nn ( 1- ((N-1)/N)n) = Nn (1-(1-1/N)n) 
Rosa Maria Salani Mota
5
ACS
�������: ���� �=� ������� � �=� ���� �� ������, 
- na ACS ordenada com reposição
 k = 65 = 7.776 possíveis combinações (amostras) das 6 camisas para 
serem usadas nos 5 dias de trabalho.
Assim, P( ��)= �/�
� = �/���� = �,������ 
 a camisa i será ��������� �� ki = Nn – (N-1)n = 4.651 possíveis 
combinações (amostras) das 6 camisas. 
Assim, P(i ��� �����������)=�-(�–�/�)�=�-(�/�)�= = 0,598122 
Rosa Maria Salani Mota
6
ACS
Não é possível exibir esta imagem no momento.
46517776 
Princípios de Amostragem 15/5/2013
2
�Na ACS ordenada sem reposição (ACSs) : 
O numero total de amostras (k) de tamanho n em uma população de 
tamanho N é:
: arranjo de N elementos n a n
� numero de amostras de tamanho n tal que i  �� , i  Ω é 
é : ki = 
Rosa Maria Salani Mota
7
ACS
k = N (N-1)....(N-(n-1)) = ∏ (N – (n − i)) ��−1��=1 = N!�N-n�! = A ������ 
��. (��− 1)!(��− ��)! = ��. �����− 1��− 1� 
Em N=6 camisas para serem usadas em n=5 dias da semana, na ACS 
ordenada sem reposição, 
 temos A = 720 possíveis combinações (amostras) das camisas e 
 uma determinada camisa i pertencerá a ki =5. A = 600 dessas 
amostras.
Assim, P( ��) = = �,����� � P(i ��� �����������)= = 0,83333 
Rosa Maria Salani Mota
8
ACS
720
600





5
6





4
5
720
1
�Na a ACS não ordenada com reposição (ACSc) :
O numero total de amostras (k) de tamanho n em uma 
população de tamanho N é:
� numero de amostras de tamanho n tal que i  �� , i  Ω é 
ki = 
combinação de N+n-2 elemento (n-1) a (n-1)
Rosa Maria Salani Mota
9
ACS





−
−+
=



 −+
=
−
−+
= 1
11
)!1(!
)!1(
N
nNC
n
nNC
Nn
nNk i





−
−+
=



 −+
−



 −+
1
221
n
nNC
n
nNC
n
nNC
Para N=6 camisas para serem usadas em n=5 dias da semana, na ACS 
não ordenada com reposição, 
 temos C = 252 possíveis combinações (amostras) das camisas e 
 uma determinada camisa i pertencerá a amostra em ki = C = 126 
dessas amostras.
Assim, P(��) = � P(i ��� �����������)= = 0,50
Rosa Maria Salani Mota
10
ACS
252
126





5
10





4
9
252
1
�Na a ACS não ordenada sem reposição (ACSs):
O numero total de amostras (k) de tamanho n em uma 
população de tamanho N é:
� numero de amostras de tamanho n tal que i  �� , i  Ω é 
ki = combinação de N-1 elemento (n-1) a (n-1)
e, � numero de amostras de tamanho n tal que i e j  �� , i � , 
i e j  Ω é kij = combinação de N-2 elemento (n-2) a (n-2).
Rosa Maria Salani Mota
11
ACS
k= 
��!��! (��−��)! = C ������ combinação de N elementos n a n 
�����− 1��− 1� 
�Neste caso, na ACS não ordenada e sem reposição (ACSs):
Para todo i ∈ Ω
Para todo i e j ∈ Ω, i  j
Rosa Maria Salani Mota
12
ACS
���(�� ∈ ��������������) = ���� ��(�� ∉ ��������������) = 1 − ����= ��− ���� 
���(�� �� �� ∈ ��������������) = ����( ��− 1��− 1) ��(�� �� ���� ��∉ ��������������) = 1 − ����( ��− 1��− 1)
Princípios de Amostragem 15/5/2013
3
na ACSs para N=6 camisas e n=5 dias
Enumerando as camisas por 1, 2, 3, 4, 5, 6 as possíveis amostras 
“sk“ de tamanho 5 (combinações de 5 camisas) são:
s1 = (1,2,3,4,5) ; s2 = (1,2,3,4,6), s3 = (1,2,3, 5,6), s4 = (1,2,4,5,6), s5 = 
(1,3,4,5,6), s6 = (2,3,4,5,6).
A probabilidade de uma determinada combinação das camisas (sk ) 
ser selecionada será P(sk) = 1/6 = , k=1, 2, 3, 4, 5, 6 .
A camisa i = 1 é selecionada em 5 amostras 
�(� ��� �����������)= =
Rosa Maria Salani Mota
13
ACS
N
n
N
1
6
5
Em um levantamento por amostragem os valores obtidos para 
uma especificação (variável Y) qualquer das “N” unidades 
amostrais da população serão denotadas por: 
Y1 , Y2 , ....., YN ou Yi , i = 1, 2,..., N
-os valores correspondentes das “ n” unidades na amostra serão 
denotadas por:
y1 , y2 , ....., yn ou yi , i = 1, 2,..., n.
14
Amostragem – Definições e Notações
Rosa Maria Salani Mota
As características (parâmetros) da população que geralmente 
mais interessam são: 
-Valor médio de Y : 
-Valor Total de Y : 
-Valor Índice – Relação entre duas média ou totais: R= 
-Proporção de um unidades com uma determinada característica
-Variância de Y : 
-desvio padrão de Y : 
15
Amostragem – Definições e Notações
Rosa Maria Salani Mota
��� = ∑ ��������=1�� 
��. = � ��������=1 = ��. ∑ ����
����=1�� = ����� ��.��. = ������ 
��2 = ∑ (����− ���)2����=1 �� = (��− 1)��2�� 
ACS
Rosa Maria Salani Mota
16
Pessoa 
(unidade de amostragem)
Altura em metro
(variável: Y)
1 1,60 
2 1,65 
3 1,60 
4 1,70 
5 1,58 
• Os parâmetros populacionais para a variável altura: 
� altura média = μx = = = 1,626 ≈ 1,63m 
� variância da altura = σx
2 = = 0,001904 m2
� desvio padrão = σx =  0,043634 m 
�variância amostral da altura = S2x = (N/(N-1))σx
2 ≈ 1,25 x 0,001904= 0,00238 m2
X
Exemplo1: Deseja-se conhecer a altura de um grupo de N = 5 (finito) pessoas : 
Supondo a altura de cada uma das pessoas da população igual a: 
∑ ��������=1�� 
∑ (����− ���)2����=1 �� 
0,001904
Considerando que para estimar a os parâmetros populacionais foi usado 
um delineamento de ACSc ordenado com o tamanho da amostra n= 2 ,
- as possíveis amostras ordenadas com reposição (k=25) com as suas 
respectivas médias :
ACS
Rosa Maria Salani Mota 17
Amostra (pessoa :i,j)
ak 11 22 33 44 55 12 13 14 15 23 24 25 34
y1
y2
1,60 1,65 1,60 1,70 1,58 1,60 1,60 1,60 1,60 1,65 1,65 1,65 1,60
1,60 1,65 1,60 1,70 1,58 1,65 1,60 1,70 1,58 1,60 1,70 1,58 1,70
1,60 1,65 1,60 1,70 1,58 1,625 1,6 1,65 1,59 1,625 1,675 1,615 1,65
amostra
ak35 45 21 31 32 41 42 43 51 52 53 54
y1
y2
1,60 1,70 1,65 1,60 1,60 1,7 1,70 1,7 1,58 1,58 1,58 1,58
1,58 1,58 1,60 1,60 1,65 1,6 1,65 1,6 1,60 1,65 1,60 1,70
1.59 1,64 1,625 1,60 1,625 1,65 1,675 1,65 1,590 1,615 1,59 1,64
y
y
Função de distribuição das médias 
amostrais na ACSc ordenada:
ACS
Rosa Maria Salani Mota
18
altura media ( ) P( )
1,580 1/25
1,590 4/25
1,600 4/25
1,615 2/25
1,625 4/25
1,640 2/25
1,650 5/25
1,675 2/25
1,700 1/25
Total 1
1,626
var( ) 0,000952
dp( ) 0,030854
y
Fatos interessantes: 
= média das médias = E( )=1,626 =
�amostra retirada com reposição:
Var( )= E( - µ)2 = 0,000952 = 
e
dp( ) = =  �,�����=ep(Y)
ep(Y) =erro padrão de Y
Y
y
n
2σ
n
2σy
n
σ
y
y
��� = ���
y
y
�� 
�� 
( população: μx ≈ 1,626m; σx
2 = 0,001904 m2)
Princípios de Amostragem 15/5/2013
4
Exemplo2: Na população do exemplo1 
Através da ACSs não ordenadas , retirando amostras de tamanho 
n= 2 (k=10), encontram-se as amostra e as estimativas : 
ACS
Rosa Maria Salani Mota
19
Amostras (si):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 13 14 15 23 24 25 34 35 45
X1
X2
1,60 1,60 1,60 1,60 1,65 1,65 1,65 1,60 1,60 1,70 
1,65 1,60 1,70 1,58 1,60 1,70 1,58 1,70 1,58 1,58 
Por amostra, estimativa dos parâmetros populacionais 
altura média 
( si) 1,625 1,6 1,65 1,59 1,625 1,675 1,615 1,65 1,59 1,64
s2i(variância) 0,0012 0,0000 0,0050 0,0002 0,0012 0,0013 0,0024 0,0050 0,0002 0,0072
si (desvio 
padrão) 0,0354 0,0000 0,0707 0,0141 0,0354 0,0354 0,0495 0,0707 0,0141 0,0849
Função de distribuição das médias 
amostrais na ACSs não ordenada:
ACS
Rosa aria Salai ota
20
altura media ( s )
1,590 0,2
1,600 0,1
1,615 0,1
1,620 0,1
1,625 0,1
1,640 0,1
1,650 0,2
1,675 0,1
Total 1,0
1.626
Var( ) 0,00071
dp( ) 0.02672
��̿ 
X
x
nN
nN 2)
1
( σ
−
−
nN
nN 2)
1
( σ
−
−x
n
S
N
n )1( −
x
��̿ 
x
x
P ( ) ii xX = Fatos interessantes: 
= média das médias  1,626
E ( ) = média populacional = 
�Como a população é finita e a 
amostra é retirada sem reposição
Var( )= 0,000714 = 
e
dp( ) = ≈ = ep(X)
x
( população: μx ≈ 1,626m; S
2
x ≈ 0,00238 m
2, N= 5, 
n=2 )
Definindo o indicador Ii , i= 1, ... N
Ii = para todo i ∈Ω
encontra-se que, Ii ~ B(1 ; pi) com, pi = P(i  a amostra) 
e , para todo i ∈ Ω, E( Ii ) = pi ; 
var (Ii ) = pi (1-pi), 
para todo i e j ∈ Ω i�, cov (Ii , Ij ) = P(Ii = 1, Ij = 1) - P(Ii = 1)P(Ij = 
1) 
No caso de Ii e Ij serem independentes cov (Ii , Ij ) = 0.Rosa Maria Salani Mota
21
ACS Propriedades da ACS 
 
amostra i se 0
amostra i se 1



∉
∈
Propriedade 1: Na ACSs não ordenada ; para todo i e j ∈ Ω, i  �
E( Ii ) = p = (1.1) ;
var (Ii ) = p (1-p) = (1 - ) = ( ) e, 
para o todo i e j ∈ Ω, i  �, �(��=�,��=�)=�((�,�)∈�)= 
(1.2)
Ii Ij = 
cov (Ii , Ij ) = - = (1.3)
Rosa Maria Salani Mota
22
ACS Propriedades na ACSs
N
n
N
n
N
n
N
n
N
nN −
"#$
#%1 ���� �� ���� ∈ �������������� − ������ ��(1) = ��(��− 1)��(��− 1) 0 ���� �� �� ���� �� ∉ �������������� − ������ ��(0) = 1 − ��(��− 1)��(��− 1) 
��(��− 1)��(��− 1) (����)2 '(��− 1)��− ��(��− 1)��(��− 1) ( ����= − ��(��− ��)��2(��− 1) 
 
1)-N(N
1)-(nn 
�Propriedade 2: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual
simples sem reposição de tamanho n em uma população de N.
A média é um estimador não
tendencioso de µy  E ( )=
e,
Var() = (1–f ) onde e
23
ACS
Rosa Maria Salani Mota
��2�� 
���) = ��� = ∑ ��������=1�� 
Y
��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 ��= ���� 
Propriedade do Estimador da Média Populacional na ACSs
Demonstração:
Como então
E ( ) = E ( ) = 
E ( ) =
Como
Var() = var ( ) =
24
ACS
Rosa Maria Salani Mota
Não é possível exibir esta imagem no momento.
 ∑ ���� ��������=1�� 
��� = ∑ ��������=1�� = ∑ ���� ��������=1�� 
 ∑ ���� ��������=1�� 
por (1.1)
� � ����2��2����=1 ������ (����) + � � ����������2
��
��=����≠��
������ �����, ���������=1 
Princípios de Amostragem 15/5/2013
5
onde, e
então
var()=
25
ACS
Rosa Maria Salani Mota
∑ ����2��2����=1 ������ (����) = ∑ ����2�� (��−��)(����)2����=1 
por (1.2)
por (1.3)
� � ����������2����=1��≠�� ������ �����, �����
��
��=1 = � � ����������2 (−
��
��=����≠��
(��(��− ��))��2(��− 1)����=1 ) = − ��(��− ��)(����)2(��− 1) � � ��������
��
��=1��≠��
��
��=1
��− ������2 � ����2
��
��=1 − ��− ������2 . 1��− 1 � � �������� 
��
��=����≠��
��
��=1 = ��− ������2 (� ����2
��
��=1 − 1��− 1 � � �������� 
��
��=����≠��
��
��=1 ) 
porem, como
então,
var()= onde
OBS: se  0 então Var() =
26
ACS
Rosa Maria Salani Mota
(��− ��)����2����2 = (��− ��)��2���� = (1 − ��) ��2�� 
∑ ����2����=1 − 1��−1 ∑ ∑ �������� ����=����≠������=1 = 1��−1 -��∑ ����2����=1 − . ∑ ����2����=1 + ∑ ∑ �������� ����=����≠������=1 /0 =1��−1 ���∑ ����2����=1 − � ∑ ��������=1 �2� = ����−1 �∑ ����2����=1 − �����2� = ����−1 �∑ (��������=1 − ���)2� = ��S2 
��= ���� 
��= ���� ��2�� 
�Propriedade 3: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual
simples sem reposição de tamanho n em uma população de N.
é um estimador não
tendencioso de
27
ACS
Rosa Maria Salani Mota
Estimador da Variância Populacional na ACSs
��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 = ����− 1 ��21 
��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 = ����2��− 1 
ACS Rosa Maria Salani Mota 28
�(���� − ���)2����=1 = �(����− ���)2
��
��=1 + � (�� � − ���)2
��
��=1 − 2(�� � − ���) �(����− ���)
��
��=1
�(���� − ���)2����=1 = �(����− ���)2
��
��=1 + ��(�� � − ���)2 − 2��(�� � − ���)2 
�(���� − ���)2����=1 = �(����− ���)2
��
��=1 − ��(�� � − ���)2
(���� − ���)2 = ((����− ���) − (�� � − ���))2 = (����− ���)2 + (�� � − ���)2 − 2(����− ���)(�� � − ���)
Demonstração:
Somando e subtraindo a média populacional “ “ na expressão
encontra-se:
(1.4)
���
�(���� − ���)
Var( ) = E( - E( ))2 = E( - )2 =
29
ACS
Rosa Maria Salani Mota
Porem, como
assim, sendo em (1.4)
e,
E( ) = Y
��.�(����− ���)2����=1 / = �(����− ���)2
��
��=1 ��(���� ) = �����(����− ���)2
��
��=1 = ��(��− 1)�� ��2 
y y y y Y ��− ���� �� ��2 
����(�� � − ���)2 = ��− �� �� ��2 
��((��− 1)��2 ) = �� .�(����− ���)2����=1 / − �� ��(�� � − ���)2 = ��(��− 1)�� ��2 − ��− ���� ��2 
��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1
assim,
30
ACS
Rosa Maria Salani Mota
��((��− 1)��2 ) = ��(��− 1)�� ��2 − ��− ���� ��2 = ��(��− 1)�� ��2 = (��− 1)��2 
portanto, uma estimativa não tendenciosa para a
Var() = (1–f ) é
��2�� ������(�� � )2 = �1 − �� ��� ����2 
Princípios de Amostragem 15/5/2013
6
Total Populacional: = total dos valores observados 
de Y
�Propriedade 4: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual
simples sem reposição de tamanho n em uma população de N.
Um estimador não tendencioso de Ty (total de Y) é
ty = N ; com e,
var(ty) = Var(N)= N
2(1–f) ; com e
31
ACS
Rosa Maria Salani Mota
Estimador do Total Populacional de Y na ACSs
��2�� 
� ��� = ∑ ��������=1�� y
��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 ��= ���� 
����= � ��������=1 = �� ��� 
Proporção Populacional: Se A é uma característica de interesse na 
população Ω e ΩA =conjunto populacional com a característica A 
#(A) = numero de elementos em ΩA = numero de vezes que A ocorre
Define-se a proporção PA = = proporção da característica A
Exemplo: Em 2007, avaliava-se a população do Brasil igual a 190.010.650 
habitantes com os brancos de origem europeia representando cerca de 
95.005.325 habitante: N=190.010.650, #(B)=95.005.325  PB= 0,5
B = brancos de origem europeia
32
ACS
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Estimador da Proporção
⋕ ���� 
Se A é uma característica de interesse na população e ΩA é o sub 
conjunto populacional coma característica A (ΩA ⊂ Ω ).
A variável indicadora Yi , i=1,2, ..., N 
= ��

33
ACS
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Estimador da Proporção na ACS
#���� = ∑ ��������=1�� = ��� 
����= 51 ���� ��∈ ΩA0 ���� ��∉ ΩA 8 
Exemplo: Em uma população de N=10 indivíduos: 
Yi = i= 1,...,10
A proporção de pessoas negras (A):
 = � � PA = = = 0,6 ou 60%
34
ACS
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Estimador da Proporção na ACS
pessoa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
cor     Soma
Yi 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 6
 
negra pessoa uma não i se 0
 negra pessoa uma i se 1



é
é
#���� = ∑ ��������=1�� = ��� 610 
Notações: Em uma população de tamanho N :
Ainda como, respectivamente , Yi = 0 ou 1  Yi2 = 0 ou 1 então
e 
35
ACS
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Estimador da Proporção na ACS
∑ ����2����=1�� = ∑ ��������=1�� = #���� = ���� σ2 = ∑ ����2−�����2����=1 �� = ������−�� ����2�� = ����(1 − ����) 
����= #���� = ∑ ��������=1�� = ��� 
S2 = ∑ ����2−����� 2����=1 ��−1 = ������−�� ����2��−1 = ����−1 (����(1 − ����)) = ����−1 ��2 
Notações: Em uma amostra de tamanho n em uma população de 
tamanho N :
definindo 
Ainda como, respectivamente, yi = 0 ou 1  yi2 = 0 ou 1 então
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ACS
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Estimador da Proporção na ACS
����= #���� = ∑ ��������=1�� = ��� �������� #��= #�� ���� �������������� 
 
 
 contrário aso 0
 s i e i se 1
 yi



=
∈Ω∈
c
A
s2 = ∑ (����− ��� )2����=1��−1 = ∑ ����2−�����2����=1 ��−1 = ������−�� ����2��−1 = ����−1 (����(1 − ����)) 
Princípios de Amostragem 15/5/2013
7
�Propriedade 5: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ), yi com distribuição B(1,PA),
é uma amostra casual simples sem reposição em uma população
de N.
A média da amostra é um estimador não tendencioso
de PA com, Var( pA) = (1–f ) onde e
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ACS
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��2�� 
Estimador da Proporção na ACS
��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 
��= ���� 
���� = #���� = ��� 
Demonstração: como para  =pA
pela propriedade 2, �( )= �(��) =
Além disso, Var( ) = (1–f ) onde e
Então, Var( ) =
38
ACS
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Estimador da Proporção na ACS
� ���
��� =
� ���
��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 
��= ���� 
 
 
contrário aso 0
 i se 1
 yi



=
Ω∈
c
A
= ����−1 (����(1 − ����))
��� = ∑ ��������=1�� ��� = ���� 
��2�� 
��− ����− 1 (����(1 − ����)) �� 
�Propriedade 6: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual
simples sem reposição de uma população de N onde yi ~ B(1,PA).
Então é um estimador não
tendencioso de
com uma estimativa não tendenciosa para a var(pA ) igual a 
39
ACS
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Estimador da Proporção na ACS
s2 = ∑ (����− ��� )2����=1��− 1 = ����− 1 (����(1 − ����)) 
S2 = ����− 1 ��2 = ����− 1 (����(1 − ����)) 
������(����)2 = (1 − ��) ����(1 − ����) ��− 1 
�Propriedade 7: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual
simples sem reposição de uma população de N, com yi ~B(1;PA) .
então, E(NpA ) = N PA = #A e
var(NpA ) = N
2 Var( pA) = N
2
com, uma estimativa não tendenciosa para da var(NpA ) igual a
40
ACS
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Estimador da Proporção na ACS
��− ����− 1 (����(1 − ����)) �� 
Observação: denominando a = ep(Y) = erro padrão de Y ou
o erro padrão de uma amostra, de acordo com a teoria, tal valor
na prática é desconhecido pois depende de S2 (variância da
população). Assim, temos que estimar suas características a partir
de uma amostra.
A importância da estimativa do erro padrão é, principalmente,
devido a três causas:
41
ACS
Rosa Maria Salani Mota
;������(���) 
1- Estimar a precisão obtida das estimativas em um processo de
amostragem.
2- Estimar o tamanho mínimo necessário da amostra em um
delineamento de amostragem.
3- Comparar a precisão obtida na ACS com a precisão de outros
processos de amostragem
42
ACS
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Princípios de Amostragem 15/5/2013
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Exercícios : 
1- Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual simples de uma 
população de tamanho N.
1.1 - Demonstre as propriedades para o total populacional na ACSs
(propriedade 4) .
1.2 - Demonstre que na ACS com reposição (ACSc ):
� a média aritmética da amostra coletada é um estimador não
tendencioso da média populacional com .
� é uma estimativa não tendenciosa da
1.3 – Deduza e demonstre as propriedades do estimador do Total 
populacional e da proporção na ACSc.
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ACS
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EXERCÌCIOS: ACS
������(�� � )2 = ����2 ������(���) =
������(���) = ��2�� 
2. Considere o jogo da mega sena que consiste em escolher 6 
dezenas dentre as 60 dezenas disponíveis. Qual a probabilidade 
de uma aposta ser premiada? 
3. Suponha que num lote com 20 peças existam cinco peças
defeituosas. Escolhendo quatro peças do lote ao acaso, de modo
que a ordem dos elementos seja irrelevantes.
– a) Qual o número de amostras com quatro elementos que 
podemos extrair do lote?
– b) Calcule a probabilidade de ser escolhida duas peças 
defeituosas na amostra. 
4. Se em uma sorveteria existem 15 sabores diferentes de 
sorvete, de quantas maneiras podemos formas um copo duplo? 
Qual a probabilidade de coincidir os sabores?
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ACS
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EXERCÌCIOS: ACS

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