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aula_7_1_estratificada_estim

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AE Rosa Maria Salani Mota 1 
Amostragem Estratificada (AE) 
Estrutura da Amostragem estratificada : 
•Divisão da população em subpopulações bem definidas (estratos). 
•Em cada estrato realiza-se uma amostragem independente dos 
demais estratos. 
•Em cada estrato, usam-se estimadores convenientes para os 
parâmetros populacionais de interesse. 
•Monta-se para a população um estimador, combinando-se os 
estimadores de cada estrato, e determinam-se suas propriedades. 
 
AE Rosa Maria Salani Mota 2 
Amostragem Estratificada 
•Na amostragem aleatória simples, uma única estimativa é obtida 
para toda a população alvo. 
Porem, para cada estrato, é obtida uma estimativa que, dada a 
maior homogeneidade dos estratos, geralmente é mais precisa que 
a estimativa da ACS para a população alvo. 
•A estimativa para população alvo é obtida pela combinação 
ponderada das estimativas dos estratos. 
AE Rosa Maria Salani Mota 3 
Notação : 
Seja a população alvo Ω e Ωh Ω o estrato h, h=1,2,...,L 
Seja o vetor de dados populacionais d = (y11; ...; y1N1 ; ... ; yhi ; ... ; yLNL ) 
• Nh o tamanho populacional no estrato h N o tamanho da 
população, N = h=1 Nh (soma do tamanho populacional dos estratos) 
• Th = : total populacional no estrato h 
 
• : média populacional no estrato h 
 
Estimação na AE 
μh = 
 𝑦𝑖ℎ
𝑁ℎ
𝑖=1
𝑁ℎ
= 
𝑇ℎ
𝑁ℎ
 = 𝑌 ℎ 
 𝑦𝑖ℎ
𝑁ℎ
𝑖=1
 
AE Rosa Maria Salani Mota 4 
• 2h = : variância populacional 
do estrato h 
• 
Então: 
 : total populacional 
 
 
média populacional 
 
Estimação na AE- notação 
1
𝑁ℎ 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ)
2 =
𝑁ℎ − 1
𝑁ℎ 
𝑆ℎ
2
𝑁ℎ
𝑖=1
 
𝑇 = 𝑇ℎ
𝐿
ℎ=1 = 𝑦𝑖ℎ
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1 = 𝑁ℎ𝑌 ℎ
𝐿
ℎ=1 
𝜇 = Ῡ = 
𝑇
𝑁
 = 
1
𝑁 
 𝑇ℎ
𝐿
ℎ=1 =
1
𝑁 
 𝑁ℎ𝜇ℎ =
𝐿
ℎ=1 
𝑁ℎ
𝑁
𝜇ℎ = 𝑊ℎ𝜇ℎ
𝐿
ℎ=1
𝐿
ℎ=1 
Wh =
Nh
N
 : peso relativo do estrato h com Wh
𝐿
ℎ=1 = 1 
AE Rosa Maria Salani Mota 5 
 
 2= 
 
2= 
 
2 = 
Onde 
 
e S2 = 
 
 
Estimação na AE- notação 
1
𝑁 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇)
2 =
1
𝑁 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ + 𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
 
1
𝑁 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ)
2
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
+
1
𝑁 
 𝜇ℎ − 𝜇 
2
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
= 
1
𝑁 
 𝑁ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 +
1
𝑁 
 𝑁ℎ(𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝐿
ℎ=1
 
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 + 𝑊ℎ(𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝐿
ℎ=1
= 𝜎𝑑
2 + 𝜎𝑒
2 
 𝜎𝑑
2 = 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 𝑒 𝜎𝑒
2 = 𝑊ℎ(𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝐿
ℎ=1
 
1
𝑁 − 1 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇)
2 = 
𝑁ℎ − 1
𝑁 − 1
𝐿
ℎ=1
𝑆ℎ
2 + 
𝑁ℎ
𝑁 − 1
(𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝐿
ℎ=1
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
 
Variação dentro dos estratos 
Variação entre os estratos 
AE Rosa Maria Salani Mota 6 
Estimação na AE - Estimadores 
•Os estimadores podem ser expressos em termos dos 
estimadores dos parâmetros nos estratos: 
 
 Estimador da média: 
 
 
 Estimador do total : 
 
 
 
AE Rosa Maria Salani Mota 7 
•Usando a ACSs para a coleta da amostra em cada estrato então, 
para uma amostra de tamanho nh no estrato h, h=1,...,L 
 
- Por estrato: 
 Estimador da média: com 
 
 
 
 
 Estimador do total : com 
Estimação na AE – Estimadores usando a ACS 
𝜇 ℎ = 𝑦 ℎ =
 𝑦𝑖ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ
 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ = 1 − 𝑓ℎ 
𝑠ℎ
2
𝑛ℎ
 ; 𝑠ℎ
2 = 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1 )
2
𝑛ℎ − 1
 
 𝑠ℎ
2 = 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1 )
2
𝑛ℎ − 1
= 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 )
2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ)
2𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ − 1
 
AE Rosa Maria Salani Mota 8 
 Propriedade: Se a amostragem por estrato é a ACSs, o estimador 
da média populacional: 
 
 é um estimador não tendencioso de Ῡ com 
 
 
 
 
 
 
onde, ; , 
 
e 
 
 
 
 
Propriedades dos estimadores populacionais na AE 
 𝑠ℎ
2 = 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1 )
2
𝑛ℎ − 1
= 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 )
2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ)
2𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ − 1
 
AE Rosa Maria Salani Mota 9 
Prova: sendo 
 
 
 
 
 
 
 
onde e 
 
e, como, 
 
Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 
𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 
 
𝐿
ℎ=1
=𝐴𝐶𝑆𝑠 𝑊ℎ
2 1 − 𝑓ℎ 
𝑠ℎ
2
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 
𝐸(𝑦 𝑒𝑠𝑡 ) = 𝑊ℎ𝐸 𝑦 ℎ =𝐴𝐶𝑆
𝐿
ℎ=1 𝑊ℎ𝑌 ℎ =
𝐿
ℎ=1 
𝑁ℎ
𝑁
𝑌 ℎ =(𝑑𝑒𝑓𝑖 𝑛 .𝑑𝑒 𝑌 ℎ ) 
𝐿
ℎ=1
1
𝑁 
 𝑌𝑖ℎ
𝑁ℎ
𝑖 = 𝑌 
𝐿
ℎ=1 
AE Rosa Maria Salani Mota 10 
(yih - h )2 = (yih -  +  - h )2 = (yih - )2+( - h )2 + 2 (yih - )( - h) 
 
 
onde 
 
então 
 
 
 
ou seja, 
Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 
 𝑦𝑖ℎ − 𝑦 𝑦 −  ℎ = 
𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑦 −  ℎ = −𝑛ℎ 𝑦 −  ℎ 2 
 (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 𝒉
𝒏𝒉
𝒊=𝟏
 )𝟐 = (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 )
𝟐 + 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉)
𝟐 − 𝟐
𝒏𝒉
𝒊=𝟏
 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉)
𝟐 = (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 )
𝟐 − 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉)
𝟐
𝒏𝒉
𝒊=𝟏
 
 𝑠ℎ
2 = 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1 )
2
𝑛ℎ − 1
= 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 )
2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ)
2𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ − 1
 
• Intervalo de Confiança 
• Pelo Teorema Central do Limite, a estimativa da média (Ῡ) 
como do total ( = N Ῡ) no caso de grandes amostras tem 
distribuição Gaussiana. 
• Para amostras estratificadas o Intervalo de Confiança com 
100(1 − )% a: 
 
 Estimativa da Média est ± t(1 − /2; d) 
 
 Estimativa do Total ± t(1 − /2; d) 
 
 
 
IC na AE – Propriedades dos estimadores 
 𝑡 𝑒𝑠𝑡
 
Onde t ~ t-Student com d graus de liberdade (gl) 
- por Satterthwaite (1946)1 e citado por COCHRAN 
(1977), o valor aproximado do gl 
 
d = ; a 
h
= Nh (Nh - nh)/ nh 
 
Considerando que n é “suficientemente grande” então: 
t(1 − /2; d) ≅ percentil de ordem 1 − /2 da normal padrão 
IC na AE – Propriedades dos estimadores 
 𝑎ℎ 𝜎 ℎ
2𝐿
ℎ=1 
2
 (𝑎ℎ 𝜎 ℎ
2𝐿
ℎ=1 )
2/(𝑛ℎ − 1)
 
1 Biometrics Bulletin, Vol. 2, No. 6, (Dec., 1946), pp. 110-114 
TAMANHO DA AMOSTRA NA AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
população 1 2 3 4 5 6 7 8 Ῡ (μ) 2 
renda 13 17 6 5 10 12 19 6 11 24 
região A B A A A B B A - - 
Exemplo: Considerando o exemplo 20: 
ESTRATO Região A (N=5) Região B (N=3) 
Subpopulação 1 3 4 5 8 2 6 7 
renda 13 6 5 10 6 17 12 19 
WA = 5/8 = 0,625 ; μA = 8 WB = 3/8 = 0,375 ; μB = 16 
A
2 = 9,2 ou SA
2 = 11,5 B
2 =8,7 ou SB
2= 13,0 
 Retirando uma ACSs de tamanho n=3 com nA =1 e nB =2 
 
var (Ῡest ) = (0,625)
2 (1-1/5) (11.5/1) + (0,375)2 (1-2/3) (13/2) 
 
var (Ῡest ) = 3,9 
 
 Retirando uma ACSs de tamanho n=3 com nA =2 e nB =1 
 
var (Ῡest ) = (0,625)
2 (1-2/5) (11,5/2) + (0,375)2 (1-1/3) (13/1) 
 
var (Ῡest ) = 2,4 
 
Conclusão o tipo de alocação da amostra nos estratos pode 
reduzir ou aumentar a variância. 
 
 
 
Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 
• Tamanho da Amostra e Alocação das Unidades 
Amostrais : 
 Assumindo uma ACSc em cada estrato então, o tamanho da 
amostra para um erro “E” e um nível de significância (1- )%. 
 E2 = z2 onde 
Como depende de nh , h = 1, ..., L, 
e sendo nh = n wh onde , encontra-se 
 
 
 
 
 
 
 
AE – tamanho da amostra 
 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝜎
2 
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 
𝑛 =
𝑧2 𝑊ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
𝐸2
=
𝑧2 𝑁ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
(𝑁𝐸)2
 
wh =
nh
n
 onde wh = 1
L
h=1
 
 Se a amostragem é sem reposição e a população é de 
tamanho finito 
 
onde, 
z = percentil de ordem 1− /2 da normal padrãoNh = tamanho do estrato h, 
N = tamanho da população alvo = 
 
 
 
AE – tamanho da amostra 
𝑛 =
𝑧2 𝑁ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
(𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 
2 )𝐿ℎ=1
 
 𝑁ℎ
𝐿
ℎ=1
 
Wh =
Nh
N
 : peso relativo do estrato h com Wh
𝐿
ℎ=1 = 1 
wh =
nh
n
 onde wh = 1
L
h=1
 
• Note que para encontrar o tamanho de amostral, é 
necessário primeiramente definir a proporções wh , isto 
é, como as unidades amostrais serão distribuídas nos 
vários estratos ( nh= n.wh ). 
 
 
AE - tamanho da amostra 
ALOCAÇÃO UNIFORME (AEuni): 
Se n é o tamanho da amostra nh = = n =k (constante) 
 para h = 1, 2,..., L; wh = nh/n = 
 Se a amostra nos estratos é obtida pela ACSc para uma margem 
de erro E e um coeficiente de confiânça (1- )%, o valor mínimo 
necessário para “n” será : 
 
 
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA UNIFORME (Aeuni) 
L
n
L
1
L
1
𝑛 =
𝑧2 𝑊ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
𝐸2
=
𝐿 𝑧2 𝑊ℎ
2𝜎 ℎ
2 𝐿ℎ=1 
𝐸2
 
• se a amostragem é sem reposição e a população é de 
tamanho finito 
 
 
ainda, para a alocação uniforme: 
 
AE – tamanho da amostra 
N
N
 We 
N
n
 f onde 
 
n
 hh
h
h
hhh WL
f
NL
n
N
f
𝑛 =
𝑧2 𝑁ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
(𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 
2 )𝐿ℎ=1
=
𝐿 𝑧2 𝑁ℎ
2𝜎 ℎ
2 𝐿ℎ=1 
(𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 
2 )𝐿ℎ=1
 
Exemplo 21: Deseja-se estimar o numero de arvores em florestas 
ombrófilas (fluviais tropicais ) densa na Amazônia Oriental 
Para isso, construiu-se estratos de acordo com a área da floresta. 
As informações disponíveis são: 
 
 
 
AE – tamanho da amostra 
Estrato A A A A B B B B B C C C C 
Nº 
arvore 
358 332 290 304 268 242 256 244 216 288 322 234 276 
Nh 4 5 4 
h 321,00 245,20 280,00 
2
h 685,00 300,16 990,00 
h 26,17 17,33 31,46 
 Em uma AE Uniforme , para =0,05 z =1,96 
 z2 = 3,846 e, para E = 10 E2 = 100 
nh = n wh = k (constante), h = 1, 2, 3, e N = 13 
(obs: na ACSs Existe a necessidade da correção do tamanho 
populacional ) 
 
 
 
 
 
AE – tamanho da amostra 
Estrato Nh Nh
 2 
2
h h AEuni 
ACSc ACSs 
A 4 16 685,00 26,17 8 4 
B 5 25 300,16 17,33 8 4 
C 4 16 990,00 31,46 8 4 
n - - - - ≅24 ≅12 
 
ALOCAÇÃO PROPORCIONAL (AEprop): 
Na alocação proporcionalmente ao tamanho dos estratos h 
(Nh ), h=1, 2, .., L , encontra-se nh = k Nh , 0 < k 1 
 - nh = k Nh n = k N wh = = Wh e, 
 nh = n Wh para todo, h =1, 2, ... L 
Assim, se a amostra dos estratos é obtida pela ACSc 
 
AE - tamanho da amostra na AEprop 
N
N
n
n hh
𝑛 =
𝑧2 𝑊ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
𝐸2
=
𝑧2 𝑊ℎ𝜎 ℎ
2 𝐿ℎ=1 
𝐸2
 
 
Se na AEprop a amostra dos estratos é obtida pela ACSs 
 com wh = Wh 
 
então 
 
 
 
Observe que: ; n*= tamanho da amostra na ACSc 
AE - tamanho da amostra na AEprop 
𝑛 =
𝑧2 𝑁ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
(𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 
2 )𝐿ℎ=1
 
𝑛 =
𝑧2 𝑁2 𝑊ℎ 𝜎 ℎ
2 𝐿ℎ=1 
(𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 
2 )𝐿ℎ=1
= 
𝑧2 𝑁 𝑊ℎ 𝜎 ℎ
2 𝐿ℎ=1 
𝑁𝐸2 + 𝑧2( 𝑊ℎ𝜎 ℎ 
2 )𝐿ℎ=1
=
𝑧2 𝑁 𝑁ℎ 𝜎 ℎ
2 𝐿ℎ=1 
(𝑁𝐸)2 + 𝑧2( 𝑁ℎ𝜎 ℎ 
2 )𝐿ℎ=1
 
 Teorema: Na AEprop usando a ACS nos estratos, encontra-
se 
 
 est =  da ACS e , 
 
 
 
 
 
são estimadores não tendenciosos de Ῡest e var(est ) 
respectivamente 
 
 
 
 
 
 
AE – propriedade dos estimadores na AEprop 
𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 
 
𝐿
ℎ=1
= 
 
 
 
 
 
 
 𝑊ℎ
2 𝑠ℎ
2
𝑛ℎ
= 𝑊ℎ
𝑠ℎ
2
𝑛
𝑙
ℎ=1
 𝑛𝑎 𝐴𝐶𝑆𝑐 
𝐿
ℎ=1
 1 − 𝑓 𝑊ℎ
2 𝑠ℎ
2
𝑛ℎ
= (1 − 𝑓) 𝑊ℎ
𝑠ℎ
2
𝑛
𝑙
ℎ=1
 𝑛𝑎 𝐴𝐶𝑆𝑠 
𝐿
ℎ=1
 
AE – propriedade dos estimadores na AEprop 
logo, como est é não tendencioso para Ῡ então na AEprop 
 
est =  é não tendencioso para Ῡ 
Demonstração: 
 
Como na wh = Wh ; nh = n Wh e fh = f = : constante 
est = 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝑦 ℎ =(𝑊ℎ=𝑤ℎ ) 𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1
𝑦 ℎ = 
𝑛ℎ
𝑛
 
𝑦𝑖ℎ
𝑛ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
=
1
𝑛
 𝑦𝑖ℎ = 𝑦 
𝑛ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
 
N
n
AE – propriedade dos estimadores na AEprop 
• é não tendencioso para a var(Ῡest ) 
 
𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 1 − 𝑓 𝑊ℎ
2 𝑠ℎ
2
𝑛ℎ
= (1 − 𝑓) 𝑊ℎ
𝑠ℎ
2
𝑛
𝐿
ℎ=1
 
𝐿
ℎ=1
 
como, na AEprop, fh = f e nh = n Wh então 
 Tamanho da Amostra e Alocação das Unidades 
Amostrais em uma ACS para E= 10 arvores e = 0,05: 
 para =0,05 z =1,96. z2 = 3,846, para E = 10 E2 = 100 
Sendo N = 13 e considerando nh = n wh , h = 1, ..., 4 
OBS: na ACSs Existe a necessidade da correção do tamanho 
populacional 
 
 
 
 
 
AE – tamanho da amostra 
Estrato Nh Wh 
2
h Z
2
Wh 
2
h/E
2
 Aeprop: nh= n Wh 
ACSc ACSs 
A 4 0,3077 685,00 8,097 8 4 
B 5 0,3846 300,16 4,435 9 5 
C 4 0,3077 990,00 11,702 8 4 
n - - - ≅25 ≅13 
ALOCAÇÃO ÒTIMA (AEotm) 
Na alocação ótima toma-se, em cada estrato um nº de elementos 
proporcional ao tamanho Nh do estrato h, à variação (dp(yh) )da 
variável de interesse no estrato h e o custo (ch ) da pesquisa por 
unidade de observação no estrato h, h=1,..., L. 
Na AEotm, pretende-se otimizar a informação obtida sobre a 
população, baseando-se no princípio de que onde a variação é 
menor, menos elementos são necessários para caracterizar o 
parâmetro e a um custo linear mínimo. 
AE - Alocação Ótima (AEotm) 
Problema: As principais dificuldades para a AEotm consiste na 
análise dos dados que, muitas vezes, não é possível avaliar a 
priori a variabilidade da variável nos estratos e os custos da 
amostragem por unidade no estrato. 
Alocação Ótima: para L estratos, h=1,2,3,...,L , definindo: 
C = custo total de amostragem ; c0 = custo inicial fixo, 
ch = custo por unidade de observada no estrato h 
nh = numero de unidades alocadas no estrato h 
 
AE - Alocação Ótima (AEotm) 
então considerando o custo linear C = c0 + 
 C - c0 = C’ = = custo variável 
e, para uma amostra ACSc nos estrato, 
Vest = 
 
o problema será encontrar nh de tal, para um dado custo C , nh 
minimize a variabilidade Vest ou, então, para uma dada Vest , nh 
minimize o custo C. 
 
AE - Alocação Ótima (AEotm) 
 𝑐ℎ
𝐿
ℎ=1
𝑛ℎ
 
 𝑐ℎ
𝐿
ℎ=1
𝑛ℎ
 
𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 
𝐿
ℎ=1
=𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ
2 𝜎ℎ
2
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 
Teorema: Na AE de tamanho n com um custo linear C , temos 
que Vest é mínima para C’ (= C – c0 ) fixado ou o C’ é mínimo para 
Vest fixado, se, para h=1,2,..., L, quando 
 
Demonstração: 
Como Vest = e C’ = 
e, pelo Teorema de Cauchy-Schwartz: 
 
 
 
 
AE - Alocação Ótima (AEotim) 
𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 
𝐿
ℎ=1
=𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ
2 𝜎ℎ
2
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 𝑐ℎ
𝐿
ℎ=1
𝑛ℎ
 
 onde = Q 
 
Q = constante real 
Assim, fazendo a2h = e b
2
h = ch nh encontra-se que, 
Vest . C’ = . é mínimo ⇔ 
 
 e, como 
 
h=1 nh = n 
 
AE - Alocação Ótima (AEotim) 
𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 
𝐿
ℎ=1
=𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ
2 𝜎ℎ
2
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 
𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 
𝐿
ℎ=1
=𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ
2 𝜎ℎ
2
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 𝑐ℎ
𝐿
ℎ=1
𝑛ℎ
 
 𝑐ℎ𝑛ℎ
𝑊ℎ𝜎ℎ
 𝑛ℎ
 =
𝑛ℎ 𝑐ℎ
𝑊ℎ𝜎ℎ
= 𝑄 ⇔ 𝑛ℎ =
𝑄𝑊ℎ𝜎ℎ
 𝑐ℎ
 
 
Propriedade: Na AEotm onde a amostra nos estratos é 
obtida pela ACSc então: : 
-Para um custo (C’) fixo, o tamanho da amostra ótimo será- Sendo C’ = com 
Substituindo Q em nh e sendo h=1 nh = n 
AE - Alocação Ótima (AEotim) 
 𝑐ℎ
𝐿
ℎ=1
𝑛ℎ
 𝑐ℎ𝑛ℎ
𝑊ℎ𝜎ℎ
 𝑛ℎ
 =
𝑛ℎ 𝑐ℎ
𝑊ℎ𝜎ℎ
= 𝑄 ⇔ 𝑛ℎ =
𝑄𝑊ℎ𝜎ℎ
 𝑐ℎ
 
 
Propriedade: Na Aeotm onde a amostra nos estratos é 
obtida pela ACSc então: : 
-Para a variância (Vest) fixa o tamanho da amostra ótimo será 
 
 
 
- Sendo Vest = com 
Substituindo Q em nh e sendo h=1 nh = n 
AE - Alocação Ótima (AEotim) 
 𝑐ℎ𝑛ℎ
𝑊ℎ𝜎ℎ
 𝑛ℎ
 =
𝑛ℎ 𝑐ℎ
𝑊ℎ𝜎ℎ
= 𝑄 ⇔ 𝑛ℎ =
𝑄𝑊ℎ𝜎ℎ
 𝑐ℎ
 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 
𝐿
ℎ=1
=𝐴𝐶𝑆𝑐 𝑊ℎ
2 𝜎ℎ
2
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 
 
Propriedade: Alocação òtima de Neyman: Se o custo ch = c 
(constante) então o tamanho nh da amostra ótima no estrato h 
será 
 com 
 
Prova: sendo ch = c , então C’ = = nc : constante 
 
 
 e 
 
 
AE - Alocação Ótima (AEotim) 
 𝑐ℎ
𝐿
ℎ=1
𝑛ℎ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AE - Alocação Ótima (AEotim) 
𝑊ℎ
2
𝜎ℎ
2
𝑛ℎ
= 𝑊ℎ𝜎ℎ
1
𝑛
 𝑊ℎ𝜎ℎ
𝐿
ℎ=1
=
𝑊ℎ𝜎ℎ( 𝑊ℎ𝜎ℎ)
𝐿
ℎ=1
𝑛
 
𝑉𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2
𝜎ℎ
2
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
= 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ 
𝑊ℎ𝜎ℎ
𝑛
𝐿
ℎ=1
=
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1 𝜎ℎ 
2
𝑛
 
 
Propriedade: Na Alocação òtima de Neyman (custo ch = c) 
se h = (constante) então o tamanho nh da amostra ótima 
no estrato h será = tamanho da amostra na AEprop 
 
Prova: sendo ch = c então pela propriedade anterior 
 
 
 sendo h = (constante) então 
AE - Alocação Ótima (AEotm) 
Estimação de Proporções na Amostragem Estratificada 
Como um caso particular das propriedades anteriores, considere 
que o interesse é estudar uma característica A da população: 
Definindo, 
 
 
para todo i= 1,2,..., Nh e h = 1,2,...,L 
então : 
AE – Estimando proporções 
𝑌𝑖ℎ = 
0 𝑠𝑒 𝑛ã𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝐴 𝑛𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑖 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 ℎ
1 𝑠𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝐴 𝑛𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑖 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 ℎ 
 
 
 : total de elementos da população no estrato 
h com a característica A 
 : proporção de elementos da população no estrato h 
com a característica A 
 : variância populacional 
da proporção no estrato h 
 : proporção de elementos da população com a 
característica A 
AE – Estimando proporções 
 : total de elementos da amostra com a 
característica A no estrato h 
 : proporção de elementos da amostra com a 
característica A no estrato h = Estimador de PA no estrato h 
 
 na ACSc 
ou 
 na ACSs 
 
 
AE – Estimando proporções 
 Propriedade: Em uma AE, 
é um estimador não viesado de PA com Vest = 
 
Propriedade: Em uma AE, 
 
onde na ACSc 
ou na ACSs 
é um estimador não tendencioso da Vest 
 
 
 
AE – Estimando proporções 
Propriedade: Um intervalo de confiança com (1- )% de confiança para Pest 
será: ( pest – z ; pest + z ) 
onde P(Z z) = 1- /2 e Z ~N(0;1) 
 
Propriedade: Usando a função de custo linear C = C0 + h ch nh . A alocação 
ótima para estima PA será: 
 
 
-se ch é constante então nh será: 
 
-se ch e Ph é constante então nh será: 
 
AE – Estimando proporções 
 
 
 
 Propriedade: Em uma amostragem estratificada sem reposição definindo, 
 
 média ponderada dos desvios padrões (dp) dos estratos. 
e 
 = variância dos dp dos estratos 
 
Então = Vprop – Vot onde Vprop e Vot são respectivamente as variâncias da 
média na AE proporcional e ótima de Neyman. 
 
- como , e 
 conclui-se que = Vprop – Vot 
Eficiencia das alocações na AE - Efeito do Planejamento 
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
𝜎𝑑𝑝
2
𝑛
=
1
𝑛
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 −
 𝜎 2
𝑛
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
= 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑡 
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
𝜎𝑑𝑝
2
𝑛
=
1
𝑛
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 −
 𝜎 2
𝑛
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
= 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑡 
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
𝜎𝑑𝑝
2
𝑛
=
1
𝑛
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 −
 𝜎 2
𝑛
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
= 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑡 
 Propriedade: Em uma amostragem estratificada sem reposição definindo, 
 
 = variação das médias entre os estratos. 
 
Então, = Vcasu – Vprop onde Vcasu e Vprop são respectivamente as variâncias da 
média na ACSc e na AE proporcional . 
-Como 
Onde e 
 
Eficiencia das alocações na AE - Efeito do Planejamento 
𝜎2 = 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇 )
2𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
𝑁
=
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇 ℎ)
2𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
𝑁
+
 (𝜇 ℎ − 𝜇 )
2𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
𝑁
 
 (𝜇 ℎ − 𝜇 )
2𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
𝑁
= 𝑊ℎ(𝜇 ℎ − 𝜇 )
2 = 𝜎𝑒
2 
𝜎𝑒
2
𝑛
𝐿
ℎ=1
= 𝑉𝐴𝐶𝑆𝑐 − 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 
 Uma consequência imediata das propriedades anteriores é que 
VACSc Vprop Vot a AE ótima, para um dados n fixo, produz a 
maior precisão, onde, 
-sendo = VACSc – Vprop 0 VACSc Vprop e verifica-se a igualdade 
apenas quando a variação das médias entre os estrato é nula ou seja, 
h = para todo h = 1, 2, ..., L. 
 
-sendo = Vprop – Vot 0 Vprop Vot e verifica-se a igualdade 
apenas quando a variação dos desvios padrões entre os estrato é 
nula ou seja, h = para todo h = 1, 2, ..., L. 
Eficiencia das alocações na AE - Efeito do Planejamento 
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
𝜎𝑑𝑝
2
𝑛
=
1
𝑛
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 −
 𝜎 2
𝑛
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
= 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑡

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