aula 2

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Laboratório de Ciências
Aula 2 Estatística
O que é uma variável?
� Dá-se o nome de variável à uma determinada catacterística a 
ser pesquisada em um estudo ou experimento.
� Usualmente, as variáveis são representadas por letras 
maiúsculas, como X, Y, Z, ...
� Para cada observação, a variável assume um único “valor” dos 
que podem ser a ela atritbuídos. 
� Por exemplo: 
� Variável: Sexo dos alunos da disciplina de Laboratório de ciências;
� Respostas possíveis: Masculino e Feminino;
� Observação: ou o aluno é do sexo feminino, ou o aluno é do sexo 
masculino.
Tipos de variáveis
� Variáveis qualitativas: Representam atributos ou 
qualidades.
� Nominal: Sem ordem natural.
� Ordinal: Com ordem natural.
� Variáveis quantitativas: São de natureza numérica.
� Discreta: Resultante de contagens.
� Contínua: Proveniente de mensuração.
Exemplos de tipos de variáveis
Qualitativa
Nominal
� Sexo
� Tipo de Instrumento
Ordinal
� Escolaridade
� CondiçãoAmbiental
Quantitativa
Discreta
� Número de filhos
� Número de medições
Continua
� Altura
� Tensão Elétrica
Variáveis (Lei de Ohm)
Observação X Y W Z
1 1,0 0,25 4,00 digital
2 2,0 0,55 3,64 digital
3 3,0 0,85 3,53 digital Onde:
4 4,0 1,20 3,33 digital X: Tensão Elétrica (Em volts)
5 5,0 1,40 3,57 digital Y: Corrente Elétrica (Em ampères)
6 1,0 0,40 2,50 analógico W: Resistência (Em Ohms)
7 2,0 0,65 3,08 analógico Z: Tipo de Instrumento
8 3,0 0,90 3,33 analógico
9 4,0 1,15 3,48 analógico
10 5,0 1,50 3,33 analógico
Fonte: Medição realizada por alunos da turma 01
Objetivo do estudo: Relação entre 
variáveis quantitativas
� Em diversas áreas de conhecimento, é comum o interesse
por relacionar variáveis quantitativas.
� Busca-se encontrar e mensurar o tipo de relação entre
duas variáveis, objetivando ajustar um modelo que
explique uma tendência apresentada pelas variáveis.
� Por exemplo, pode-se querer estudar a relação entre a
altura dos pais e a altura dos filhos.
� A estatística oferece ferramentas que permitem o estudo
entre duas ou mais variáveis aleatórias.
Ferramentas Estatísticas
� Correlação: Um valor que varia de -1 a 1 e fornece um
indicativo da relação entre duas variáveis aleatórias.
� Regressão: Utilizada para relacionar duas variáveis por
meio de um modelo, busca fornecer estimativas para
determinada variável com base em uma outra variável.
Desenvolveremos a relação linear entre variáveis.
Exemplo: Lei de Ohm
A partir das informações das medições da turma 01
apresentadas na tabela anterior, desejamos estudar a
relação que existe entre as medições de Tensão Elétrica (X)
e Corrente Elétrica (Y).
O interesse final é saber se é possível obter um valor de
Corrente Elétrica, conhecendo somente a tensão elétrica
que foi passada por determinado material, nesse caso
grafite.
Variáveis (Lei de Ohm)
Observação 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Y 0,25 0,57 0,85 1,20 1,40 0,39 0,65 0,90 1,17 1,90
Onde:
X: Tensão Elétrica (Em volts)
Y: Corrente Elétrica (Em ampères)
Questão 1: É possível descrever o 
tipo de relação entre as variáveis?
� Duas variáveis são correlacionadas quando uma esta
relacionada à outra de alguma maneira.
� A verificação da correlação pode ser realizada via um
Gráfico de Dispersão. Plotando os valores de cada
observação em dois eixos, onde cada eixo corresponde a
uma das variáveis.
� O Gráfico de Dispersão permite a verificação visual de
algum tipo de relação entre as variáveis.
Exemplos: Gráficos de Dispersão
Situação 1: 
Existe uma relação 
não linear.
Situação 2: 
Existe uma relação 
linear.
Situação 3: 
Não existe uma 
relação.
Gráfico de Dispersão 
(Lei de Ohm)
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
C
o
r
r
e
n
t
e
 
E
l
é
t
r
i
c
a
 
(
Y
)
Tensão Eletrica (X)
Gráfico de Dispersão: Tensão Elétrica vs. 
Corrente Elétrica 
Questão 2: É possível quantificar 
essa relação?
� Existe uma medida numérica de intensidade para a
relação linear entre valores de duas variáveis quantitativas.
� Esta é conhecida como Coeficiente de Correlação
Linear.
� Denotada por ρ.
Existem medidas para relações não lineares, porém estamos 
estudando somente o caso de uma relação linear simples.
Coeficiente de Correlação Linear
� =
����
����
� Em que:
� �� e �� representam o desvio padrão das variáveis X e Y 
respectivamente. (Aula 1)
� ���� é a covariância entre as variáveis X e Y, dada pela seguinte 
expressão:
���� =
∑ (�� − �̅)(�� − ��)
�
���
�
Coeficiente de Correlação Linear
� Os valores de ρ estão entre -1 e 1, isto é, -1 ≤ ρ ≤ 1.
� Quando ρ → 0 ,então, não existe correlação linear
significativa.
� Quando ρ → -1 ou 1,então, existe correlação linear
significativa.
� Se ρ está perto de 1, há correlação positiva.
� Se ρ está perto de -1, há correlação negativa.
Coeficiente de Correlação Linear
(Lei de Ohm)
ρ = 0,962
Note que ρ→ 1 ,então: 
•Existe correlação linear significativa.
•Há correlação positiva. 
Questão 3: É possível propor um 
modelo estatístico?
Observamos que existe uma correlação linear evidente entre
aTensão Elétrica e a Corrente Elétrica.
É necessário um modelo que permita usar os valores da
Tensão Elétrica de diferentes pedaços de grafite para obter
possíveis valores da Corrente Elétrica, sem a necessidade de
realizar o experimento novamente.
Questão 3: É possível propor um 
modelo estatístico?
� Um modelo de regressão linear simples descreve uma 
relação entre uma variável independente (ou explicativa) 
X e uma variável dependente (ou resposta) Y, da seguinte 
maneira:
� = �� + ��� + �
� Em que: �� e �� são constantes desconhecidas e � é o 
erro aleatório.
Contexto histórico
� Francis Galton (inglês, 1822-1911), primo de Charles 
Darwin, fundou e defendia a eugenia (melhoramento 
genético humano);
� Estudou a hereditariedade de diversas características 
humanas;
� Na última década do século 19, Galton estudava a relação 
existente entre a estatura dos pais e dos filhos;
� Filhos de pais de estatura elevada tendiam a ser altos mas 
não tão altos quanto seus pais;
� Filhos de pais de menor estatura tendiam a ser baixos 
mas não tão baixos quanto seus pais .
Contexto histórico
Alt (cm) Obs 1 Obs 21 Obs 29 Obs 40
Pai 134,74 153,95 172,01 193,94
Filho 144,39 161,99 169,54 186,28
Regressão para a mediocridade
Alt_filho = 61,13cm + 0,63*Alt_pai + erro
� = 0,98
Especificando modelo
(Lei de Ohm)
� = �� + ��� + �
Em que:
� representa a corrente elétrica (Ampéres);
� representa a tensão elétrica (Volts).
Serão utilizadas as 10 observações apresentadas 
anteriormente;
O modelo visa fornecer valores de corrente elétrica 
para qualquer valor de tensão.
Encontrando os valores para 
β0 e β1
Existem muitas retas possíveis. 
Procura-se aquela que melhor se 
ajuste a todos os dados.
Observa-se as distâncias 
entre o valor real e o seu 
correspondente na reta.
� � � = � = �� + ���
��
���
��
Método de Mínimos Quadrados
• As n observações da amostra podem ser
expressadas por:
�
�
= �
0
+ �
1
�� + ��, 				� = 1,… ,�
• Ajusta-se a reta que resulta no menor valor
para a soma dos erros ao quadrado ∑ ��
2�
�=1 .
Modelo de Regressão
(Lei de Ohm)
Coeficiente de Determinação
• É um indicador para verificar o ajuste do
modelo de regressão.
• É denotado por R2 .
• Para a regressão linear simples é o valor do
coeficiente de correlação linear ao quadrado.
R2 = (ρ)2
• No exemplo da Lei de Ohm, temos:
R2 = (0,962 )2 = 0,9255
Verificando os Resíduos
• De um modo similar ao apresentado para a
avaliação de erros, verificaremos as diferenças
entre os valores observados e os valores
calculados pelo modelo proposto.
• Estas diferenças são denominadas Resíduos.
	� = �� − �
 �
Analisando os Resíduos
?
Variáveis (Lei de Ohm)
Observação X Y W Z
1 1,0 0,25 4,00 digital
2 2,0 0,55 3,64 digital
3 3,0 0,85 3,53 digital Onde:
4 4,0 1,20 3,33 digital X: Tensão Elétrica(Em volts)
5 5,0 1,40 3,57 digital Y: Corrente Elétrica (Em ampères)
6 1,0 0,40 2,50 analógico W: Resistência (Em Ohms)
7 2,0 0,65 3,08 analógico Z: Tipo de Instrumento
8 3,0 0,90 3,33 analógico
9 4,0 1,15 3,48 analógico
10 5,0 1,50 3,33 analógico
Fonte: Medição realizada por alunos da turma 01
Variáveis (Lei de Ohm)
Observação 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Y 0,25 0,57 0,85 1,20 1,40 0,39 0,65 0,90 1,17 1,90
Onde:
X: Tensão Elétrica (Em volts)
Y: Corrente Elétrica (Em ampères)
Modelo de Regressão (2)
(Lei de Ohm)
Modelo de Regressão
(Lei de Ohm)