Questão resolvida - Determine a soma a b c de forma a garantir que a função ... - Cálculo I - Universidade Estácio de Sá

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• Determine a soma de forma a garantir que a funçãoa + b + c
 
g x = seja contínua no seu domínio 2, 6( )
a, x = 2;
x - x - 2, 2 < x < 4;2
bx + 4, 4 ⩽ x < 6;
c, x = 6
[ ]
 
 a. □ 0
 b. □ 1
 c. □ 2
 d. □
10
3
 e. ⬛
29
3
 
Resolução:
 
Para a função ser contínua em um ponto qualquer , é preciso satisfazer 3 condições;x = c
 
 1 g c tem que existir) ( )
 
 2 g x tem que existir) lim
x→c
( )
 
 3 e devemos ter g x = g c) lim
x→c
( ) ( )
 
Vamos, então, analisar as "fronteiras", devemos econtrar os limites laterais para , e, x = 2
para a função ser contínua, a seguinte condição deve ser atendida;
 
g x = g x = g 2lim
x→2+
( ) lim
x→2-
( ) ( )
 
 
Perceba, pela analise na função , que se;g x( )
 
g x = x - x - 2 = 2 - 2 - 2 = 4 - 4 = 0lim
x→2+
( ) lim
x→2+
2 2
 
O limite existe se os limites laterais são iguais e a função é contínua se o limite é igual a g 2 :( )
g x = g x = a = 0 =lim
x→2+
( ) lim
x→2-
( )
 
Logo, a = 0
 
Agora, fazemos a mesma analise para tendendo a ;g x( ) 4
 
g x = g x = g 4lim
x→4+
( ) lim
x→4-
( ) ( )
Assim, devemos ter;
 
g x = bx + 4 = 4b + 4lim
x→4+
( ) lim
x→4+
( )
 
g x = x - x - 2 = 4 - 4 - 2 = 16 - 6 = 10lim
x→4-
( ) lim
x→4-
2 2
 
Com isso, para que a função seja contínua, devemos ter;
 
g 4 = 4b + 4 = 10, resolvendo para b;( )
 
4b + 4 = 10 4b = 10 - 4 4b = 6 b = b =→ → →
6
4
→
3
2
Por último, vamos verificar o limite para tendendo a , mas já sabemos que;g x( ) 6
 
g x = seja contínua no seu domínio 2, 6( )
0, x = 2;
x - x - 2, 2 < x < 4;2
x + 4, 4 ⩽ x < 6;
3
2
c, x = 6
[ ]
 
 
Para a função ser contínua em , devemos ter que;x = 6
 
g x = g x = g 6lim
x→6+
( ) lim
x→6-
( ) ( )
Dessa forma, para que a função seja contínua em x = 6, devemos ter;
 
g x = g x = g 6 = c = 13lim
x→6+
( ) lim
x→6-
( ) ( )
 
Pronto! Conhecidos os valores de , finalmente, temos que a soma dessestermos é;a, b e c
 
a + b + c = 0 + + 13 =
3
2
3 + 26
2
 
a + b + c =
29
2
 
 
g x = x + 4 = ⋅ 6 + 4 = 3 ⋅ 3 + 4 = 9 + 4 = 13lim
x→6+
( ) lim
x→6+
3
2
3
2
3
(Resposta )