ATIVIDADE 2CALCULO NUMERICO COMPUTACIONAL

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Quando não dispomos de métodos analíticos capazes de calcular as raízes de uma função, podemos recorrer aos métodos numéricos, entre os quais está o método da iteração linear. Considerando ,  e uma função de iteração  convenientemente escolhida. Aplique o método da iteração linear e as sequência de raízes  , calcule  . Assinale a alternativa correta.
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função, encontramos, conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	1,5
	 
	1
	1,24998326
	0,250016739
	2
	1,33177094
	0,081787682
· 
1,33177094.
· 
1,24998326.
· 
1,30883956.
 
· 
1,31252021.
· 
1,30214031.
Frequentemente, precisamos encontrar raízes de funções/equações associadas a problemas da Engenharia/Ciência. Um problema clássico é a determinação das órbitas dos satélites. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por:
Suponha que sejam conhecidos  e . Usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerânciae o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo  de comprimento 1, ou seja, ( e  naturais) e .
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006.
Assinale a alternativa correta.
 
esposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função, encontramos, conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	0,2
	 
	1
	0,6596008
	0,459600799
	2
	0,78384043
	0,124239632
	3
	0,81180133
	0,027960901
	4
	0,8176584
	0,005857072
· 
0,78384043.
· 
0,81180133.
· 
0,8188639.
· 
0,8176584.
· 
0,81917211.
Em problemas de fluxo em tubulações, precisamos resolver a seguinte equação:
Se ,  e , usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerânciae o menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo  de comprimento 1, ou seja, ( e  inteiros) e .
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006.
Assinale a alternativa correta.
esposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função, encontramos, conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	-1
	 
	1
	-0,4128918
	0,587108208
	2
	-0,3999897
	0,012902141
	3
	-0,3996868
	0,000302884
· 
-0,4131667.
· 
-0,3996868.
· 
-0,3999897.
· 
-0,4003081.
amos considerar um problema físico de estática: uma plataforma está fixada em uma janela de madeira por meio de uma dobradiça, em que momento é calculado por ,   é o  ângulo da plataforma com a horizontal e k é uma constante positiva. A plataforma é feita de material homogêneo, seu peso é P e sua largura é l. Modelando o problema, podemos mostrar que com . A partir do método de Newton, com uma tolerância  e o menor número possível de iterações, determine o valor de para l=1 m, P=400 N, k=50 Nm/rad, sabendo que o sistema está em equilíbrio. Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função, determinamos que satisfaz a tolerância desejada, conforme a tabela a seguir:
	
	
	
	
	
	0
	1,57079633
	1,57079633
	5
	 
	1
	1,25663706
	0,02056908
	4,80422607
	0,31415927
	2
	1,25235561
	1,1379E-05
	4,79889904
	0,00428146
	3
	1,25235323
	3,5203E-12
	4,79889607
	2,3711E-06
· 
.
· 
.
· 
.
· 
.
Antes de aplicarmos o método de Newton para determinação das raízes de uma equação, devemos isolá-las por meio do método gráfico. Dessa forma, suponha que essa etapa foi realizada e encontramos . Assinale a alternativa que apresenta quantas iterações são necessárias para calcular a raiz da função  , pelo método de Newton, com uma tolerância , no intervalo [1;2].
 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois aplicando o método de Newton para a função , no intervalo, com uma tolerância, precisamos de pelo menos 4 iterações, conforme tabela a seguir:
 
	
	
	
	
	
	0
	2
	2,69314718
	4,5
	 
	1
	1,40152285
	0,30182569
	3,51655529
	0,598477151
	2
	1,31569292
	0,00541132
	3,39144161
	0,085829929
	3
	1,31409734
	1,8099E-06
	3,38917331
	0,001595582
	4
	1,3140968
	2,025E-13
	3,38917255
	5,34032E-07
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
· 
3 iterações.
· 
5 iterações.
· 
4 iterações. RESPOSTA CORRETA
· 
6 iterações.
· 
2 iterações.
Um dos métodos mais robustos para resolução de equações é o método de Newton, uma vez que ele exige um grande conhecimento das derivadas da função. Assim, utilizando o método de Newton para a função , e sabendo que a raiz . Assinale a alternativa que indica qual o valor de .
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função, podemos verificar, por meio da tabela seguir, que.
 
	
	
	
	
	
	0
	-1,4
	-1,0600657
	2,97089946
	 
	1
	-1,0431836
	-0,0362392
	2,72802289
	0,35681642
	2
	-1,0298995
	-8,952E-05
	2,7144945
	0,01328407
	3
	-1,0298665
	-5,6E-10
	2,71446054
	3,2978E-05
· 
-1,0323456.
· 
-1,0375845.
· 
-1,0298665.
· 
-1,0298995.
Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função polinomial é o método da iteração linear. Isole a raiz positiva da função polinomial  em um intervalo  ( e  naturais) de comprimento 1, isto é,  Calcule a quarta ( ) aproximação para esta raiz, considere . Assinale a alternativa correta.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função de iteração, encontramos, conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	1,4
	 
	1
	1,10048178
	0,299518223
	2
	1,08125569
	0,019226082
	3
	1,07998603
	0,001269666
· 
1,07989647.
· 
1,08125569.
· 
1,07990202.
· 
1,10048178.
· 
1,07998603.
Apenas na minoria dos casos, nós podemos calcular as raízes de uma função através de métodos algébricos. Então, na maioria das situações, exige-se a aplicação de métodos numéricos. Diante disso, considerando ,  e uma função de iteração  convenientemente escolhida. Aplique o método da iteração linear e a sequência de raízes  . Assinale a alternativa que corresponde ao valor de .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função, encontramos, conforme a seguinte tabela:
 
	
	
	
	0
	1,9
	 
	1
	1,16133316
	0,738666842
	2
	1,36761525
	0,206282096
	3
	1,29009217
	0,077523087
	4
	1,31685381
	0,026761642
· 
1,16133316.
· 
1,3098133.
· 
1,29009217.
· 
1,36761525.
· 
1,31685381.
O método da iteração linear, também conhecido como método do ponto fixo, é um forte aliado na determinação de raízes de funções por meio de métodos numéricos. Considerado a função ,  e uma função de iteração  convenientemente escolhida. E, considerando a sequência de raízes , calcule o  da função. Assinale a alternativa correta.
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a função, encontramos, conforme a tabela a seguir:
 
	
	
	
	0
	3
	 
	1
	2,22023422
	0,779765779
	2
	2,14517787
	0,075056356
	3
	2,14014854
	0,005029329
	4
	2,13983056
	0,000317979
	5
	2,13981054
	2,00222E-05
· 
2,13981054.
· 
2,13983056.
· 
2,22023422.
· 
2,14517787.
· 
2,14014854.
Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma, considere a função  e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz  pertencente ao intervalo .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função, verificamos que o número mínimo de iterações com a tolerância e intervalos dados é igual a 5, conforme tabela a seguir:
 
	
	
	
	
	
	0
	0,1
	-2,2025851
	11
	 
	1
	0,30023501
	-0,9029547
	4,33072417
	0,20023501
	2
	0,50873472
	-0,1670939
	2,965661
	0,20849971
	3
	0,56507759
	-0,0057146
	2,76966848
	0,05634287
	4
	0,56714088
	-6,65E-062,76323032
	0,00206329
	5
	0,56714329
	-9,003E-12
	2,76322283
	2,4066E-06
· 
5.
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1.
· 
7 .
· 
2.
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3.