Apostila 2 de ÁLGEBRA LINEAR

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Inversão de Matrizes e Determinantes
Capitulo 2 
2.1 Matriz inversa 
Todo número real 
�� EMBED Equation.3 não nulo, possui um inverso ( multiplicativo ), ou seja existe um número 
 tal que 
 Este número é único e o denotamos por 
�� EMBED Equation.3 Apesar da álgebra matricial ser semelhante á álgebra dos números reais, nem todas as matriz 
 não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz 
 tal que 
=
. De início para que os produtos 
estejam definidos e sejam iguais é preciso que as matrizes 
sejam quadradas. Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, pois todo número não nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não possuem inversa, apesar do conjunto das que não tem inversa ser bem menor do que o conjunto das que tem. 
 
Definição 2.1. Uma matriz quadrada. 
 é invertível ou não singular, se existe uma matriz 
 tal que 
 
 (2.1)
em que 
 é a matriz identidade. A matriz 
é chamada de inversa de 
. Se 
 não tem inversa, dizemos que 
 é não invertível ou singular.
Exemplo 2.1. Considere as matrizes 
 
 e 
.
A Matriz 
�� EMBED Equation.3 é inversa da matriz 
, depois 
�� EMBED Equation.3 =
 =
 
Teorema 2.1. Se uma matriz 
 possui inversa, então a inversa é única 
Demonstração. Suponhamos que 
 e 
 sejam inversas de 
. Então, 
 
 e assim. 
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Denotamos a inversa de uma matriz de 
, quando ela existe, por 
. Devemos chamar atenção para o fato de que o índice superior -1, aqui não significa uma potência, tampouco uma divisão. Assim como no caso da transposta, em que 
significa a transposta de 
 e aqui, 
 significa a inversa de 
2.1.1.Propriedade da Inversa 
Teorema 2.2 
 Se 
é invertível, então 
 também o é e
=
;
 Se 
 e 
são matrizes invertíveis, então 
 é invertível e 
 
 Se 
 é invertível, então 
 também é invertivel e 
�
Demonstração. Se queremos mostrar que uma matriz é a inversa de uma outra, temos que mostrar que os produtos das duas matrizes são iguais á matriz identidade. 
 Uma matriz 
 é inversa de 
 se 
 
Mas, como 
 é a inversa de 
 então 
 
Como a inversa é única então 
 é a inversa de 
, ou seja, 
 
Temos que mostrar que a inversa de 
 é 
, ou seja, mostrar que os produtos 
 e 
 são iguais á matriz identidade. Mas pelas propriedades 
 e 
 do Teorema 1.1 na página 4 da Apostila 1:
 
�� EMBED Equation.3 
 
 
 Queremos mostrar que a inversa de 
 é 
Pela Propriedade 
 do Teorema 1.1 na página 4 da Apostila 1: 
 
O teorema seguinte, cuja será demonstração será omitida no momento , garante que basta verificarmos uma das duas igualdade em ( 2.1) para sabermos se uma matriz é inversa de outra .
Teorema 2.3. Sejam 
 e 
 matrizes 
 
 Se 
, então 
;
 Se 
, então 
:
Assim, para verificar que uma matriz 
 é invertível, quando temos uma matriz 
 que é candidata a inversa de 
, basta fazer um dos produtos 
 ou 
 e verificar se um deles é iguais a 
.O próximo exemplo ilustra este fato.
Exemplo 2.2. Seja 
 uma matriz tal que 
 
ATENÇÃO: (
pode não ser a matriz nula !). 
Vamos mostrar que a inversa de 
 é 
. Para provar isto, devemos multiplicar a matriz 
 pela matriz que possivelmente seja a inversa dela, aqui 
, e verificar se o produto das é igual a matriz identidade 
. 
Aqui foram usadas as propriedades 
 e 
 do Teorema 1.1 na página 4 da Apostila 1. 
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversão ( opcional ) 
As matrizes elementares têm um papel importante no estudo da inversão de matrizes e da solução de sistemas lineares. 
Proposição 2.4. Toda Mariz elementar é invertível e sua inversa é também uma matriz elementar. Assim, temos: 
 
 
 
 Para 
 
 
Demonstração. Seja 
 uma matriz elementar. Esta matriz é obtida de 
 aplicando-se uma operação elementar. Seja 
 a matriz elementar correspondente a operação que transforma 
 de volta em 
. Agora pelo Teorema 1.8 na página 22 da Apostila 1, temos que 
. Portanto, 
 é a inversa de 
.
Teorema 2.5. Seja 
 uma matriz 
As seguintes afirmações são equivalentes: 
 Existe uma matriz 
 tal que 
 
 A matriz 
 é equivalente por linhas á matriz identidade 
.
 A matriz 
 é invertivel. 
Demonstração. 
 
 Se 
então o sistema 
 tem somente a solução trivial, pois 
Isto implica que a matriz 
 é equivalente por linhas á matriz identidade 
, pois caso contrário a forma escalonada reduzida de 
 teria uma linha nula (Proposição 1.5 na página 18 da Apostila 1.)
�� EMBED Equation.3 A matriz 
 ser equivalente por linhas á 
 significa, pelo Teorema 1.8 na página 22 da Apostila 1, que existem matrizes elementares 
 tais que 
 
 (2.2)
 
 
 
 (2.3)
Aqui, usamos o fato de que as matrizes elementares são invertíveis (Proposição 2.4). Portanto, 
 é invertível como produto de matrizes invertíveis.
�� EMBED Equation.3 Claramente. 
Se 
é invertível, então multiplicando-se ambos membros de (2.2) á direita por 
 obtemos 
 
Assim, a mesma seqüência de operações elementares que transforma a matriz 
 na matriz identidade 
 transforma também 
em 
A demonstração do Teorema 2.3, agora é uma simples conseqüência do Teorema anterior. 
Demonstração do Teorema 2.3. 
 Vamos mostrar que se 
 então 
 é invertível e 
 Se 
, então pelo Teorema 2.5,
 é invertível e 
 Logo, 
Se 
 então pelo item anterior 
 é invertível e 
. Portanto 
.
Segue da demonstração, do Teorema 2.5 (equação (2.3)) o resultado seguinte. 
Teorema 2.6. Uma matriz 
 é invertível se, e somente se, ela é produto de matrizes elementares. 
Exemplo 2.3. Vamos escrever a matriz 
 do exemplo 2.5 na página __ como o produto de matrizes elementares. Quando encontramos a inversa da matriz 
, aplicamos uma seqüência de operações elementares em 
 até que encontramos a matriz 
 Como as operações são por linha, esta mesma seqüência de operações elementares transforma 
 em 
 Isto corresponde a multiplicar a matriz
 
 à esquerda pelas matrizes elementares 
 
, 
, 
 
, 
, 
 
 
 , 
, 
, 
Ou seja, 
 
 
 
�� EMBED Equation.3 
Multiplicando à esquerda pelas inversas das matrizes elementares correspondentes obtemos 
 
 
2.1.3 Método para Inversão de matrizes 
O exemplo seguinte mostra, 2
, não somente uma forma de descobrir se uma matriz
 tem inversa mas também, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou seja, escalonamos a matriz 
 e encontramos a sua forma escalonada reduzida 
. 
Se 
então a matriz 
 é invertível e a inversa 
Caso contrário, a matriz 
 não é invertível. 
Exemplo 2.4. Seja 
. Devemos procurar uma matriz 
tal que 
=
Ou seja, 
�� EMBED Equation.3 
Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independente que possuem a mesma matriz, que é a matriz 
. Podemos resolvê-los simultaneamente. Para isto basta escalonarmos a matriz aumentada 
 
 
Os dois sistemas têm solução única se, e somente se, a forma escalonada reduzida da matriz 
 for da forma(verifique, observando o que acontece se a forma escalonada reduzida da matriz 
 não for igual a 
 Neste caso, 
 e 
 ou seja, a matriz 
 possuirá inversa, 
.
Teorema 2.7. Uma matriz 
 é invertível se, 
 é equivalente por linhas `a matriz identidade 
 . 
Demonstração. Pelo Teorema 2.3.na página 2, para verificarmos ser uma matriz 
 é invertível, basta verificarmos se existe uma matiz 
, tal que 
 
. (2.4)
Vamos denotar as colunas de 
 por 
ou seja,, 
 em que 
 
, 
, 
 
e as colunas da matriz identidade 
 por 
ou seja , 
= 
 em que 
 
�� EMBED Equation.3 , 
 
,
 
.
Assim, a equação (2.4) pode ser escrita como 
 , pois a 
�� EMBED Equation.3 -ésima coluna do produto 
 é igual a 
 vezes a 
-ésima coluna da matriz 
. Analisando coluna a coluna a equação anterior vemos que encontrar B é equivalente a resolver sistemas lineares 
 para 
Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o método de Gauss-Jordan. Para isso, formaríamos as matrizes aumentadas 
 Entretanto, como as matrizes dos sistemas são todas iguais à 
, podemos resolver todos os sistemas simultaneamente formando a matriz 
 
Transformando 
 na sua forma escalonada reduzida, que vamos denotar por 
 , vamos chegar a duas situações possíveis: ou a matriz R é a matriz identidade, ou não é.
Se 
, então a forma escalonada reduzida da matriz 
 é da forma 
. Se escrevemos a matriz 
 em termos das suas colunas 
, então as soluções dos sistemas 
 são 
 e assim 
 é tal que 
 e pelo Teorema 2.3 , 
 é invertível.
Se 
 , então a matriz 
 não é equivalente por linhas à identidade 
. Então, pela proposição 1.5 a matriz R tem uma linha nula. O que implica que cada um dos sistemas 
 ou não tem solução única ou não tem solução. Isto implica que a matriz 
 não tem inversa, pois as colunas da (única) inversa seriam 
, para 
Observação. Da demonstração do teorema 2.7 obtemos não somente uma forma de descobrir se uma matriz 
 tem inversa mas também, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou seja, escalonamos a matriz 
 e encontramos a sua forma escalonada reduzida 
. Se 
, então a matriz 
 é invertível e a inversa 
Caso contrário, a matriz 
 não é invertível. Vejamos os exemplos seguintes.
Exemplo 2.5. Vamos encontrar, se existir, a inversa de 
1ª Eliminação: 
 
2ª Eliminação: 
 
 
�� EMBED Equation.3 
3ª Eliminação 
 
�� EMBED Equation.3 .
Assim, a matriz 
 é equivalente por linhas à matriz acima, que é da forma 
, portanto a matriz 
 é invertível e sua inversa é a matriz 
, ou seja, 
 
 
.
Exemplo 2.6. Vamos determinar se existir, a inversa da matriz 
 
. 
Para isso devemos escalonar a matriz aumentada 
 
1ª Eliminação:
 
2ª Eliminação: 
 
 
Assim, a matriz 
 é que equivalente por linhas á matriz acima, que é forma 
, com 
Assim, a matriz 
 não é equivalente por linhas á matriz identidade e portanto não é invertível.
Se um linear 
 tem o número de equação iguais ao número de incógnitas, então o conhecimento da inversa da matriz do sistema 
, reduz o problema de resolver o sistema a simplesmente fazer um produto de matrizes, como está enunciado no próximo teorema. 
 
Teorema 2.8. Seja 
 uma matriz n
. 
 O sistema associado 
tem solução única se, e somente se, 
 é invertivel. Nesse caso a solução é 
 
 O sistema homogêneo 
 tem não trivial se, e somente se, 
 é singular (não invertivel ). 
Demonstração. 
 Se a matriz 
 é invertivel, então multiplicando 
 por 
 por 
 à esquerda em ambos os membros os obtemos 
 
 
 
 
 
Aqui foram usadas as propriedades 
 e 
 do teorema 1.1. Portanto, 
 é a única solução do sistema 
 Por outro lado, se o sistema 
 possui solução única, então a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema 
 é da forma 
, em que 
. Pois a matriz 
 é quadrada e caso 
 fosse diferente da identidade possuirá uma linha de zeros (Proposição 1.5) o que levaria a que o sistema 
 ou não tivesse solução ou tivesse infinitas soluções. Logo a matriz 
 é equivalente por linhas à matriz identidade o que pelo teorema 2.7 implica que 
 é invertível. 
 Todo sistema homogêneo possui pelo menos a solução trivial. Pelo item anterior, estar será a única solução se, e somente se, 
 for invertível. 
Vamos ver no próximo exemplo que se conhecemos a inversa de uma matriz, então a produção de uma indústria em vários períodos pode ser obtida apenas multiplicamos-se a inversa por matrizes colunas que contentam a arrecadação e as quantidades dos insumos utilizados em casa período. 
Exemplo 2.7. Uma indústria produz três produtos, 
utilizamos dois tipos de insumo, 
 e 
.Para a manufatura de cada kg de
 são utilizadas 1 grama do insumo 
 e 2 gramas do insumo 
para cada kg de 
 1 grama de insumo 
 e 1 grama de insumo 
 e, para cada kg de 
1 grama de 
 e 4 grama de 
. O preço de venda do kg de cada um dos produtos 
é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 5,00, respectivamente. Como vimos no Exemplo 1.6, usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
�� EMBED Equation.3 
No exemplo 2.5 determinamos a inversa da matriz 
 
 que é 
Sabendo- se a inversa da matriz 
 podemos saber a produção da indústria sempre que soubermos quando foi gasto do insumo 
; do insumo 
 e a arrecadação. 
 Se em um período com a venda de toda a produção de 
manufaturada com 1 kg de 
 e 2 Kg de 
, essa indústria arrecadou R$ 2500,00, então para determinar quantos kg de cada um dos produtos 
 foram vendidos simplesmente multiplicamos 
 pela matriz 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
Portanto, foram produzidos 700 kg do produto 
, 200 kg de 
 e 100 Kg de 
 
 Se em outro período com a venda de toda a produção de 
 manufaturada com 1 kg de 
 e 2,1 kg de 
 essa indústria arrecadou R$ 29000,00, então para determinar quantos kg de cada um dos produtos 
foram vendidos simplesmente multiplicamos 
 pela matriz 
�� EMBED Equation.3 
ou seja, 
 
�� EMBED Equation.3 =
 
 =
Portanto, foram produzidos 500 kg do produto 
 300 kg 
 e 200 kg de 
Vamos mostrar a recíproca do item 
 do teorema 2.2. Este resultado será útil na demonstração de que determinante do produto de matrizes é o produto de matrizes é o produto dos determinantes.
Proposição 2.9 Se 
 são matrizes 
 com 
 invertível, então 
 e 
 são invertíveis 
Demonstração. Considere o sistema 
. Se 
 não fosse invertível, então existiria 
tal que 
 (Teorema 2.8) . Multiplicando-se por 
, teríamos 
 o que novamente pelo Teorema 2.8, contradiz o fato de 
 ser invertível. Portanto, 
 é invertível. Agora, se 
 e 
são invertíveis, então 
 também é invertível, pois 
 = 
 que é o produto de duas matrizes invertíveis.
2.1.4 Aplicação: Interpolação Polinomial 
Sejam 
 número distintos. Considere o problema de encontrar um polinômio de grau 
 
 
Que interpola os dados no sentido que de que 
Por exemplo, se os pontos são 
�� EMBED Equation.3 então o problema consiste em encontrar um polinômio de grau 3 que interpola os pontos dados .
Vamos mostrar que existe, um e somente um polinômio de grau no máximo igual aque interpola 
 pontos, com abscissas distintas.
 � 
Substituindo os pontos no polinômio 
 obtemos um sistema linear 
em que 
 
, 
 e 
 
A Matriz 
 é chamada matriz de Vandermonde 
 Vamos mostrar que 
 tem somente uma solução. Pelo teorema 2.8 na página 8, um sistema de 
 equações e 
 incógnitas 
 tem solução única se, e somente se, o sistema homogêneo associado, 
, tem somente a solução trivial.
 é solução do sistema homogêneo se, e somente se, o polinômio de grau 
 se anula em 
 pontos distintos. O que implica que o polinômio 
 é o polinômio com todos os seus coeficiente iguais a zero. Portanto, o sistema homogêneo 
 tem somente a solução trivial. Isto prova que existe, um e somente um polinômio de grau no máximo igual a 
que interpola 
pontos, com abscissas distintas.
 Assim a solução do sistema linear é 
.Como a matriz 
 dependente apenas das abscissas dos pontos, tendo calculado a matriz 
 podendo determinar rapidamente os polinômios que interpolam vários conjuntos de pontos, desde que os pontos de todos os conjuntos tenham as mesmas abscissas dos pontos do conjunto inicial. 
2.1.5 Aplicação: Criptografia 
 Vamos transformar uma mensagem em uma matriz da seguinte forma. Vamos quebrar a mensagem em pedaços de tamanho 3 e cada pedaço será convertido em uma matriz coluna usado a tabela 2.1 de conversão entre caracteres e números.
Considere a seguinte mensagem criptografada
 1 
 (2.5)
 
Quebrando a mensagem criptografada em pedaços de tamanho 3 e convertendo cada pedaço para uma coluna de números usando a tabela 2.1 obtemos a matriz 
 
=
	
Sabendo-se que estar mensagem foi criptografada fazendo o produto da mensagem inicial pela matriz 
 
 =
Então 
 será a mensagem convertida para números, ou seja; 
 
�� EMBED Equation.3 
 = 
Convertemos para texto usando novamente a tabela 2.1 obtemos que a mensagem que foi criptografada é Tudo bem? (2.6) 
Exercícios Núméricos 
Seja 
 uma matriz 
Suponha que 
 é solução do sistema homogêneo 
 A matriz 
 é singular ou não? Justifique.
2.1.2. Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes: 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
, 
Encontre todos os valores de 
 para os quais a matriz 
 
 tem inversa. 
Se 
 E 
 = 
, encontre 
 2.1.5. Resolva o sistema 
 =
se 
 e 
 2.1.6. Seja 
e, como mostraremos adiante que 
 
 e 
 
 são tais que
 , determine 
 para 
 
 
 
2.1.7.( Relativo á Subseção 2.1.2) Encontre matrizes elementares 
 tais que 
 para 
 
.
 
 Determinantes 
Vamos inicialmente definir o determinantes de matrizes 
. Para cada matriz 
 definimos o determinante de 
, indicado por 
 Vamos, agora definir o determinante de matrizes 
 e a partir daí definir para matrizes de ordem maior. Cada matriz 
associamos um número real, denominado determinante de 
 por:
 Det 
 
Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores, precisamos definir o que são os menores de uma matriz. Dada uma matriz 
 o menor do elemento 
denotado por 
 é a submatriz 
 de 
 obtida eliminado-se a 
-ésima linha e a 
 -ésima coluna de 
 que tem o seguinte aspecto: 
 j
 
 
Exemplo 2.8. Para uma matriz 
= 
 
 =
 =
 
Agora, vamos definir os cofatores de uma matriz quadrada 
 O cofator do elemento 
denotando por 
é definido por 
 
Ou seja, o cofator 
 do elemento 
 é igual a mais ou menos o determinante do menor 
sendo o mais e o menos determinados pela seguinte disposição:
 
Exemplo 2.9. Para uma matriz 
= 
 
 
=
 =
 Vamos, agora, definir o determinante de uma matriz 
 Se 
, 
então, o determinante de 
 é á soma dos produtos dos elementos da 1ª, linha pelos seus cofatores.
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma forma que a partir do determinante de matrizes 
definimos o determinante de matrizes 
podemos definir o determinante de matriz quadradas de ordem maior. Supondo que sabemos como calcular o determinante de matrizes 
 vamos definir o determinante de matriz 
. 
 Vamos definir , agora os cofatores de uma matriz quadrada 
 O cofator do elemento 
 denotado por 
definimos por 
 
 
Ou seja, o cofator 
 do elemento 
 é igual a mais ou menos o determinante do menor 
 sendo
 O mais e o menos determinados pela seguinte disposição 
 
Definição 2.2 Seja 
 O determinante de 
, denotado por det 
, é definido por 
 det
=
�� EMBED Equation.3 (2.7)
em que
 é o cofator do elemento 
. A expressão (2.7) é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de 
 em termos da primeira linha . 
Exemplo 2.10. Seja 
 
.
Desenvolvendo-se o determinante de 
 em cofatores, obtemos 
det 
 =
 . 
Mas o det 
 também pode ser calculado usado cofatores,
det 
 = 
�� EMBED Equation.3 
 = 
det 
 = det 
�� EMBED Equation.3 
 = 
 = 
 
Portanto 
Exemplo 2.11. Usando a definição de determinante, vamos mostrar que o determinante de uma matriz triangular inferior ( isto é, os elementos situados acima da diagonal principal são iguais azero ) é o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos mostrar inicialmente para matriz 
 Seja 
 
 
Desenvolvendo-se o determinante de 
em cofatores obtemos 
 det 
 =
Vamos supor termos provado que para qualquer matriz 
triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então vamos provar que isto também vale para matrizes 
 Seja 
 
�� EMBED Equation.3 
Desenvolvendo-se determinante de 
 em cofatores, obtemos 
det 
 
Pois o determinante acima é de uma matriz 
 triangular inferior. Em particular, para a matriz identidade, 
 det 
2.2.1 Propriedades do Determinante
 Vamos provar uma propriedade importante do determinante . Para isso vamos escrever a matriz 
 em termos das suas linhas 
 
em que 
 é a linha 
da matriz 
, ou seja, 
 = 
. Se a linha 
é escrita na forma 
em que 
são matrizes linha 
, então o determinante pode ser decomposto como mostra o resultado seguinte. 
Teorema 1.10. Seja 
 escrita em termos das linhas denotadas por 
, ou seja; 
. Se para algum 
 a linha 
 em que 
�� EMBED Equation.3 e 
são escalares , então: 
 det 
 =
 
Aqui, =
 
Demonstração. Vamos provar aqui somente para 
 (Para 
 será demonstrado oportunamente.) Se 
em que 
�� EMBED Equation.3 e 
são escalares, então:
 det 
 =
 = 
 = 
 +
 
Exemplo 2.12. O cálculo do determinante da matriz a seguir pode ser feito da seguinte forma: 
det 
= 2 det 
 +
det 
 =3
Pela definição de determinante, o determinante deve ser calculado fazendo-se o desenvolvimento emcofatores segundo a 1ª linha. O próximo resultado, que não vamos provar neste momento, afirma que o determinante pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna .
 
 Teorema 2.11. Seja 
 uma matriz 
 O determinante de 
 pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna.
 det
=
para
 (2.8)
 = 
para 
 (2.9)
em que 
 é o cofator do elemento 
. A expressão (2.8) é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de 
 em termos da 
- ésima linha e (2.9) é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de 
 em termos da 
-ésima coluna.
 Temos a seguinte conseqüência deste resultado. 
Corolário 2.12. Seja 
 uma matriz 
. Se 
 possui duas linhas iguais, então det 
=0 . 
Demonstração. O resultado é claramente verdadeiro para matrizes 2
.Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes 
 
, vamos provar que ele é verdadeiro para matrizes 
. Suponhamos que as linhas 
 e 
 sejam iguais, para 
�� EMBED Equation.3 Desenvolvendo o determinante de 
 em termos de uma linha 
obtemos 
 det 
 
Mas, cada 
 é uma matriz 
 com duas linhas iguais. Como estamos supondo que o resultado seja verdadeiro para estas matrizes, então det 
Isto implica que det 
 
No próximo resultado mostramos como varia o determinante de uma matriz quando aplicamos operações elementares sobre sua linha.
Teorema 2.13. Sejam 
 matrizes 
 Se 
 é obtida de 
 multiplicando-se um escalar 
 então det 
 =
 
 Se 
resulta de 
 pela troca da posição 
então 
 Se 
é obtida de 
 substituindo a linha 
 por ela somada a um múltiplo escalar de uma 
 linha 
, 
 então det 
Demonstração. 
 Segue diretamente do teorema 2.10. 
 Sejam 
 
 e 
 . 
Agora, pelo Teorema 2.10 e o Corolário 2.12 , temos que 
 0 =det 
 
= det 
 + det 
 +det 
 + det 
 
 = 0 + det 
 + det 
 +0. 
 Portanto, det 
 
 
 Novamente, pelo teorema 2.10, temos que 
 det 
 = det 
 + 
 = det 
Exemplo 2.13. Vamos calcular determinante da matriz 
Usando operações elementares para transformá-la numa matriz triangular superior e aplicando o Teorema 2.13. 
 
 det 
 
�� EMBED Equation.3 
 
 = 
det 
 
 
 =
det
 
 =
det
 
 
 = 
 
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar 
 o determinante de nova matriz é igual a 
 multiplicado pelo determinante da matriz antiga. Mas o que estamos calculando aqui é o determinante da matriz antiga, por isso ele é igual a 
 multiplicando pelo determinante da matriz nova.
Para se calcular o determinante de uma matriz 
 pela expansão em cofatores, precisamos fazer 
 produtos e calcular 
 determinantes de matrizes 
 , que por sua vez vai precisar de 
 produtos e assim por diante. Portanto, ao todo são necessários da ordem de 
 produtos. Para se calcular o determinante de uma matriz 
, é necessário se realizar 
 produtos. Os computadores pessoais realizam da ordem de 
 produtos por segundo. Portanto, um computador pessoal precisaria de cerca de 
 segundos ou 
 anos para calcular o determinante de uma matriz 
 usando a expansão em cofatores. Entretanto usando o método apresentado no exemplo anterior para o cálculo do determinante, é necessário apenas da ordem de 
 produtos. Ou seja, para calcular o determinante de uma matriz 
 usando o método apresentado no exemplo anterior um computador pessoal um computador pessoal gasta muito menos de um segundo. 
 A seguir estabelecemos duas propriedades do determinante que serão demonstradas somente mais à frente. 
Teorema 2.14. Sejam 
 matrizes 
 O determinante do produto de 
 por 
 é igual ao produto dos seus determinantes 
 det 
 
 Os determinantes de 
 e de sua transposta 
são iguais, 
 det 
 
Observação. Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta ( teorema 2.14(b) ), segue-se que todas as propriedades que se referem a linha são válidas com relação ás colunas. 
Exemplo 2.14 Seja 
 
 Vamos mostrar que se 
 é invertível, então 
 det 
Como 
aplicando-se o determinante a ambos os membros desta igualdade e usado o teorema 2.14. Obtemos 
 det 
Mas, det 
 ( Exemplo 2.11 , a matriz identidade também é triangular inferior !). 
Logo, det 
�� EMBED Equation.3 
 Exemplo 2.15. Se uma matriz quadrada é tal que 
, então vamos mostrar que 
det 
. Aplicando-se o determinante a ambos os membros da igualdade acima, e usando novamente o Teorema 2.14 e o resultado do exemplo anterior, obtemos 
 
 
Logo, (det 
. Portanto, det 
O resultado seguinte caracteriza em termos do determinante as matrizes invertíveis e os sistemas lineares homogêneos que possuem solução não trivial. 
Teorema 2.15. Seja 
 uma matriz 
.
 
 A matriz 
 é invertivel se, e somente se, det 
 
 
 O sistema homogêneo 
 tem solução não trivial se, somente se, 
 det 
 
Demonstração. 
 Seja 
 a forma escalonada reduzida da matriz 
.
 A demonstração deste item segue-se de três observações:
Pelo teorema 2.13, det 
 
se, o somente se, det 
.
Pela proposição 1.5, ou 
ou a matriz R tem uma linha nula. Assim, 
se, e somente se,
 
Pelo Teorema 2.7, 
 se, e somente se, 
 é invertível
 (b) Pelo Teorema 2.8, o sistema homogêneo 
 tem solução não trivial se, e somente se, a matriz 
 não é invertível. E, pelo item anterior, a matriz 
 é não invertível se, e somente se, 
Exemplo 2.16. Considere a matriz 
(a) Determinar os valores de
 tais que exista 
 que satisfaça 
.
(b) Para cada um dos valores de 
 encontrados no item anterior determinar todos os 
 
 tais que 
Solução: (a) Como a matriz identidade 
 é o elemento neutro do produto, então 
 
 Subtraindo-se 
 obtemos 
Agora, este sistema homogêneo tem solução não trivial
se, e somente se, 
 
 
Mas 
 se, e somente se, 
 ou 
.
Assim, somente para 
 existem vetores 
(b) Para 
 que tem solução o conjunto dos
, para todos os valores de 
Para 
 que tem solução o conjunto dos 
 para todos os valores de 
Exemplo 2.17 A matriz 
 é invertível se, e somente se, 
. Neste caso a inversa de 
 é dada por 
 , como pode ser verificado multiplicando-se a candidata a inversa pela matriz 
.
Observe que este exemplo fornece uma regra para se encontrar a inversa de uma matriz 
: troca-se a posição dos elementos da diagonal principal, troca-se o sinal dos outros elementos e divide-se todos os elementos pelo determinante de 
.
Exemplo 2.18 Considere o sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas 
A matriz deste sistema é 
. Se 
, então a solução do sistema é
Ou seja, 
Esta é a chamada Regra de Cramer para sistema de 2 equações e 2 incógnitas. A Regra de Cramer para sistemas de n equações e n incógnitas será apresentada adiante.
Matrizes Elementares e o Determinante
Relembramos que uma matriz elementar é uma matriz que se obtém aplicando-se uma operação elementar na matriz identidade. Assim, aplicando-se o Teorema 2.13, obtemos o resultado seguinte.
Proposição 2.16 a) Se 
 é a matriz elementar obtida trocando-se as linhas 
 da matriz identidade, então 
.
 b) Se 
 é a matriz elementar obtida da matriz identidade, multiplicando-se a linha 
 , entãoc) Se 
 é a matriz elementar obtida da matriz identidade, somando-se à linha 
 vezes a linha 
, então 
Lembramos também que uma matriz é invertível se, e somente se, ela é o produto de matrizes elementares(Teorema 2.6). Além disso, o resultado da aplicação de uma operação elementar de uma matriz é o mesmo que multiplicar a matriz à esquerda pela matriz elementar correspondente.
Usando matrizes elementares podemos provar o Teorema 2.14.
Demonstração do Teorema 2.14
Queremos provar que 
. Vamos dividir a demonstração deste item em três casos:
Caso 1: Se 
 é uma matriz elementar. Este caso segue-se diretamente da proposição anterior e do Teorema 2.13.
Caso 2: Se 
 é invertível, então pelo Teorema 2.6 , ela é o produto de matrizes elementares, 
. Aplicando-se o caso anterior sucessivas vezes, obtemos
Caso 3: Se 
 é singular, pela Proposição 2.9, 
 também é singular. Logo, 
 
Queremos provar que 
 . Vamos dividir a demonstração deste item em dois casos
Caso 1: Se 
 é uma matriz invertível, pelo Teorema 2.6, ela é o produto de matrizes elementares, 
. É fácil ver que se 
 é uma matriz elementar, então 
 (verifique). Assim, 
Caso 2: Se 
 não é invertível, então 
 também não o é, pois caso contrário, pelo Teorema 2.2, também 
 seria invertível. Assim, neste caso, 
Matriz Adjunta e Inversão
Vamos definir a adjunta de uma matriz quadrada e em seguida enunciar e provar um teorema sobre a adjunta que permite provar vários resultados sobre matrizes, entre eles um que fornece uma fórmula para a inversa de uma matriz e também a Regra de Cramer. Tanto a adjunta quanto os resultados que vem a seguir são de importância teórica.
Definição 2.3 Seja uma matriz 
. Definimos a matriz adjunta(clássica) de 
, denotada por 
, como a transposta da matriz formada pelos cofatores de 
, ou seja, 
 em que 
 é o cofator do elemento 
.
Exemplo 2.19 Seja 
. Vamos calcular a adjunta de 
.
 , 
 ,
 ,
 ,
 e, assim, a adjunta de 
é 
Na definição do determinante são multiplicados os elementos de uma linha pelos cofatores da mesma linha. O teorema seguinte diz o que acontece se somamos os produtos dos elementos de uma linha com os cofatores de outra linha ou se somamos os produtos dos elementos de uma coluna com os cofatores de outra coluna.
Lema 2.17 Se 
 é uma matriz 
, então 
em que, 
 é o cofator do elemento 
Demonstração. Para demonstrar a equação 2.10 , definimos a matriz 
 como sendo a matriz obtida de 
 substituindo a 
 linha de 
 por sua 
 linha, ou seja,
Assim, 
 possui duas linhas iguais e pelo Corolário 2.12 , 
. Mas, o determinante de 
 desenvolvido segundo sua 
 linha é exatamente a equação 2.10
A demonstração de 2.11 é feita de forma análoga, mas usando o item (d) do Teorema 2.13, ou seja, que 
.
Teorema 2.18 Se 
 é uma matriz 
, então 
Demonstração. O produto da matriz 
 pela matriz adjunta de 
 é dada por
O elemento da posição 
 é 
Pelo Lema 2.17, equação (2.10) e do Teorema 2.11, segue-se que 
Assim, 
.
Analogamente, usando Lema 2.17, equação (2.11), se prova que 
.
Exemplo 2.20 Vamos mostrar que se uma matriz 
�� EMBED Equation.3 é singular, então 
 também é singular. Vamos separar em dois casos:
Se 
, então 
 também é a matriz nula, que é singular.
Se 
, então pelo Teorema 2.18, 
. Mas, então, se 
 fosse invertível, então 
 seria igual à matriz nula(por que?), que estamos assumindo não ser este o caso. Portanto, 
 tem que ser singular.
Corolário 2.19. Seja 
 uma matriz 
. Se 
, então 
Demonstração. Se 
, então definindo 
, pelo Teorema 2.18 temos que 
Aqui, usamos a propriedade (j) do Teorema 1.1. Portanto, 
 é invertível e B é a inversa de 
.
Exemplo 2.21. No exemplo 2.17 mostramos como obter rapidamente a inversa de uma matriz 
.
Usando o Corolário 2.19 podemos também obter a inversa de uma matriz 
, 
Ou seja, a inversa de uma matriz 
 é facilmente obtida trocando-se a posição dos elementos da diagonal principal, trocando-se o sinal dos outros elementos e dividindo todos os elementos pelo determinante de 
.
Exemplo 2.22 Vamos calcular a inversa da matriz 
A sua adjunta foi calculada no exemplo 2.19. Assim,
Corolário 2.20(Regra de Cramer). Se o sistema linear 
é tal que a matriz 
 e invertível, então a solução do sistema é dada por
 
 , em que 
 é a matriz que se obtem de 
, substituindo-se a sua 
 coluna por 
, para 
Demonstração. Como A é invertível, pelo Corolário 2.19, 
A entrada 
 é dada por 
 em que 
 é a matriz que se obtém de 
substituindo-se a sua 
coluna por 
 foi calculado fazendo o desenvolvimento em cofatores em relação a 
 coluna de 
.
Se a matriz 
 não é invertível, então a Regra de Crames não pode ser aplicada.
Pode ocorrer que 
, para 
 e o sistema não tenha solução(verifique). A Regra de Cramer tem um valor teórico, por fornecer uma fórmula para a solução de um sistema linear, quando a matriz do sistema é quadrada e invertível.
Existem sistemas 
 equações e 
incógnitas, com 
, em que 
 e o sistema não tem solução. Por exemplo o sistema
 
 é tal que 
 mas ele não tem solução(verifique!).
Exercícios Numéricos
2.2.1. Se 
, encontre (a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
Se A e B são matrizes n x n tais que det(A) = -2 e det(B) = 3, calcule 
.
Seja 
 tal que 
. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
 (a) 
 (b) 
Calcule o determinante das matrizes a seguir:
 
 (a) 
 (b) 
calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
 (a) 
 (b) 
Determine todos os valores de 
 para os quais 
, em que
 (a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
Determine os valores de 
 tais que existe 
 que satisfaz
 (a)
 (b)
 (c)
 (d)
2.2.8.. Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de 
 encontrados, encontre a solução geral do sistema 
, ou equivalente, do sistema homogêneo 
Demonstração do Teorema 2.10 para k >1.
Deixamos como exercício para o leitor a verificação de que para matrizes 2 x 2 o resultado é verdadeiro. Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes (n - 1) x (n - 1), vamos provar para matrizes n x n .
Sejam 
 , 
 e 
Suponha que k = 2, ..., n. As matrizes 
 só diferem na (k – 1) ésima linha (lembre=se que a primeira linha é retirada!). Além disso, a ( k – 1) ésima linha de 
 é igual a 
 vezes a linha correspondente de 
 vezes a linha correspondente de 
 (esta é a relação que vale para a k-ésima linha de 
). Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes (n – 1) x ( n – 1 ), então 
 Assim,
 
pois 
,para 
Lema 2.21. Sejam 
 Se 
 é uma matriz n x n , cuja i-ésima linha é igual a 
,para algum 
, então 
Demonstração.
É fácil ver que para matrizes 2 x 2 o lema é verdadeiro. Suponha que ele seja verdadeiro para matrizes (n – 1) x (n – 1) e vamos provar que ele é verdadeiro para matrizes n x n.
Podemos supor que 
Seja 
 a matriz (n – 2) x (n – 2) obtida de 
 eliminando-se as linhas 
 e as colunas 
, para 
Para 
, a matriz 
 éuma matriz (n – 1) x (n – 1) cuja 
 linha é igual a 
. Para 
, a matriz 
 é uma matriz (n – 1) x (n – 1) cuja 
 linha é igual a 
. Como estamos supondo o lema verdadeiro para estas matrizes e como pelo Teorema 2.10 se uma matriz tem uma linha nula o seu determinante é igual a zero, então 
 , segue-se que 
 
 (2.12)
Usando (2.12), obtemos 
 
Por outro lado, temos que
 
É simples a verificação de que as duas expressões acima são iguais.
Demonstração do Teorema 2.11
Pelo Teorema 2.14 basta provarmos o resultado para o desenvolvimento em termos das linhas de 
. Sejam 
 Observe que a linha 
 de 
 pode ser escrita como 
 Seja 
 a matriz obtida de 
 substituindo-se a linha 
 por 
 Pelo Teorema 2.10 e o Lema 2.21 segue-se queMatrizes Particionadas em Blocos
Operações Matriciais em Blocos
 As matrizes podem ser subdivididas em blocos, por exemplo a matriz
 
Pode ser dividida em quatro submatrizes, 
 
.
Dependendo das subdivisões feitas, as matrizes podem ser operadas em termos dos seus blocos. Com relação à soma, duas matrizes podem ser somadas por blocos se os blocos correspondentes nas matrizes forem do mesmo tamanho, ou seja, se os blocos correspondentes podem ser somados. Seja 
�� EMBED Equation.3 uma matriz 
 e 
 uma matriz 
.
Podemos particionar 
 em blocos e expressar o produto em termos de submatrizes de 
. Considere os seguintes casos:
Caso 1:
Se 
, em que 
 é uma matriz 
 e 
 é uma matriz 
, então 
 
.
Caso 2:
Se 
 , em que 
 é uma matriz 
 e 
 é uma matriz 
, então
 
Caso 3.
Se 
 , em que 
 é uma matriz 
 e 
 é uma matriz 
 e 
, em que 
 é uma matriz 
 e 
 é uma matriz 
, então
 
Portanto, 
Caso 4:
Sejam as matrizes 
 particionadas em blocos comomsegue:
 
�� EMBED Equation.3 , 
 t p-t s n-s
Sejam
 
.
Segue do Caso 3 que 
.
Agora, segue-se dos Casos 1 e 2 , que
 
Portanto, 
 
.
Observe que para que seja possível fazer o produto por blocos é necessário que o número de colunas dos blocos da primeira matriz seja igual ao número de linhas dos blocos correspondentes da segunda matriz. O que fizemos acima pode ser generalizado para um número qualquer de blocos. Se os blocos possuem os tamanhos adequados, a multiplicação por blocos pode ser feita da mesma forma como é feita a multiplicação usual de matrizes.
Exemplo 2.23. Sejam 
 .
Usando o particionamento das matrizes em blocos é mais simples fazer o produto 
.
Inversa de Matrizes em Blocos
Proposição 2.3.2 Sejam 
matrizes p x p e (n – p) x (n – p), respectivamente.
A matriz 
 é invertível se, e somente se, 
 são invertíveis. No caso em que M é invertível, então 
 (2.13)
Demonstração. Se 
são invertíveis é fácil verificar que a matriz dada em (2.13) é a inversa de 
. Reciprocamente, suponha que 
 é invertível. Seja 
.
Vamos particionar a matriz 
 da mesma maneira que 
, ou seja, 
.
Como 
, então 
.
E segue-se que, 
 e assim, 
 é invertível. Além disso, 
 e portanto 
 é invertível.
Determinante de Matrizes em Bloco
Proposição 2.23. Sejam 
 matrizes p x p , p x (n – p) e (n – p) x (n – p), respectivamente. Seja 
. Então, 
.
Demonstração. O resultado é claramente verdadeiro para n=4. Supondo que o resultado seja verdadeiro para matrizes (n – 1) x (n – 1), Vamos provar para matrizes n x n. Expandindo o determinante em termos da primeira coluna da matriz 
 , obtemos
Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes (n – 1) x (n – 1) , então
Exercícios Numéricos
Sejam 
Realize os seguintes produtos em blocos:
(a) 
 (b) 
 (c)
(d) 
�� EMBED Equation.3 
Teste do Capítulo
Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformá- la em uma matriz triangular superior. 
Se possível, encontre a inversa da seguinte matriz 
Encontre todos os valores de 
para os quais a matriz 
 tem inversa, em que 
 
Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:
Se 
, então 
Se 
 é não singular, então determinante de 
.
Se 
�� EMBED Equation.3 , então 
 30
 20
 10
0
 -10
 -20
-30
-2 -1 0 1 2 3 4 5 
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