Matematica financeira - series de pagamento

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De modo geral, uma série corresponde a toda e qualquer sequência de entradas ou saídas de caixa com um dos 
seguintes objetivos: (1) amortização de uma dívida ou (2) capitalização de um montante. 
As séries podem ser classificadas de diferentes formas: 
• Série periódica: seus termos ocorrem em períodos de tempo iguais; 
• Temporária (finita): a série tem uma duração determinada; 
• Constante (uniforme): todos os termos da série têm o mesmo valor; 
• Imediata (carência): o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo; 
• Postecipada: cada termo se localiza no final do período de vencimento. 
As séries uniformes apresentam prestações iguais. São bastante comuns em operações comerciais como 
financiamentos de eletrônicos, financiamento imobiliário, etc. 
Matematicamente, as séries uniformes podem ser representadas por meio de seu valor futuro, conforme 
descrito na seguinte fórmula: 
 
Onde: 
VF = Valor Futuro 
PMT = Valor da Prestação Periódica 
i = Taxa de Juros 
n = Número de Pagamentos da Série 
Para séries postecipadas, ou seja, sem carência e com o primeiro pagamento realizado ao final do primeiro 
período, utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
Onde: 
VP = Valor Presente 
PMT = Valor da Prestação Periódica 
i = Taxa de Juros 
n = Número de Pagamentos da Série 
 
Exemplo 1: 
Disciplina: MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profª: Maria Laura F. Brito 
LISTA 11 – SÉRIES DE PAGAMENTO
 
[ ]
i
iPMTVF
n 1)1(. −+= [ ]1)1(. −+= ni
iVFPMT
[ ]
[ ]ii
iPMTVP n
n
.)1(
1)1(.
+
−+
=
[ ]
[ ]1)1(
.)1(.
−+
+
= n
n
i
iiVPPMT
 2
Uma geladeira possui preço a vista igual a $ 800,00, podendo ser paga em 3 parcelas mensais e iguais sem 
entrada. Sabendo que a taxa de juros praticada pela loja é igual a 5% a.m., calcule o valor da prestação a ser 
cobrada pela loja. 
PMT = ? 
VP = 800 
i = 5% a.m ➔ 0,05 a.m. 
n = 3 
 
Exemplo 2: 
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado por seis pagamentos mensais de $ 1.500,00, vencendo a 
primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo a taxa de juros negociada na operação igual a 3,5% 
a.m.. 
VP = ? 
i = 3,5% a.m. ! 0,035 a.m. 
PMT = 1500 
n = 6 
 
 
 
 
 
 
 
Na HP12C: 
[ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora 
[ f ] 2 = coloca 2 casas decimais 
1500 [ CHS ] [ PMT ] 
6 [ n ] 
3,5 [ i ] ! Lembrando que na HP12C deve-se inserir a taxa em modo percentual 
[ PV ] = logo após teclar isso aparecerá no visor ➔7.992,83 
Nas séries uniformes de pagamentos diferidas são aquelas em que há um período de carência, ou seja, 
se considerarmos um período de carência qualquer como c, a primeira prestação será paga no período 
seguinte. 
 
Onde c é o período de carência 
77,29336721,0.800
157625,0
05788,0.800
1)05,1(
05,0.)05,1(.800
1)1(
.)1(. 3
3
==⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
+
= n
n
i
iiVPPMT
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−+
=
ii
iPMTVP n
n
.)1(
1)1(.
ii
iPMTVP c
n
.)1(
)1(1. 1−+
+−
= n
c
i
iiVPPMT
−
−
+−
+
=
)1(1
)1(..
1
 3
Exemplo: 
Certa loja vende determinada mercadoria à vista por $ 850,00, em 24 parcelas mensais, devendo a primeira 
parcela ser paga após 4 meses do fechamento da compra. Considerando uma taxa de 4% ao mês, determinar o 
valor de cada prestação. 
 
Na HP12C: 
Observação: Na HP-12C considera-se, inicialmente, o período de carência e calcula-se o valor realmente devido 
(FV) após a carência. Esse valor torna-se, então, o novo PV que será pago em prestações no prazo contratado e 
que, portanto, não gerará nenhum valor devido (FV = 0). 
[ f ] [ REG ] = Limpa todos os registros da calculadora 
[ f ] 2 = (duas casas decimais) 
3 [ n ] 
4 [ i ] 
850 [ CHS ] [ PV ] 
[ FV ] 
Visor = 956,13 
[ CHS ] [ PV ] 
0 [ FV ] 
24 [ n ] 
[ PMT ] 
Visor = 62,71 
Bibliografia de apoio para preparação da Lista 11 
CAMPOS, C. R. Matemática Financeira - Série Economia de Bolso. São Paulo: LCTE, 2010. 
VIEIRA Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1997. 
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007. 
71,6284440,1.34
60988,0
12486,1.34
39012,01
12486,1.34
)04,1(1
)04,1(34
)04,01(1
)04,01(.04,0.850
)1(1
)1(.. 24
3
24
141
===
=
−
=
−
=
+−
+
=
+−
+
=
−−
−
−
−
PMT
i
iiVPPMT n
c
 4
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
* 
Prof. Caio Ferrari 
Prof.ª. Ercila Alves de Oliveira 
Prof.ª. Maria Laura Franchi Brito 
Exercícios sobre Séries de Pagamentos 
1. Um financiamento de R$ 132.000,00, será liquidado em 14 prestações mensais. Se a taxa de juros for de 
1,80% a.m., calcular o valor da prestação. R.: R$ 10.750,5 
 VP – 132000 n = 14m i = 1,80% am PMT = ? 
 
 HP12 C= 132000 CHS PV; 14 n; 1,80 i; PMT 10750,58 
2. Uma compra no valor de R$ 375.000,00 foi feita mediante uma entrada de 20% e o restante em prestações 
mensais durante 2 anos. Qual será o valor da prestação se a taxa de juros composto for de 8,5% a.m.? R.: 
R$ 29.690,92 
 VALOR COMPRA = 375000 ENTRADA: 20% = 75000 =>>>>>> VP = 300000 
 n = 2 anos = 24m i = 8,5%am PMT =? 
 
HP12 C => 375000 ENTER; 20 %; 75000 VISOR; -(SUBTRAÇÃO); 300000 VISOR; 
 CHS PV; 24 n ; 8,5 i; PMT 29690,93 
 3. Quanto uma pessoa terá que aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, durante 5 anos, para que 
possa resgatar R$ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 
2% a.m.? R.: R$ 1.753,59 
 VF 200000 n = 5 anos = 60 m 2% am = i PMT = ? 
 
[ ]
[ ] 58,1075008144,0.13200028372,0
02311,0.132000
]1)018,1[(
]018,0.)018,1[(.132000
1)1(
.)1(. 14
14
===
−
=
−+
+
= n
n
i
iiVPPMT
[ ]
[ ] 94,2969009897,0.30000008457,6
60219,0.300000
]1)085,1[(
]085,0.)085,1[(.
1)1(
.)1(. 24
24
===
−
=
−+
+
= n
n
i
iiVPPMT
[ ] 59,175300877,0.200000]1)02,1[(
02,0.200000
1)1(
. 60 ==−
=
−+
= ni
iVFPMT
 5
 HP12C = 200000 CHS FV; 5 n; 2 i; PMT 1753,59 
4. Quanto terá no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, durante esse prazo, em um 
fundo de “Fundo de Renda Fixa”, a taxa de 3% a.m.? R.: R$ 52.204,20 
5. Calcular o valor atual de uma séries de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 3.500,00 cada 
uma, considerando uma taxa de 5% a.m. R.: R$ 48.295,25 
6. Uma determinada empresa financia eletrodomésticos em 6 prestações mensais iguais, e deseja ganhar uma 
taxa de 2,5%a.m.. Qual o valor dessas prestações para um financiamento de $ 3.000,00? Considere que a 
primeira prestação vence 30 dias após a assinatura do contrato. R: R$ 544,65 
7. Um carro pode ser adquirido em 36 prestações mensais iguais de $ 1.720,00, vencendo a primeira 30 dias 
após a data da compra. Calcule o valor à vista, se a taxa de juros utilizada na operação foi de 3,44% a.m.. 
R: R$ 35.202,66 
8. A propaganda de uma loja de eletrodomésticos anuncia: "Compre tudo e pague em 12 vezes. Leve hoje e só 
comece a pagar daqui a 3 meses.” Se a taxa de financiamento é de 4,5% a.m., qual é o valor da prestação 
de um refrigerador cujo preço à vista é de $ 3.500,00? R: R$ 419,15