prova de calculo 2

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Questão 1
Quando falamos sobre o desenvolvimento histórico do Cálculo dois matemáticos são lembrados, Leibniz e Newton. Eles foram responsáveis por explorar a relação inversa entre a derivada e a integral e a usaram para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático. Considere a integral
Assinale a alternativa que contém o resultado correto da integral.
A)
 
B)
 
C)
 
D)
 
E)
 
Questão 2
Para investigar taxas de variação de funções de duas variáveis em direções específicas podemos empregar o cálculo das derivadas direcionais. Considere a função
f(x,y)= x2+y.
Assinale a alternativa que indica corretamente a taxa de variação aproximada do potencial elétrico em P(1, 1) na direção do vetor unitário.
A)
 
Du f(1,1) = 2,23
B)
 
Du f(1,1) = 1,73.
C)
 
Du f(1,1) = 0,5.
D)
 
Du f(1,1) = 4,23
E)
 
Du f(1,1) = 1,23.
Questão 3
O cálculo das integrais duplas requer que seja identificado corretamente a região de integração e os respectivos limites de integração. Com base em informações sobre o cálculo de integrais duplas, calcule a integral da função f(x,y) = 1 sobre a região R. Em que R=[1,3]x[2,4]. Assinale a alternativa que contém o resultado dessa integral.
A)
 
4.
B)
 
2.
C)
 
1.
D)
 
0.
E)
 
3.
Questão 4
Podemos estudar a taxa de variação de funções de duas ou mais variáveis reais utilizando as derivadas parciais. O potencial elétrico no ponto (x,y) é dado por
 onde V é dado em volts e x, y cm. Assinale a alternativa que contém a taxa de variação instantânea aproximada de V em relação à distância em (1, 2) na direção do eixo x.
A)
 
60.
B)
 
48.
C)
 
24.
D)
 
-24.
E)
 
-48.
Questão 5
Se f(x) e g(x) são duas funções tais que g'(x) = f(x), podemos dizer que g(x) é uma antiderivada de f(x). O processo de encontrar antiderivadas é denominado integração.
Considerando as propriedades envolvendo as integrais analise os itens a seguir.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas os itens II e III estão corretos.
B)
 
Apenas o item III está correto.
C)
 
Apenas os itens I e II estão corretos.
D)
 
Apenas o item II está correto.
E)
 
Apenas o item I está correto.
Questão 6
Podemos criar um sólido a partir da rotação de uma determinada função em torno dos eixos x ou y. Seja
e a variação de y [0,1]. Qual o volume, aproximado, do sólido formado pela rotação dessa função em torno do eixo y?
A)
 
0,63 u.v.
B)
 
0,5 u.v.
C)
 
0,25 u.v.
D)
 
1 u.v.
E)
 
0,20 u.v.
Questão 7
Muitas vezes para o cálculo de integrais temos que utilizar de técnicas que tornam integrais complexas mais simples de ser resolvidas. Um desses métodos é o da mudança de variável ou substituição. Com base em informações sobre esse método calcule a integral que segue
Assinale a alternativa que contém o resultado correto dessa integral.
A)
 
O resultado é:
B)
 
O resultado é:
C)
 
O resultado é:
D)
 
O resultado é:
E)
 
O resultado é:
Questão 8
Em alguns casos resolver uma integral dupla em coordenadas cartesianas é demasiadamente complicado, assim podemos recorrer ao cálculo dessas integrais em coordenadas polares. Logo, é fundamental a identificação da região de integração e da função a ser integrada em coordenadas polares.
Deseja-se calcular a integral
onde D é a região do primeiro quadrante contida no círculo
Assinale a alternativa que representa corretamente a integral dada em coordenadas polares.
A)
 
B)
 
C)
 
D)
 
E)
 
Questão 9
Considere uma chapa quadrada de 2 m de lado. Um engenheiro aproximou uma fonte de calor sobre um dos lados. Após um minuto, observou-se que a temperatura em (ºC) era dada por
para 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2.
Assinale a alternativa que indica corretamente a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 2) na direção de y.
A)
 
25/2.
B)
 
25/4.
C)
 
-25/2.
D)
 
-25/8.
E)
 
-25/4.
Questão 10
Um engenheiro é responsável por fazer o orçamento de quanto de material será gasto na construção de um prédio. Sua tarefa mais recente é calcular a quantidade de metros quadrados de ladrilhos necessário para revestir uma parede da sala de recreação. Considere que a região da parede é delimitada pelas curvas
Assinale a alternativa que contém quantidade aproximada de metros quadrados de ladrilhos necessários para revestir essa parede.
A)
 
3 m².
B)
 
6 m².
C)
 
5 m².
D)
 
2 m².
E)
 
4 m².
Questão 11
Integrar funções de uma variável nem sempre é resolvido de forma imediata, assim faz-se necessário o uso de técnicas que facilite o processo de integração. Com base nessas técnicas de integração, calcule a integral a seguir.
Assinale a alternativa que contém o resultado correto dessa integral.
A)
 
sen(x) + cos(x) +C.
B)
 
-sen(x) - xcos(x) +C.
C)
 
sen(x) - xcos(x) +C.
D)
 
sen(x) + xcos(x) +C.
E)
 
-sen(x) + cos(x) +C.
Questão 12
Leibniz e Newton foram os responsáveis pelo desenvolvimento de alguns conceitos do cálculo diferencial e integral. Eles foram responsáveis por explorar a relação inversa entre a derivada e a integral e a usaram para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático. Com base em informações sobre o cálculo de integrais, determine o valor da integral a seguir
Assinale a alternativa correta.
A)
 
4.
B)
 
0,5.
C)
 
2.
D)
 
1.
E)
 
3.