exercícios 2015-2016

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SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Viscosidade de fluidos (V) ...............1/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
VISCOSIDADE DE FLUIDOS (V) 
FLUXO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO e TENSÕES DE CORTE 
 
 
V1. Considere um fluido Newtoniano a escoar entre duas placas paralelas de profundidade W e à distância 2h 
uma da outra. 
O perfil de velocidades é: 
 
 v = vmax(1-(y/h)
2) 
 y – distância medida a partir da linha central 
 
a) a tensão de corte que actua na placa inferior; 
b) a tensão de corte que actua num plano paralelo às placas, à distância média entre elas; 
c) trace o perfil das tensões de corte entre as duas placas. 
 
 
 
V2. Como resultado das forças de corte no seu interior, a velocidade dum fluido (viscosidade = µ) 
incompressível, em regime estacionário e fluxo laminar através de um tubo de secção recta circular, varia com a 
distância ao eixo do tubo de acordo com a seguinte expressão: 
 
 
a) Trace o perfil de velocidades ao longo do diâmetro do tubo e escreva as expressões que lhe dão a velocidade 
máxima e mínima. 
b) Obtenha uma expressão para calcular a força de corte exercida na parede por unidade de comprimento do tubo. 
c) Trace o perfil das tensões de corte na tubagem em função de r. 
 
 
 
V3. Um fluido Newtoniano com densidade igual a 0,92 e viscosidade cinemática de 4×10-4 m2/s escoa sobre uma 
placa plana fixa. Na figura 4 mostra-se o perfil de velocidades perto da superfície. Determine o valor e a direcção 
da tensão de corte desenvolvida na placa. Exprima a sua resposta em termos de U e δ. 














−





∆
∆
=
2
2 1
4 R
r
R
L
p
vx
µ
R - raio do tubo 
r - distância ao eixo 
∆L – comprimento do tubo 
∆p – perda de carga no comprimento ∆L 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Viscosidade de fluidos (V) ...............2/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
superfície
fixa
Figura 4 
 
 
V4. A viscosidade do sangue vai ser determinada medindo-se a tensão de corte, τ, e o gradiente da velocidade 
(taxa de deformação ao corte), dv/dy, numa pequena amostra de sangue que foi testada num viscosímetro 
adequado. Baseando-se nos dados da tabela que se segue determine se o sangue é um fluido Newtoniano ou 
não-Newtoniano. Explique como chegou à sua resposta. 
 
τ, N/m2 0,04 0,06 0,12 0,18 0,30 0,52 1,12 2,10 
dv/dy, s-1 2,25 4,50 11,25 22,5 45,0 90,0 225 450 
 
 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Definições….…………..1/1 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
CAUDAIS, FLUXO, VELOCIDADE MÉDIA E Nº REYNOLDS (CFV) 
 
 
CFV1. Através de um tubo de 0,15 m de diâmetro interno circula um óleo, cuja massa volúmica a 20ºC é 
0,855 g/cm3, a um caudal de 1,4 litros/s (dm3/s). 
Determinou-se a viscosidade do óleo a diferentes temperaturas e obtiveram-se os seguintes resultados: 
 
T (ºC) µ (cp) 
20 11,4 
50 6,7 
80 4,1 
110 2,7 
140 1,9 
 
a) Determine o caudal mássico de óleo. 
b) Determine a velocidade média de escoamento. 
c) Calcule o número de Reynolds relativo ao escoamento do óleo nas condições indicadas, se o óleo estiver a 20ºC. 
d) Se em vez de óleo tivesse água (ρ = 1000 kg/m3 e µ = 10-3 Pa.s) calcule o número de Reynolds relativo ao 
escoamento nas condições indicadas e diga qual o regime de escoamento. 
e) Considerando que a massa volúmica não varia sensivelmente com a temperatura, determine a temperatura 
mínima a que deve fluir o óleo para que o faça em regime turbulento (Re > 4000) 
f) Repita as alíneas b) e c), se o óleo circular numa outra tubagem, igualmente cilíndrica, com 5 cm de diâmetro. 
 g) Repita as alíneas b) e c) se o óleo circular entre dois tubos com os seguintes diâmetros: 
tubo interior - diâmetro interno = 0,115 m tubo exterior - diâmetro interno = 0,145 m 
 diâmetro externo = 0,12 m diâmetro externo = 0,150 m 
 
 
CFV2. Considere que numa determinada instalação circula água a um caudal de 0,015 kg/s. O circuito percorrido é 
constituído por troços de tubagens de diferentes dimensões (ver tabela seguinte), em série. A tubagem é de aço comercial 
(Sch 40). 
 
 diâmetro nominal da tubagem, in diâmetro efectivo (interno), mm 
A 1 1/2 40,89 
B 1 26,64 
C 2 52,5 
 
Se a temperatura for constante, ao longo da secção considerada, e igual a 20ºC, determine o caudal volumétrico de água, 
m3/h, a velocidade média de escoamento, m/s e o número de Reynolds em cada um dos troços da tubagem. 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Número de Reynolds e perfis de velocidade (RP) .....1/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
NÚMERO DE REYNOLDS E PERFIS DE VELOCIDADE (RP) 
 
 
RP1. Numa tubagem com 0,2 m de diâmetro interno circula um fluido a 60°C e a 4 atm de pressão relativa. 
Calcular o número de Reynolds nos seguintes casos (caudal mássico do fluido = 100 000 lb/h): 
 a) água 
 b) etanol 
 c) ar 
d) Calcular a velocidade média a que a água circula no tubo externo dum permutador de calor de tubos 
concêntricos com as dimensões abaixo indicadas. 
 Dados sobre o permutador 
 Diâmetro interno do tubo interior = 40 mm 
 Espessura do tubo interior = 2,5 mm 
 Diâmetro interno do tubo exterior = 70 mm 
 espessura do tubo exterior = 3 mm 
 
 
RP2. Ao longo dum tubo de vidro de diâmetro igual a 63,5 mm circula leite a um caudal mássico de 0,605 kg/s. 
O leite está à temperatura de 293 K e a sua massa volúmica e viscosidade àquela temperatura é 1030 kg/m3 e 
2,12 cP, respectivamente. Calcule: 
a) o número de Reynolds e diga se o fluxo é turbulento ou laminar; 
b) o caudal volúmico para o qual Re = 2100 e a velocidade média correspondente. 
(2.5.1 - C.J. Geankoplis) 
 
 
RP3. Considere dois tubos lisos, B e C, com 0,11 m e 0,025 m de diâmetro, onde circula um óleo com densidade 
relativa 0,87 e viscosidade 10 cp com um caudal de 1,61 kg/s e 0,803 kg/s, respectivamente. Sabendo que o perfil 
de velocidades pode ser descrito pelas equações que se seguem: 
 
Regime laminar → 














−=
2
)( 1
R
r
vv máxlocal com )(.2 médiamáx vv = 
Regime turbulento → 
7/1
)( 




 −
=
R
rR
vv máxlocal com )(.264,1 médiamáx vv = para tubos lisos e Re ≅ 4000 
 
represente graficamente o perfil de velocidades para estes tubos. 
 
 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Número de Reynolds e perfis de velocidade (RP) .....2/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
RP4. Observe com atenção os gráficos a seguir representados e que se referem ao fluxo de um fluido num tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Diga a que regime de escoamento se referem as curvas apresentadas no gráfico 1. Faça a interligação entre a 
forma das curvas e as características de escoamento de cada um dos regimes. 
b) Em que regime de escoamento é maior a razão 
máxu
u
? 
c) Sabendo que em regime turbulento o perfil de velocidades é dado por ( )ar/R1uu' máx −= , onde r é a 
distância ao eixo do tubo e R o raio do tubo, determine os valores de a para Re = 20 000 e Re = 500 000 dizendo 
a que perfil (A e B) corresponde cada um. 
Nota: 
( ) ( )aa ++
=
21
2
u
u
máx
 
 
 
 
 
 
 
Distância relativa ao centro do tubo 
Gráfico 1 – Distribuição das velocidades do fluido 
u' = velocidade local do fluido 
umáx = velocidade máxima do fluido 
Gráfico 2 - Relação entre u/umáx e o nº de Reynolds (Re) 
u = velocidade média do fluido 
umáx = velocidade máxima do fluido 
D = diâmetro da conduta 
ρ = massa volúmica do fluido 
µ = viscosidade dinâmica do fluido 
0 
0,20 
0,40 
0,60 
0,80 
1,00 
u’
 
u m
áx
 
 Duρ 
µ 
0,40 
0,45 
0,50 
0,550,60 
0,65 
0,70 
0,75 
0,80 
0,85 
u 
u m
áx
 
10 000 100 000 1 000 000 1000 
0,35 
1,0 1,0 0 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Número de Reynolds e perfis de velocidade (RP) .....3/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 














−=
2
2max2 R
r
1vv
RP5. Considere o escoamento laminar, em estado estacionário, de um fluido incompressível e Newtoniano de 
viscosidade µ. O fluido escoa através de uma conduta de secção circular com raio R, como se mostra na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Na secção (1) o perfil de velocidades é uniforme, sendo a velocidade constante e igual a v1 
Quando o fluido atinge a secção (2), o perfil de velocidades estabiliza, passando a ser parabólico e descrito pela 
equação: 
 
 
a) Diga, justificando, como se designa o comprimento do tubo L. 
b) Deduza, a partir da integração do perfil de velocidades para a secção (2), a expressão que 
relaciona o caudal de fluido que circula na conduta, Q, com vmáx2 e R 
c) Determine a relação entre v1 e vmáx2. 
 
RP6. Considere uma camada de líquido em queda ao longo de uma placa vertical (direcção z – ver figura). O 
fluxo é laminar e portanto o perfil de velocidades obedece à expressão 
 
 
 
onde δ é a espessura da camada de líquido, x é a distância da superfície livre do líquido a qualquer ponto da 
camada de líquido e vz é a velocidade a uma distância x da superfície livre. Calcule: 
a) a velocidade máxima; 
b) derive a expressão para a velocidade média e relacione-a com vz máx. 
(2.9 - C.J. Geankoplis) 
 
 
RP7. Na tubagem representada na figura 2 circula ar a 23°C e 1 atm. Na zona larga da tubagem a velocidade do 
ar, medida no eixo da mesma, vale 150 ft/min. Calcular o número de Reynolds na zona estreita. 
 
φ = 0,03 m
φ = 0,005 m
Figura 2 
 
δ 
vz (x) 
perfil de 
velocidades 
vz = 














−
22
1
2 δµ
δρ xg 
L 
secção (1) secção (2) 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Número de Reynolds e perfis de velocidade (RP) .....4/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Balanços globais de massa……...1/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
BALANÇOS GLOBAIS DE MASSA (BM) 
 
 
 
BM1. Um óleo, com densidade relativa 0,87 e viscosidade 10 cp, é transportado através do sistema de tubos lisos indicado 
na figura 1. Para o tubo A ∅A = 50 mm, para o tubo B ∅B = 110 mm e para os tubos C ∅C = 25 mm. O caudal de fluido 
à entrada de A é 6,65 m
3
/h e nos dois tubos de secção C os caudais são iguais. Considere estado estacionário. 
I - Calcule, para cada um dos tubos: 
a) o caudal mássico; 
b) a velocidade mássica (fluxo mássico); 
c) a velocidade média. 
 
 
 
 
 
BM2. Um hidrocarboneto líquido (ρmédio = 902 kg/m
3
) entra num sistema de fluxo simples, como o da figura, à velocidade 
de 1,28 m/s. No processo o líquido é aquecido e à saída a densidade diminui para 875 kg/m
3
. As áreas das secções rectas 
dos tubos à entrada e à saída são iguais a 4,33×10-3 e 5,62×10-3 m2, respectivamente. Calcule: 
a) o caudal mássico à entrada e à saída do sistema; 
b) a velocidade média e a velocidade mássica (fluxo) à saída. 
 
 
 
 
 
 
BM3. Um tanque com diâmetro interno igual a D = 4 m e com água até ao nível de 2 m está a ser esvaziado através dum 
tubo de d = 3 cm de diâmetro. A velocidade média da água à saída pode ser determinado pela expressão 
v (média) = 
( )4d/D1
gh2
−
 em que h á a altura de água no tanque. 
a) Deduza uma expressão que lhe permita saber o nível h da água em função do tempo. 
b) Quanto tempo será preciso para esvaziar metade do tanque? 
c) Quanto tempo será preciso para esvaziar totalmente o tanque? 
d) Se se quisesse que o tanque esvaziasse em 10 min qual deveria ser o diâmetro do tubo de saída? 
 
 
B 
C 
C 
A 
Figura 1 
q 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Balanços globais de massa……...2/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
BM4. Um tanque está a ser cheio com água (ρ = 1000 kg/m3) através de duas entradas com diâmetros 
D1 = 2 cm e D2 = 7 cm (válvula de corte V fechada), conforme se mostra na figura que se segue. Inicialmente o tanque tem 
500 kg de água, e sabe-se que a área da base do tanque é de 1,9 m
2
 e a respectiva altura é de 2 m. 
a) Sabendo que as velocidades da água na entrada 1 e 2 são v1 = 0,8 m/s e v2 = 0,5 m/s, respectivamente, calcule o tempo 
que o nível da água no tanque demora a transbordar. 
b) Considere que nesse instante, em que a água atinge o topo do tanque, as entradas são fechadas e que se abre totalmente a 
válvula de corte V. Sabendo que o diâmetro da tubagem de descarga é de 1 cm, determine o nível de líquido no tanque 
decorridos 120 s, após a abertura da válvula. 
(exame Fenómenos de Transporte I, Junho 2005) 
 
 
 
 
 
 
BM5. O escoamento de água numa tubagem permite encher um tanque cilíndrico, como se mostra na figura que se segue. 
Sabendo que inicialmente o tanque contém 30 cm de água, calcule o tempo que demora a encher a parte restante do tanque. 
(exame Fenómenos de Transporte I, 1 Julho 2005) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BM6. Na figura 3, água é introduzida num tanque (D = 3 m), inicialmente vazio, à razão de 18m
3
/h. A água sai desse 
tanque através de um tubo (d = 25 mm) e a um caudal que é função da altura da água no tanque. 
 
a) Desprezando as perdas por atrito encontre a expressão que relaciona a 
velocidade de saída com a altura da água no tanque. 
Nota: esta alínea vai ser resolvida quando forem estudados balanços de 
energia; para a resolução das alíneas seguintes, considere que a velocidade da 
água à saída pode ser determinada aproximadamente pela lei de Torriceli 
vmédia= 2gh, em que h é a altura de água no tanque. 
b) Deduza a equação diferencial que relaciona a altura de fluido no tanque com o tempo. 
c) Que altura deverá ter o tanque para não haver o perigo do fluido transbordar. 
Figura 2 
Figura 3 
entrada 1 
entrada 2 
válvula V 
 
v1 = 2,5 m/s v2 = 1,9 m/s 
d = 12 cm 
1 m 
D = 75 cm 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Estática de fluidos (EF) ............1/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
ESTÁTICA DE FLUIDOS (EF) 
 
 
EF1. Dada a pressão de 1 atm normalizada faça a conversão para: 
a) altura em m de coluna de água a 4°C (m.c.a. ou mH2O); 
b) altura em mm de coluna de Hg a 0°C (mmHg). 
(2.2.3 - C.J. Geankoplis) Solução: a) 10,33 mH2O, b) 760 mmHg 
conversões adicionais: 1 atm = 1,01325×105 Pa, 1 atm = 1,01325 bar, 1 psia (lbf/in
2) = 6894,76 Pa 
 
EF2. Um manómetro (do tipo de Bourdon), colocado junto a um contador de água existente numa habitação, 
indica o valor de 1,50 bar (pressão manométrica, relativa ou “gauge”). Qual o valor da pressão absoluta (ou 
barométrica) da água em: 
a) bar (solução: 2,51 bar) 
b) atm (solução: 2,48 atm) 
c) psia (lbf/in
2) (solução: 36,5 psia) 
d) mmHg (solução: 1,88×103 mmHg) 
e) mH2O (solução: 25,6 mH2O) 
 
 
EF3. Considere a figura 1 onde o fluido A está em contacto com a atmosfera 
(pressão atmosférica = 1020 mbar). Sabendo que a densidade do fluido A vale 0,98 e 
a do B vale 1,3, determine a pressão na base da coluna. 
 
 
 
 
EF4. Considere as figuras 2 e 3. Sabendo que o manómetro está aberto para a atmosfera (pressão atmosférica = 
 1 atm) determine a pressão absoluta e manométrica do ar no topo da coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,
7 
m
 
0,
5 
m
 
A 
B Figura 1 
12
0 
cm
 
20 cm 
ar 
ρ = 850 kg/m3 
70 cm 
Figura 2 
35
 c
m
 
20 cm 
ar 
ρ = 850 kg/m3 
70 cm 
Figura 3 
Medidores de pressão do tipo Bourdon 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Estática de fluidos (EF) ............2/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________EF5. A figura que se segue mostra um reservatório fechado contendo um fluido cuja densidade relativa é igual a 
0,8. Um manómetro em U com mercúrio ligado a esse reservatório indica um desnível de 0,08 m. Qual a pressão 
manométrica existente em A? 
(exame de F.Transferência 21.Fev.1992) 
Solução: PA = 9,72x103 Pa 
 
 
 
 
 
 
EF6. Para medir a queda (diferença) de pressão entre os pontos 1 e 2 numa conduta de água usa-se um 
manómetro, diferencial, em U (ver figura que se segue). O fluido usado no manómetro é o mercúrio com uma 
massa volúmica igual a 13,6 g/cm3. A diferença de altura do Hg nos dois ramos do manómetro, R, é igual a 
32,7 cm. Calcule, em Pa e em m de coluna de água, a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2. 
(2.2.4 - C.J. Geankoplis) 
Solução: P1-P2=4,040x104 N/m2 
 P1-P2=4,122 mH2O 
 
 
 
 
 
EF7. Calcule a pressão exercida no topo de uma coluna de ar com 33 ft (10,06 m) de altura, sendo a pressão na 
base 1,013 bar (1013 mbar)e a temperatura 122°F (50ºC). 
a) Use a expressão de fluidos incompressíveis (50ºC e P ≈ 1 atm ⇒ ρar = 1,096 kg/m
3). 
b) Use a expressão de gases perfeitos. 
c) Repita as alíneas anteriores considerando agora uma coluna com 1000 m de ar (para as condições da alínea a) 
considere ρar ≅ 0,550 kg/m
3) 
 Solução: a) 1,012 bar, b) 1,012 bar; c) 474 mbar e 352 mbar 
 
 
EF8. Considere o manómetro inclinado representado na figura que se segue, em que a pressão em A é 0,8 psi 
(5,52×103 Pa). O fluido nas tubagens A e B é água, e o fluido no manómetro tem densidade de 2,6. Quanto vale a 
pressão em B? 
PA 
manómetro em U 
com mercúrio 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Balanços de energia (BE1 a BE7) ...............1/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
BALANÇOS DE ENERGIA (BE) - excluindo cálculo específico do termo de perdas por atrito 
 
 
 
BE1. A figura representa uma instalação em que água é bombada dum grande depósito, D0, para outros dois 
grandes depósitos, D1 e D2, passando por dois permutadores de calor P1 e P2. Nestes permutadores a água é 
aquecida desde 20ºC (temperatura no depósito D0) até determinada temperatura (nos depósitos D1 e D2). 
 
P 1 
P 2 
C 
D 1 D 2 
D 0 
25 m
 
 Dados: Depósitos abertos para a atmosfera 
 Caudal bombado = 40 m3/h 
 Energia fornecida pela bomba à água = 8500 W 
 Perdas por atrito até C = 1089 W 
 Perdas por atrito entre C e o depósito D1 = 1,7 kW 
 Calor fornecido à água no permutador P1 = 255 kW 
 Calor fornecido à água no permutador P2 = 103 kW 
 cp (água) = 4187 J/kg.K 
a) Determine os caudais mássicos que fluem para D1 e D2. 
b) Determine a temperatura da água em D1 e D2. 
 
 
BE2. Água a 60oF é retirada de um grande tanque por um tubo de diâmetro constante como se mostra na figura. 
Determine a altura máxima, H, de maneira a que a água continue a escoar sem que ocorra cavitação. A saída do 
tubo encontra-se 5 ft abaixo da base do tanque. A pressão atmosférica é 14,7 psia (1 bar). 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Balanços de energia (BE1 a BE7) ...............2/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
BE3. Considere o esquema mostrado na figura. Água, a 10ºC é aspirada de um tanque por uma bomba para ser 
lançada para a atmosfera no ponto 2. 
 
 
 
 
 
Trace num gráfico a variação da pressão em função do comprimento do tubo, desprezando as perdas de carga 
devidas ao atrito 
 
BE4. Água contida num grande reservatório é utilizada para gerar energia. Para isso faz-se descer a água através 
duma conduta em direcção a uma turbina (diâmetro da conduta igual, antes e depois da turbina). Sabe-se que num 
ponto da conduta, 89,5 m acima da turbina, a pressão é igual a 172,4 kPa e 5 m abaixo da turbina é 89,6 kPa. A 
energia à saída da turbina é igual a 658 kW sendo a eficiência da turbina 0,89. O caudal de água é de 0,8 m3/s. A 
massa volúmica da água é 1000 kg/m3. Calcule as perdas por fricção na tubagem em J/kg. 
 
 
BE5. Água é bombada de um reservatório A para outro B, como indicado na figura. A bomba centrífuga utilizada 
possui uma eficiência energética global de 65%. 
Entre o tanque A e a entrada da bomba as perdas por atrito são equivalentes a 10 m de coluna de água. Entre a 
saída da bomba e o tanque B estas perdas ascendem a 470 J/kg. O caudal circulante vale 55m3/h. A tubagem de 
ligação tem 80 mm de diâmetro interno. 
a) Determine a energia consumida pela bomba exprimindo-a em W. 
b) Calcule a pressão à saída e à entrada da bomba, exprimindo-as em Pa e em metros de coluna de um fluido com 
uma massa específica de 1600 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
1 
h 
30 m 
B 
P = 4 atm 
(absoluta) 
4 m 
A 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Balanços de energia (BE1 a BE7) ...............3/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
BE6. Uma bomba centrífuga (ver figura) aspira água de um reservatório para uma 
câmara spray (ponto S) onde a pressão relativa é 3 atm. O caudal é de 10 m3/hr, o 
diâmetro interno da tubagem 0,05 m, equivalendo as perdas por atrito a 4 m de coluna 
de um fluido com 700 kg/m3. 
A bomba consome 3000 W, possuindo uma eficiência energética global de 40%. 
Calcule a altura máxima a que pode ser colocada a câmara spray relativamente ao 
nível de água no tanque. Considere que a viscosidade e a massa específica da água 
valem 1 cpoise e 1000 kg/m3, respectivamente. 
 
BE7. Usou-se, como recurso, uma bomba muito potente para transferir água (ρ = 1000 kg/m3, µ = 1 cpoise) do 
tanque A para o tanque B. A potência consumida pela bomba é 3540 W (eficiência = 75%). 
Para evitar aquecimento, uma parte da água é de novo recirculada para o tanque A a um caudal de 2,4 l/s, 
passando por um permutador de calor (P). 
a) Determine o caudal que sai do tanque A. 
b) Considerando que o nível nos tanques se mantém constante, calcule a altura (z) a que se poderá colocar o 
tanque B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dados: Depósitos abertos para a atmosfera 
 Perdas por atrito na tubagem tanque A–bomba-T = 34 m 
 Perdas por atrito na tubagem T-permutador (P)-tanque A = 105 J/kg 
 Perdas por atrito na tubagem T-tanque B = 47 kPa 
 Perdas no permutador (P) = 1,37 m de coluna de um fluido com densidade 0,78 
 
c) Considere que num dado instante a altura de água no tanque B.é de 1,7 m. 
Supondo que se retira água do tanque B a um caudal constante Qs de 18 m
3
/h, calcule o tempo necessário para 
esvaziar totalmente o tanque. 
(Caso não tenha resolvido a alínea a) considere Qe = 15 m
3
/h). 
 
 
1 m 
9 m 
3 m 1 m 
z 
A 
P 
T 
≈ 
B 
Tanque B : secção cilíndrica com diâmetro igual a 1,5 m 
Qs 
Qe B 
S 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Balanços de energia (BE8 a BE14) .............1/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
Figura 3 
1 
2 
 
BALANÇOS DE ENERGIA (BE) - cálculo de perdas por atrito ao longo de uma tubagem, em expansões, 
contracções, joelhos, válvulas e uniões (equação de Hagen-Poiseuille; 
factor de atrito de Fanning - diagrama de Moody) 
 
 
BE8. Considere o esquema mostrado na figura. Água, a 10ºC é aspirada de um tanque por uma bomba para ser 
lançada para a atmosfera no ponto 2. 
 
 
 
1 - Trace, no mesmo gráfico, o perfil aproximado das pressões entre 1 e 2, em função do comprimento da 
tubagem, para as seguintes situações: 
a) considere as perdas por atrito desprezáveis; 
b) considere todas as perdas por atrito. 
2 - Trace, no mesmo gráfico, o perfil aproximado da energia total (U) entre 1 e 2, em função do comprimento da 
tubagem nos dois casos referidos em 1. 
 
BE9. Considere a instalação, representadana figura 3, para transporte de água (a 10ºC) de um poço A até um 
ponto de rega (C, velocidade = 1,39 m/s) e um reservatório de água quente a 60ºC (D, caudal = 4,32 m3/h). O 
comprimento da tubagem desde o poço até T é 15 m. Todas as tubagens são em aço comercial. 
Tubagens em aço comercial (sch 40) → tubo poço – T: diâmetro interno = 0,041 m (φ = 1 ”) 
 tubo T – D: diâmetro interno = 0,027 m (φ = 1”) 
Tubagem T-C → diâmetro interno = 0,027 m 
 comprimento da tubagem = 10 m 
 válvula de globo aberta 
Propriedades físicas da água: ρ ≈ 994 kg/m3, µ ≈ 0,72×10-3 Pa.s, cp ≈ 4180 J/(kg.ºC) 
a) Escolha a bomba que deverá instalar calculando a potência útil da bomba. 
b) Calcule a potência consumida pela bomba se eficiência ≅ 60%. 
c) Calcule a potência calorífica (J/s) fornecida no permutador de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
1 h 
A 
30 m 
10 m 
T C 
D 
permutador de calor 
A 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Balanços de energia (BE8 a BE14) .............2/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
BE10. As figuras 1 e 2 representam a associação dos tubos 1, 2 e 3 em série e em paralelo. Considerando um 
fluido incompressível relacione, para os dois casos: 
a) o caudal volúmico total estabelecido em A (QA) e B (QB) com os caudais Q1, Q2 e Q3 que passam através de 
cada tubagem; 
b) a perda de carga total, hLA→B, com as perdas hL1, h L2 e h L3 (despreze as perdas em acidentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BE11. Considere o sistema hidráulico representado na figura. Inicialmente, o caudal descarregado no tanque B 
por intermédio da tubagem 1, com 5 cm de diâmetro interno, é de 19 m3/h. Para ter um aumento deste caudal de 
30% liga-se ao sistema, a partir do ponto C, uma segunda tubagem (tubagem 2 indicada pelo tracejado). 
Sabendo que a bomba instalada fornece à água uma energia equivalente a 40 m de um fluido com densidade igual 
a 2, diga qual deverá ser o diâmetro da tubagem 2 a instalar. 
 
 
 
 
Dados : 
− tubagem 1 - liga o tanque A ao tanque B passando por V1 
− tubagem 2 - liga o ponto C ao tanque B passando por V2 
− V1 - válvula de globo 1/2 aberta 
− comprimento equivalente da tubagem 2 (inclui perdas de carga localizadas) = 100 m 
− desprezar perdas na contracção, expansão e no ponto C 
− considerar f = 0,02 para as duas tubagens 
(frequência de F.Tranferência Fev.1997) 
 
 
Figura 1 
Figura 2 
75 m 
50 m 7,5 m 
A 
B 
C 
V1 
V2 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Balanços de energia (BE8 a BE14) .............3/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
BE12. Água a 10°C é descarregada do reservatório A para 
o reservatório B, como se mostra na figura, através de um 
tubo com rugosidade, ε, igual a 0,26 mm, com 20 m de 
comprimento e a uma taxa de Q = 0,002 m3/s. Determine 
o diâmetro do tubo necessário. 
 
 
BE13. Considere o sistema hidraúlico na figura. Duas bombas centrífugas, B1 e B2, que consomem 2800 W e 
1900 W, respectivamente, e trabalham com uma eficiência de 75%, vão ser usadas para recircular água quente 
através de um permutador de calor (P). Uma parte da água não chega a passar no permutador pois uma válvula V1 
encontra-se parcialmente aberta. Sabendo que o caudal que deve passar no permutador é de 20 m3/h, calcule o 
caudal à saída do reservatório (A). 
Dados: 
- propriedades físicas da água, ρágua = 1 g/cm
3, µágua = 1 cpoise 
- tubagem em ferro galvanizado com 5 cm de diâmetro interno 
- V1 válvula de globo parcialmente aberta 
- V2 válvula de globo totalmente aberta 
- cotovelos de 90º 
- perdas de carga no permutador = 20 mH2O 
- perdas de carga desprezáveis nos “tês” 
(recurso F.Tranferência 27 Set.1995) 
 
 
BE14. No sistema hidraúlico representado na figura, água ( ρ=1000 kg/m3; µ = 1 cp) circula em direcção ao 
tanque mais elevado. A tubagem (material liso) tem 7,5 cm de diâmetro interior, existindo um joelho de 90º e 
uma válvula, sendo também de considerar uma contracção súbita (tipo arestas vivas) na descarga de um 
reservatório e uma expansão súbita na entrada do outro. Os níveis de água em cada um deles são constantes no 
tempo, sendo 4 bar a pressão no tanque da esquerda, e 3.2 bar no tanque da direita. 
a) Qual a queda de pressão na válvula (em bar) para que o 
caudal seja 30 m3/h? 
b) Verifique se é possível usar uma válvula de globo para este 
efeito. Se não tiver resolvido a alínea anterior considere que a 
queda de pressão na válvula deve ser 5000 Pa. 
c) Considere agora que se aplica um medidor de Venturi na 
tubagem, medidor este com 5 cm de diâmetro na sua garganta. Qual 
a leitura de um manómetro em U com tetracloreto de carbono (ρ = 
1,6 g/cm3) como fluido manométrico? 
6,6 m 
4 bar 
A 
3,2 bar 
B 
8 m 
7 m 
V1 
V2 
P 
A 
B2 B1 
3 m 
1 m 
7 m 10 m 
1 m 
1 m 
10 m 10 m 
1 m 
3 m 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS B. energia para fluidos compressíveis ............1/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
BALANÇOS DE ENERGIA PARA FLUIDOS COMPRESSÍVEIS (FC) 
 
 
 
FC1. Através de uma conduta horizontal em ferro forjado, com 5 cm de diâmetro interno, circula metano puro a 
um caudal de 1400 kg/h. O gás entra à pressão de 6900 kN/m2 e à temperatura de 341 K e sai à pressão 
atmosférica. 
a) Qual a quantidade de calor que é necessário fornecer por hora para o escoamento ser isotérmico? 
b) Determine o comprimento do tubo. 
Nota: admite-se que o gás tem comportamento ideal e que a viscosidade do metano a 341 K é 0,012 cP 
Solução: 8,4x107 J/h 
 
 
FC2. Recobriu-se a conduta do problema anterior com um material isolante de modo a poder considerar o 
escoamento adiabático (caudal mássico não se mantém igual ao do problema anterior). 
a) Qual a temperatura de saída do metano? 
b) Determine o caudal mássico que se estebelece. 
Dado: capacidade calorífica do metano cp = 36,78 J/mol.K 
 
 
FC3. Pretende-se calcular o caudal de descarga de ar para a atmosfera, proveniente dum reservatório que se 
encontra à pressão manométrica de 1 MPa e 20°C. A descarga efectua-se através dum tubo em aço comercial com 
diâmetro nominal 2" sch.40, 10 m de comprimento e três cotovelos de 90°. A entrada do tubo é de borda nivelada 
e diferença de cotas desprezável. O processo realiza-se adiabaticamente. 
Dados: a viscosidade à temperatura média do ar é de 0,0171 cp; PV´k = constante e kar ≅ γ = cp/cv = 1,4. 
 
 
FC4. Deseja-se transportar 500 m3/h de etileno, medidos a 101.3 kN/m2 e 293 K, desde um tanque de 
armazenamento até um depósito por uma conduta horizontal em aço comercial com 0,05 m de diâmetro interno e 
um comprimento equivalente total de 800 m. O transporte efectua-se isotermicamente (293 K) e o etileno 
comporta-se como gás ideal. Calcule:
 
a) a pressão a que é preciso comprimir o etileno no tanque para que a pressão de descarga no depósito seja de 
490 kN/m2; 
b) o caudal mássico máximo que é possível atingir com uma pressão a montante (P1) igual à da alínea anterior. 
Dado: viscosidade do etileno a 293K = 1x10-5 kg/m.s 
Solução: a) P1 = 6,54x10
5 N/m2 b) 0,24 kg/s 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS B. energia para fluidos compressíveis ............2/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
FC5. É necessário enviar um caudal de 50 m3/s de metano, medido a 288 K e 101,3 kN/m2, ao longo de uma 
tubagem com 0,001 de rugosidade relativa, 0,6 m de diâmetro e 3 km de comprimento, que liga um compressor a 
uma unidade de processamento. Pretende-se descarregar o metano na fábrica a 288 K e 170 kN/m2. 
Que pressão deve desenvolver o compressor de modo a atingir este caudal se o escoamento se processarisotermicamente? 
Nota: viscosidade do metano a 288 K = 0,011 cp. 
Solução: 4,85x105 N/m2 
 
 
FC6. Monóxido de carbono a 10°C contido num reservatório é descarregado através de uma tubagem para um 
tanque. As pressões mantêm-se constantes no reservatório e no tanque e são de 3 kgf/cm2 e 2 kgf/cm2, 
respectivamente. A tubagem é de aço comercial com 20 cm de diâmetro interno e 600 m de comprimento 
equivalente. Considere o monóxido de carbono como um gás perfeito e k ≅ γ = cp/cv ≅ 1,4 
a) Calcule o caudal volumétrico, medido a 20°C e 1 atm. 
b) Calcule a temperatura à entrada do tanque. 
c) Verifique se o caudal máximo é atingido ou não. 
Dados: considere a viscosidade à temperatura média do monóxido de carbono como sendo 0,0165 cp. 
Solução: a) 3,3 m3/s b) 252 K c) caudal máximo não é atingido 
 
 
FC7. Uma instalação de produção de amoníaco por síntese é alimentada com azoto a 300 K e 12 MN/m2, a um 
caudal de 0,4 kg/s, através de um tubo de aço macio (comercial) com 25 mm de diâmetro interno. 
Qual será a queda de pressão ao longo de 30 m de tubo se as paredes estiverem perfeitamente isoladas? 
Dado: considere a viscosidade à temperatura média do amoníaco como sendo 0,02 cp. 
Solução: ∆P = 6,64x104 Pa. 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Medidores de caudal (MC) ...........1/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
MEDIDORES DE CAUDAL PARA LÍQUIDOS E GASES (MC) 
 
 
 
MC1. Para determinar o caudal de ar, a 298K e 1 atm, em escoamento numa conduta circular com 0,3 m de 
diâmetro, dividiu-se a secção transversal em nove coroas circulares e um círculo interno, todos com a mesma 
área. Foram feitas leituras com um tubo de Pitot ao longo do diâmetro vertical da conduta, nos pontos médios de 
cada uma das zonas, tendo-se obtido as seguintes leituras no manómetro de água: 
 
Distância ao centro (cm) 2,45 5,85 7,55 8,90 10,05 11,15 12,15 13,0 13,8 14,60 
Leitura (mmH2O) 18,5 18,0 17,5 16,8 15,7 14,7 13,7 12,7 11,4 10,2 
 
Determine o regime de escoamento e calcule o caudal mássico de ar em circulação. 
 
 
MC2. Usa-se um medidor de Venturi (ver figura) numa canalização de transporte de água (ρ = 1000 kg/m3). Os 
diâmetros interiores dos tubos estão marcados na figura. A queda de pressão (∆p) na secção convergente do 
medidor é equivalente a 5 m de um fluido com densidade 1,5. Considere regime turbulento e cv ≈ 1. 
 
 
 
 
 
a) Diga qual o princípio de funcionamento deste medidor e mencione as suas vantagens e desvantagens 
relativamente ao medidor de oríficio. 
b) Deduza a equação que permite calcular o caudal Q que circula na tubagem em função de D,d, ρ,∆p. 
c) De acordo com os dados apresentados calcule o caudal de água transportado. 
d) Se o manómetro que está ligado ao medidor for cheio com mercúrio (ρm = 13600 kg/m
3
), calcule o desnível 
que deverá apresentar. 
 
 
MC3. Um medidor de Venturi com uma "garganta" de 5 cm está instalado numa conduta circular com 15 cm de 
diâmetro onde circula etanol puro à temperatura ambiente (densidade = 0,789) com um caudal de 145 kg/min. A 
queda de pressão na secção convergente do medidor equivale, nestas condições, a uma altura de 100 mm de água. 
a) Calcular o coeficiente de descarga do medidor de Venturi. 
b) Calcular a diferença de nível lida num manómetro com água sob etanol. 
 
ρ 
D=6cm d=3cm 
h ρm 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Medidores de caudal (MC) ...........2/2 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
___________________________________________________________________________________________ 
 
MC4. Transporta-se água através de um tubo de 50 mm de diâmetro, com um caudal entre 3000 cm3/s e 
4000 cm3/s, que se pretende medir com um medidor de orifício de arestas quadradas e tomas de canto. 
a) Sugerir um diâmetro apropriado para o orifício do medidor se se quiser medir a diferença de pressão com 
um manómetro de mercúrio (densidade Hg = 13,6) e água que tem a altura máxima de 0,4 m. 
b) Calcular a queda de pressão no medidor para o caudal máximo e a queda de pressão permanente (perdas). 
 
 
MC5. Mede-se o caudal de ar (T1 = 298 K e P1 = 1 atm) num tubo de 0,3 m de diâmetro com um medidor de 
orifício de 15 cm de diâmetro. Tendo-se registado uma diferença de 50 mm num manómetro de mercúrio sob ar 
e admitindo que a expansão do ar através do orifício é adiabática, calcule o caudal de ar que circula na conduta. 
 
 
MC6. Um rotâmetro foi calibrado com azoto à temperatura ambiente e pressão atmosférica; a calibração desse 
rotâmetro mostra que para uma leitura (posição do flutuador) de 50% da altura do tubo do rotâmetro, o caudal 
volumétrico é de 100 cm3/min. Qual será o caudal volumétrico de hélio medido pelo mesmo rotâmetro, com o 
flutuador na mesma posição, à temperatura ambiente e pressão atmosférica? 
 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....1/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
BOMBAS CENTRÍFUGAS (BC) 
 
BC1. Uma solução aquosa de um sal (ρ = 950 kg/m3; µ = 1cp) é transferida de um reservatório sob pressão para o 
tanque A, tal como se esquematiza na figura 1.1. Utiliza-se uma bomba centrífuga cuja curva característica se 
apresenta na figura 1.2.(15/07/02) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Esquema da instalação 
 
Dados: 
 
V1: válvula de globo; 
diâmetro da tubagem: 3 cm ; 
comprimento equivalente à tubagem 
+ joelhos: 22 m 
 
0
10
20
30
40
50
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006
Q (m3/s)
HB 
(m)
 
Figura 1.2 – Curva característica da bomba 
 
a) Pretende-se saber qual o caudal máximo, Q, que se pode obter nas condições consideradas. Admita que o 
factor de atrito, f, é sempre próximo de 0,007. 
b) Repita a alínea anterior, se se associar em série uma bomba igual à primeira. 
c) Considere agora o tanque A, que está a receber o caudal constante de solução, Q, determinado na alínea a). 
 (Nota: se não chegou a um valor, tome Q = 10 m3/h) 
A concentração de sal na solução que entra no tanque, C0, é de 
1g/L. Por razões processuais, é necessário a dada altura reduzir 
essa concentração, pelo que se começa a adicionar ao tanque um 
caudal contante de água, Qágua, de 5 m
3/h. Sabendo que o volume 
de líquido no tanque se mantém constante (2 m3), determine o 
tempo ao fim do qual a concentração de sal à saída do tanque, C, é 
de 0,75 g/L. 
Considere a massa volúmica da solução à saída igual a 
1000 kg/m3. 
 
P = 2 atm 
5 m 
V1 
A 
Q 
A 
Q 
C0 
Qágua 
 
QA 
C 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....2/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
BC2.Considere o sistema hidraulico representado na figura 2.1. Água (ρ = 1000 kg/m3; µ = 1 cp) é fornecida ao 
caudal Q1 ao tanque de lavagem A, saindo as águas residuais para um tanque de decantação B. Uma parte da água 
decantada (obtida em B) e que corresponde a 4/5 de Q1 pode ser reciclada para o tanque A por meio de duas bombas 
centrífugas colocadas em série, o que permite uma poupança substancial em água de lavagem. 
Toda a tubagem é de ferro galvanizado, tem de diâmetro 4 cm e o mesmo factor de atrito. 
As curva características das bombas estão representadas na figura 2. O diâmetro de impulsor da bomba 1 é de 6" e o 
da bomba 2 é de 7". 
a) Determine o caudal Q1 que é necessário fornecer ao tanque A para que aí o nível se mantenha constante igual a 
4m. 
b) Determine o comprimento máximo da tubagem de recirculação (se não resolveu a alínea anterior considere 
Q1 = 15 m
3/h) 
 
Características da instalação: 
Tubagem tanque A a tanque B: 
• comprimento 27 m 
• 2 joelhos normais 
Tubagem de recirculação: 
• 4 joelhos 
• V1 - válvula com K= 5 
• V2 - válvula de globo totalmente aberta 
• F - filtro com perda de carga equivalente a 2m de um fluido com densidade 1,5Despreze perdas por atrito nas contracções e expansões 
7/02/02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
Q1 
F 
1 2 
V1 
V2 
4 m 
21 m 
H
B
, 
 (
m
) 
10 0 20 30 40 50 60 70 80 90 Q, (m3/h) 
Figura 2.1 - Curvas características da bomba 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....3/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
BC3. Pretende-se transportar água do tanque 1 para os tanques 2 e 3, segundo o esquema apresentado na figura 3.1. 
A tubagem da instalação é toda de aço comercial, sch 40, com os seguintes diâmetros nominais: 
−−−− tubagem de ligação tanque 1-tanque 2 → diâmetro nominal = 2 1/2″ 
−−−− tubagem de ligação T-tanque 3 → diâmetro nominal = 2″ 
Sabe-se que o caudal descarregado no tanque 3 é de 50 m3/h, estando este tanque ao mesmo nível do tanque 1. 
As curvas características das duas bombas centrífugas estão representadas na figura 3.2, sendo o diâmetro do 
impulsor da bomba A de 6″ e o da bomba B de 7″. 
a) Determine o caudal retirado do tanque 1. 
b) Sabendo que h2 = 4×h1, verifique se ocorre cavitação. Considere 4 m de perdas por atrito na tubagem de 
sucção (tanque 1 até às bombas) e a pressão de vapor da água desprezável. 
Dados 
Perdas por atrito desprezáveis nas tubagens de instalação das duas bombas (tubagens em paralelo). 
Perdas por atrito, do tanque 1 a T, equivalentes a 2,5 atm. 
Perdas por atrito na tubagem T-tanque 2 equivalentes a 578 W 
Tubagem T-tanque 3: comprimento equivalente total = 25 m 
Factor de atrito de Fanning em todas as tubagens ≈ 0,005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1- Representação esquemática da instalação 
h1 
A 
B 
tanque 3 
tanque 2 
tanque 1 
T 
h2 
Figura 3.2 – Curvas características das bombas centrífugas A e B 
Q (m3/h) 
H
B
 –
 c
ar
ga
 to
ta
l, 
m
 
30 
60 
90 
120 
150 
0 
170 
1750 rpm 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....4/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
 
BC4. Observe a figura 4.1. Representa-se uma instalação 
projectada para transferir uma solução (ρ = 1100 kg/m3, 
µ = 5 ×10-3 Pa.s) do tanque para o reservatório A, que se 
encontra à pressão de 3 bar. O diâmetro interno da 
tubagem, em aço comercial, é de 3 cm e o comprimento 
total de tubagem é de 30 m. As válvulas V1 e V2 são 
válvulas adufas. 
Existem duas bombas centrífugas disponíveis, 1 e 2, cujas 
curvas características (HB versus Q) estão representadas 
na figura 4.2. 
Sabendo que o objectivo é conseguir um caudal não inferior a 5 m3/h, verifique se alguma das seguintes hipóteses o 
permite: 
• utilizando só a bomba 1 
• utilizando só a bomba 2 
• utilizando as bombas 1 e 2 colocadas em série 
• utilizando as bombas 1 e 2 colocadas em paralelo 
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20
Q ( m
3
/h)
H
B
 (
m
)
Bomba 2
Bomba 1
 
Figura 4.2 – Curvas características das bombas centrífugas 1 e 2 
 
 
 
 
 
V1 
Q 
5 m 
A 
P = 3 bar 
tanque 
V2 
Figura 4.1 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....5/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
BC5. Pretende-se transportar água (ρ = 1000 kg/m3; µ = 1cP) do tanque A para o tanque B, segundo o esquema 
apresentado na figura 5.1. A tubagem da instalação é toda de aço comercial Sch 40, tendo a que liga o tanque A até à 
entrada do permutador diâmetro nominal de 2 ″ e comprimento 20 m e a que vai da saída do permutador ao tanque B 
diâmetro nominal 1 1/2″ e comprimento 60 m. 
As curvas características da bomba centrífuga utilizada estão representadas na figura 5.2. 
a) Determine o diâmetro mínimo do impulsor a usar na bomba para garantir um caudal duas vezes maior do que o 
conseguido sem bomba.(Nota: para efeitos de cálculo considere que as perdas de carga no permutador e no filtro 
não se alteram) 
b) De acordo com a escolha feita na alínea anterior, determine a queda de pressão na válvula para garantir o caudal 
pretendido. 
c) Qual a potência consumida pela bomba? 
 
Dados: 
• 1 joelho normal; V- válvula com K = 5; Factor de atrito nas duas tubagens = 0,004 
• P - permutador de calor com perda de carga equivalente a 2 m de um fluido com densidade 1,5 
• F - filtro com perda de carga equivalente a 0,5 atm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(26/06/02) 
 
 
 
Figura 5.1 – Esquema 
da instalação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.2 – Curvas 
características da 
bomba 
 
 
 
P 
F 
B 
A V 
20 m 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....6/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
BC6. Considere o sistema hidraulico representado na figura 6.1. Água é bombada de um tanque A para outro B. A 
tubagem entre o tanque A e a bomba é feita de um material que se pode considerar liso, tendo 3” de diâmetro 
interno. Entre a bomba e o tanque B usa-se tubagem em aço comercial com o mesmo diâmetro interno. A bomba 
disponível possui as curvas características representadas na figura 6.2. Pretendendo-se bombar um caudal de 55 m3/h 
diga, justificando, qual o diâmetro do impulsor a usar na bomba. Calcule a energia consumida pela bomba por 
unidade de tempo e a queda de pressão na válvula de globo nas condições de funcionamento. Verifique ainda se 
ocorre ou não cavitação na bomba centrífuga. 
 
Dados : 
Propriedades físicas da água : ρ = 1 g/cm3 , µ = 1 cP , Pv = 2,34 kPa 
O medidor de orifício é responsável por uma perda de carga por atrito equivalente a 2m de coluna de um fluido com 
ρ = 1500 kg/m3. 
5 joelhos normais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H
B
, 
H
B
 -
 
Q (caudal volúmico) 
1750 rpm 
3 m 
6 m 
10 m 5 m 5 m 
2 m 
4 m 
3 m 
A 
B 
2 m 
Figura 6.1 - Representação da instalação. 
Figura 6.2 – Curvas características da bomba. 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....7/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
 
BC7 Na instalação representada na figura 7.1 deve circular água a 80oC e a um caudal de 68 m3/h. A tubagem é de 
aço comercial com 4” de diâmetro nominal, schedule 40 (pode considerar factor de atrito de Fanning f ≈ 0.0037). 
Seleccione uma bomba centrífuga para o sistema usando a gama de bombas representada nas figuras 7.2 e 7.3. Ter 
em atenção aspectos relacionados com NPSH, consumo e margem para futuro aumento de caudal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7.1 – Representação da instalação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7.2 – Gama de operação de bombas centrífugas comercializadas por um fabricante 
 
 
 
 
5 m 
61 m 
0,4 m 
35 m 8,2 m 
válvula adufa aberta 
2 atm 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....8/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7.3 – Curvas características de bombas centrífugas 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas centrífugas (BC)....9/9 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
BC8. Uma bomba centrífuga (cujas curvas características se apresentam) aspira água de um tanque aberto, como se 
representa na figura. Toda a tubagem tem 8 cm de diâmetro interno sendo o factor de atrito de Fanning igual a 0,005. 
A jusante da bomba a tubagem não tem qualquer acessório, sendo que num ponto situado à distância de 325 m da 
mesma, a pressão é 2 bar. As perdas de carga no joelho e na entrada no tubo são desprezáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Sendo o caudal bombado 40 m3/h e 6” o diâmetro do impulsor: 
a.1) Determine o desnível máximo entre a admissão da bomba e a superfície da água no tanque.a.2) Considere agora que o desnível referido na alínea anterior é 6 m. Qual a temperatura máxima 
a que água pode estar ? 
a.3) Calcule a potência consumida pela bomba e a potência fornecida ao fluido. 
b) Considere agora que a jusante da bomba anterior se coloca uma outra com um impulsor de 7” de 
diâmetro. Se o desnível referido em a.1) for 6 m, calcule a temperatura máxima a que a água poderá 
estar neste caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DADOS ADICIONAIS 
 
 
 
 
A 
h 
P = 2 bar (abs) 
3 m 
1,5 m 
325 m 
H
B
 –
 c
ar
ga
 to
ta
l, 
m
 
30 
60 
90 
120 
150 
0 
170 1750 rpm 
Tabela - Pressão de vapor da água 
Temperatura Pressão de vapor Temperatura Pressão de vapor 
Figura – Curvas características das bombas centrífugas 
Q (m3/h) 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas alternativas (BA)…....1/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
 
BOMBAS ALTERNATIVAS (BA) 
 
 
BA1. Considere o sistema hidráulico representado na figura 1. Água a 15ºC (ρ=1000 kg/m3; µ=1 cp; ν= 30 SSU) é 
retirada do tanque A através de uma bomba alternativa duplex de efeito duplo, com amortecedor e que desenvolve 
uma pressão de descarga de 35 kgf/cm2. A potência consumida pela bomba é 2,3 kW e a tubagem instalada tem 
diâmetro de 0,06 m, sendo f = 0,007. 
Uma parte da água é descarregada no tanque B de diâmetro 1 m e altura 2 m, ao mesmo tempo que de lá se retira um 
caudal de 10 m3/h. O tanque B contém inicialmente 392 kg de água. 
As perdas por atrito na tubagem de recirculação são equivalentes a 0,3 atm. 
a) Determine o caudal que é descarregado no tanque B, sabendo que o tanque demora 7 min a transbordar. 
b) Determine o comprimento total equivalente da tubagem que liga o tanque A ao nó T. 
c) Determine a altura mínima zA de maneira a evitar cavitação. Considere perdas por atrito na linha de sucção de 
24,5 J/kg. 
 
Bomba alternativa: N = 500 rpm; curso do pistão = 20 cm; diâmetro do cilindro = 50 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BA2. Considere a instalação da figura 2. Uma bomba alternativa duplex, de efeito simples (500 rpm, diâmetro do 
cilindro, 5 cm, curso do pistão, 10 cm e pressão de descarga de 35 kgf/cm2) é usada para transportar água a 20ºC (ν 
= 30 SSU) de um reservatório R para 2 tanques, A e B. 
A água que segue para o tanque B é aquecida num permutador de calor até 30ºC. 
A tubagem é toda de 5 cm de diâmetro interno. 
O caudal de água que é encaminhado para o tanque A é medido através de um medidor de orifício (dorifício = 2,5 cm). 
O manómetro de mercúrio (ρHg = 13600 kg/m
3) associado ao medidor regista um desnível de 12,5 cm. 
 
a) Determine o caudal volumétrico de água que chega ao tanque A, nas condições dadas, utilizando a equação 
característica do medidor de orifício. 
zA 
T 
B 
QB 
Figura 1 
(Exame 15/07/2002) 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas alternativas (BA)…....2/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
 
b) Obtenha o valor do caudal de água que passa no permutador. 
c) Determine a carga fornecida pela bomba ao fluido (HB, mH2O). 
d) Calcule a potência (em Watts) fornecida pelo permutador de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Esquema da instalação 
 
Outros dados: 
cP (água) = 4187 J/kg 
perdas de carga desde o reservatório R até ao ponto T: 2 atm 
perdas de carga na tubagem entre o ponto T e o tanque A: 4 m de um fluido com densidade 2 
perda de carga permanente no medidor de orifício: 1,2 m 
 
 
 
 
 
BA3. Considere a instalação da figura 3, em que circula água a 20ºC (ν = 30 SSU), ao longo de uma tubagem de 
aço comercial de diâmetro nominal 4” Sch 40, do reservatório A para o tanque B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Esquema da instalação 
 
 
 
Dados: 
válvula de corte 
comprimento da tubagem de descarga: 40 m 
comprimento da tubagem de sucção: 2 m 
 
 
A bomba alternativa, simplex e de efeito duplo, trabalha a 500 rpm e tem as seguintes características: diâmetro do 
cilindro, 5 cm, curso do pistão, 20 cm, pressão de descarga, 15 kgf/cm2. 
10 m 
A 
P B 
T 
R 
A 
6 m 
 
 
3 m 
B 
(Exame 28/06/2002) 
SISTEMAS DE TRANSPORTE DE FLUIDOS Bombas alternativas (BA)…....3/3 
(ano lectivo 2015/2016 = 2014/2015) 
 
 
 
a) Determine a velocidade média da água na tubagem. 
b) Estime as perdas por atrito na tubagem de sucção. 
c) Verifique se pode ocorrer cavitação nas condições consideradas. 
d) Repita a alínea anterior 
i. se a água estiver a 80ºC; 
ii. se for colocado um amortecedor antes da bomba; (considere que o factor de atrito se mantém 
constante, relativamente às condições iniciais) 
 
 
 
 
BA4. Considere o sistema hidráulico apresentado na figura 4. 
Água (ρ = 1000 kg/ m3, µ = 1 cp, ν = 30 SSU, cp = 4180 J/kg.K) é retirada do tanque A por intermédio de uma 
bomba alternativa duplex de efeito simples com frequência do pistão de 1000 rpm. 
No nó T dá.-se uma divisão de caudais. Parte da água é enviada para um permutador de calor e descarregada de 
seguida num reservatório B, a restante é de novo enviada para o tanque A (reciclada). 
A variação de temperatura da água entre o tanque A e o B é de 2,5ºC e o calor (potência calorífica) fornecido no 
permutador é de 30 kW. 
a) Calcule a potência consumida pela bomba. 
b) Calcule o caudal reciclado. 
c) Se instalar um medidor de oríficio (diâmetro do orifício = 3 cm) na tubagem onde se encontra o permutador de 
calor, determine o desnível registado por um manómetro de mercúrio ligado ao referido medidor. 
 
Características da instalação: 
• Diâmetro da tubagem = 4 cm 
• Perdas por atrito de A a T equivalentes a 400 m de um fluido com densidade 1,5 
• Perdas por atrito, na tubagem de reciclagem, equivalentes a 5,8 atm 
Características da bomba: 
• Diâmetro do cilindro = 50 mm 
• Lcurso = 200 mm 
• Pd = 35 kgf/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
5 m 
T 
P 
B 
A 
(Exame 16/01/2002)