Estatistica_exercicios_resolvidos

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104
Introdução ao e-learning
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 2 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
1. INTRODUÇÃO .............................................….................................... 4 
1.1 Definições Gerais ........................................................................ 5 
1.1.1. População 5 
1.1.2. Variáveis ou atributos 5 
1.1.3. Processo de amostragem 5 
1.2 A Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva .............…...... 6 
2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA .............................................…................... 8 
2.1 Variáveis Qualitativas ................................................................. 8 
2.2 Variáveis Quantitativas Discretas ............................................. 9 
2.3 Variáveis Quantitativas Contínuas ............................................ 10 
2.4 Medidas de Localização ............................................................. 11 
2.4.1. Média 11 
2.4.2. Mediana 12 
2.4.3. Moda 13 
2.5 Medidas de Ordem ...................................................................... 13 
2.6 Medidas de Assimetria ............................................................... 14 
2.7 Medidas de Dispersão ................................................................ 15 
2.7.1. Dispersão Absoluta 15 
2.7.2. Dispersão Relativa 16 
2.8 Análise de Concentração ........................................................... 17 
2.8.1. Curva de Lorenz 17 
2.8.2. Índice de Gini 18 
2.9 Estatística Descritiva Bidimensional ........................................ 19 
 
 
 
 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 3 
 
 
 
 
 
3. ESTATÍSTICA INDUTIVA .............................................…...................... 45 
3.1 Noções básicas de probabilidades ........................................... 45 
3.2 Probabilidade condicionada ...................................................... 48 
3.3 Funções de Probabilidade ........................................….............. 49 
3.4 Estimação por Intervalos ..........................................….............. 76 
3.5 Testes de hipóteses ..................................................….............. 89 
3.6 Aplicações Estatísticas: Fiabilidade ......................................... 105 
3.6.1. Conceito de fiabilidade 105 
3.6.2. Fiabilidade de um sistema 105 
3.7 Aplicações Estatísticas: Controlo Estatístico de Qualidade .. 110 
3.8 Aplicações Estatísticas: Tratamento Estatístico de Inquéritos . 114 
3.8.1. Teste de independência do qui-quadrado 114 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 4 
"A estatística é a técnica de torturar os números até que eles confessem". 
Autor desconhecido 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
Inicialmente, a actividade estatística surgiu como um ramo da Matemática. 
Limitava-se ao estudo de medições e técnicas de contagem de fenómenos 
naturais e ao cálculo de probabilidades de acontecimentos que se podiam 
repetir indefinidamente. Actualmente, os métodos estatísticos são utilizados em 
muitos sectores de actividade, tendo como algumas aplicações estudos de 
fiabilidade, pesquisas de mercado, testes de controle de qualidade, tratamento 
de inquéritos, sondagens, modelos econométricos, previsões, etc. 
 
Exemplo de uma estatística: os valores da inflação entre 1980 e 1990 
constituem uma estatística. Fazer estatística sobre estes dados poderia 
consistir, por exemplo, em traçar gráficos, calcular a inflação média trimestral 
ou prever a inflação para 1991. 
 
A análise de um problema estatístico desenvolve-se ao longo de várias fases 
distintas: 
 
(i) Definição do Problema 
Saber exactamente aquilo que se pretende pesquisar; estabelecer o 
objectivo de análise e definição da população 
(ii) Amostragem e Recolha de Dados 
Fase operacional. É o processo de selecção e registo sistemático de dados, 
com um objectivo determinado. Os dados podem ser primários (publicados 
pela própria pessoa ou organização) ou secundários (quando são 
publicados por outra organização). 
(iii) Tratamento e Apresentação dos Dados 
Resumo dos dados através da sua contagem e agrupamento. É a 
classificação de dados, recorrendo a tabelas ou gráficos. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 5 
(iv) Análise e Interpretação dos Dados 
A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está 
ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade 
principal é descrever o comportamento do fenómeno em estudo (estatística 
descritiva). Na estatística indutiva a interpretação dos dados se 
fundamentam na teoria da probabilidade. 
 
 
 
1.1. Definições Gerais 
 
1.1.1. População 
 
Fazer estatística pressupõe o estudo de um conjunto de objectos bem 
delimitado com alguma característica em comum sobre os quais observamos 
um certo número de atributos designados por variáveis. 
Exemplo: Empresas existentes em Portugal 
 
 
1.1.2. Variáveis ou atributos 
 
As propriedades de uma população são estudadas observando um certo 
número de variáveis ou atributos. As variáveis podem ser de natureza 
qualitativa ou quantitativa. As variáveis quantitativas podem ainda dividir-se 
entre discretas e contínuas. As variáveis discretas assumem apenas um 
número finito numerável de valores. As variáveis contínuas podem assumir um 
número finito não numerável ou um número infinito de valores. 
Exemplo: um conjunto de empresas pode ser analisado em termos de sector 
de actividade (atributo qualitativo), número de trabalhadores (atributo 
quantitativo discreto), rácio de autonomia financeira (atributo quantitativo 
contínuo), etc 
 
 
1.1.3. Processo de amostragem 
 
Para conhecer de forma completa a população, podem efectuar-se: 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 6 
- recenseamentos (indagação completa de todos os elementos da 
população); este processo é, no entanto, tipicamente moroso e 
dispendioso, sendo esses os motivos porque os Censos são realizados 
apenas em cada 10 anos. 
- estudos por amostragem (observação de apenas um subconjunto, tido 
como representativo do universo). As técnicas de recolha de amostras 
garantem a sua representatividade e aleatoriedade. 
 
 
 
1.2. A Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva 
 
Para além do ramo de amostragem, a estatística compreende dois grandes 
ramos: a estatística descritiva e a estatística indutiva. 
 
A estatística descritiva é o ramo da estatística que se encarrega do tratamento 
e análise de dados amostrais. Assim, depois de recolhida a amostra de acordo 
com técnicas que garantem a sua representatividade e aleatoriedade, fica 
disponível um conjunto de dados sobre o universo “em bruto” ou não 
classificados. Para que seja possível retirar qualquer tipo de conclusões, torna-
se necessário classificar os dados, recorrendo a tabelas de frequências e a 
representações gráficas, isto é, é preciso tratar os dados. Depois de tratados, 
será possível proceder à análise dos dados através de várias medidas que 
descrevem o seu comportamento: localização, dispersão, simetria dos dados, 
concentração, etc. São disso exemplo indicadores numéricos bem conhecidos 
como a média ou a variância. 
 
A estatística indutiva é o ramo da estatística que se ocupa em inferir das 
conclusões retiradas sobre a amostra para a população. De facto, a amostra 
não é mais do que um passo intermédio e exequível de obter informações 
sobre o verdadeiro objecto de estudo, que é o universo. A estatística indutiva 
(ou inferência estatística) garante a ligação entre amostra e universo: se algo 
se concluiu acerca da amostra, até que ponto é possível afirmar algo 
semelhante para o universo? É nesta fase que se procuram validar as 
hipóteses formuladasnuma fase prévia exploratória. Claro que o processo de 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 7 
indução implica um certo grau de incerteza associado à tentativa de 
generalização de conclusões da “parte” (amostra) para o “todo” (universo). O 
conceito de probabilidade vai ter aqui, então, um papel fundamental. Isto é, não 
vai ser possível afirmar com toda a certeza que o comportamento da amostra 
ilustra perfeitamente o comportamento do universo, mas apenas que o faz com 
forte probabilidade. As inferências indutivas são assim elaboradas medindo, ao 
mesmo tempo, o respectivo grau de incerteza. Daí que, na ficha das técnicas 
das sondagens eleitorais, por exemplo, apareçam referências ao “nível de 
confiança” associado aos resultados e ao “erro” cometido. 
 
O esquema seguinte ilustra a “roda” da disciplina de estatística, relacionando 
os seus diferentes ramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POPULAÇÃO 
OU UNIVERSO 
Amostragem 
TRATAMENTO E 
ANÁLISE DA AMOSTRA 
Estatística 
Descritiva 
Inferência
Estatística 
INFERIR DA AMOSTRA 
PARA O UNIVERSO 
Gráficos; tabelas; medidas descritivas 
Previsões 
Estimação 
Erros 
AMOSTRA 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 8 
 
 
 
 
 
2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
Os resultados da observação de um atributo sobre os elementos do conjunto a 
analisar constituem os dados estatísticos. O ramo da estatística que se ocupa 
do tratamento, apresentação e análise de dados amostrais denomina-se de 
estatística descritiva. 
 
 
2.1. Variáveis Qualitativas 
 
Os dados qualitativos são organizados na forma de uma tabela de frequências, 
que representa o número ni de elementos de cada uma das categorias ou 
classes e que é chamado de frequência absoluta. A soma de todas as 
frequências é igual à dimensão da amostra (n). 
 
Numa tabela de frequências, além das frequências absolutas, também se 
apresentam as frequências relativas (fi), obtida dividindo a frequência absoluta 
pelo número total de observações. 
 
 
Modalidades Frequências absolutas Frequências relativas 
Mod. 1 n1 f1 
 
Mod. j nj fj 
 
Mod. n nn fn 
Total n: dimensão da amostra 1 
 
 
n
ni
fi = ; ni: nº de vezes que cada modalidade da variável foi observada. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 9 
Estes dados podem também ser representados graficamente através de: 
 
Diagrama de barras 
Para cada modalidade, desenha-se uma barra de altura igual à frequência 
absoluta ou relativa (as frequências relativas são de preferir, pois permitem a 
comparação de amostras de diferentes dimensões). 
 
Diagrama sectorial ou circular 
Esta representação é constituída por um círculo, em que se apresentam tantas 
“fatias” quantas as modalidades em estudo. O ângulo correspondente a cada 
modalidade é proporcional às frequências das classes, fazendo corresponder o 
total da amostra (n) a 360º Geralmente, juntamente com a identificação da 
modalidade, indica-se a frequência relativa respectiva. 
 
 
 
2.2. Variáveis Quantitativas Discretas 
 
São variáveis que assumem um número finito ou infinito numerável de valores. 
A apresentação destas amostras é semelhante às variáveis qualitativas, 
fazendo-se uma tabela de frequências e uma representação gráfica recorrendo 
ao diagrama de barras. 
 
Valores da variável Frequências absolutas Frequências relativas 
X1 n1 f1 
 
Xj nj fj 
 
Xn nn fn 
Total n: dimensão da amostra 1 
 
 
Também é possível calcular as frequências (absolutas – Ni - e relativas - Fi) 
acumuladas, como se pode ver no exemplo: 
 
Nº defeituosos (X) Nº embalagens (ni) % embalagens (fi) Ni Fi 
0 80 40% 80 40% 
1 60 30% 80+60 40%+30% 
2 30 15% 170 85% 
3 20 10% 190 95% 
4 10 5% 200 100% 
Total 200 1 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 10 
2.3. Variáveis Quantitativas Contínuas 
 
Como foi dito anteriormente, uma variável (ou atributo) é contínua quando 
assume um número infinito não numerável de valores, isto é, podem assumir 
qualquer valor dentro de um intervalo. 
 
Neste caso, a construção da tabela compreende duas etapas: 
(i) Definição de classes de valores disjuntas, correspondentes a intervalos de 
números reais fechados à esquerda e abertos à direita, cuja constituição 
obedece a certas regras 
(ii) Contagem das observações pertencentes a cada classe 
 
 
Regra de construção de classes 
(pressupõe a formação de classes de igual amplitude) 
- Número de classes a constituir 
Depende de n = dimensão da amostra 
Se n≥25, o número de classes a constituir deve ser 5 
Se n<25, o número de classes a constituir deve ser n 
- Amplitude comum a todas as classes 
Sendo a amplitude total dos dados dada pela diferença entre o valor 
máximo e o valor mínimo observados, então a amplitude de cada classe 
será: 
Valor máximo da variável observado – Valor mínimo da variável observado 
Nº de classes a constituir 
 
 
 
Classes de 
valores da variável 
Frequências absolutas Frequências relativas 
[x1; x2[ n1 f1 
[x2; x3[ 
[x3; x4[ nj fj 
 
[xn-1; xn] n fn 
Total n: dimensão da amostra 1 
 
 
A distribuição de frequências representa-se através de um histograma. 
Um histograma é uma sucessão de rectângulos adjacentes, em que a base é 
uma classe e a altura a frequência (relativa ou absoluta) por unidade de 
amplitude (ni/ai ou fi/ai), sendo a amplitude de cada classe ai=ei-ei-1. A área total 
do histograma é a soma das frequências relativas, isto é, 1. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 11 
 
1. Esta distribuição permite visualizar o tipo de distribuição e deve salientar 
alguns aspectos mais relevantes desta (moda, classe modal, ...). Como 
as classes podem ter amplitudes diferentes, para que todos os 
rectângulos (colunas) sejam comparáveis é necessário corrigir as 
frequências das classes (calculando as frequências que se teria se a 
amplitude de todas as classes fosse igual e igual a 1) 
2. É preferível representar o histograma com fi/hi do que com ni/hi uma vez 
que deste modo é possível comparar distribuições com diferente número 
de observações amostrais. 
 
Também é possível calcular as frequências (absolutas – Ni - e relativas - Fi) 
acumuladas. 
 
 
 
2.4. Medidas de localização 
 
2.4.1. Média ( X ) 
 
É a medida de localização mais usada, sobretudo pela sua facilidade de 
cálculo. 
Dados não-classificados (não agrupados numa tabela de frequências) 
 �
=
=
n
i
ix
n
x
1
1
 Média aritmética simples 
 
Dados classificados (isto é, agrupados numa tabela de frequências) 
Variáveis discretas 
 ��
==
==
n
i
iii
n
i
i xfxn
n
x
11
1
Média ponderada dos valores de X 
 
Dados classificados (isto é, agrupados numa tabela de frequências) 
Variáveis contínuas 
��
==
==
n
i
iii
n
i
i cfcn
n
x
11
1 Média ponderada dos pontos médios das classes 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 12 
onde ci é o ponto médio de cada classe (
2
.sup.lim.inf.lim + ) 
A média é uma medida de localização que, geralmente, indica o valor central 
da distribuição, entendido como o valor em torno do qual se distribuem os 
valores observados. Desta forma, a média é muitas vezes utilizada como valor 
representativo da amostra. 
No entanto, a média tem o grande inconveniente de ser sensível a valores 
muito extremados ou aberrantes da distribuição (outliers). Em casos desses, a 
média deixa de ser um valor que aparece na parte central da distribuição para 
ser “empurrada” para os extremos. Nestes casos, é preferível recorrer à 
informação complementar fornecida por outras medidas de localização, como a 
moda e a mediana, que se definem a seguir. 
 
 
2.4.2. Mediana (Me) 
 
A mediana não se calcula a partir do valor de todas as observações, mas a 
partir da posição dessas observações. 
 
Dados não-classificados 
Se tivermos n valores x1, x2, ... xn 
Se n fôr ímpar, 
2
1+= nxMe 
Se n fôr par, 
2
1
22
+
+
=
nn xx
Me 
 
Dados classificados 
A mediana é o valor tal que Fi = 0,5Variáveis discretas 
Se existe um valor de xi para o qual Fi = 0,5, então fala-se em intervalo 
mediano. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 13 
Se não existe nenhum valor de xi para o qual Fi = 0,5, então a mediana é 
o primeiro valor para o qual Fi > 0,5. 
Variáveis contínuas 
Em geral, determina-se o valor para o qual Fi = 0,5 através de uma regra 
de três simples, atendendo a que as frequências acumuladas variam 
uniformemente dentro de cada classe. 
 
De uma forma geral: 
medianaclassexamp
FLFL
FL
LMe .
infsup
inf5.0
inf
−
−
+= 
 
 
2.4.3. Moda (Mo) 
Variáveis discretas 
A moda é valor de X para o qual fi é máximo, isto é, é o valor mais 
frequente da distribuição. 
Variáveis contínuas 
A classe modal é a classe de valores de X para o qual fi/hi é máximo, 
isto é, é a classe a que corresponde maior frequência por unidade de 
amplitude. 
 
 
2.5. Medidas de ordem 
 
Tal como se definiu para a mediana, é possível definir outros valores de 
posição ou valores separadores da distribuição em partes iguais. 
 
Chama-se quantil de ordem p ao valor de x a que corresponde Fi = p. 
- Se p=0,01; 0,02;.....0,99, chama-se ao quantil percentil 
- Se p=0,1; 0,2;...0,9, chama-se ao quantil decil 
- Se p=0,25, 0,5, 0,75, chama-se ao quantil QUARTIL (Q1, Q2 e Q3). A 
mediana é uma caso particular dos quartis (coincide com Q2) 
 
Variável discreta 
O quantil de ordem p é o primeiro valor de x para o qual i>p. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 14 
Variável contínua 
Calcula-se por uma regra de três simples, como a mediana. 
De uma forma geral: 
 
1.
infsup
inf25.0
inf1 Qclassexamp
FLFL
FL
LQ
−
−
+= 
 
3.
infsup
inf75.0
inf3 Qclassexamp
FLFL
FL
LQ
−
−
+= 
 
A representação gráfica destas medidas designa-se de diagrama de 
extremos e quartis e serve para realçar algumas características da amostra. 
Os valores da amostra compreendidos entre os 1º e 3º quartis são 
representados por um rectângulo (caixa) com a mediana indicada por uma 
barra. Seguidamente, consideram-se duas linhas que unem os meios dos 
lados do rectângulo com os extremos da amostra. 
 
A partir deste diagrama, pode reconhecer-se a simetria ou enviesamento dos 
dados e a sua maior ou menor concentração: 
 
 
 
2.6. Medidas de assimetria 
 
A assimetria é tanto maior quanto mais afastados estiverem os valores da 
média, mediana e moda. Concretamente, se: 
− X = Me = Mo, a distribuição diz-se simétrica 
− X > Me > Mo, a distribuição diz-se assimétrica positiva (ou enviesada à 
esquerda) 
− X < Me < Mo, a distribuição diz-se assimétrica negativa (ou enviesada à 
direita) 
 
Coeficiente de assimetria de Bowley (g’): 
13
)12()23(
QQ
QQQQ
−
−−−
 
Se g’ = 0 ..............a distribuição é simétrica positiva ou equilibrada 
 Os quartis estão à mesma distância da mediana. 
Se g’ > 0 ..............a distribuição é assimétrica positiva ou “puxada” para 
25% 
maiores 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 15 
a esquerda (se fôr = 1, assimetria é máxima) 
 A mediana desliza para o lado do Q1, 
 logo Q3-Q2 > Q2-Q1 
Se g’ < 0 ..............a distribuição é assimétrica negativa ou “puxada” para 
 a direita (se fôr = -1, assimetria é máxima) 
 A mediana desliza para o lado do Q3, 
 logo Q2-Q1 > Q3-Q2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7. Medidas de dispersão 
 
Duas distribuições podem distinguir-se na medida em que os valores da 
variável se dispersam relativamente ao ponto de localização (média, mediana, 
moda). Apresentam-se de seguida algumas das mais utilizadas, classificadas 
consoante a medida de localização usada para referenciar a dispersão das 
observações: 
 
 
2.7.1 Medidas de dispersão absoluta 
 
(i) Em relação à mediana 
Amplitude inter-quartis = Q = Q3 – Q1 
Significa que 50% das observações se situam num intervalo de 
amplitude Q. Quanto maior (menor) a amplitude do intervalo, maior 
(menor) a dispersão em torno da mediana. 
(ii) Em relação à média 
Variância amostral: mede os desvios quadráticos de cada valor 
observado em relação à média, havendo pouca dispersão se os desvios 
forem globalmente pequenos, e havendo muita dispersão se os desvios 
forem globalmente grandes. 
 
Q1 Q2 Q3 
Assimétrica positiva 
Assimétrica negativa 
Q1 Q2 
 Q3 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 16 
Dados não-classificados 
( )
2
1
2 1�
=
−=
n
i
xxi
n
s 
 
Dados classificados 
Variáveis discretas 
 ( ) ( )��
==
−=−=
n
i
n
i
xxifixxini
n
s
1
2
2
1
2 1
 
 
Dados classificados 
Variáveis contínuas 
 ( ) ( )��
==
−=−=
n
i
n
i
xcifixcini
n
s
1
2
2
1
2 1
 
 
onde ci é o ponto médio de cada classe i. 
Desvio-padrão: Medida de dispersão com significado real, mas que só é 
possível calcular indirectamente, através da raiz quadrada da variância. 
Está expressa nas mesmas unidades da variável. 
 
 
 
2.7.2 Medidas de dispersão relativa 
 
Muitas vezes, avaliar a dispersão através de um indicador de dispersão 
absoluta não é conveniente, assim como comparara a dispersão de duas 
distribuições, uma vez que estas medidas vêm expressas na mesma unidade 
da variável – como é o caso, por exemplo, da variância. Assim, é de esperar 
que os valores da variância sejam mais elevados quando os valores da variável 
são maiores, o que não significa que a distribuição seja muito dispersa. Para 
comparar diferentes distribuições de frequência são precisas medidas de 
dispersão relativa: 
 
definidaestáqualàrelaçãoemolocalizaçãdeMedida
absolutaDispersão
relativaDispersão = 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 17 
 
 
Coeficiente de variação 
x
s
CV = x100% 
 
Outras medidas 
2
13
Q
QQ −
 
 
Estas medidas não estão expressas em nenhuma unidade, e permitem 
comparar dispersões entre duas amostras, pois não são sensíveis à escala 
(eventualmente diferente) em que as variáveis estejam expressas. 
 
 
 
2.8. Análise da concentração 
 
A noção de concentração apareceu associada ao estudo de desigualdades 
económicas, como a repartição do rendimento ou a distribuição de salários. O 
fenómeno de concentração está relacionado com a variabilidade ou dispersão 
dos valores observados, apesar de não poder ser analisado através das 
medidas de dispersão atrás descritas, que apenas medem a dispersão dos 
valores em relação a um ponto. O objectivo é determinar como o atributo 
(rendimento, salários, número de empresas) se distribui (se de forma mais ou 
menos uniforme) pelos diferentes indivíduos da amostra (que devem ser 
susceptíveis de serem adicionados, isto é, a análise de concentração não se 
aplica a idade, altura, peso, etc). 
Se o atributo estiver igualmente repartido pelos indivíduos, temos uma situação 
extrema de igual distribuição; e vice-versa de o atributo estiver concentrado 
num só indivíduo, temos uma situação extrema de máxima concentração. Em 
geral, interessa medir o grau de concentração em situações intermédias. 
Para analisar a concentração, existem dois instrumentos: a Curva de Lorenz e o Índice 
de Gini. 
 
 
 
2.8.1 Curva de Lorenz 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 18 
 
O objectivo é comparar a evolução das frequências acumuladas (Fi = pi) com a 
evolução da soma dos valores da variável (qi) 
 
 
Quadro de dados 
Classes de 
valores da variável ni 
Quantidade 
atributo 
Freq.relativa 
acumuladas 
Proporção 
atrib.acumul, 
[x1; x2[ n1 yi p1 q1 
[x2; x3[ 
[x3; x4[ nj yj pj qj 
 
[xn-1; xn[ nn yn pn=1 qn=1 
Total n 
 
Os pontos (pi;qi) pertencem ao quadrado (0,1) por (0,1). A curva que os une é 
a curva de Lorenz. Se houver igual distribuição, a frequência das observações 
deve ter uma evolução igual à proporção do atributo correspondente, isto é, 
pi=qi. Nesse caso, a curva de Lorenz coincide com a diagonal do quadrado, 
que é designada de recta de igual repartição. Quanto mais a curva se afastar 
da recta, maior é a concentração. A zona entre a diagonale acurva de Lorenz 
designa-se, por isso, de zona de concentração. 
 
 
2.8.2 Índice de Gini 
 
O índice de Gini é calculado pela seguinte expressão 
�
�
−
=
−
=
−
=
1
1
1
1
)(
n
i
n
i
pi
qipi
G 
 
Quando G = 0, a concentração é nula, havendo igual repartição. Caso o valor 
de G seja 1, a concentração será máxima. O valor de G varia entre 0 e 1, e 
quanto maior o seu valor, maior a concentração. 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 19 
2.9. Estatística Descritiva Bidimensional 
 
Numa situação em que se observam pares de valores (xi; yj), pode ter interesse 
estudar as relações porventura existentes entre os dois fenómenos, 
nomeadamente relações estatísticas. Não se trata de estudar relações 
funcionais (isto é, a medida em que o valor de uma variável é determinado 
exactamente pela outra), mas sim de estudar a forma como a variação de uma 
variável poderá afectar a variação da outra, em média. (por exemplo, o peso e 
a altura normalmente estão relacionados, mas a relação não é determinística). 
Duas variáveis ligadas por uma relação estatística dizem-se correlacionadas. 
Se as variações ocorrem, em média ou tendencialmente, no mesmo sentido, a 
correlação diz-se positiva. Se ocorrem em sentidos opostos, a correlação diz-
se negativa. 
 
Trata-se então de estudar se: 
- Se existe alguma correlação entre os fenómenos ou variáveis 
observadas 
- A existir, se é traduzível por alguma lei matemática, nem que 
tendencialmente 
- A existir, se é possível medi-la 
 
 
Por vezes, a representação gráfica do conjunto de dados bivariados sugere o 
ajustamento de uma recta a este conjunto de pontos, indicando a existência de 
uma tendencial correlação linear entre as duas variáveis, como é o caso do 
exemplo atrás descrito. A essa recta chama-se recta de regressão de y sobre 
x, que permite descrever como se reflectem em y (variável dependente ou 
explicada) as modificações processadas em x (variável independente ou 
explicativa). Essa recta torna possível, por exemplo, inferir (em média) a altura 
de um indivíduo, conhecendo o respectivo peso. 
Um dos métodos mais conhecidos de ajustar uma recta a um conjunto de 
dados é o Método dos Mínimos Quadrados, que consiste em determinar a recta 
que minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre os verdadeiros valores 
de y e os obtidos a partir da recta que se pretende ajustar. Obtém-se assim a 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 20 
recta de regressão ou recta dos mínimos quadrados. Assim, se a recta de 
regressão obedecer à seguinte fórmula geral: 
 
y = a + bx 
 
o método permite minimizar a soma dos desvios quadráticos yi - (a + bxi). 
Assim sendo, obtém-se: 
�
�
−
−
=
22
xnx
yxnyx
b
i
ii
 e xbya −= 
 
Matematicamente, b designa o declive da recta. Em termos estatísticos, b 
corresponde ao coeficiente de regressão de y sobre x, que indica a variação 
média de y que acompanha uma variação unitária de x. 
 
O valor de a designa a ordenada na origem, isto é, o valor que y assume 
quando x=0. 
 
 
 
Quando, quer através do diagrama de dispersão, quer através da recta de 
regressão, se verifica a existência de uma associação linear entre as variáveis, 
pode-se medir a maior ou menor força com que as variáveis se associam 
através do coeficiente de correlação linear r: 
 
))((,
1
yyxxs
ss
s
r i
n
i
ixy
yyxx
xy
−−== �
=
 
 
 
Este indicador da correlação tem a vantagem de não depender das unidades 
ou da ordem de grandeza em que as variáveis estão expressas. O coeficiente 
de correlação linear está sempre compreendido entre –1 e 1. 
Se r > 0, então pode dizer-se que existe uma correlação positiva entre as 
variáveis, isto é, as variáveis variam no mesmo sentido: um aumento 
(diminuição de x) provoca um aumento (diminuição) de y, mas menos que 
proporcional. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 21 
Se r < 0, então pode dizer-se que existe uma correlação negativa entre as 
variáveis, isto é, as variáveis variam em sentidos opostos: um aumento 
(diminuição de x) provoca uma diminuição (aumento) de y, mas menos que 
proporcional. 
Se r = 0, então pode dizer-se que as variáveis não estão correlacionadas 
linearmente. 
Antes de se efectuar um estudo de correlação, deve-se procurar justificação 
teórica para a existência ou inexistência de correlação. Caso contrário, poderá 
acontecer que variáveis sem relação de causalidade entre si, variem num certo 
sentido por razões exteriores. A esta correlação ilusória, chama-se correlação 
espúria. 
 
Nos extremos, se r = 1 ou se r = -1, então pode dizer-se que existe uma 
correlação positiva ou negativa perfeita, respectivamente, entre as variáveis, 
isto é, uma variação numa variável provoca na outra uma variação 
exactamente proporcional no mesmo sentido ou em sentido contrário. Isto é, a 
correlação é máxima. 
 
 
Correlação ordinal 
 
Por vezes, as variáveis vêm expressas numa escala ordinal, isto é, interessa 
mais conhecer a ordenação dos valores do que os valores observados 
propriamente ditos. Neste caso, em vez do coeficiente de correlação linear, 
calcula-se o coeficiente de correlação ordinal: 
 
y
i
x
ii
n
i
i
s RRd
nn
d
r −=
−
−=
�
= ,
)1(
61
2
1
2
 
 
 
 
 
 
Ordens (“ranks”) das 
observações de X e 
de Y, respectivamente 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 22 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
Exercícios resolvidos 
 
Exercício 1 
Considere a distribuição de 1000 empresas de um sector de actividade 
segundo os resultados líquidos (em milhares de u.m.): 
 
Resultado Líquido Frequência. Relativa (%) 
[0; 1[ 10 
[1; 3[ 25 
[3; 5[ 35 
[5; 15[ 15 
[15; 25[ 10 
[25; 50[ 5 
Total 100 
 
a) Represente a distribuição graficamente. 
b) Determine a média e a moda da distribuição. Qual o significado dos 
valores encontrados? 
c) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente. 
Determine a mediana da distribuição. 
d) Determine os quartis da distribuição. Faça a sua representação gráfica. 
e) Analise a (as)simetria da distribuição em causa. 
f) Analise a concentração através do Índice de Gini e da Curva de Lorenz. 
 
 
Resolução 
 
a) 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 10 20 30 40 50 60
fi/hi
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 23 
 
b) 325,7%)55.37(...%)252(%)105,0(
1
11
=+++=== ��
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i
 
 
Em média, o resultado líquido de uma empresa é de 7325 unidades 
monetárias. 
 
A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência por unidade de 
amplitude. Neste caso, o maior valor de fi / hi é 0,175. correspondente à classe 
[3; 5[, isto é, os valores de resultado líquido mais prováveis para uma empresa 
situam-se entre 3000 u.m. e 5000 u.m. 
 
c) A representação gráfica das frequências acumuladas (ver tabela) designa-se 
de polígono integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [3; 5[ 
3 : Fi=0,35 
5 : Fi = 0,7 
 
Fi
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100 120
X fi hi fi/hi Fi ci 
[0; 1[ 10% 1 0.1 10% 0.5 
[1; 3[ 25% 2 0.125 35% 2 
[3; 5[ 35% 2 0.175 70% 4 
[5; 15[ 15% 10 0.015 85% 10 
[15; 25[ 10% 10 0.01 95% 20 
[25; 50] 5% 25 0.002 100% 37.5 
Total 1 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 24 
Cálculo da mediana: 
0,7 - 0,35 ------------ 5 - 3 
0,5 – 0,35 -------------- Me – 3 
Me = 3 + ((2x0,15)/0,35) = 3,857 
50% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 3857 u.m. 
 
d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,25): [1; 3[ 
1 : Fi=0,1 
3 : Fi = 0,35 
 
Cálculo do Q1: 
0,35 - 0,1 ------------ 3 - 1 
0,25 – 0,1 -------------- Q1 – 1 
Q1 = 1 + ((2x0,15)/0,25) = 2,2 
25% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 2200 u.m. 
 
 
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,75): [5; 15[ 
5 : Fi=0,7 
15: Fi = 0,85 
 
Cálculo do Q3: 
0,85 - 0,7 ------------ 15 - 5 
0,75 – 0,7 -------------- Q3 – 5 
Q3 = 5 + ((10x0,05)/0,15) = 8,333(3) 
75% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 8333 u.m. 
 
 
e) 
04596,0
2,2333,8
)2,2857,3()857,3333,8(
13
)12()23(
' >=
−
−−−
=
−
−−−
=
QQ
QQQQ
g 
 
A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda. 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 25 
f) 
 
X fi ni ci Atributo pi (=Fi) qi 
[0; 1[ 10% 1000x10%=100 0.5 100x0.5=50 0.1 0.007 
[1; 3[ 25% 250 2 250x2=500 0.35 0.075 
[3; 5[ 35% 350 4 1400 0.7 0.266 
[5; 15[ 15% 150 10 1500 0.85 0.471 
[15; 25[ 10% 100 20 2000 0.95 0.744 
[25; 50[ 5% 50 37.5 1875 1 1 
Total 1 n=1000 7325 
 
 
 
 
 
47,0
95,085,07,035,01,0
)744,095,0(...)007,01,0(
=
++++
−++−
=G 
 
 
A distribuição dos resultados líquidos 
apresenta concentração média (G=0,5 
corresponde ao centro da escala 
possível, entre 0 e 1). Por exemplo, 
70% das empresas apresentavam 
resultados até 5000 u.m., mas isso 
representava apenas 26,6% do total 
de resultados das empresas da 
amostra, o que sugere um tecido 
empresarial com muitas PMEs, mas 
em que cada uma tem baixo resultado 
líquido. 
 
 
 
 
Exercício 2 
Considere a seguinte amostra de dimensão 200, referente aos lucros obtidos 
por empresas de um dado sector industrial, expressas numa determinada 
unidade monetária. 
 
Analise a concentração através do Índice de Gini e da Curva de Lorenz. 
 
Res.Liq.Totais 
7325
140050050 ++ 
Curva de Lorenz
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 26 
Resolução 
 
Lucros ni Lucro total pi (=Fi) qi 
[0; 50[ 20 600 0.1 0.02 
[50; 100[ 60 4400 0.4 0.16(6) 
[100; 200[ 80 14000 0.8 0.63(3) 
[200; 300[ 30 7500 0.95 0.883(3) 
[300; 500] 10 3500 1 1 
Total 200 30000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
243,0
25,2
)6(546,0
)(
1
1
1
1 ==
−
=
�
�
−
=
−
=
n
i
n
i
pi
qipi
G 
 
 
Tanto pela análise da Curva de Lorenz, como pelo valor do Índice de Gini, 
conclui-se que esta amostra apresenta concentração moderada, encontrando-
se os valores razoavelmente repartidos. 
 
 
Exercício 3 
Considere o exemplo abaixo referente ao peso e altura de 10 indivíduos. 
a) Represente o diagrama de dispersão. 
b) Analise a correlação existente entre peso e altura. 
c) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que 
exprima as peso em função da altura. 
Curva de Lorenz
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 27 
 
Indivíduo Peso (kg) Altura (cm) 
A 72 175 
B 65 170 
C 80 185 
D 57 154 
E 60 165 
F 77 175 
G 83 182 
H 79 178 
I 67 175 
J 68 173 
 
 
Resolução 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) No exemplo, r = 0,90681871, isto é, existe uma correlação positiva forte 
entre as duas variáveis, quase perfeita. 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Dispersão
150
160
170
180
190
50 60 70 80 90
Peso (kg)
A
lt
u
ra
 (
cm
)
Recta de Regressão
y = 0,9016x + 109,36
150
160
170
180
190
50 60 70 80 90
Peso (kg)
A
lt
u
ra
 (
cm
)
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 28 
A equação desta recta traduz-se em 
Altura = 109,36 + 0,9016 x Peso 
Isto é, se um indivíduo pesar 70 kg, a altura esperada será de 109,36 + 0,9016 
x 70 = 172,472. 
Por cada kg de peso adicional, espera-se que a altura do indivíduo aumente 
0,9016 cm. 
 
 
Exercício 4 
O quadro abaixo apresenta as vendas e as despesas em publicidade (ambas 
em milhares de u.m.) de uma empresa no período de 7 anos: 
Ano Vendas Desp. Publicidade 
1 10 3 
2 13 3 
3 18 5 
4 19 6 
5 25 8 
6 30 9 
7 35 13 
 
a) Compare as vendas e as despesas em publicidade quanto à dispersão. 
b) Analise a correlação existente entre volume e custo de produção. 
c) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que 
exprima as vendas em função das despesas em publicidade. 
 
 
Resolução 
a) Para comparar a dispersão das duas distribuições, é necessário calcular os 
coeficientes de variação (medidas de dispersão relativa): 
 
Dados não-classificados 
429,21
1
1
== �
=
n
i
ix
n
x 714,6
1
1
== �
=
n
i
iy
n
y 
( ) 9408,691
2
1
2
=−= �
=
n
i
x xxi
n
s ( ) 0651,111
2
1
2
=−= �
=
n
i
y yyi
n
s 
 
39,0
429,21
9408,69
===
x
s
CV xx < 495,0
714,6
0651,11
===
y
s
CV
y
y 
 
A dispersão das despesas em publicidade é superior à dispersão das vendas. 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 29 
b) 
( )( ) ( )( )[ ]
98,0
0651,119408,69
714,613429,2135...714,63429,2110
7
1
=
−−++−−
==
xss
s
r
yyxx
xy
 
 
Existe uma correlação positiva linear forte entre as duas variáveis. Em média, 
quando as despesas em publicidade aumentam (diminuem), as vendas 
aumentam (diminuem) de forma quase exactamente proporcional. 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 5 
Considere que 10 estudantes foram sujeitos a uma prova de avaliação no início 
e no final do curso. No quadro abaixo, encontram-se as ordenações desses 10 
estudantes segundo as classificações obtidas em cada uma das provas: 
 
Aluno Prova inicial Ri
x 
Prova final 
Ri
y 
di 
Ri
x - Ri
y 
A 1 1 0 
B 3 2 1 
C 2 3 -1 
D 5 4 1 
E 7 6 1 
F 8 8 0 
G 9 7 2 
H 10 9 1 
I 6 10 -4 
J 4 5 -1 
Recta de Regressão
y = 2,4649x + 4,8782
0
10
20
30
3 8 13
Desp. Public.
V
en
d
as
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 30 
Resolução 
Como não dispomos das classificações dos alunos, mas sim das ordenações 
das classificações (do 1º ao 10º classificado), para avaliar a correlação 
existente entre as 2 provas calcula-se o coeficiente de correlação ordinal: 
8424,0
)1100(10
)11614011110(6
1
)1(
61
2
1
2
=
−
+++++++++
−=
−
−=
�
=
x
x
nn
d
r
n
i
i
s 
 
 
A correlação é positiva e elevada (rs varia entre –1 e 1), isto é, os alunos que 
tiveram boa nota na prova inicial tiveram, em média, igualmente boa nota na 
prova final. 
 
 
Exercício 6 
O quadro que se segue descreve a distribuição do rendimento anual (em 
milhares de u.m.) de 2500 famílias da população de um país: 
Rendimento anual Nº de famílias 
[0, 1[ 250 
[1, 2[ 375 
[2, 5[ 625 
[5, 15[ 750 
[15, 25[ 375 
[25, 50[ 125 
 
a) Represente as frequências acumuladas graficamente. 
b) Determine o rendimento médio e mediano. 
c) Determine os três primeiros quartis. Que indicações lhe dão sobre a 
(as)simetria? 
d) O que pode concluir quanto à dispersão? 
e) Calcule o índice de Gini. O que conclui sobre a concentração do 
rendimento? 
 
Resolução 
a) 
Rendimento anual Nº de famílias % de famílias Fi (%) ci 
[0, 1[ 250 10 10 0.5 
[1, 2[ 375 15 25 1.5 
[2, 5[ 625 25 50 3.5 
[5, 15[ 750 30 80 10 
[15, 25[ 375 15 95 20 
[25, 50[ 125 5 1 37.5 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 31 
b) 025,9%)55.37(...%)155.1(%)105,0(
1
11
=+++=== ��
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i
 
 
Em média, o rendimento anual de uma família é de 9025 unidades monetárias. 
 
Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [2; 5[ 
5 : Fi = 0,5. Logo, a mediana é 5 (50% das famílias têm rendimentos anuais até 
5000 unidades monetárias). 
 
 
c) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,25): [1; 2[ 
3 : Fi = 0,25 
25% das famílias apresentam rendimentos anuais inferiores a 2000 u.m. 
 
 
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,75): [5; 15[ 
5 : Fi=0,5 
15 : Fi = 0,8 
 
Cálculo do Q3: 
0,8 - 0,5 ------------ 15 - 5 
0,75 – 0,5 -------------- Q3 – 5 
Q3 = 5 + ((10x0,25)/0,3) = 13,333(3) 
75% das famílias apresentam rendimentos anuais inferiores a 13333 u.m. 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 32 
047,0
2333,13
)25()5333,13(
13
)12()23(
' >=
−
−−−
=
−
−−−
=
QQ
QQQQ
g 
 
A distribuição é assimétrica positiva ou enviesadaà esquerda. 
 
 
d) ( ) 286875,82* 2
1
2
2
1
2
=−=−= ��
==
xficixcifis
n
i
n
i
x 
 071,9286875,82
2
=== xx ss 
 
 
e) 
Rendimento anual ni ci Rend. total pi (=Fi) qi 
[0, 1[ 250 0.5 125 0,1 0.00554 
[1, 2[ 375 1.5 562,5 0,25 0.0305 
[2, 5[ 625 3.5 2187,5 0,5 0.1274 
[5, 15[ 750 10 7500 0,8 0.46 
[15, 25[ 375 20 7500 0,95 0.7922 
[25, 50[ 125 37.5 4687.5 1 1 
Total 2500 22562,5 
 
4555,0
6,2
18436,1
)(
1
1
1
1 ==
−
=
�
�
−
=
−
=
n
i
n
i
pi
qipi
G Concentração moderada do rendimento 
 
 
Exercício 7 
Considere a seguinte tabela que representa a distribuição dos empregados de 
uma instituição bancária segundo a remuneração bruta mensal (em milhares de 
unidades monetárias): 
 
Remuneração Frequência. Relativa (%) 
[60; 80[ 7.8 
[80; 100[ 15.2 
[100; 120[ 31.2 
[120; 140[ 19.5 
[140; 160[ 7.2 
[160; 200[ 8.1 
[200; 250[ 5.4 
[250, 300[ 2.6 
[300; 350] 3.0 
Total 100 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 33 
a) Calcule os quartis da distribuição. 
b) Analise a dispersão da distribuição em causa. 
c) Analise a assimetria da distribuição em causa. 
 
 
Resolução 
a) 
Remuneração Frequência. Relativa (%) Fi (%) 
[60; 80[ 7.8 7.8 
[80; 100[ 15.2 23 
[100; 120[ 31.2 54.2 
[120; 140[ 19.5 73.7 
[140; 160[ 7.2 80.9 
[160; 200[ 8.1 89 
[200; 250[ 5.4 94.4 
[250, 300[ 2.6 97 
[300; 350] 3.0 100 
Total 100 
 
Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 
0,25): [100; 120[ 
1 : Fi=0,23 
3 : Fi = 0,542 
Cálculo do Q1: 
0,542 - 0,23 ------------ 120 - 100 
0,25 - 0,23 -------------- Q1 - 100 
Q1 = 100 + ((20x0,02)/0,312) = 101,28 
25% dos empregados auferem remunerações inferiores a 101,28 milhares u.m. 
 
Classe a que pertence Q2 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 
0,5): [100; 120[ 
100 : Fi=0,23 
120 : Fi = 0,542 
Cálculo do Q2: 
0,542 - 0,23 ------------ 120 - 100 
0,5 - 0,23 -------------- Q2 - 100 
Q2 = 100 + ((20x0,27)/0,312) = 117,3 
50% dos empregados auferem remunerações inferiores a 117,3 milhares u.m. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 34 
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,75): [140; 160[ 
120 : Fi=0,737 
140 : Fi = 0,809 
 
Cálculo do Q3: 
0,809 - 0,737 ------------ 160 - 140 
0,75 – 0,737 -------------- Q3 - 140 
Q3 = 140 + ((20x0,013)/0,072) = 143,61(1) 
75% dos empregados auferem remunerações inferiores a 143,61(1) milhares u.m. 
 
b) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 143,61(1) - 101,28 = 42,33 
 (dispersão reduzida em torno da mediana) 
 
c) 0243,0
28,10161,143
)28,1013,117()3,11761,143(
13
)12()23(
' >=
−
−−−
=
−
−−−
=
QQ
QQQQ
g 
 
 A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda. 
 
 
Exercício 8 
 Os dados seguintes referem-se ao peso, expresso em gramas, do conteúdo de 
uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha 
de enchimento automático: 
 
Peso (em gramas) Frequência. Relativa (%) 
[297; 298[ 8 
[298; 299[ 21 
[299; 300[ 28 
[300; 301[ 15 
[301; 302[ 11 
[302; 303[ 10 
[303; 304[ 5 
[304; 305[ 1 
[305; 306] 1 
Total 100 
 
a) Represente graficamente os dados acima. 
b) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 35 
c) Determine o peso médio, mediano e modal. Qual o seu significado? 
d) Determine os quartis da distribuição. 
e) Analise a dispersão do peso das garrafas. 
 
Resolução 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
Peso (em gramas) Frequência Relativa (%) Fi (%) 
[297; 298[ 8 8 
[298; 299[ 21 29 
[299; 300[ 28 57 
[300; 301[ 15 72 
[301; 302[ 11 83 
[302; 303[ 10 93 
[303; 304[ 5 98 
[304; 305[ 1 99 
[305; 306] 1 100 
Total 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
11,300%)15,305(...%)215,298(%)85,297(
1
11
=+++=== ��
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i
 
O peso médio das garrafas é de 300,11 kg. 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307
Histograma
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310
F*
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 36 
Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [299; 
300[ 
299 : Fi = 0,29 
300 : Fi = 0,57 
Cálculo do Q2: 
0,57 - 0,29 ------------ 300 - 299 
0,5 - 0,29 -------------- Q2 - 299 
Q2 = 299 + ((1x0,21)/0,28) = 299,75 
50% das garrafas têm peso inferior a 299,75 kg. 
 
A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência relativa. Neste 
caso, o maior valor de fi é 0,28 correspondente à classe [299; 300[, isto é, os 
pesos mais prováveis das garrafas situam-se entre 299 kg e 300 kg. 
 
d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,25): [298; 299[ 
298 : Fi=0,08 
299 : Fi = 0,29 
Cálculo do Q1: 
0,29 - 0,08 ------------ 298 - 299 
0,25 - 0,08 ------------ Q1 - 299 
Q1 = 299 + ((1x0,17)/0,21) = 299,0357 
25% das garrafas têm peso inferior a 299,0357 kg. 
 
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,75): [301; 302[ 
301 : Fi=0,72 
302 : Fi = 0,83 
Cálculo do Q3: 
0,83 - 0,72 ------------ 302 - 301 
0,75 – 0,72 -------------- Q3 - 301 
Q3 = 301 + ((1x0,03)/0,11) = 301,27(27) 
75% das garrafas têm peso inferior a 301,27(27) kg. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 37 
e) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 301,27(27) - 299,0357 = 2,237 
 (dispersão reduzida em torno da mediana) 
 
Exercício 8 
Numa faculdade, mediram-se as alturas de 100 alunos do primeiro ano: 
 
Altura (em metros) Nº Alunos 
[1,4; 1,5[ 2 
[1,5; 1,55[ 10 
[1,55; 1,6[ 25 
[1,6; 1,65[ 13 
[1,65; 1,7[ 17 
[1,7; 1,75[ 20 
[1,75; 1,8[ 10 
[1,8; 1,9] 3 
Total 100 
 
a) Represente graficamente os dados acima. 
b) Determine a altura média e a altura modal. Qual o seu significado? 
c) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente. 
d) Determine os quartis da distribuição e diga qual o seu significado. 
e) Analise a dispersão da distribuição. 
f) Analise a (as)simetria da distribuição. 
 
Resolução 
a) 
Altura (em metros) ni fi ci hi fi/hi Fi 
[1,4; 1,5[ 2 0,02 1,45 0,1 0,2 0,02 
[1,5; 1,55[ 10 0,1 1,525 0,05 2 0,12 
[1,55; 1,6[ 25 0,25 1,575 0,05 5 0,37 
[1,6; 1,65[ 13 0,13 1,625 0,05 2,6 0,5 
[1,65; 1,7[ 17 0,17 1,675 0,05 3,4 0,67 
[1,7; 1,75[ 20 0,2 1,725 0,05 4 0,87 
[1,75; 1,8[ 10 0,1 1,775 0,05 2 0,97 
[1,8; 1,9] 3 0,03 1,85 0,1 0,3 1 
Total 100 1 
 
 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
Histogramafi/hi
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 38 
b) 65,1%)385,1(...%)10525,1(%)245,1(
1
11
=+++=== ��
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i
 
A altura média dos alunos é de 1,65 m. 
 
A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência por unidade de 
amplitude. Neste caso, o maior valor de fi / hi é 5. correspondente à classe 
[1,55; 1,6[, isto é, a altura mais provável de um aluno rondará 1,55m / 1,6m. 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,25): [1,55; 1,6[ 
1,55 : Fi=0,12 
1,6 : Fi = 0,37 
Cálculo do Q1: 
0,37 – 0,12 ------------ 1,6 – 1,55 
0,25 – 0,12 ------------ Q1 – 1,55 
Q1 = 1,55 + ((0,05x0,13)/0,25) = 1,576 
25% dos alunos têm altura inferior a 1,576 m. 
 
Classe a que pertence Q2 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,5): [1,6; 1,65[ 
1,65 : Fi = 0,5 
50% dos alunos têm altura inferior a 1,65 m. 
 
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência 
acumulada 0,75): [1,7; 1,75[ 
1,7 : Fi=0,67 
1,75 : Fi = 0,87 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
F*
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 39 
Cálculo do Q3: 
0,87- 0,67------------ 1,75 – 1,7 
0,75 – 0,67-------------- Q3 – 1,7 
Q3 = 1,7 + ((0,05*0,08)/0,2) = 1,72 
75% dos alunos têm altura inferior a 1,72 m. 
 
e) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 1,72 – 1,576 =0,144 
 (dispersão reduzida em torno da mediana) 
( ) 00536875,0* 2
1
2
2
1
2
=−=−= ��
==
xficixcifis
n
i
n
i
x 
 07327,000536875,0
2
=== xx ss 
(dispersão reduzida em torno da média) 
 
f) 0)7(027,0
576,172,1
)576,165,1()65,172,1(
13
)12()23(
' <−=
−
−−−
=
−
−−−
=
QQ
QQQQ
g 
 
 A distribuição é ligeiramente assimétrica negativa ou enviesada à direita 
 (quase simétrica). 
 
 
Exercício 9 
Em determinada central telefónica, registou-se a duração das chamadas 
realizadas em Dezembro de 2001: 
 
Duração (em minutos) Nº Chamadas 
[0; 5[ 2000 
[5; 10[ 1500 
[10; 20[ 1000 
[20; 30[ 300 
[30; 50] 200 
Total 5000 
 
 
a) Represente graficamente as frequências simples e acumuladas. 
b) Determine a duração média das chamadas e respectivo desvio-padrão. 
c) Qual a duração da chamada mediana? Qual o significado do valor 
encontrado? 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 40 
d) Sabe-se que as chamadas realizadas durante o ano de 2001 
apresentaram uma duração média de 10 minutos, com desvio-padrão de 
8,7 minutos. Compare, quanto à dispersão, as chamadas efectuadas em 
Dezembro com as que tiveram lugar durante todo o ano de 2001. 
 
Resolução 
a) 
Duração (em minutos) ni fi hi fi/hi Fi ci 
[0; 5[ 2000 0,4 5 0,08 0,4 2,5 
[5; 10[ 1500 0,3 5 0,06 0,7 7,5 
[10; 20[ 1000 0,2 10 0,02 0,9 15 
[20; 30[ 300 0,06 10 0,006 0,96 25 
[30; 50] 200 0,04 20 0,002 1 40 
Total 5000 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 35,9%)440(...%)305,7(%)405,2(
1
11
=+++=== ��
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i
 
 A duração média de uma chamada é de 9,35 minutos. 
( ) 4525,81* 2
1
2
2
1
2
=−=−= ��
==
xficixcifis
n
i
n
i
x 
 025,900536875,0
2
=== xx ss 
 
c) Classe mediana (classe a que corresponde frequência acumulada 0,5): [5; 10[ 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0 10 20 30 40 50 60
Histogramafi/hi
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
F*
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 41 
5 : Fi = 0,4 
10 : Fi = 0,7 
Cálculo da Me: 
0,7 - 0,4 ------------ 10 - 5 
0,5 - 0,4 ------------ Me - 5 
Me = 5 + ((5x0,1)/0,3) = 6,67 
50% das chamadas têm duração a 6,67 minutos. 
 
d) 965,0
35,9
025,9
===
x
s
CV xDez > 87,0
10
7,8
2001 ===
y
s
CV
y 
 
Exercício 10 
Uma empresa coligiu dados relativos à produção de 12 lotes de um tipo especial 
de rolamento. O volume de produção e o custo de produção de cada lote 
apresentam-se na tabela: 
 
Lote Volume (unidades) Custo (contos) 
1 1500 3100 
2 800 1900 
3 2600 4200 
4 1000 2300 
5 600 1200 
6 2800 4900 
7 1200 2800 
8 900 2100 
9 400 1400 
10 1300 2400 
11 1200 2400 
12 2000 3800 
 
a) Analise a correlação existente entre volume e custo de produção. 
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que 
exprima o custo em função do volume de produção. 
 
Resolução 
a) 
( )( ) ( )( )[ ]
98,0
1145944520854
3,270838003,13582000...3,270831003,13581500
12
1
=
−−++−−
==
xss
s
r
yyxx
xy 
 
Correlação positiva quase perfeita. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 42 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 11 
Um conjunto de empresas do sector da Construção e Obras Públicas cotadas 
na Bolsa de Valores foram analisadas relativamente aos seguintes indicadores: 
 EPS (Earnings per Share): Resultado Líquido por Acção 
 PBV (Price/Book Value): Preço / Situação Líquida por Acção 
 
 
Empresa EPS ($) PBV ($) 
1 191 0.9 
2 32 1.0 
3 104 0.8 
4 117 0.8 
5 210 1.5 
6 95 0.7 
7 65 0.9 
8 201 1.3 
9 81 0.4 
 
a) Analise a correlação existente entre aqueles dois indicadores. 
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que 
exprima a variável EPS em função de PBV. 
 
 
Resolução 
a) 
( )( ) ( )( )[ ]
61,0
096933,0332,3669
92,04,07,12181...92,09,07,121191
9
1
=
−−++−−
==
xss
s
r
yyxx
xy 
 
Correlação positiva moderada. 
 
 
y = 1,4553x + 731,6
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Volume
C
u
st
o
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 43 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 12 
Recolheu-se uma amostra em 17 cidades do país relativamente aos seguintes 
indicadores: 
Ri: Rendimento médio mensal na cidade i (em 106 unidades monetárias) 
Gi: Gasto médio mensal em bens de luxo na cidade i (em 106 u.m.) 
 
Ri Gi Ri Gi 
 
125 54 144 61 
127 56 147 62 
130 57 150 62 
131 57 152 63 
133 58 154 63 
135 58 160 64 
140 59 162 65 
143 59 165 66 
169 66 
 
 
Dados adicionais 
� = 2467iR � = 1030iG � = 3610732iR 
� = 626202iG � = 150270iiGR 
 
 
a) Estude a correlação entre rendimento e despesas em bens de luxo. 
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que 
exprima a variável Gi em função de Ri. 
 
 
y = 124,04x + 7,383
0
50
100
150
200
250
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
PBV
E
P
S
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 44 
Resolução 
a) 
986,0
)
17
1030
*1762620)(
17
2467
*17361073(
17
1030
*
17
2467
*17150270
))((
2
22
2
2222
=
−−
−
=
−−
−
=
� �
�
GnGRnR
GRnGR
r
ii
ii
XY
 
Correlação positiva forte. 
 
b) 
y = 0,2604x + 22,801
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
100 120 140 160 180 200
Rendimento
G
as
to
104
Introdução ao e-learning
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 45 
 
 
 
 
 
3. ESTATÍSTICA INDUTIVA 
 
 
A estatística indutiva é o ramo da estatística que se ocupa em inferir das 
conclusões retiradas sobre a amostra para a população. Claro que o processo 
de indução implica um certo grau de incerteza associado à tentativa de 
generalização de conclusões da “parte” (amostra) para o “todo” (universo). O 
conceito de probabilidade vai ter aqui, então, um papel fundamental. Isto é, não 
vai ser possível afirmar com toda a certeza que o comportamento da amostra 
ilustra perfeitamente o comportamento do universo, mas apenas que o faz com 
forte probabilidade. 
De seguida, serão apresentadas algumas noções simples de probabilidades e 
funções de probabilidade, que serão úteis a aplicações de estatística indutiva 
relacionadas com controlo estatístico de qualidade e fiabilidade de 
componentes e sistemas. 
 
 
 
3.1. Noções básicas de probabilidade 
 
A teoria das probabilidades é um ramo da matemática extremamente útil para o 
estudo e a investigação das regularidades dos chamados fenómenos 
aleatórios. O exemplo seguinte pretende clarificar o que vulgarmente é 
designado por experiência aleatória. 
 
Deve entender-se como experiência qualquer processo ou conjunto de 
circunstâncias capaz de produzir resultados observáveis; quando uma 
experiência está sujeita à influência de factores casuais e conduz a resultados 
incertos, diz-se que a experiência é aleatória. 
Fundamentalmente, as experiências aleatórias caracterizam-se por: 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 46 
(i) poder repetir-se um grande número de vezes nas mesmas condições 
ou em condições muito semelhantes 
(ii) cada vez que a experiência se realiza, obtém-se um resultado 
individual, mas não é possível prever exactamente esse resultado 
(iii) os resultados das experiências individuais mostram-se irregulares, 
mas os resultados obtidos após uma longa repetição da experiência 
patenteiam uma grande regularidade estatística no seu conjunto 
 
Alguns autores consideram inserido no conceito de experiência aleatória um 
outro, o de espaço de resultados. O espaço de resultados corresponde ao 
conjunto formado por todos os resultados possíveis de uma experiência 
aleatória. Por exemplo, num lançamento de um dado ordinário tem-se que o 
espaço de resultados é }{ 6,5,4,3,2,1 . 
A importância da definição deste conceito advém sobretudo por ser o meio 
empregue para a definição de acontecimentos, que não sei mais que 
subconjuntos do espaço de resultados. Por exemplo, no lançamento de um 
dado podem definir-se, para além dos 6 acontecimentos elementares 
correspondentesà saída de cada uma das faces, outros como “saída de um 
número ímpar” definido pelo subconjunto }{ 5,3,1 . 
Definidos como conjuntos, aos acontecimentos é aplicável toda a construção 
disponível para aqueles, isto é, existe um paralelismo perfeito entre álgebra de 
conjuntos e álgebra de acontecimentos: 
(i) O acontecimento que contem todos os elementos do espaço de 
resultados chama-se acontecimento certo 
(ii) O acontecimento que não contem qualquer elemento do espaço de 
resultados chama-se acontecimento impossível 
(iii) Dois acontecimentos são mutuamente exclusivos se não têm em 
comum qualquer acontecimento do espaço de resultados 
(iv) A união de dois acontecimentos A e B representa-se por A ∪ B e é 
formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois, 
A ou B 
(v) A intersecção de dois acontecimentos A e B representa-se por A ∩ B e 
é formado pelos elementos comuns a A e B 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 47 
Probabilidade de um acontecimento é expressa na escala de 0 a 1, sendo 0 a 
probabilidade associada a um acontecimento impossível e 1 a probabilidade 
associada a um acontecimento certo. A primeira definição foi proposta por 
Laplace em 1812. Pode definir-se probabilidade de um acontecimento A 
como sendo: 
Número de casos favoráveis ao acontecimento A 
P(A) = 
Número total de casos possíveis na exp. aleatória 
 
 
Uma das principais críticas a esta definição é a de que ela só é aplicável 
quando o espaço de resultados é finito e os seus elementos possuem igual 
probabilidade; daí que ela surja muito ligada aos “jogos de azar”, que possuem 
essas propriedades. É o que acontece com as duas faces de uma moeda, as 
52 cartas de um baralho, as 6 faces de um dado, etc. 
 
 Para se analisar a probabilidade de ocorrência de determinados 
acontecimentos, deve ter-se em atenção o seguinte: 
− Dois acontecimentos são ditos mutuamente exclusivos se não puderem 
acontecer ao mesmo tempo; se dois acontecimentos forem mutuamente 
exclusivos, então: 
P(A ∩ B) = 0 
− A probabilidade de união de dois acontecimentos mutuamente 
exclusivos é dada por 
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) 
− Para dois acontecimentos quaisquer, vem que 
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
− Dois acontecimentos dizem-se complementares se: 
P(A) = 1 – P( A ) 
− Dois acontecimentos são ditos independentes se a ocorrência de um 
não afectar a probabilidade de ocorrência de outro; a probabilidade de 
ocorrência de dois ou mais acontecimentos independentes é o produto 
das probabilidades dos respectivos acontecimentos, isto é: 
P(A ∩ B) = P(A) x P(B) 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 48 
Após a apresentação desta definição, convém ainda referir que, numa outra 
perspectiva, a da chamada teoria frequencista, a probabilidade de um 
acontecimento é definida como sendo o valor para o qual tende a frequência 
relativa do acontecimento quando o número de repetições da experiência 
aumenta. 
 
 
 
3.2. Probabilidade condicionada 
 
Exemplo: 
Um grupo de pessoas é classificado de acordo com o seu peso e a incidência 
de hipertensão. São as seguintes as proporções das várias categorias: 
 Obeso Normal Magro Total 
Hipertenso 0,1 0,08 0,02 0,2 
Não Hipertenso 0,15 0,45 0,2 0,8 
Total 0,25 0,53 0,22 1,00 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser hipertensa? 
b) Qual a probabilidade de uma pessoa obesa ser hipertensa? 
Resolução 
a) Basta ver que a proporção de hipertensos é de 20% 
b) Há que tomar em atenção que o que se pretende é a proporção de 
hipertensos na população de obesos, isto é 4,0
25,0
1,0
= . Por outras palavras, 
pretende-se calcular a probabilidade do acontecimento “ser hipertenso”, 
sabendo que ocorreu o acontecimento “ser obeso”. Repare-se que este 
quociente resulta da divisão entre a probabilidade de uma pessoa ser 
hipertensa e obesa e a probabilidade de uma pessoa ser obesa. Pode 
escrever-se que a probabilidade pretendida é dada por: 
)(
)(
)/(
OP
OHP
OHP
∩
= 
onde P(H/O) é a probabilidade de ocorrer o acontecimento “ser hipertenso”, 
sabendo que ocorreu ou condicionado pelo acontecimento “ser obeso”. 
Este exemplo corresponde ao cálculo de uma probabilidade condicionada. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 49 
 
Como se viu anteriormente, dois acontecimentos são ditos independentes se a 
ocorrência de um não afectar a probabilidade de ocorrência de outro, isto é, se: 
P(A / B) = P(A) e se P(B / A) = P(B). 
 
Teorema de Bayes 
Seja B um acontecimento que se realiza se e só se um dos acontecimentos 
mutuamente exclusivos A1, A2,…An se verifica. Aos acontecimentos A1, A2,…An 
dá-se o nome de acontecimentos antecedentes. O teorema de Bayes permite 
calcular a probabilidade à posteriori de A1, A2,… An, isto é, a probabilidade de 
ocorrência de A1, A2,… An calculadas sob a hipótese de que B (acontecimento 
consequente) se realizou. De acordo com este teorema: 
�
=
=
n
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)/().(
)/().(
)/( 
Este Teorema utiliza-se em situações em que a relação causal está invertida. 
�
=
n
i
ii ABPAP
1
)/().( designa-se de probabilidade total de ocorrência do 
acontecimento B, isto é, é a probabilidade de ocorrência do acontecimento 
consequente B face a todos os possíveis acontecimentos A1, A2,… An que o 
podem ter antecedido (ou causado a sua ocorrência). 
 
 
3.3. Funções de probabilidade 
 
A probabilidade associada aos acontecimentos possíveis numa experiência 
aleatória obedecem, por vezes, a um padrão. Se associarmos a uma 
experiência aleatória uma variável X (por exemplo, associar aos resultados da 
experiência lançamento de um dado - que são 6 (saída de face 1 a 6) – a 
variável X:“Nº da face resultante do lançamento de um dado”), então pode ser 
constituída uma lei ou função de probabilidade (f(x)) dessa variável X, tal que 
f(x) = P(X=xi) 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 50 
Por exemplo, para X: nº da face resultante do lançamento de um dado, vem 
que: 
xi 1 2 3 4 5 6 
f(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
que se designa por lei uniforme. 
 
Algumas leis de probabilidade servem para explicar (ou aplicam-se a) um maior 
número de fenómenos estatísticos do que outras. Entre estas, contam-se a lei 
Binomial, a lei de Poisson e a lei Exponencial. 
 
(i) Lei Binomial 
Há alguns acontecimentos que são constituídos por um conjunto de 
experiências independentes, cada uma das quais com apenas dois estados 
possíveis de ocorrência e com uma probabilidade fixa de ocorrência para cada 
um deles. Por exemplo, os produtos resultantes de uma fábrica podem ser 
classificados como sendo defeituosos ou sendo não defeituosos, e o facto de 
um ter saído (ou não) defeituoso não influencia os outros serem (ou não). A 
distribuição das duas classes possíveis é discreta e do tipo binomial. 
No exemplo anterior, consideremos uma amostra de n artigos retirados da 
produção total, em relação aos quais se pretende identificar a variável X: “Nº de 
artigos defeituosos nos n que constituem a amostra”. A probabilidade de 
ocorrência do acontecimento “artigo é defeituoso” é dada por p: incidência de 
defeituosos na produção (convenientemente calculada através de métodos de 
estimação). A probabilidade do acontecimento complementar “artigo é não-
defeituoso” é dada por 
1 – p = q 
 
A probabilidade associada a x artigos defeituosos é dada por px (p x p x p x 
p...x vezes). Se há x defeituosos, restam n-x artigos não-defeituosos, com 
probabilidade dada por qn-x. Para calcular o número exacto de combinações de 
x artigos defeituosos com n-x artigos não-defeituosos, utiliza-se a figura 
“combinações de n, x a x, oriunda das técnicas de cálculo combinatório. Vem 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 51 
então que a probabilidade de existência de x defeituosos (e logo n-x não 
defeituosos) é igual a: 
xnxxnxn
x qp
ppn
n
qpCxf −−
−
==
!)!(
!
)( 
 
sendo que X segue Bi (n;p), sendon e p os parâmetros caracterizadores da lei. 
Um acontecimento deve ter 4 características para que se possa associar a uma 
lei binomial: 
- número fixo de experiências (n) 
- cada experiência ter apenas duas classes de resultados possíveis 
- todas as experiências terem igual probabilidade de ocorrência (p) 
- as experiências serem independentes 
Em sistemas eléctricos de energia é possível, por exemplo, aplicar a 
distribuição binomial quando se pretende calcular a fiabilidade de uma central 
eléctrica, com várias unidades iguais e admitindo que cada unidade apenas 
pode residir em dois estados, a funcionar ou avariada. 
 
 
(ii) Lei de Poisson 
A lei de Poisson (ou lei dos acontecimentos raros ou cadenciados) dá a 
probabilidade de um acontecimento ocorrer um dado número de vezes num 
intervalo de tempo ou espaço fixado, quando a taxa de ocorrência é fixa (por 
exemplo, nº de chamadas que chegam a uma central telefónica por minuto; nº 
de varias que ocorrem numa máquina por dia). Os números de acontecimentos 
de “sucesso” ocorridos em diferentes intervalos são independentes. O 
parâmetro caracterizador da distribuição de Poisson é λ, que corresponde ao 
número médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço. 
Como o número médio de ocorrências do acontecimento é proporcional à 
amplitude do intervalo de tempo ou espaço a que se refere, a variável X: “Nº de 
ocorrências do acontecimento no intervalo [0,t[” segue lei de Poisson de 
parâmetro λt (isto é, se para 1 unidade de tempo o nº médio de ocorrências é 
λ, para t unidades de tempo o número médio de ocorrências é λt). A expressão 
( ) t
x
e
x
t λλ −
!
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 52 
dá a probabilidade de acontecerem x ocorrências no intervalo de tempo [0,t[, e 
corresponde à expressão da lei de probabilidade de Poisson : Po(λt) 
Por exemplo, se X fôr o “Nº de avarias que ocorrem no intervalo de tempo 
[0,t[”, então a probabilidade de não ocorrerem avarias nesse intervalo, isto é, a 
fiabilidade do componente/sistema como função do tempo, é dada por: 
( ) tt eet λλλ −− =
!0
0
 
 
 
(iii) Lei Exponencial 
Seja T a variável “Tempo ou espaço que decorre entre ocorrências 
consecutivas de um acontecimento”. Então T segue lei exponencial Exp (λ), 
sendo 
λ
1
 
o tempo que, em média, decorre entre ocorrências sucessivas do 
acontecimento. 
Note-se que é possível estabelecer uma relação entre a lei exponencial e a lei 
de Poisson. Assim, se X fôr o “Nº de avarias que ocorrem no intervalo de 
tempo [0,t[”, e T fôr o “Tempo que decorre entre avarias consecutivas”, então: 
 
P (T>t) = P(tempo que decorre entre avarias exceder t) 
= P(até ao instante t, não ocorre qualquer avaria) 
= P (ocorrerem zero avarias no intervalo [0,t[) = P(X=0) = te λ− 
 
A distribuição exponencial é a mais usada em estudos de fiabilidade, já que a 
probabilidade de um componente sobreviver até ao instante t é dada por 
t
e
λ− 
A probabilidade de avariar até ao instante t é dada por 
t
e
λ−−1 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 53 
(iv) Lei Normal 
A lei Normal tem como parâmetros caracterizadores a média µ e o desvio-
padrão σ. Isto é, os valores observados têm uma determinada tendência 
central e uma determinada dispersão em torno da tendência central. 
 
A expressão 
�
∏
−
−
2
2)(
2
1
2
1 σ
µ
σ
Xi
e 
 
representa a função densidade de probabilidade da distribuição Normal. 
 
Se se fizer o valor médio µ igual a zero e todos os desvios forem medidos em 
relação à média, a equação será: 
σ
µ−
=
X
Z 
 
que corresponde a uma distribuição normal estandardizada (0;1) com os 
valores tabelados, a qual é caracterizada por uma curva de Gauss: 
 
 
 
Esta distribuição apresenta 99,73% dos valores entre os extremos –3 e 3. 
 
Existem muitos tipos de distribuição, mas a curva normal é a forma de 
distribuição mais frequente nos processos industriais para características 
mensuráveis, e pode considerar-se como estabelecida pela experiência prática. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 54 
 
 
 
 
(v) Lei Qui-Quadrado 
Considere-se um conjunto de n variáveis aleatórias Zi, obedecendo às 
seguintes condições: 
- cada variável Zi segue distribuição N(0,1); 
- as variáveis Zi são mutuamente independentes 
 
Então, a variável aleatória X, construída a partir da soma das n variáveis Zi 
elevadas ao quadrado, segue distribuição Qui-Quadrado com n graus de 
liberdade, denotada por 
22
2
2
1
1
2 ... n
n
i
i ZZZZX +++==�
=
 
2
nX χ∩ 
 
O termo “Graus de Liberdade” (d.f: degrees of freedom) é habitualmente usado 
para designar o número n de parcelas (variáveis Zi) adicionadas. É possível 
demonstrar que o valor esperado e a variância da distribuição de uma variável 
Qui-Quadrado são respectivamente 
n=µ 
n22 =σ 
A distribuição Qui-Quadrado é uma distribuição assimétrica à esquerda, 
aproximando-se da distribuição Normal à medida que n cresce. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 55 
 
104
Introdução ao e-learning
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 56 
PROBABILIDADES 
Exercícios resolvidos 
 
 
Exercício 1 
De um baralho ordinário (52 cartas) extrai-se ao acaso 1 carta. Determine a 
probabilidade dos seguintes acontecimentos: 
a) saída de Rei 
b) saída de copas 
c) saída de Rei ou copas 
d) saída de Rei mas não de copas 
e) não saída de Rei 
f) não saída de Rei nem de copas 
g) não saída de Rei ou não saída de copas 
 
Resolução 
A: saída de Rei 
B: saída de copas 
a) P(A)=1/13 
b) P(B)=1/4 
c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/13+1/4-1/52 = 4/13 (=(13+3)/52) 
d) P(A-B) = P(A) – P(A ∩ B) = 1/13 – 1/52 = 3/52 (= (4-1)/52) 
e) P( A )= 1-1/13 = 12/13 (=(52-4)/52) 
f) P( )BA ∩ = P( BA ∪ ) = 1 – P(A ∪ B) = 1 – 4/13 = 9/13 
g) P( )BA ∪ = P( BA ∩ ) = 1 – P )( BA ∩ = 1 – 1/52 = 51/52 
 
 
Exercício 2 
Um sistema electrónico é formado por dois sub-sistemas, A e B. De ensaios 
anteriores, sabe-se que: 
- a probabilidade de A falhar é de 20% 
- a probabilidade de B falhar sozinho é 15% 
- a probabilidade de A e B falharem é 15% 
Determine a probabilidade de: 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 57 
a) B falhar 
b) falhar apenas A 
c) falhar A ou B 
d) não falhar nem A nem B 
e) A e B não falharem simultaneamente 
 
Resolução 
A: o subsistema A falha 
B: o subsistema B falha 
P(A)=20% � P( A )= 80% 
P(B-A)=15% 
P(A ∩ B)=15% 
a) P(B) = P(B-A)+ P(A ∩ B) = 0,15 + 0,15 = 30% 
b) P(A-B) = P(A) – P(A ∩ B) = 0,2 – 0,15 = 5% 
c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,2 + 0,3 – 0,15 = 35% 
d) P( )BA ∩ = P( BA ∪ ) = 1 – P(A ∪ B) = 1 – 0,35 = 65% 
e) P( BA ∩ ) = 1 – P )( BA ∩ = 1 – 0,15 = 85% 
 
Exercício 3 
Suponha que há 3 jornais, A, B e C, com as seguintes percentagens de leitura: 
A: 9,8%; B: 22,9%; C: 12,1%; A e B: 5,1%; A e C: 3,7%; B e C: 6%; 
A, B e C: 2,4% 
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Calcule a probabilidade dessa pessoa: 
a) ler pelo menos um dos jornais 
b) ler A e B mas não C 
c) ler A mas não ler B nem C 
 
Resolução 
A: a pessoa escolhida lê o jornal A 
B: a pessoa escolhida lê o jornal B 
C: a pessoa escolhida lê o jornal C 
 
P(A) = 9,8% P(B) = 22,9% P(C) = 12,1% 
P(A ∩ B) = 5,1% P(A ∩ C) = 3,7% P(B ∩ C) = 6% 
P(A ∩ B ∩ C) = 2,4% 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 58 
a) 
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪
= 0,098+0,229+0,121-0,051-0,037-0,06+0,024 = 32,4% 
b) P( )CBA ∩∩ = P( )() CBAPBA ∩∩−∩ = 0,051 – 0,024 = 2,7% 
c) )( CBAP ∩∩ = P(A) - )()()( CBAPCAPBAP ∩∩+∩−∩ 
= 0,098-0,051-0,037+0,024 = 3,4% 
 
Exercício 4 
Um gerente de uma galeria de arte muito creditada no mercado, está 
interessado em comprar um quadro de um pintor famoso para posterior venda. 
O gerente sabe que há muitas falsificações deste pintor no mercado e que 
algumas dessa falsificações são bastante perfeitas o que torna difícil avaliar se 
o quadro que ele pretendecomprar é ou não um original. De facto, sabe-se que 
há 4 quadros falsos desse pintor para 1 verdadeiro. 
O gerente não quer comprometer o “bom nome” da galeria para a qual trabalha 
comprando um quadro falso. Para obter mais informação o gerente resolve 
levar o quadro a um museu de arte e pede para que o especialista do museu o 
examine. Este especialista garante-lhe que em 90% dos casos em que lhe é 
pedido para examinar um quadro genuíno daquele pintor, ele identifica-o 
correctamente como sendo genuíno. Mas em 15% dos casos em que examina 
uma falsificação do mesmo pintor, ele identifica-o (erradamente) como sendo 
genuíno. 
Depois de examinar o quadro que o gerente lhe levou, o especialista diz que 
acha que o quadro é uma falsificação. Qual é agora a probabilidade de o 
quadro ser realmente uma falsificação? 
 
Resolução 
V: o quadro é genuíno 
F: o quadro é falso 
I: o quadro é identificado correctamente 
P(V) = 20% 
P(F) = 80% 
P(I/V) = 90% � P( )/VI = 10% 
P( )/ FI = 15% � P(I/F) = 85% 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 59 
P(ser realmente falsificação/especialista identificou como falsificação) = 
= %1,97
7,0
68,0
1,0*2,085,0*8,0
85,0*8,0
)/(*)()/(*)(
)/(*)(
==
+
=
+ VIPVPFIPFP
FIPFP
 
 
Exercício 5 
Na ida para o emprego, o Sr. Óscar, polícia de profissão, tem de passar 
obrigatoriamente por três cruzamentos com semáforos. No primeiro 
cruzamento, o do Largo Azul, a probabilidade do semáforo se encontrar com 
sinal vermelho é de 10%. Em cada um dos cruzamentos seguintes, o Sr. Óscar 
fica parado devido aos sinais vermelhos em metade das vezes que lá passa. 
O Sr. Óscar já descobriu que os semáforos funcionam separadamente, não 
estando ligados entre si por qualquer mecanismo. 
Embora goste de cumprir a lei, o guarda Óscar passa no sinal verde e acelera 
no amarelo, só parando mesmo no sinal vermelho. 
a) Qual a probabilidade do Sr. Óscar chegar ao emprego sem ter de parar 
em qualquer sinal vermelho? 
b) Qual a probabilidade do Sr. Óscar ter de parar num só semáforo? 
c) Qual a probabilidade do Sr. Óscar ter parado no sinal vermelho do 
cruzamento do Largo Azul, sabendo que parou num só semáforo na sua 
ida para o emprego? 
 
Resolução 
A: polícia encontra sinal vermelho no 1º cruzamento 
B: polícia encontra sinal vermelho no 2º cruzamento 
C: polícia encontra sinal vermelho no 3º cruzamento 
P(A)=10% � P( A )= 90% 
P(B)=50% � P( B )= 50% 
P(C)=50% � P(C )= 50% 
 
a) P( )CBA ∩∩ = P( A )*P( B )*P(C ) = 0,9*0,5*0,5 = 22,5% 
b) P( )CBA ∩∩ + P( )CBA ∩∩ +P( )CBA ∩∩ = 
= P( A )*P( B )*P(C ) + P( A )*P( B )*P(C ) + P( A )*P( B )*P(C ) = 47,5% 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 60 
c) P(polícia parar no 1º cruzamento / polícia parou num só semáforo) 
%26,5
475,0
)(*)(*)(
475,0
)(
==
∩∩
=
CPBPAPCBAP
 
 
Exercício 6 
Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo, concluiu-se 
que este é louco com probabilidade 60%, ladrão com probabilidade igual a 70% 
e não é louco nem ladrão com probabilidade 25%. Determine a probabilidade 
do indivíduo: 
a) Ser louco e ladrão 
b) Ser apenas louco ou apenas ladrão 
c) Ser ladrão, sabendo-se que não é louco 
 
Resolução 
A: indivíduo é louco 
B: indivíduo é ladrão 
P(A)=60% 
P(B)=70% 
P( )BA ∩ = 25% = P( BA ∪ ) � P(A ∪ B) = 1 – 0,25 = 75% 
a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) � 0,75 = 0,6 + 0,7 - P(A ∩ B) 
P(A ∩ B) = 0,6 + 0,7 – 0,75 = 55% 
b) P(A-B) + P(B-A) = (0,6-0,55) + (0,7-0,55) = 20í 
c) P(B/ A ) = %5,37
4,0
15,0
6,01
)(
)(
)(
==
−
−
=
∩ ABP
AP
ABP
 
 
Exercício 7 
Uma moeda é viciada, de tal modo que P(F) = 2/3 e P(C) = 1/3. Se aparecem 
faces, então um número é seleccionado de 1 a 9. Se parecem coroas, um 
número é seleccionado entre 1 e 5. Determine a probabilidade de ser 
seleccionado um número par. 
 
Resolução 
P(Par) = 2/3*4/9 + 1/3*2/5 = 42,96% 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 61 
Exercício 8 
Numa fábrica, 3 máquinas, M1, M2 e M3 fabricam parafusos, sendo a produção 
diária total de 10000 unidades. A probabilidade de um parafuso escolhido ao 
acaso ter sido produzido por M1 é 30% da probabilidade de ter sido produzido 
por M2. A incidência de defeituosos na produção de cada máquina é: 
M1: 3% M2: 1% M3: 2% 
Extrai-se ao acaso da produção diária um parafuso. Sabendo que a 
probabilidade dele ser defeituoso é de 1,65%, determine o número de 
parafusos que cada máquina produz diariamente. 
 
Resolução 
M1: o parafuso foi produzido por M1 
M2: o parafuso foi produzido por M2 
M3: o parafuso foi produzido por M3 
D: o parafuso é defeituoso 
 
n = 10000 unidades 
P(M1) = 0,3 P(M2) 
P(D / M1) = 3% 
P(D / M2) = 1% 
P(D / M3) = 2% 
P(D) = 1,65% 
 
Prod. 1 = P(M1)*10000 = ? 
Prod. 2 = P(M2)*10000 = ? 
Prod. 3 = P(M3)*10000 = ? 
 
�
�
�
�
�
++=
=++
=
)3/(*)3()2/(*)2()1/(*)1()(
1)3()2()1(
)2(3,0)1(
MDPMPMDPMPMDPMPDP
MPMPMP
MPMP
⇔ 
 
�
�
�
�
�
++=
=+
−
02,0*)3(01,0*)2(03,0*)2(3,00165,0
1)3()2(3,1
MPMPMP
MPMP ⇔ 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 62 
�
�
�
�
�
−++=
−=
−
02,0*))2(3,11(01,0*)2(03,0*)2(3,00165,0
)2(3,11)3(
MPMPMP
MPMP ⇔ 
 
�
�
�
�
�
=
=−=−=
==
%50)2(
%355,0*3,11)2(3,11)3(
%155,0*3,0)1(
MP
MPMP
MP
 
 
 
Exercício 9 
O João tem à sua disposição 3 meios de transporte diferentes para se deslocar 
de casa para a escola: os transportes A, B ou C. Sabe-se que a probabilidade de: 
- chegar atrasado à escola é 60% 
- chegar atrasado utilizando o transporte A é 80% 
- chegar atrasado utilizando o transporte B é 50% 
- chegar atrasado utilizando o transporte C é 60% 
- utilizar os transportes B e C é a mesma 
a) Calcule a probabilidade de o João utilizar o transporte A 
b) Sabendo que o João chegou atrasado à escola, calcule a probabilidade 
de ter utilizado os transportes B ou C. 
 
Resolução 
T: O João chega atrasado 
A: o João utiliza o transporte A 
B: o João utiliza o transporte B 
C: o João utiliza o transporte C 
P(T) = 0,6 
P(T/A) = 0,8 
P(T/B) = 0,5 
P(T/C) = 0,6 
P(B) = P(C) 
P(A)+P(B)+P(C) = 1 � P(A) = 1- 2P(B) 
 
a) P(T) = P(A)*P(T/A) + P(B)*P(T/B) + P(C)*P(T/C) 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 63 
Logo 
0,6 = (1-2P(B))*0,8 + P(B)*0,5 + P(B)*0,6 
e vem que 
P(B) = 40% 
Então P(A) = 1 – 2P(B) = 1 – 2*0,4 = 20% 
b) P(B ∪ C / T) = 
)(
)/(*)()/(*)(
TP
CTPCPBTPBP +
 = 
6,0
6,0*4,05,0*4,0 +
=73,3% 
 
 
Exercício 10 
Uma empresa que se dedica à prestação de serviços de selecção de pessoal 
em relação a um teste psicotécnico para uma profissão específica sabe o 
seguinte: 
- as percentagens de indivíduos com um quociente de inteligência (Q.I.) 
elevado e médio são, respectivamente, de 30% e de 60% 
- a percentagem de indivíduos com Q.I. médio que ficam aptos no teste é 
de 50% 
- a probabilidade de um indivíduo com Q.I. baixo ficar apto no teste é de 
20% 
- finalmente, sabe-se que 70% dos indivíduos com Q.I. elevado ficam 
aptos no teste 
a) Qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ficar apto no 
teste? 
b) Qual a probabilidade de um indivíduo ter Q.I. baixo, sabendo-se que 
ficou inapto? 
 
Resolução 
A: indivíduo fica apto no teste 
E: indivíduo tem QI elevado 
M: indivíduo tem QI médio 
B: indivíduo tem QI baixo 
P(E) = 30% P(M) = 60% � P(B) = 1 –0,3 – 0,6 = 10% 
P(A/M) = 50% P(A/B) = 20% P(A/E) = 70% 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 64 
a) P(A) 
=P(E)*P(A/E)+P(M)*P(A/M)+P(B)*P(A/B) 
=0,3*0,7+0,6*0,5+0,1*0,2=53% 
b) P(B/ A ) = %17
53,01
8,0*1,0
)(
)/(*)(
=
−
=
AP
BAPBP
 
 
Exercício 11 
Os resultados de um inquérito aos agregados familiares de uma determinada 
cidade forneceram os seguintes dados: 
- 35% dos agregados possuem telefone 
- 50% dos agregados possuem frigorífico 
- 25% dos agregados possuem automóvel 
- 15% dos agregados possuem telefone e frigorífico 
- 20% dos agregados possuem telefone e automóvel 
- 10% dos agregados possuemfrigorífico e automóvel 
- 5% dos agregados possuem telefone, automóvel e frigorífico 
 
a) Calcule a probabilidade de um agregado familiar 
1. possuir telefone ou frigorífico 
2. não possuir nem telefone nem automóvel 
b) Calcule a probabilidade de um agregado que possui automóvel 
1. possuir também frigorífico 
2. possuir também telefone ou frigorífico 
c) Calcule a probabilidade de um agregado familiar 
1. possuir pelo menos um daqueles três objectos 
2. não possuir nenhum daqueles três objectos 
 
Resolução 
A: agregado familiar possui telefone 
B: agregado familiar possui frigorífico 
C: agregado familiar possui automóvel 
P(A) = 35% 
P(B) = 50% 
P(C) = 25% 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 65 
P(A ∩ B) = 15% 
P(A ∩ C) = 20% 
P(B ∩ C) = 10% 
P(A ∩ B ∩ C) = 5% 
 
a) 1. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,35 + 0,5 – 0,15 = 70% 
2. P( )CA ∩ = P( CA ∪ ) = 1 – P(A ∪ C) = 1 – 0,4 = 60% 
 P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) = 0,35 + 0,25 – 0,2 = 40% 
b) krysktsh1. P(B / C) = %40
25,0
1,0
)(
)(
==
∩
CP
CBP
 
2. P(A ∪ B/ C) = 
 %100
25,0
05.01,02,0
)(
)()()(
=
−+
=
∩∩−∩+∩
CP
CBAPCBPCAP
 
c) 1. 
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪
= 0,35+0,5+0,25-0,15-0,2-0,1+0,05 = 70% 
2. 1 – P( )CBA ∪∪ = 1 – 0,7 = 30% 
 
Exercício 12 
Admita que 60% dos seguros no ramo automóvel respeitam a condutores com 
mais de 40 anos de idade, dos quais 5% sofrem, pelo menos, um acidente por 
ano. De entre os segurados com idade igual ou inferior a 40 anos, 3% têm um 
ou mais acidentes no mesmo período. 
a) Qual a probabilidade de um segurado não sofrer qualquer acidente 
durante um ano? 
b) Qual a probabilidade de um segurado que sofreu pelo menos um 
acidente ter idade igual ou inferior a 40 anos? 
c) Qual a probabilidade de, numa amostra de três segurados 
1. todos terem idade igual ou inferior a 40 anos? 
2. nenhum ter sofrido qualquer acidente durante um ano? 
3. Todos terem idade igual ou inferior a 40 anos, dado que cada um 
sofreu, pelo menos, um acidente durante o referido período? 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 66 
Resolução 
I1: o segurado tem mais de 40 anos de idade 
I2: o segurado tem 40 anos ou menos de idade 
A: o segurado sofre pelo menos 1 acidente por ano 
A : o segurado não sofre nenhum acidente por ano 
P(I1) = 60% � P(I2) = 1 – 0,6 = 40% 
P(A/I1) = 5% � P( A /I1) = 1 – 0,05 = 95% 
P(A/I2) = 3% � P( A /I2) = 1 – 0,03 = 97% 
 
a) P( A ) = P(I1)* P( A /I1) + P(I2)* P( A /I2) = 0,6*0,95 + 0,4*0,97 = 95,8% 
b) P(I2/A) = %57,28
958,01
03,0*6,0
)(
)2/(*)2(
)(
)2(
=
−
==
∩
AP
IAPIP
AP
IAP
= P(B) 
c) 1. P( )222 III ∩∩ = 0,4*0,4*0,4 = 6,4% 
2. P( )AAA ∩∩ = 0,958*0,958*0,958 = 87,9% 
3. P( )BBB ∩∩ = 0,2857*0,2857*0,2857 = 2,3% 
 
 
 
104
Introdução ao e-learning
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 67 
FUNÇÕES DE PROBABILIDADE 
Exercícios resolvidos 
 
 
Exercício 1 
Se 20% das bobinas de um determinado cabo eléctrico forem defeituosas, 
calcule a probabilidade de, entre as 4 bobines necessárias a um determinado 
cliente, escolhidas ao acaso uma ser defeituosa. 
 
Resolução 
X: número de bobines defeituosas no conjunto de 4 bobines necessárias a um 
determinado cliente (0,1,2,3,4) 
n=4 p=0,2 q=1-p=0,8 
P(X=1)=C4p1q4-1 = 4*0,2*0,83 = 0,4096 = 41% 
 
 
Exercício 2 
O número médio de chamadas telefónicas a uma central, por minuto, é 5. A 
central só pode atender um número máximo de 8 chamadas por minuto. Qual a 
probabilidade de não serem atendidas todas as chamadas no intervalo de 
tempo de 1 minuto? 
 
 
Resolução 
X: número de chamadas telefónicas atendidas numa central, por minuto 
(0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8) 
λ=5 p=0,2 q=1-p=0,8 
P(X ≤ 8) = �
=
−8
0
5
!
5
x
x
x
e
 = 0,932 Logo P(X>8) = 1-0,932 = 0,06 
 
 
 
Exercício 3 
O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de 
produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado 
igual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no 
instante t=0 horas. 
Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6 horas? 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 68 
Resolução 
Seja 
T: tempo de funcionamento sem avarias (ou entre avarias consecutivas) de 
uma máquina, e 
X: numero de avarias que ocorrem no intervalo [0,6[, isto é, num período de 6h 
λ=1/4,5 corresponde ao número de avarias por unidade de tempo (por hora) 
 
Logo 
P(T ≥ 6) = P(X=0)= 
333,1
6*
5,4
1
−
−
= ee = 0,264 
 
Exercício 4 
Considere que o comprimento médio de determinado fio condutor é 120, com 
desvio padrão 0,5. Qual a percentagem de fio com comprimento superior a 121? 
 
Resolução 
X: comprimento de determinado fio condutor 
Calculando a variável reduzida correspondente, vem: 
2
5,0
120121
=
−
=Z 
Consultando a tabela, verifica-se que o valor da função Z é P(X ≤ 2) = 0,9772. 
Logo P(X>2) = 1-0,9772 = 2,28%. 
 
 
Exercício 5 
Numa praia do litoral português existe um serviço de aluguer de barcos, 
destinado aos turistas que a frequentam. O número de turistas que procuram 
este serviço, por hora, está associado a uma variável aleatória com distribuição 
de Poisson. 
Verificou-se que, em média, em cada hora, esse serviço é procurado por 8 
turistas interessados em alugar barcos; sabe-se, por outro lado, que esse 
serviço funciona ininterruptamente das 8 às 20 horas. 
a) Qual a probabilidade de que, entre as 8 e as 9 horas, se aluguem 5 
barcos? 
b) Qual a probabilidade de que, entre as 9 e as 11 horas, os barcos 
sejam procurados por mais de 25 turistas? 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 69 
Resolução 
X: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer de barcos por hora 
X segue Po(λ=8) 
a) Na tabela da Po(λ=8) vem P(X=5) = 9,16% 
b) Y1: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer na 1ª hora 
Y2: nº de de turistas que procuram o serviço de aluguer na 2ª hora 
Logo 
Y1+Y2: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer em 2 horas 
Pelo Teorema da Aditividade da Poisson, considerando Y1 e Y2 
independentes e que todas seguem Po(8), vem que: 
Z=Y1+Y2 segue Po(2*8=16) 
Logo P(Z>25) = f(26) +... + f(33) = 0,0057 + ... + 0,0001 = 1,32% 
 
 
Exercício 6 
O número de navios petroleiros que chegam diariamente a certa refinaria é 
uma variável com distribuição de Poisson de parâmetro 2. Nas actuais 
condições, o cais da refinaria pode atender, no máximo, 3 petroleiros por dia. 
Atingido este número, os restantes que eventualmente apareçam deverão 
seguir para outro porto. 
a) Qual a probabilidade de, num qualquer dia, ser preciso mandar 
petroleiros para outro porto? 
b) De quanto deveriam ser aumentadas as instalações de forma a 
assegurar cais a todos os petroleiros em 99,9% dos dias? 
c) Qual o número esperado de petroleiros a chegarem por dia? 
d) Qual o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia? 
e) Qual o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente? 
f) Qual o número esperado de petroleiros que recorrerão a outros portos 
diariamente? 
 
Resolução 
X: nº de petroleiros que chegam diariamente a uma certa refinaria 
X segue Po (2) 
Capacidade máxima de atendimento da refinaria: 3 petroleiros/dia 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 70 
a) P(X>3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – F(3) = 1 – 0,8571 =14,29% 
(tab. pg.14) 
b) Nº máximo de petroleiros que podem chegar: 9 (informação da tabela) 
Logo, a capacidade devia aumentar em 6 petroleiros/dia (9-3) 
c) E(X) = 2 
d) X = 1 ou X = 2, com probabilidade 27,07% 
e) Y: nº de petroleiros que são atendidos diariamente numa certa refinaria 
 (0,1, 2, 3) 
 g(0) = P(X=0) = 0,1353 
 g(1) = P(X=1) = 0,2707 
 g(2) = P(X=2) = 0,2707 
 g(3) = P(X=3) = 1 – P(X<3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0,6767 = 0,3233 
E(Y) = 0*0,1353 + … + 3*0,3233 = 1,782 
São atendidos, em média, entre 1 e 2 petroleiros diariamente 
f) Z: nº de petroleiros que recorrem diariamentea outros portos 
 (0,1, 2, 3, 4, 5, 6) 
Logo, Z = X - Y 
E(Z) = E(X -Y) = E(X) - E(Y) = 2 - 1,782 = 0,218 
Recorrem a outros portos, em média, entre 0 e 1 petroleiro por dia 
g) W: nº de dias em que é preciso mandar petroleiros para outro porto num 
mês de 30 dias (0,1, 2,...30) 
W segue Bi (n = 30; p = P(X>3) = 0,1429) 
E(W) = 30*0,1429 = 4,3 
Em média, é preciso enviar petroleiros para outro porto 4 a 5 dias/mês 
 
 
Exercício 7 
Os Serviços Municipalizados de Gás e Electricidade debitam mensalemnte aos 
seus clientes um consumo teórico T de energia eléctrica calculado de tal modo 
que a probabilidade de o consumo efectivo o exceder seja de 30,85%. 
Suponha um cliente cujo consumo por mês segue lei normal de média 400 kwh 
e desvio-padrão 40 kwh. 
a) Qual o consumo teórico que lhe é mensalmente debitado? 
b) 1. Qual a distribuição do consumo efectivo durante 3 meses? 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 71 
2. Qual a probabilidade de que, ao fim de 3 meses, o consumo teórico 
exceda o efectivo em mais de 100 kwh? 
 
Resolução 
X: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente por mês (em kwh) 
T: consumo teórico (valor fixo) debitado ao cliente por mês (em kwh) 
T: P(X>T) = 0,3085 
X segue N(400; 1600) 
a) P(X>T) = 0,3085 ⇔ P( 3085,0)
40
400
40
400
=
−
>
− TX
⇔ 
 P(N(0,1) 4205,0
40
400
6915,0)
40
400
=⇔=
−
⇔=
−
≤ T
TT
 
b) 1. 
X1: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 1ºmês (em kwh) 
X2: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 2ºmês (em kwh) 
X3: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 3ºmês (em kwh) 
Logo 
X1+X2+X3: consumo efectivo de energia eléctrica em 3 meses (em kwh) 
Pelo Teorema da Aditividade da Normal, considerando X1, X2 e X3 
independentes e que todas seguem N(400, 1600), vem que: 
Y=X1+X2+X3 segue N(400*3; 1600*3), isto é, N(1200; 4800) 
 2. P(3*420-Y > 100) = P(Y < 1160) = P(N(0,1)< )
4800
12001160 −
= 
 = P(N(0,1)<-0,58) = 28,1% 
 
 
Exercício 8 
Num determinado processo de fabrico, existem 2 cadeias de montagem A e B, 
com funcionamento independente. 
A cadeia A opera a um ritmo médio de 2 montagens por hora, e a probabilidade 
da cadeia B efectuar pelo menos uma montagem numa hora é de 98,71%. 
Admitindo que o número de montagens efectuadas por hora em ambas as 
cadeias é uma v.a. Poisson, determine: 
a) a probabilidade de se efectuarem mais de 6 montagens numa hora com 
a cadeia B 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 72 
b) a probabilidade de, em 3 horas de trabalho, se efectuarem no máximo 
10 montagens com a cadeia B 
c) a probabilidade de, numa hora, a cadeia A efectuar o dobro de 
montagens de B 
d) o número médio de montagens efectuadas num dia de trabalho de 8 
horas com ambas as cadeiras 
 
Resolução 
X: nº de montagens da cadeia A por hora X segue Po(2) 
Y: nº de montagens da cadeia B por hora 
a) Y segue Poisson, mas desconhece-se a média (=parâmetro λ) 
No entanto, como se sabe que P(Y ≥ 1) = 0,9817, vem que 
P(Y<1) = 1 – 0,9817 = 0,0183 
Na tabela da Poisson, percorrendo as linhas de valor = 0, vem que o 
valor 0,0183 pode ser encontrado no cruzamento da linha 0 com a 
coluna 4. Logo, λ = 4. 
Na tabela da Po(4), P(Y>6) = 1–P(Y ≤ 6) = 1–F(6) = 1-0,8893=11,07% 
b) 
Y1: nº de montagens da cadeia B na 1ª hora 
Y2: nº de montagens da cadeia B na 2ª hora 
Y3: nº de montagens da cadeia B na 3ª hora 
Logo 
Y1+Y2+Y3: nº de montagens da cadeia B em 3 horas 
Pelo Teorema da Aditividade da Poisson, considerando Y1, Y2 e Y3 
independentes e que todas seguem Po(4), vem que: 
Z=Y1+Y2+Y3 segue Po(4*3=12) 
P(Z ≤ 10) = f(0) + f(1) +... + f(10) = 0 + 0,0001 + … + 0,1048 = 34,72% 
c) P(X=2Y) = P(X=0 ∩ Y=0) + P(X=2 ∩ Y=1) + P(X=4 ∩ Y=2) + 
P(X=6 ∩ Y=3) + P(X=8 ∩ Y=4) = 0,1353*0,0183 + 0,2707*0,0753 + 
0,0902*0,1465 + 0,012*0,1954 + 0,0009*0,1954 = 3,8% 
d) W: nº de montagens das 2 cadeias num dia de trabalho de 8 horas 
W = )(
8
1
i
i
i YX +�
=
 
 onde Xi + Yi corresponde ao nº de montagens das 2 cadeias por hora 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 73 
Pelo Teorema da Aditividade de Poisson, sendo as variáveis 
independentes e seguindo Po(2) e Po(4) respectivamente, vem que 
Xi + Yi segue também Po(2+4=6). 
E Z , também pelo mesmo Teorema, segue Po(6*8=48) 
Logo, o número médio de montagens efectuado pelas 2 cadeias num dia 
de trabalho de 8 horas é de 48. 
 
 
Exercício 9 
Uma companhia de tabacos recebeu em dada altura um elevado número de 
queixas quanto à qualidade dos cigarros de certa marca que comercializa. 
Numa rápida análise às condições de produção, constata-se que 1% dos filtros 
que compõem o cigarro saem defeituosos. Nestas condições, determine: 
a) a probabilidade de um maço acabado de formar 
1. conter 1 cigarro com filtro defeituoso 
2. conter 0 cigarros com filtro defeituoso 
b) o número de maços que, num volume que contém 20, a companhia 
espera poder aproveitar se utilizar o critério: 
1. maço é aproveitável se não contiver cigarros defeituosos 
2. maço é aproveitável se contiver no máximo 1 cigarro defeituoso 
 
Resolução 
X: nº de cigarros com filtro defeituoso em 20 cigarros de um maço 
X segue Bi(n=20; p=0,01) 
a) 1. P(X=1) = 20*0,01*0,9919 = 16,52% 
2. P(X=0) = 0,010*0,9920 = 81,79% 
b) 1. Crit. 1: maço é aproveitável se não contiver cigarros defeituosos 
Y: nº de maços aproveitáveis num volume que contem 20 maços 
Y segue Bi(n=20; p=P(X=0) = 0,8179) 
Logo E(Y) = 20*0,8179 = 16,36 
2. Crit. 2: maço é aproveitável se contiver no máximo 1 cigarro defeituoso 
Y: nº de maços aproveitáveis num volume que contem 20 maços 
Y segue Bi(n=20; p=P(X=0)+P(X=1)= 0,8179+0,1652 = 0,9831) 
Logo E(Y) = 20*0,9831 = 19,66 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 74 
Exercício 10 
O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma v.a. Normal 
com média µ e variância σ2. Uma peça defeituosa se o seu comprimento diferir 
do valor médio mais do que σ. Sabemos que 50% das peças produzidas têm 
comprimento inferior a 0,25 mm e 47,5% têm comprimento entre 0,25 mm e 
0,642 mm. 
a) Calcule a média e o desvio-padrão do comprimento das peças. 
b) Determine a probabilidade de uma peça não ser defeituosa. 
 
Resolução 
X: comprimento das peças produzidas por uma máquina 
X segue N(µ; σ2) 
Peça defeituosa se X>µ + σ ou se X< µ - σ 
P(X<0,25) = 50% 
P(0,25<X<0,642) = 47,5% 
 
a) Como P(X<0,25) = 50% vem que 
P( %50)
25,0
=
−
<
−
σ
µ
σ
µX
 
Na tabela, 
σ
µ−25,0
 tem que ser =0, logo µµµµ = 0,25 
E como 
P(0,25<X<0,642) = 47,5% vem que 
=<<=
−
<
−
<
−
)
392,0
)1,0(0()
25,0642,025,025,025,0
(
σσσσ
NP
X
P 
)0()
392,0
( θ
σ
θ −= = 0,475 
Sendo θ (0)=0,5, vem que 975,05,0475,0)
392,0
( =+=
σ
θ 
Na tabela 3B da Normal, vem que 96,1
392,0
=
σ
 e logo σσσσ = 0,2 
b) P(peça não defeituosa) = P(µ - σ < X < µ + σ) = P(0,05 < X < 0,45) = 
P(X<0,45) – P(X<0,05) = 
%13,84)1()1()1()
2,0
25,005,0
()
2,0
25,045,0
( ==−−=
−
−
−
Dθθθθ 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 75 
Exercício 11 
Sabe-se que a probabilidade de cura de uma certa doença é 20%. Põe-se à 
prova um novo medicamento, que eleva a probabilidade de cura para 40%, 
ministrando-o a um grupo de 20 doentes. Admite-se que o medicamento é 
eficaz no caso de contribuir para a cura de, pelo menos, 8 doentes em 20. 
Calcule a probabilidade de se concluir pela ineficácia do medicamento, ainda 
que este eleve de facto a probabilidade de cura para 40%. 
 
Resolução 
X: número de doentes curados no grupo de 20 a que é ministrado o novo 
medicamento (0,1,2...19, 20) 
n=20 p=0,4 q=1-p=0,6 X segue Bi (20; 0,4) 
P(X ≥ 8)=1- F(7) = 41,58% 
 
 
Exercício 12 
Sabe-se por via experimental que, por cada período de 5 minutos, chegam, em 
média, 4 veículos a determinado posto abastecedor de combustíveis. Um 
empregado entra ao serviço às 8 horas. Qual a probabilidade de ter de 
aguardar mais de 10 minutos até à chegada de um veículo?Resolução 
X: nº de veículos que chegam ao posto abastecedor por período de 5 minutos 
X segue Po(4) 
Se 
X1: nº de veículos que chegam ao posto no 1º período de 5 minutos 
X2: nº de veículos que chegam ao posto no 2º período de 5 minutos 
então 
X1+X2: nº de veículos que chegam ao posto abastecedor em 10 minutos 
Pelo Teorema da Aditividade de Poisson, considerando X1 e X2 independentes 
e que ambas seguem Po(4), vem que X1+X2 também segue Po(4+4=8) 
 
Logo P(X1+X2=0) na tabela da Po(8) vem igual a 0,03%. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 76 
3.4. Estimação por intervalos 
 
Conhecendo-se uma amostra em concreto, é possível estimar os valores dos 
seus parâmetros caracterizadores através de métodos probabilísticos. 
Por exemplo, suponhamos que numa fábrica produtora de açúcar se pretende 
averiguar se o peso dos pacotes produzidos está, em média, dentro das 
normas de qualidade exigíveis. Na impossibilidade de medição do peso de 
todos os pacotes, pela morosidade e dispêndio de recursos que tal implicaria, a 
estatística permite que, a partir da observação de uma única amostra, seja 
possível inferir entre que valores varia o peso médio com um grau de confiança 
ou probabilidade elevado. Assim, ao recolher um determinado número de 
pacotes da produção total aleatoriamente, é possível calcular o peso médio de 
acordo com as técnicas de estatística descritiva apreendidas atrás. Claro que 
nada nos garante que esse valor coincide com o valor do parâmetro da 
população em estudo. De facto, é até provável que não coincida e, mais, se 
recolhermos outro conjunto idêntico de pacotes, o valor seja diferente. Isto é, 
para cada amostra de dimensão n recolhida, a estimativa do parâmetro 
assumiria valores distintos. Então, como retirar conclusões? Como garantir 
algum nível de rigor? 
 
O método a estudar neste capítulo – a estimação por intervalos – permite, a 
partir da recolha de uma única amostra, aferir entre que valores seria de 
esperar que variasse o parâmetro de interesse se nos empenhássemos a 
recolher um número infinito de amostras. Isto é, por exemplo, caso o valor 
amostral fosse de 1,02 kg, este método poderia, por exemplo, permitir afirmar 
que seria altamente provável que o peso dos pacotes produzidos estivesse a 
variar entre 0,92 kg e 1,12 kg. E esse resultado tem um determinado nível de 
confiança associado: por exemplo, se dissermos que o nível de confiança ou 
certeza implicado é de 95%, tal significa que, se nos fosse possível observar 
um número infinito de amostras, o intervalo de valores apresentado 
corresponderia aos resultados obtidos em 95% delas (os valores mais 
usualmente utilizados são 90%, 95% ou 99% de confiança). Caberia depois à 
empresa julgar se esses seriam ou não valores aceitáveis e proceder aos 
eventuais reajustes necessários. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 77 
A partir do conceito de intervalo de confiança para um parâmetro, é fácil 
concluir que a sua especificação implica conhecer: 
- o estimador do parâmetro em causa 
- a sua distribuição de probabilidade 
- uma estimativa particular daquele parâmetro 
Como parâmetros de interesse e para efeitos de exemplificação, vão 
considerar-se duas tipologias de intervalo: o intervalo de confiança para a 
média de uma população normal e o intervalo de confiança para a proporção 
de uma população binomial. Para efeitos de simplificação, vão considerar-se 
apenas exemplos relativos a amostras de grande dimensão (na prática, n ≥ 100) 
 
(i) Intervalo de confiança para a média µµµµ de uma população normal 
 
Seja X (média amostral) o estimador da média da população. Porque a 
distribuição é Normal, a distribuição deste estimador será: 
);(
n
NX
σ
µ∩ 
 
Uma vez que apenas se encontra tabelada a distribuição N(0,1), torna-se 
necessário calcular a variável reduzida correspondente: 
)1;0(N
n
X
Z ∩
−
=
σ
µ
 
Esta variável permitirá deduzir a fórmula geral do intervalo de confiança para a 
média µ de uma população normal: 
�
�
	
�
�
+−
n
cX
n
cX
σσ
; 
 
Isto é, em torno do valor do estimador, é definido um intervalo de variação onde 
é possível afirmar que o parâmetro a estimar está contido com um grau de 
confiança δ . Esse intervalo de variação depende: 
- da dimensão da amostra (n): quanto maior a dimensão da amostra, 
menor a amplitude do intervalo. Este resultado explica-se facilmente: no 
limite, se fosse possível observar todo o universo de dados (n=∞ ), o 
valor amostral calculado corresponderia ao valor da população. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 78 
- do desvio - padrão da população (σ ): quanto maior o desvio - padrão, 
maior a amplitude do intervalo. Como se sabe, o desvio - padrão é uma 
medida que caracteriza a dispersão da distribuição. Quanto maior o seu 
valor, maior a variabilidade apresentada pelos dados, sendo natural que 
a margem de variação de prever em torno do valor amostral recolhido 
seja também, naturalmente, maior. 
- do valor crítico (c): quanto maior o valor c, maior a amplitude do 
intervalo. O valor crítico reflecte o nível de confiança adoptado. 
Naturalmente, para que aumente a confiança de que o valor do 
parâmetro a estimar está contido no intervalo, a sua amplitude deve 
aumentar também (no limite, se o intervalo se alongasse de -∞ a + ∞ a 
confiança seria total ou 100%). É possível encontrar o valor c na tabela 
da normal (pois esta é a lei do estimador), da seguinte forma: 
δ=≤≤− )( cZcP 
já que assim é possível definir a fórmula geral do intervalo, 
resolvendo a inequação em ordem ao parâmetro, µ : 
δ
σ
µ
σ
δ
σ
µ
=−≤≤−⇔=≤
−
≤− )()(
n
cX
n
cXPc
n
X
cP 
 
Se o desvio - padrão da população fôr desconhecido, utiliza-se este intervalo 
considerando-se como estimativa de σ o desvio - padrão corrigido da amostra, 
ou seja, s’=
1
)( 2
−
−�
n
xxi , tal que: 
�
�
	
�
�
+−
n
s
cX
n
s
cX
''
; 
 
(ii) Intervalo de confiança para a proporção p de uma população binomial 
 
Seja p̂ (proporção amostral ou frequência observada na amostra) o estimador 
da proporção p de uma população binomial. Sendo a amostra de grande 
dimensão, a distribuição deste estimador será: 
)
)1(
;(ˆ
n
pp
pNp
−
∩ 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 79 
 
Uma vez que apenas se encontra tabelada a distribuição N(0,1), torna-se 
necessário calcular a variável reduzida correspondente: 
)1;0(
)1(
ˆ
N
n
pp
pp
Z ∩
−
−
= 
Esta variável permitirá deduzir a fórmula geral do intervalo de confiança para a 
proporção p de uma população binomial: 
�
�
	
�
� −
+
−
−
n
pp
cp
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ 
(como estimativa de )1( pp − foi utilizado ))ˆ1(ˆ pp − 
 
Como é óbvio, pretende-se que o resultado possua o máximo de confiança 
possível. No entanto, se uma maior confiança é pretendida na estimação, esta 
conduz a possibilidades de erro maiores, dado que um elevado nível de 
confiança conduz a um intervalo maior e, como tal, a precisão da estimação 
diminui. 
 
Exemplo: 
Consideremos 3 afirmações de alunos que aguardam a saída das pautas de 
um exame de Estatística: 
Afirm. 1: “Tenho a sensação que as pautas serão afixadas durante a manhã” 
Afirm. 2: “Tenho quase a certeza que as pautas serão afixadas entre as 10h e 
as 11h 
Afirm. 3: “Tenho a certeza absoluta que as pautas ou são afixadas às 10h30 ou 
já não são afixadas hoje” 
 
Estas 3 afirmações permitem constatar facilmente que se se pretende maior 
confiança na estatística, se tem que permitir que a possibilidade de erro 
aumente. Por outro lado, se se permitir que o erro diminua, os extremos do 
intervalo aumentam, embora o resultado perca alguma precisão. No entanto, 
há que ter em atenção que, se um intervalo de confiança tem uma amplitude 
demasiado grande, a estimativa não tem utilidade. Cabe ao investigador gerir 
este “trade-off”. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 80 
Isto leva a uma questão importante:o dimensionamento de amostras. Até aqui, 
sempre se assumiu que as dimensões são conhecidas à partida, sem referir 
como se determinam. No entanto, a resolução deste problema tem um enorme 
interesse prático, já que (i) recolher e tratar uma amostra demasiado grande 
para os resultados que se pretendem obter constitui um evidente desperdício 
de recursos e (ii) recolher uma amostra cuja dimensão é insuficiente para 
retirar conclusões constitui um erro. 
A dimensão das amostras aumentará se se pretender garantir maior precisão 
ao intervalo e/ou maior grau de confiança. 
 
No capítulo dedicado a aplicações estatísticas, será possível ver como é 
possível utilizar o conceito de intervalo de confiança ao controlo estatístico de 
processos de qualidade. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 81 
INTERVALOS DE CONFIANÇA 
Exercícios 
 
 
Exercício 1 
Suponha-se que se tem uma população normal com média µ desconhecida e 
desvio - padrão 3, N (µ, 9) e uma amostra de 121 observações. Deduza um 
intervalo de confiança para a µ com 95% de confiança. 
 
Resolução 
Para os dados deste exercício, vem: 
n=121 
σ =3 
c: 96,1%95)(%95)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
[ ]535,0;535,0
11
396,1
;
11
396,1
; +−=��
	
�
�
−−=�
�
	
�
�
+− XX
x
X
x
X
n
cX
n
cX
σσ
 
O intervalo [ ]535,0;535,0 +− XX contém o verdadeiro valor do parâmetro µ 
com probabilidade ou confiança de 95%. Conhecida uma estimativa particular 
daquele parâmetro, torna-se possível calcular entre que valores seria de 
esperar que, com 95% de confiança, variasse µ . 
 
Exercício 2 
Numa cidade pretende-se saber qual a proporção da população favorável a 
certa modificação de trânsito. Faz-se um inquérito a 100 pessoas, e 70 
declaram-se favoráveis. 
Determine um intervalo de confiança a 95% para a proporção de habitantes 
dessa cidade favoráveis à modificação de trânsito. 
 
Resolução 
n=100 
p̂ = 7,0
100
70
= 
c: 96,1%95)(%95)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 82 
=�
�
	
�
�
−−=�
�
	
�
� −
+
−
−
100
3,07,0
96,17,0;
100
3,07,0
96,17,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]7898,0;6102,0= 
O intervalo [ ]7898,0;6102,0 contém o verdadeiro valor do parâmetro p com 
probabilidade ou confiança de 95%. 
Ou seja, a proporção de habitantes favoráveis à modificação de trânsito está 
situada entre 61,02% e 78,98%, com probabilidade de 95%. 
 
 
Exercício 3 
Uma máquina fabrica cabos cuja resistência à ruptura (em kg/cm2) é uma 
variável com distribuição Normal de média 100 e desvio - padrão 30. Pretende-
se testar uma nova máquina que, segundo indicações do fabricante, produz 
cabos com resistência média superior. Para isso, observam-se 100 cabos 
fabricados pela nova máquina, que apresentam uma resistência média de 110 
kg/cm2. Admita que o novo processo não altera o desvio padrão da resistência 
à ruptura dos cabos. 
a) Determine um intervalo de confiança a 95% para a resistência média à 
ruptura dos cabos produzidos pela nova máquina. 
b) Suponha que pretendíamos obter um intervalo de confiança com a 
mesma amplitude do anterior, mas com nível de confiança de 99%. 
Quantos cabos deveriam ser observados? 
 
Resolução 
a) 
X segue N(100; 302) 
n=100 x =110 σ=30 γ=95% 
c: 96,1%95)(%95)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
[ ]88,115;12,104
10
3096,1
110;
10
3096,1
110; =��
	
�
�
−−=�
�
	
�
�
+−
xx
n
cX
n
cX
σσ
 
Estima-se, com 95% de confiança, que a resistência média à ruptura dos cabos 
produzidos pela nova máquina se situa entre 104,12 kg/cm2 e 115,88 kg/cm2. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 83 
b) Amplitude = 115,88 – 104,12 = 11,76 
Amplitude = Lim.Sup. - Lim.Inf. = (
n
cX
σ
+ ) -(
n
cX
σ
− ) = 
n
c
σ
2 
Logo 
n
c
σ
2 =11,76 
Sendo que 
x =110 σ=30 
c: 576,2%99)(%99)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
vem que 
n = 173 cabos 
 
 
Exercício 4 
Uma amostra de 20 cigarros é analisada para determinar o conteúdo de 
nicotina, observando-se um valor médio de 1,2 mg. Sabendo que o desvio - 
padrão do conteúdo de nicotina de um cigarro é 0,2 mg, diga, com 99% de 
confiança, entre que valores se situa o teor médio de nicotina de um cigarro. 
 
Resolução 
X segue N(µ; 0,22) 
n=20 x =1,2 σ=0,2 γ=99% 
c: 576,2%99)(%99)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
[ ]315,1;085,1
20
2,0576,2
2,1;
20
2,0576,2
2,1; =�
�
	
�
�
−−=�
�
	
�
�
+−
xx
n
cX
n
cX
σσ
 
Estima-se, com 99% de confiança, que o teor médio de nicotina de um cigarro 
se situa entre 1,085 mg e 1,315 mg. 
 
 
Exercício 5 
Admita-se que a altura dos alunos de uma escola segue distribuição Normal 
com variância conhecida e igual a 0,051. Admita-se ainda que foi recolhida 
uma amostra aleatória com dimensão n=25 alunos e calculada a respectiva 
média amostral, tendo-se obtido o valor de 1,70m. Defina um intervalo que, 
com probabilidade 95%, contenha o valor esperado da altura µ. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 84 
Resolução 
X segue N(µ; 0,051) 
n=25 x =1,70 σ2=0,051 γ=95% 
c: 96,1%95)(%95)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
[ ]788,1;611,1
25
051,096,1
2,1;
25
051,096,1
7,1; =
�
�
�
	
�
�
−−=�
�
	
�
�
+−
xx
n
cX
n
cX
σσ
 
Estima-se, com 95% de confiança, que o teor médio de nicotina de um cigarro 
se situa entre 1,085 mg e 1,315 mg. 
 
 
Exercício 6 
Numa fábrica, procura conhecer-se a incidência de defeituosos na produção de 
uma máquina. Para tanto, colhe-se uma amostra de dimensão suficientemente 
grande (1600 artigos), onde 10% dos artigos são defeituosos. Determine o 
intervalo de confiança para a referida proporção com 90% de confiança. 
 
Resolução 
n=1600 
p̂ =10% 
c: 645,1%90)(%90)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
=�
�
	
�
�
−−=�
�
	
�
� −
+
−
−
1600
9,01,0
645,11,0;
1600
9,01,0
645,11,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]1123,0;0876,0= 
Estima-se, com 90% de confiança, que a proporção de artigos defeituosos na 
produção se situa entre 8,76% e 11,23%. 
 
 
Exercício 7 
O director fabril de uma empresa industrial que emprega 4000 operários emitiu 
um novo conjunto de normas internas de segurança. Passada uma semana, 
seleccionou aleatoriamente 300 operários e verificou que apenas 75 deles 
conheciam suficientemente bem as normas em causa. Construa um intervalo 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 85 
de confiança a 95% para a proporção de operários que conheciam 
adequadamente o conjunto das normas uma semana após a sua emissão. 
 
Resolução 
n=300 
p̂ = 25,0
300
75
= 
c: 96,1%95)(%95)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
=�
�
	
�
�
−−=�
�
	
�
� −
+
−
−
300
75,025,0
96,125,0;
300
75,025,0
96,125,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]299,0;201,0= 
Estima-se, com 95% de confiança, que a proporção de operários que 
conheciam adequadamente o conjunto das normas se situa entre 20,1% e 
29,9%. 
 
 
Exercício 8 
A Direcção de Marketing de uma empresa pretende conhecer a notoriedade da 
marca de determinado produto. Nesse sentido, efectuou um inquérito junto de 
1200 pessoas escolhidas aleatoriamente, verificando que 960 a conheciam. 
a) Estime a proporção de pessoas conhecedoras da marca através de 
um intervalo de confiança a 90%. 
b) Se se pretender que a amplitude do intervalo de confiança da alínea 
anterior não seja superior a 0,034, qual deve ser a dimensão mínima 
da amostra? 
c) Sabendo que o intervalo de confiança determinado pela Direcção de 
Marketing foi [0,767; 0,833], calcule o nível de confiança utilizado 
 
Resolução 
a) n=1200 
p̂ = 8,0
1200
960
= 
c: 645,1%90)(%90)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 86 
=�
�
	
�
�
−−=�
�
	
�
� −
+
−
−
1200
2,08,0
645,18,0;
1200
2,08,0
645,18,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]819,0;781,0= 
Estima-se, com 90% de confiança, que a proporção de indivíduos 
conhecedores da marca se situa entre 78,1% e 81,9%. 
 
b) Amp.=Lim.Sup.-Lim.Inf.= (
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
−
+ ) – (
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
−
− ) = 
n
pp
c
)ˆ1(ˆ
2
−
 
Logo 
1499034,0
2,0*8,0
*645,1*2
)ˆ1(ˆ
2 ≥⇔≤=
−
n
nn
pp
c 
 
c) 
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
−
+ = 0,833 
Logo 86,2833,0
1200
2,0*8,0
8,0 =⇔=+ cc 
E D(2,86) na tabela N(0,1) vem igual a 99,6%, a que corresponde o nível de 
confiança utilizado 
 
Exercício 9 
O gabinete de projectos de uma empresa de material de construção civil 
pretende estimar a tensão de ruptura do material usado num determinado tipo 
de tubos. 
Com base num vasto conjunto de ensaios realizados no passado, estima-se 
que o desvio - padrão da tensão de ruptura do material em causa é de 70 psi. 
Deseja-se definir um intervalo de confiança a 99% para o valor esperado da 
tensão de ruptura, pretendendo-se que a sua amplitude não exceda 60 psi. 
Qual o número de ensaios necessário para definir tal intervalo? 
 
Resolução 
n=? σ=70 γ=99% 
c: 576,2%99)(%99)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
Amplitude = 
n
c
σ
2 Logo 3660
70
*576,2*2602 ≥⇔≤⇔≤ n
nn
c
σ
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 87 
Exercício 10 
A empresa SCB controla regularmente a resistência à ruptura dos cabos por si 
produzidos. Recentemente, foram analisadas as tensões de ruptura de 10 
cabos SCB-33R, seleccionados aleatoriamente a partir de um lote de grandes 
dimensões, tendo sido obtida uma média de 4537 kg/cm2. Existe uma norma 
de 112 kg/cm2 em relação à variância, que é respeitada. O director comercial 
pretende saber qual o intervalo de confiança, a 95%, para o valor esperado da 
tensão de ruptura dos cabos do lote em causa. Defina esse intervalo. 
 
Resolução 
X segue N(µ; 112) 
n=10 x =4537 σ=10,58 γ=95% 
c: 96,1%95)(%95)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
[ ]5,4543;5,4530
10
58,1096,1
4537;
10
58,1096,1
4537; =�
�
	
�
�
−−=�
�
	
�
�
+−
xx
n
cX
n
cX
σσ
 
Estima-se, com 95% de confiança, que o tensão média de ruptura dos cabos 
se situa entre 4530,5 kg/cm2 e 4543,5 kg/cm2. 
 
 
Exercício 11 
Uma amostra de 50 capacetes de protecção, usados por trabalhadores de uma 
empresa de construção civil, foram seleccionados aleatoriamente e sujeitos a 
um teste de impacto, e em 18 foram observados alguns danos. 
Construa um intervalo de confiança, a 95%, para a verdadeira proporção p de 
capacetes que sofre danos com este teste. Interprete o resultado obtido. 
 
Resolução 
a) n=50 
p̂ = 36,0
50
18
= 
c: 96,1%95)(%95)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
e logo 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 88 
=�
�
	
�
�
−−=�
�
	
�
� −
+
−
−
50
64,036,0
96,136,0;
50
64,036,0
96,136,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]49305,0;22695,0= 
Estima-se, com 95% de confiança, que a proporção de capacetes que sofre 
danos se situa entre 22,7% e 49,3%. 
 
 
Exercício 12 
Qual deve ser o número de habitantes da cidade do Porto a seleccionar 
aleatoriamente para estudar a proporção de portuenses que usam óculos, de 
modo a garantir que um intervalo de confiança a 95% para essa proporção 
tenha uma amplitude não superior a 8 pontos percentuais? 
 
Resolução 
n = ? 
Amp.= (
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
−
+ ) – (
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
−
− ) = 
n
pp
c
)ˆ1(ˆ
2
−
< 0,08 
c: 96,1%95)(%95)( =⇔=⇔=≤≤− ccDcZcP 
Considerando que a proporção amostral é a que maximiza a amplitude (pior 
dos casos), isto é, que a proporção amostral é 50% ( 0ˆ21)'ˆ1(ˆ =−=− ppp ), vem 
que: 
60008,0
5,0*5,0
*96,1*2
)ˆ1(ˆ
2 >⇔<=
−
n
nn
pp
c 
 
 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 89 
3.5. Testes de hipóteses 
 
Todos os dias temos de tomar decisões respeitantes a determinadas 
populações, com base em amostras das mesmas (decisões estatísticas). Nesta 
tomada de decisões, é útil formular hipóteses sobre as populações, hipóteses 
essas que podem ou não ser verdadeiras. A essas hipóteses chamamos 
hipóteses estatísticas, as quais geralmente se baseiam em afirmações sobre 
as distribuições de probabilidade das populações ou sobre alguns dos seus 
parâmetros. Uma hipótese pode então ser definida como uma conjectura 
acerca de uma ou mais populações. 
Desta forma, os testes de hipóteses podem considerar-se uma segunda 
vertente da inferência estatística, tendo por objectivo verificar, a partir de dados 
observados numa amostra, a validade de certas hipóteses relativas à 
população. O resultado do teste corresponde inevitavelmente a uma das duas 
respostas possíveis para cada questão: afirmativa ou negativa. Em ambos os 
casos corre-se o risco de errar. Uma das características do teste de hipóteses 
é, justamente, a de permitir controlar ou minimizar tal risco. 
Nos testes de hipóteses, e ao contrário dos intervalos de confiança, em vez de 
procurar uma estimativa ou um intervalo para um parâmetro, admite-se ou 
avança-se um valor hipotético para o mesmo, utilizando depois a informação da 
amostra para confirmar ou rejeitar esse mesmo valor. A hipótese a testar 
denomina-se, pois, de H0 ou de hipótese nula. O objectivo é verificar se os 
factos observados a contradizem, levando a optar pela hipótese alternativa H1. 
Isto é, a estratégia básica seguida no método de teste de hipóteses consiste 
em tentar suportar a validade H1 de uma vez provada a inverosimilhança de H0. 
 
Exemplo: 
Registos efectuados durante vários anos permitiram estabelecer que o nível de 
chuvas numa determinada região, em milímetros por ano, segue uma lei 
normal N(600;100). Certos cientistas afirmavam poder fazer aumentar o nível 
médio µµµµ das chuvas em 50 mm. O seu processo foi posto à prova e anotaram-
se os valores referentes a 9 anos: 
510 614 780 512 501 534 603 788 650 
Que se pode concluir? Adopte um nível de significância de 5%. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 90 
Resolução: 
Duas hipóteses se colocavam: ou o processo proposto pelos cientistas não 
produzia qualquer efeito, ou este aumentava de facto o nível médio das chuvas 
em 50 mm. Estas hipóteses podem formalizar-se do modo seguinte: 
H0: µ=600 mm 
H1: µ=650 mm 
 
Este é um problema clássico de teste de hipóteses, em que está em causa 
aceitar ou rejeitar a hipótese nula, em função dos resultados de uma amostra. 
Ao utilizar uma amostra de uma população, estamos a lidar com leis de 
probabilidades, logo não é possível de saber se a hipótese nula é verdadeira 
ou falsa, mas apenas medir as probabilidades envolvidas na tomada de 
decisão. 
 
Podem-se definir 2 formas de especificar Ho e H1: 
(i) hipótese simples contra hipótese simples 
Ho: θ = θ0 
H1: θ = θ1 
(ii) hipótese simples contra hipótese composta 
Ho: θ = θ0 
H1: θ > θ0 ou θ < θ0 ou θ ≠ θ0 
Estes testes designam-se respectivamente de teste unilateral à 
direita, teste unilateral à esquerda e teste bilateral 
 
Sendo os testes de hipóteses, portanto, um processo de inferência estatística 
onde se procuram tomar decisões sobre a população com base numa amostra, 
é natural que envolvam alguma margem de erro e que ocorram em situação de 
incerteza. Estes erros não podem ser completamente evitados mas, no 
entanto, pode-se manter pequena a probabilidade de os cometer. Compete ao 
investigador decidir qual a dose de risco de se enganar em que está disposto a 
incorrer. Vamos supor uma probabilidade de erro de, por exemplo, 5%. Nesse 
caso, e avançada a hipótese nula Ho, o investigador só estaria disposto a 
rejeitá-la se o resultado obtido na amostra fizesse parte de um conjunto de 
resultados improváveis que teriam apenas, por exemplo, 5 chances em 100 de 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 91 
se produzir. Este tipo de formulação é conhecida como postura conservadora. 
Ou seja, estamos mais propensos a achar que o novo processo não tem 
qualquer efeito sobre o nível das chuvas (isto é, que tudo se mantém igual) do 
que investir no novo processo (mudar), arriscando apenas quando houver 
evidências da amostra muito fortes a favor do novo. Para que esta decisão 
possa ser tomada de uma forma controlada, é conveniente pois que, à partida,se fixe o valor a partir do qual se considera improvável a validade da hipótese 
nula. Tal fixação corresponde à fixação da regra de decisão do teste. 
 
A formalização desta regra passa pela especificação de uma região de região 
de rejeição. A essa região, isto é, ao conjunto de valores “improváveis” que 
conduzem à rejeição da hipótese nula dá-se o nome de Região Crítica. Ao 
limite superior de risco, que na maior parte dos casos é de 10%, 5% ou 1%, dá-
se o nome de Nível de Significância do teste, sendo este que permite definir a 
condição de rejeição de Ho. O Nível de Significância designa-se de α e 
corresponde, então, à probabilidade de o resultado amostral levar à rejeição de 
Ho, supondo Ho verdadeira, isto é, à probabilidade de se estar a cometer aquilo 
a que se convenciona chamar de erro de 1ª espécie. 
Como veremos no exemplo, existem também erros de 2ª espécie, cuja 
probabilidade se designa pela letra β. Em resumo: 
 
Quadro de decisão em condição de incerteza 
 
Hipótese nula Ho 
 
Decisão Hipótese Ho ser verdadeira: 
 
Hipótese Ho ser falsa 
Aceitar Ho 
 
Decisão correcta (1-α) Erro de tipo II 
Beta (β) 
Rejeitar Ho 
 
Erro de tipo I 
Alfa (α) 
Decisão correcta (1-β) 
 
 
Como decidir? Visto que se trata de testar o valor de µ, a variável de decisão 
será X . Considerando Ho verdadeira vem que 
)
9
100
;600(NX ∩ . 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 92 
Em princípio, grandes valores de X são improváveis, pelo que se opta pela 
seguinte regra de decisão: 
Se X fôr demasiado grande, isto é, superior a um valor crítico c que tem 
apenas 5 chances em 100 de ser ultrapassado, opta-se por H1 com 
probabilidade 5% de se estar a cometer um erro. Se tal não acontecer, 
conserva-se Ho, por falta de provas suficientes para não o fazer. 
 
Logo, sendo 
P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que 
⇔=
−
>
−
⇔==> 05,0)
9
100
600
(05,0)600/(
c
n
X
PcXP
σ
µ
µ 
)3(83,654
3
100
645,1600 =+=⇔ xc 
 
A regra de decisão é, então, a seguinte: 
- rejeitar H0 em favor de H1, se o valor amostral fôr superior a 654,83(3) 
- conservar H0 em detrimento de H1 se fôr inferior a 654,83(3) 
 
Isto é, a Região Crítica deste teste, isto é, o conjunto de acontecimentos que 
levam à rejeição de H0 corresponde a todos os valores de X >654,83(3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os dados recolhidos indicavam X =610,2 mm, pelo que a decisão é conservar 
H0 , isto é, considerar que o processo científico não produz efeitos. 
 
 
RR: Região 
Crítica ou de 
Rejeição 
RA: Região 
de Aceitação 
 
Xµµµµ = 600 
RA=(1-αααα) 
RR=αααα 
654,83(3) 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 93 
No entanto, os erros incorridos não se ficam apenas pelos de 1ª espécie. 
Existem também erros de 2ª espécie. Isto é, à partida parte-se do princípio 
que H0 é verdadeira e só se rejeitará essa hipótese se ocorrerem 
acontecimentos pouco prováveis. 
No entanto, é possível alternativamente partir do princípio que é H1 que é 
verdadeira, ou seja, considerar que o processo científico é realmente eficaz no 
aumento do nível médio das chuvas, mas que, infelizmente, o número de 
valores observado não permite observar resultados ou esses resultados foram 
insuficientes. 
Supondo então que H1 é verdadeira (µ=650 mm), então vem que: 
)
9
100
;650(NX ∩ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de rejeitar H1 erradamente, isto é, de se cometer um erro de 2ª 
espécie, vem então igual a: 
P(Rejeitar H1 / H1)=β 
%57,55)14,0)1,0(()
9
100
650)3(83,654
()650/)3(83,654( =≤=
−
≤
−
==≤ NP
n
X
PXP
σ
µ
µ
 
 
 
É através das probabilidades α e β que se procura o melhor teste de hipóteses, 
sendo o teste ideal o que minimiza simultaneamente ambos os valores. No 
entanto, e como α e β se referem a realidades opostas e variam em sentido 
contrário, tal não é possível. O que na maior parte dos casos se faz é fixar o α 
(para amostras de dimensão n) e tentar minimizar β. 
1-ββββ 
RR 
ββββ 
RA 
µµµµ = 650 X 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 94 
Região de rejeição e de aceitação da hipótese nula 
 
 Unilateral Bilateral Unilateral 
 à esquerda à direita 
 H1: µµµµ < 600 H1: µµµµ ≠ 600 H1: µµµµ > 600 
 
 
 
 
Chama-se potência de um teste à probabilidade de rejeitar H0 quando esta é 
falsa. Esta é uma decisão certa, não implica erro, e é complementar do erro de 
2ª espécie. Logo, quanto menor o erro de 2ª espécie, maior será o valor da 
potência do teste e, logo, maior a sua qualidade (diz-se que o teste é mais 
potente) . Quando H1 é uma hipótese composta (>, < ou ≠ ), a potência do teste 
é variável, dependendo do valor do parâmetro que não é fixo. Nesse caso fala-
se em função potência do teste = 1 -β (µ1) 
 
 
Resumindo: passos para construção de um teste de hipóteses: 
 
Passo No 1: Formular as hipóteses nula e alternativa 
Passo No 2: Decidir qual estatística (estimador) será usada para julgar a Ho e a 
 variável de decisão 
Passo No 3: Definir a forma da Região Crítica, em função da hipótese H1 
Passo Nº 4: Fixar o nível de significância 
Passo Nº 5: Construir a Região Crítica em função do nível de significância 
Passo Nº 6: Cálculo (eventual) da potência do teste 
Passo Nº 7: Calcular a estatística da amostra 
Passo No 8: Tomar a decisão: rejeição ou não de Ho 
 
 
 
 
 
RA RA 
 RA
RR 
αααα 
RR 
αααα/2 
RR 
αααα 
RR 
αααα/2 
1−α1−α1−α1−α 1−α1−α1−α1−α 1−α1−α1−α1−α 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 95 
TESTES DE HIPÓTESES 
Exercícios 
 
 
Exercício 1 
Suponha que o director de qualidade pretende averiguar se o peso dos pacotes 
de arroz produzidos corresponde ao valor assinalado na embalagem. Seja X a 
variável que representa o peso de um pacote de arroz. Suponha que 
)01,0;( 2µNX ∩ e que se conhece a seguinte amostra: 
1,02 0,98 0,97 1,01 0,97 1,02 0,99 0,98 1,00 
 
Será que, para um nível de significância de 5% se pode dizer que o peso médio 
corresponde ao peso de 1 kg assinalado na embalagem? 
 
Resolução 
Passo 1 
Formular as hipóteses: 
 Ho: µµµµ = 1 
 H1: µµµµ < 1 
 
Passo 2 
A estatística a ser utilizada será a média amostral 
Passo 3 
A região crítica é formada por todos os valores menores ou iguais a c 
Passo 4 
Assumir um nível de significância de 5% 
Passo 5 
Para α=5%, determinar a região de rejeição e aceitação. Logo, sendo 
P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que 
⇔=
−
<
−
⇔==< 05,0)
9
01,0
1
(05,0)1/(
c
n
X
PcXP
σ
µ
µ 
9945,0
3
01,0
645,11 =−=⇔ xc 
Logo, ] ]9945,0;∞−=RC 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 96 
Passo 6 
Calcular a estatística � == 9933,0
9
1
ixX 
 
Passo 7 
Tomar a decisão 
Como o valor da amostra foi 0,9933 e é menor que o valor crítico 0,9945, 
rejeita-se Ho 
Ou seja, considera-se que o arroz contido em cada pacote era inferior ao 
indicado. No entanto, há o risco de se mandar parar a produção para revisão 
do equipamento sem necessidade. Reduzindo a probabilidade de isso ocorrer 
de 5% para 1%, vem: 
 
-∞ 0 +∞ 
0,9922 0.9945 
 
 Valor da amostra: 0,9933 
 
A única mudança será no Valor Crítico, que de 0,9945 para 0,9922. Neste 
caso, aceitaremos Ho, ou seja, consideraremos que não há qualquer anomalia 
na produção. 
 
Exercício 2 
Numa cidade, pretende-se saber se metade da população é favorável à 
construção de um centro comercial. Faz-se um inquérito a 200 pessoas, e 45% 
declaram-se favoráveis. Estes valores contradizem a hipótese? 
 
Resolução 
Passo 1 
Formular as hipóteses: 
 Ho: p = 0,5 
 H1: p < 0,5 
α=1% α=5% 
RA: Continuar a 
produção 
RR: Parar a 
produção 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 97 
Passo 2 
A estatística a ser utilizadaserá a proporção amostral, onde o cuidado deve ser 
trabalhar com grandes amostras. 
Passo 3 
A região crítica é formada por todos os valores menores ou iguais a c 
Passo 4 
Assumir um nível de significância de 5% 
Passo 5 
Para α=5%, determinar a região de rejeição e aceitação. 
Logo, sendo 
P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que 
⇔=
−
−
<
−
−
⇔==< 05,0)
200
)5,01(5,0
5,0
)1(
ˆ
(05,0)5,0/ˆ(
c
n
pp
pp
PpcpP 
442,0
200
)5,01(5,0
645,15,0 =
−
−=⇔ xc Logo, ] ]442,0;∞−=RC 
 
Passo 6 
p̂ =0,45 
Passo 7 
Como o valor amostral 0,45 é maior que o valor crítico 0,442, não se rejeita Ho 
 -∞ 0 +∞ 
 Valor amostral: 0,45 
 0,442 
 
Ou seja, apesar de apenas 45% dos habitantes se terem manifestado a favor 
da construção do centro comercial, essa margem não é suficiente para decidir 
deixar de o construir. 
 
RR: Não 
construir o 
centro comercial α=5% 
RA: Decidir pela 
construção RR: Parar a 
construção 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 98 
Exercício 3 
O peso dos pacotes de farinha de 1 kg, produzidos por uma fábrica, é uma 
variável normalmente distribuída, com desvio padrão 0,01. Da produção de 
determinado dia é retirada uma amostra de 49 pacotes, com peso médio de 
0,998 Kg. 
Pode-se afirmar, a um nível de significância de 1%, que o peso médio dos 
pacotes de farinha nesse dia não está de acordo com o peso indicado? 
 
Resolução 
X segue N(µ; 0,012) 
n = 49 
x = 0,998 
α = 1% 
H0: µ = 1 
H1: µ < 1 
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% 
997,0326,2
49
01,0
1
01,0)
49
01,0
1
(01,0)1/( =⇔−=
−
⇔=
−
≤
−
⇔==≤ c
cc
n
X
PcXP
σ
µ
µ 
Como x = 0,998 > c = 0,997, não pertence à região crítica, logo não se rejeita 
Ho a um nível de significância de 1% (não se pode afirmar que o peso médio 
não esteja de acordo com o indicado). 
 
 
Exercício 4 
Numa região onde existem entre os maiores de 18 anos 50% de fumadores, é 
lançada uma intensa campanha anti-tabaco. 
Ao fim de três meses, realiza-se um mini-inquérito junto de 100 cidadãos com 
mais de 18 anos, registando-se 45 fumadores. 
a) Com 1% de significância, pode concluir-se que a campanha surtiu 
efeito? 
b) Em caso negativo, qual seria a dimensão da amostra a partir da qual 
aquela percentagem permitiria afirmar que a cmapnha atingiu o fim em 
vista? 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 99 
Resolução 
a) n = 100 
p̂ = 0,45 
α = 1% 
H0: p = 0,5 (a campanha não surtiu efeito) 
H1: p < 0,5 (a campanha surtiu efeito) 
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% 
384,0326,2
100
5,0*5,0
5,0
01,0)
100
5,0*5,0
5,0
)1(
ˆ
(01,0)5,0/( =⇔−=
−
⇔=
−
≤
−
−
⇔==≤ c
cc
n
pp
pp
PpcXP
 
Como p̂ = 0,45 > c = 0,384, não pertence à região crítica, logo não se rejeita 
Ho a um nível de significância de 1% (a campanha não surtiu efeito). 
 
 
b) ⇔=
−
≤
−
−
⇔==≤ 01,0)
5,0*5,0
5,045,0
)1(
ˆ
(01,0)5,0/45,0(
nn
pp
pp
PpXP 
⇔ 541326,2
5,0*5,0
5,045,0
=⇔−=
−
n
n
 
 
Exercício 5 
Um fabricante afirma que o tempo médio de vida de um certo tipo de bateria é 
de 240 horas, com desvio-padrão de 20 horas. Uma amostra de 18 baterias 
forneceu os seguintes valores: 
237 242 232 
242 248 230 
244 243 254 
262 234 220 
225 236 232 
218 228 240 
 
Supondo que o tempo de vida das baterias se distribui normalmente, poder-se-á 
concluir, a 5% de significância, que as especificações não estão a ser cumpridas? 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 100 
Resolução 
X segue N(µ; 202) 
n = 18 
x = � = 05,237
18
1
ix 
α = 5% 
H0: µ = 240 
H1: µ < 240 
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% 
25,232645,1
18
20
240
05,0)
18
20
240
(05,0)240/( =⇔−=
−
⇔=
−
≤
−
⇔==≤ c
cc
n
X
PcXP
σ
µ
µ
 
Como x = 237,05 > c = 232,25, não pertence à região crítica, logo não se 
rejeita Ho a um nível de significância de 1% (não se pode afirmar que as 
especificações não estão a ser cumpridas). 
 
 
Exercício 6 
Uma empresa de cerâmica tem, em dada secção, fornos controlados por 
termóstatos para manter a temperatura no interior dos fornos a 600 graus 
centígrados. A experiência tem demonstrado que a variância dos valores da 
temperatura no interior desses fornos é de 360. 
A empresa fornecedora dos fornos comercializa agora um novo tipo de 
controlador, que é anunciado como garantindo que as temperaturas se mantêm 
dentro do limite desejado. Foram registadas 5 medidas de temperatura de 
fornos regulados para 600º, utilizando novos controladores: 
620º 595º 585º 602º 608º 
Para 5% de significância, poder-se-á concluir que a temperatura não se afasta 
significativamente do valor desejado? 
 
Resolução 
X segue N(µ;360) 
n = 5 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 101 
x = � = 602
5
1
ix 
α = 5% 
H0: µ = 600 
H1: µ > 600 
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 5% 
96,613645,1
5
97,18
600
95,0)
5
360
600
(05,0)600/( =⇔=
−
⇔=
−
≤
−
⇔==≥ c
cc
n
X
PcXP
σ
µ
µ
 
Como x = 602 < c = 613,96, não pertence à região crítica, logo não se rejeita 
Ho a um nível de significância de 1% (a temperatura não se afasta 
significativamente do valor desejado). 
 
 
Exercício 7 
O peso dos ovos de chocolate produzidos numa fábrica segue distribuição 
normal com variância 90,25. 
a) O fabricante diz que o peso médio é de 160 g. Foi recolhida uma 
amostra de 100 ovos, cujo peso médio foi de 158, 437 g. Teste, a um 
nível de significância de 1%, se a afirmação do fabricante pode ser 
considerada verdadeira, ou se, pelo contrário, o verdadeiro peso dos 
ovos será menor. 
b) Qual o nível de significância a partir do qual a conclusão seria diferente? 
 
Resolução 
a) X segue N(µ; 90,25) 
n = 100 
x = 158,437 
α = 1% 
H0: µ = 160 
H1: µ < 160 
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 102 
79,157326,2
100
5,9
1
01,0)
100
25,90
160
(01,0)160/( =⇔−=
−
⇔=
−
≤
−
⇔==≤ c
cc
n
X
PcXP
σ
µ
µ
 
Como x = 158,437 > c = 157,79, não pertence à região crítica, logo não se 
rejeita Ho a um nível de significância de 1% (a afirmação do fabricante pode 
ser considerada verdadeira). 
 
b) 
%5)645,1()
100
25,90
160437,158
()160/437,158( =⇔=−⇔=
−
≤
−
⇔==≤ ααα
σ
µ
αµ F
n
X
PXP
 
 
Exercício 8 
Um jornal semanário afirma ter atingido, numa região, a percentagem, até 
então nunca atingida por qualquer semanário, de 60% de leitores que 
regularmente compram um jornal desse tipo. 
Efectuando um inquérito junto de 600 leitores, 55% declararam adquirir, por 
hábito, o semanário em causa. 
Adoptando um nível de significância de 1%, pronuncie-se quanto à projecção 
que o semanário reclama. 
 
Resolução 
n = 600 p̂ = 0,55 α = 1% 
H0: p = 0,6 
H1: p < 0,6 
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% 
5535,0326,2
600
4,0*6,0
6,0
01,0)
600
4,0*6,0
6,0
)1(
ˆ
(01,0)6,0/( =⇔−=
−
⇔=
−
≤
−
−
⇔==≤ c
cc
n
pp
pp
PpcXP
 
Como p̂ = 0,55 < c = 0,5535, pertence à região crítica, logo rejeita-se Ho a um 
nível de significância de 1% (o semanário não atingiu a projecção que 
reclama). 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 103 
Exercício 9 
Um molde de injecção tem produzido peças de um determinado material 
isolante térmico com uma resistência à compressão com valor esperado de 
5,18 kg/cm2 e variância 0,0625 (kg/cm2)2. As últimas 12 peças produzidas 
nesse molde foram recolhidas e ensaiadas, tendo-se obtido para a resistência 
média à compressão o valor de 4,95 kg/cm2. 
a) Poder-se-á afirmar, a um nível de significância de 5%, que as peças 
produzidas recentemente são menos resistentes do que o habitual? 
b) Qual a potência do teste efectuado anteriormente, admitindo que o valor 
esperado da resistência à compressão das peças produzidas 
recentemente é de 4,90 kg/cm2? 
 
Resolução 
a) X segue N(µ; 0,0625) 
n = 12 
x = 4,95 
α = 5% 
H0: µ = 5,18 
H1: µ < 5,18 
P(Rejeitar Ho/Hoverdadeira) = α = 5% 
061,5645,1
12
25,0
18,5
05,0)
12
0625,0
18,5
(05,0)18,5/( =⇔−=
−
⇔=
−
≤
−
⇔==≤ c
cc
n
X
PcXP
σ
µ
µ
 
Como x = 5,18 > c = 5,061, não pertence à região crítica, logo não se rejeita 
Ho a um nível de significância de 1% (as peças produzidas recentemente não 
são menos resistentes do que o habitual). 
 
b) Potência = 1-β 
β = (Conservar Ho/H1 verdadeira) 
%6,495040,01)01,0(1)
12
0625,0
9,4061,5
()9,4/061,5( =−=−=
−
>
−
==> F
n
X
PXP
σ
µ
µ 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 104 
Exercício 10 
Um jornal desportivo noticiou que o número de espectadores de um programa 
desportivo que é apresentado na televisão aos domingos à noite está 
igualmente dividido entre homens e mulheres. 
De uma amostra aleatória de 400 pessoas que vêem regularmente o referido 
programa, concluiu-se que 240 são homens. 
Pode-se concluir, para um nível de significância de 10%, que a notícia é falsa? 
 
Resolução 
n = 400 p̂ = 0,6 α = 10% 
H0: p = 0,5 
H1: p > 0,5 
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 10% 
53205,0282,1
400
5,0*5,0
5,0
9,0)
400
5,0*5,0
5,0
)1(
ˆ
(1,0)5,0/( =⇔=
−
⇔=
−
≤
−
−
⇔==≥ c
cc
n
pp
pp
PpcXP
 
Como p̂ = 0,6 > c = 0,53205, pertence à região crítica, logo rejeita-se Ho a um 
nível de significância de 1% (a notícia é falsa). 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 105 
 
3.6. Aplicações estatísticas 
Fiabilidade de componentes e sistemas 
 
 
3.6.1 Conceito de fiabilidade 
 
Define-se fiabilidade como sendo a probabilidade de um sistema (ou 
componente) desempenhar a função para a qual foi concebido, nas condições 
previstas e nos intervalos de tempo em que tal é exigido. 
A análise da fiabilidade será, então, um método de quantificar o que se espera 
que aconteça e pode ser usada para indicar méritos relativos de sistemas, 
tendo em atenção um pré-definido nível de fiabilidade. 
A fiabilidade de um componente pode ser obtida a partir da sua taxa de 
avarias. Se um sistema fôr constituído por vários componentes, então a 
fiabilidade será dependente da fiabilidade dos componentes que compõem 
esse mesmo sistema. 
É necessário, quando se apresentam os resultados de um estudo de fiabilidade 
saber expô-los, pois os interpretadores poderão não ter a noção daquilo que se 
está a querer transmitir. Assim, dizer que a fiabilidade de um sistema ou 
componente é de 0,998 pode não significar muito; no entanto, se tal facto fôr 
traduzido em que, por ano, o sistema em questão estará fora de serviço por 
avaria num período de 9 horas já significa alguma coisa. 
 
Como o estudo da fiabilidade se trata de um estudo extremamente importante, 
pois que muitas vezes estão em jogo vidas humanas, é importante desenvolver 
um estudo de probabilidade relativo ao funcionamento adequado de um 
componente ou sistema. 
 
 
 
 
3.6.2 Fiabilidade de um sistema 
 
Ao analisar a fiabilidade de um sistema constituído por vários componentes, é 
necessário estudar a fiabilidade desses componentes e a forma como estão 
ligados (estrutura do sistema e definição do funcionamento do sistema). De 
seguida, são apresentados 3 casos: (i) as associações de componentes em 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 106 
paralelo; (ii) a associação de n unidades idênticas em paralelo em que é 
apenas necessário o funcionamento de m (m<=n) para o sistema funcionar; (iii) 
e as associações em série. 
 
 
(i) Associação em paralelo 
Consideremos vários componentes redundantes e independentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que os componentes são redundantes, basta apenas um para que o 
sistema funcione. Considerando um sistema composto por apenas 2 
componentes, se cada um dos componentes estiver no seu período de vida útil, 
a fiabilidade do sistema (Rs) é dada por: 
 
Rs = P (funcionar pelo menos um componente) 
= P (funcionarem 1 ou 2 componentes) 
= 1 – P (não funcionar nenhum) 
= 1 – P (não funcionar comp.1 e não funcionar comp.2) 
= 1 - P (não funcionar comp.1) x P(não funcionar comp.2) 
pois o funcionamento é independente 
 = 1 – q1 x q2 
 
onde q1 e q2 são, respectivamente as indisponibilidades (isto é, as 
probabilidades de não funcionamento) das componentes 1 e 2. Se houver n 
componentes ligadas em paralelo, a fiabilidade do sistema é dada por 
Rs = 1 - q1 x q2 x q3 x … x qn = 1 - ∏
i
iq 
1 
2 
3 
4 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 107 
Veja-se que, no caso de sistemas redundantes, a fiabilidade do sistema 
aumenta à medida que aumenta o número de componentes ligadas ao sistema 
(que representam como garantias de funcionamento adicionais). 
 
 
(ii) Associação em paralelo de componentes não redundantes 
Se o sistema não fôr redundante, as condições de funcionamento e de avaria 
para o sistema têm de ser definidos, isto é, é necessário saber qual o número 
mínimo de componentes que necessitam de estar em funcionamento para que 
o sistema sobreviva. 
Para o efeito, vai considerar-se de novo um sistema composto por quatro 
componentes em paralelo. Se as componentes forem todas iguais, com 
probabilidade de funcionamento p e de indisponibilidade q, a probabilidade 
associada a cada um dos estados possíveis (1, 2, 3 ou 4 componentes, no 
mínimo, a funcionar), a fiabilidade do sistema é dada pelo quadro seguinte: 
 
Nº mínimo de componentes 
necessárias ao funcionamento do 
sistema 
Probabilidade de o sistema funcionar 
4 p4 
3 p4 + 4p3q 
2 p4 + 4p3q + 6p2q2 
1 p4 + 4p3q + 6p2q2 + 4pq3 
 
Ou seja, a fiabilidade do sistema funcionar pode ser calculada recorrendo à lei 
binomial. Assim, por exemplo, para um nº mínimo de 3 componentes 
necessárias, vem: 
Rs = P(pelo menos 3 componentes a funcionar) 
 = P(funcionarem as 4) + P (funcionarem 3) 
 = 34343
4444
4
−− + qpCqpC 
 = qpp 34 4+ 
 
Por exemplo, se todos os componentes tivessem fiabilidade 0,9 (p=0.9), então 
a fiabilidade de um sistema deste tipo seria 94,77%. 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 108 
(iii) Associação em série 
Quando os componentes se encontram associados em série, para que o 
sistema funcione torna-se necessário que todos os componentes se encontrem 
em bom estado de funcionamento. 
 
 
 
 
No caso mais vulgar de os componentes serem independentes, a fiabilidade do 
sistema é dada por 
Rs = p1 x p2 x p3 x ... x pn 
 
No caso de todas as componentes serem iguais 
Rs = p
n 
Facilmente se depreende que a fiabilidade do sistema diminui à medida que 
aumenta o número de componentes ligadas em série. 
A distribuição exponencial é a mais usada em estudos de fiabilidade, já que a 
probabilidade de um componente sobreviver até ao instante t é dada por 
t
e
λ− 
A probabilidade de avariar até ao instante t é dada por 
t
e
λ−−1 
 
Num sistema com várias componentes em série, em que o componente se 
encontra a funcionar no seu período de vida útil, a fiabilidade do sistema é 
dada por 
�
= =
−
n
i
i t
s eR
1
λ
 
 
 
 (iv) Outros sistemas 
Quando a estrutura do sistema não puder ser enquadrada em nenhuma das 
anteriores, terão que ser analisadas técnicas mais gerais, tais como a árvore 
de avarias. O método consiste basicamente em identificar todos os modos 
possíveis de avaria e controlá-los. Assim, supondo que se pretende analisar a 
fiabilidade da iluminação de uma sala com uma lâmpada. 
1 2 3 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 109 
Se o objectivo fôr calcular a probabilidade de falta de energia (acontecimento 
secundário) vem 
P (avaria) = P (A ∪ B) = P (A) + P(B) + P(A)xP(B) 
 
Para o acontecimento prioritário (sala às escuras) vem: 
P(sala às escuras) = P(falta de energia ∪ lâmpada estragada) 
Esta metodologia pode ser aplicada a estudos de fiabilidade de sistemas de 
protecção e esquemas de comando (fiabilidade de mísseis e reactores 
nucleares, por exemplo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sala às 
escuras 
Falta de 
energia 
Lâmpada 
estragada 
Avaria na 
rede 
Actuaçãoda 
protecção 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 110 
 
3.7. Aplicações estatísticas 
Controlo Estatístico de Qualidade 
 
 
É do conhecimento geral que nenhum processo de produção executa dois 
produtos iguais. Os processos industriais são caracterizados por produzirem 
peças cujas características variam dentro de certos valores toleráveis. As 
variações são inevitáveis, podendo ser grandes, pequenas, muito ou pouco 
dispersas. O conhecimento do tipo, da extensão e da evolução dessas 
variações é extremamente importante para podermos garantir que nos é 
possível produzir produtos que vão cumprir as especificações, para eles 
definidas, a um nível aceitável. 
 
Os testes descritos anteriormente referiam-se em situações em que o estudo 
não era cronológico. É simples imaginar situações onde, pelo contrário, o 
processo a analisar deva ser monitorado ao longo do tempo. Situações deste 
tipo ocorrem em linhas de fabrico de produtos, estudos de conservação de 
materiais e máquinas, qualidade de serviços. Duma forma geral, entende-se 
por controle de qualidade a monitorização de um processo, cujos resultados de 
natureza quantitativa se devem encontrar dentro de determinados limites. Um 
processo está sob controle se os resultados estão em conformidade com os 
limites impostos; caso contrário, o processo deve ser investigado para que 
sejam detectadas as causas do desvio. A "qualidade" pode referir-se a um 
valor fixo, que constitui o objectivo desejado (por exemplo, a conformidade da 
média relativamente a "limites normais"). A avaliação do processo implica, que 
em certos intervalos de tempo se proceda a uma amostragem. 
O controlo estatístico de qualidade permite uma intervenção nos processos, no 
sentido de se ajustarem e corrigirem os processos, antes de qualquer alteração 
não natural passar a fazer efeito de forma contínua. As cartas de controlo são 
um instrumento poderoso que permite identificar as causas de variação não 
natural nos processos. 
 
Ao definir uma carta de controle para a média, é necessário começar por definir 
a norma para µ (µ0) e 2 níveis de controle: os de vigilância “garantida” (limites 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 111 
inferior e superior de vigilância: LIV e LSV) e os de controle (limites inferior e 
superior de controle: LIC e LSC). Se a média amostral cair fora da área de 
tolerância definida pelos LIC e LSC, é por que há alguma anomalia e deve 
haver paragem da produção. 
Supõe-se que a variável em estudo segue Distribuição Normal, sendo os LIC e 
LSC calculados da seguinte forma: 
 
LIC / LSC = µ0 +/- 
n
cσ
 
(metodologia baseada na estimação por intervalos estudada atrás) 
 
 
 
Ao definir uma carta de controle para a proporção, por exemplo, de 
defeituosos, é necessário começar por definir a norma para p (p0) e 2 níveis de 
controle: os de vigilância “garantida” (limites inferior e superior de vigilância: LIV 
e LSV) e os de controle (limites inferior e superior de controle: LIC e LSC). Se 
a proporção amostral cair fora da área de tolerância definida pelos LIC e LSC, 
é por que há alguma anomalia e deve haver paragem da produção. 
Os LIC e LSC calculados da seguinte forma: 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 112 
LIC / LSC = p0 +/- 
n
pp )ˆ1(ˆ −
 
(metodologia baseada na estimação por intervalos estudada atrás) 
As cartas de controlo são instrumentos fáceis e simples de aplicar pelos 
executantes, no sentido de se obter o controlo contínuo do processo. Podem 
ser traçadas nos próprios locais de trabalho, dando informações preciosas 
sobre os momentos em que são necessárias acções correctivas. 
Desde que o processo esteja sob controlo estatístico, as cartas de controlo 
permitem prever de forma adequada o comportamento do processo, e melhorar 
os processos, com base na informação disponível nas cartas, no sentido de 
reduzir a sua variabilidade. 
 
As cartas são elaboradas a partir de medições efectuadas de uma 
característica do processo (a média, por exemplo). Os dados são obtidos de 
amostras de tamanho constante, geralmente 3 ou 5 unidades, recolhidas 
consecutivamente em intervalos de tempo constantes. Deve ser elaborado um 
plano de recolha de dados, que deverá ser usado como base para a colheita, 
registo e marcação dos dados no gráfico. As amostras a utilizar devem ser de 
tamanho racional, isto é, devem ser eficazes para o controlo sem acarretar 
esforço demasiado e desnecessário na colheita. 
 
A interpretação dos limites de controlo é a seguinte: se a variabilidade peça a 
peça do processo permanecesse constante e nos níveis encontrados, seria 
legítimo concluir que na base de um ponto fora dos limites de controlo estariam 
causas que importa conhecer e sanear. Um ponto fora do controlo deve 
merecer uma análise imediata quanto à causa. 
 
Pode ser mantido um registo das médias amostrais por meio de uma carta 
como a representada na figura abaixo, denominada carta de controle de 
qualidade. 
Cada vez que for calculada uma média amostral, ela será representada por um 
ponto particular. Enquanto eles caírem entre o limite inferior e o superior, o 
processo está sob controle. Quando um ponto estiver fora desses limites de 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 113 
controle (como ocorreu com a terceira amostra tomada na quinta-feira), há a 
possibilidade de haver alguma anomalia, o que justifica uma investigação. 
Os limites de controlo especificados são denominados de limites de confiança. 
A escolha, em cada caso, depende das circunstâncias particulares de cada 
processo. 
 
Média 
Amostral 
(cm) 
Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira 
 
 • 
• 
 • 
 • 
 • 
• 
 • 
 • 
 • 
 • 
• 
 • 
 • 
 • 
 • 
 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 
 
 
50 
LSuperior 
LInferior 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 114 
 
3.8. Aplicações estatísticas 
Tratamento estatístico de inquéritos 
 
 
3.8.1 Teste de independência do qui-quadrado 
 
O teste do é muito eficiente para avaliar a associação existente entre 
variáveis qualitativas. Trata-se de um teste de hipóteses semelhante aos 
anteriormente estudados, mas que se inclui na categoria dos testes não-
paramétricos, isto é, aqueles que não incidem explicitamente sobre um 
parâmetro de uma ou mais populações (por exemplo, o valor esperado ou a 
proporção, como os estudados anteriormente). No entanto, a lógica de 
formulação das hipóteses e de definição de uma regra de decisão é 
equivalente aos testes paramétricos. O princípio básico deste método não-
paramétrico é comparar as divergências entre as frequências observadas e as 
esperadas. 
 
Este teste encontra aplicabilidade no tratamento estatístico de inquéritos. De 
facto, para além do tratamento frequencista dos inquéritos, é por vezes 
interessante aferir da existência de relações estatísticas relevantes entre as 
diversas questões (por exemplo, testar se há alguma coerência entre quem 
respondeu à opção 1 da pergunta X e à opção 2 da pergunta Y). O estudo 
destas relações encontra aplicabilidade no campo das análises de mercado, 
em que o objectivo é proceder à sua segmentação. A existência de 
associações entre as questões permite determinada um vector comum entre 
grupos de inquiridos que responderam de forma semelhante a certo tipo de 
questões (concluir algo como que os habitantes de uma dada área foram 
sempre os que assinalaram determinado tipo de respostas e constituem, por 
isso, um segmento geográfico autónomo e com características próprias de 
entre o total dos inquiridos). 
 
De uma maneira geral, pode dizer-se que dois grupos se comportam de modo 
semelhante se as diferençasentre as frequências observadas e as esperadas 
em cada categoria forem muito pequenas ou próximas de zero. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 115 
Exemplo: 
Um pesquisador deseja verificar se há associação entre três cursos de uma 
universidade e dependência de drogas. Entrevistou 120 alunos, sendo 25 de 
Medicina, 35 de Farmácia e 60 de Biologia, perguntando sobre o uso de 
drogas, admitindo somente duas respostas: sim ou não. Após o processamento 
dos dados, chegou-se à seguinte tabela de distribuição de frequências: 
 
 Medicina Farmácia Biologia Total 
Usa drogas 10 20 30 60 
Não usa drogas 15 15 30 60 
Total 25 35 60 120 
 
 
 
As tabelas como aquela na qual se apresentam os resultados referentes ao 
exemplo são habitualmente designadas de tabelas de contingência. Admita-
se que os resultados que nela figuram resultam de amostras aleatórias. Tais 
resultados representam o número de observações incluídas nas diferentes 
combinações das classes nas quais as duas variáveis em estudo se exprimem. 
 
 Mod. 1 Mod. 2 … Mod. n Total 
Modalidade 1 n11 n12 … … n1. 
Modalidade 2 n21 n22 … … n2. 
… … … … … … 
Modalidade n … … … nnn ni. 
Total n.1 n.2 … n.j n 
 
onde 
nij: frequência observada na célula ij 
n.j: frequência marginal observada na modalidade j 
ni.: frequência marginal observada na modalidade i 
n: dimensão da amostra 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 116 
O objectivo do teste é o de verificar se as duas variáveis em questão são ou 
não relacionadas. As hipóteses nula e alternativa são então as seguintes: 
 Ho: As variáveis são independentes 
 H1: As variáveis não são independentes 
 
As frequências observadas são obtidas directamente dos dados da amostra, 
enquanto que as frequências esperadas são calculadas a partir destas, sob o 
pressuposto de que Ho é verdadeira, isto é, admitindo a hipótese de 
independência. 
Na prática, a frequência esperada é calculada pela multiplicação do total da 
coluna respectiva pelo total da linha a que pertence, dividindo-se o produto pela 
dimensão total da amostra: 
n
nn
e
ji
ij
.. *
= 
 
O é calculado da seguinte forma: 
=��
−
i j ij
ijij
e
en 2)(
 
 
Note-se que o numerador faz referência à diferença entre frequência observada 
e frequência esperada, que deverá ser calculada para cada célula da tabela. 
Quando as frequências observadas são muito próximas das esperadas, o valor 
do numerador é pequeno; no entanto, quando as discrepâncias são grandes, o 
valor do numerador passa a ser grande e, consequentemente, o assume 
valores altos. Ou seja, quando há fortes discrepâncias entre o que de facto foi 
observado e o que seria de esperar sob a hipótese de independência, a 
variável de decisão assume um valor elevado e há motivos ou significância 
estatística para rejeitar Ho. 
 
No teste qui-quadrado compara-se o valor calculado com o valor crítico 
fornecido em uma tabela, considerando o nível de significância adoptado e os 
graus de liberdade GL ou d.f. (obtidos por (número de linhas-1)*(número de 
colunas-1)). 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 117 
Tome-se o caso de GL (d.f.) = 4: 
 
Para o nível de significância de 5%, obtém-se da 
tabela de valores críticos da (ver página seguinte): 
 
Rejeita-se a hipótese nula se for maior que o valor crítico fornecido na 
tabela. 
Resolução: 
Como pode ser observado, entre os 120 alunos incluídos no estudo há um 
número igual (60) que afirma usar e não usar drogas. No entanto, a distribuição 
entre os vários cursos não ocorre de forma homogénea. 
 
 Medicina Farmácia Biologia Total 
Usa drogas 10 20 30 60 
Não usa drogas 15 15 30 60 
Total 25 35 60 120 
 
Os dados são do tipo qualitativo, pois cada aluno entrevistado foi classificado 
sob uma determinada categoria. Neste caso, pode usar-se o teste do qui-
quadrado com duas hipóteses de trabalho: 
Ho: Não há associação entre tipo de curso e dependência de drogas 
H1: Há associação entre tipo de curso e dependência de droga 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 118 
Se o obtido fôr maior ou igual ao crítico, Ho deverá ser rejeitada. 
Para o cálculo do recomendam-se os seguintes passos: 
 
1. Calcular as frequências esperadas 
n
nn
e
ji
ij
.. *
= 
Por exemplo, se as duas variáveis fossem independentes, seria de esperar que 
o número de estudantes de Medicina a admitir usar drogas fosse de: 
5,12
120
60*25* ..
===
n
nn
e
ji
ij 
2. As frequências esperadas deverão ser anotadas nas correspondentes 
células: 
 Medicina Farmácia Biologia Total 
Usa drogas nij 10 20 30 60 
 eij 12,5 17,5 30,0 
Não usa drogas nij 15 15 30 60 
 eij 12,5 17,5 30,0 
Total 25 35 60 120 
 
3. A seguir aplica-se a fórmula =��
−
i j ij
ijij
e
en 2)(
= …=1,7 
4. Determinam-se os graus de liberdade na tabela 
Os graus de liberdade da tabela são calculados multiplicando 
(número de linhas-1)*(número de colunas-1)= (2-1)*(3-1)=2 GL 
5. Por último, compara-se o valor do observado obtido (1,7) com o valor do 
 crítico, considerando os graus de liberdade (GL) e o nível de significância 
adoptado (ver tabela anexa). 
Vem que o obsv.=1,7 é menor do que o valor obtido a partir da tabela, que 
é 5,991 (cruzamento da linha 2 com a coluna 0,05). Assim sendo, a hipótese Ho 
não pode ser rejeitada, concluindo-se que, no grupo estudado, não há 
associação entre as variáveis. Em média, a proporção de alunos que usam ou 
não drogas não varia entre os cursos. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 119 
Observação: 
Caso 20% ou mais das células tenham frequências esperadas menores que 5, 
ou haja uma ou mais frequências esperadas com valores menores ou igual a 1, 
não se deve usar o teste do . Uma boa alternativa para estes casos é o 
agrupamento de linhas e colunas adjacentes, desde que tenha algum sentido 
lógico, de modo a diminuir os graus de liberdade associados. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 120 
�✂✁✂✄✆☎✝✁✂✞✂✟✠☎✂✡☞☛✌✟✂✍✂✎ ✏ ✑✂✒✔✓✖✕✘✗✙✟✂✚✛✁✂✎ ✑✂☛✌☛✌✜✂✢✤✣ ✥✝✣ ✦ ✧✆✣ ✦ ★✆✥✝✩✫✪✬✥✂✭✝✩ ✮✝✧✛✑✂✯✂✰✝✞✱☎✝✞✂✜ ✑✂✲✌✗✝✳✴✑✂✵✂✶✂✷✝✵✂✜
0.995 0.975 0.9 0.5 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
 1 0.000 0.001 0.016 0.455 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.827
2 0.010 0.051 0.211 1.386 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597 13.815
3 0.072 0.216 0.584 2.366 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 16.266
4 0.207 0.484 1.064 3.357 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860 18.466
5 0.412 0.831 1.610 4.351 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750 20.515
6 0.676 1.237 2.204 5.348 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 22.457
7 0.989 1.690 2.833 6.346 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 24.321
8 1.344 2.180 3.490 7.344 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 26.124
9 1.735 2.700 4.168 8.343 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 27.877
10 2.156 3.247 4.865 9.342 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.588
11 2.603 3.816 5.578 10.341 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 31.264
12 3.074 4.404 6.304 11.340 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300 32.909
13 3.565 5.009 7.041 12.340 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 34.527
14 4.075 5.629 7.790 13.339 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 36.124
15 4.601 6.262 8.547 14.339 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 37.698
16 5.142 6.908 9.312 15.338 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267 39.252
17 5.697 7.564 10.085 16.338 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 40.791
18 6.265 8.231 10.865 17.338 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 42.312
19 6.844 8.907 11.651 18.338 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 43.819
20 7.434 9.591 12.443 19.337 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997 45.314
21 8.034 10.283 13.240 20.337 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 46.796
22 8.643 10.982 14.041 21.337 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 48.268
23 9.260 11.689 14.848 22.337 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 49.728
24 9.886 12.401 15.659 23.337 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558 51.179
25 10.520 13.120 16.473 24.337 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 52.619
26 11.160 13.844 17.292 25.336 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290 54.05127 11.808 14.573 18.114 26.336 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 55.475
28 12.461 15.308 18.939 27.336 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994 56.892
29 13.121 16.047 19.768 28.336 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335 58.301
30 13.787 16.791 20.599 29.336 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 59.702
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 121 
FIABILIDADE 
Exercícios 
 
 
Exercício 1 
Num centro comercial, está instalado um sistema de 10 máquinas para 
utilização de cartão multibanco. Diz-se que o sistema está em funcionamento 
se pelo menos uma das máquinas funciona. Suponha que cada máquina 
funciona independentemente das outras e a probabilidade de funcionamento de 
cada máquina é 85%. Calcule a probabilidade do sistema estar em 
funcionamento. 
 
Resolução 
P(avaria) = 1-0,85 = 15% 
P(sistema estar em funcionamento) = 1 – P(sistema avariar) 
= 1 – P(nenhuma das máquinas funcionar) 
= 1 – P(maq1 não funcionar e...e maq 10 não funcionar) 
= 1 – 0,15*0,15*...*0,15 = 1 (aproximadamente) 
 
 
2. Quatro componentes de um sistema encontram-se associados de acordo 
com a figura junta. Estão no seu período de vida útil e as taxas médias de 
avarias são 10-4 avarias/hora (A), 2x10-5 avarias/hora (B e C) e 5x10-5 
avarias/hora (D). 
 
Calcule a probabilidade do sistema estar em funcionamento após 5 000 horas. 
 
Resolução 
A: ===
−− − 5,05000*10 4 eeRs 60,6531% 
D: ===
−− − 25,05000*10*5( )5 eeRs 77,8801% 
A
B
C
DA
B
C
D
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 122 
B e C: ===
−− − 1,05000*10*2( )5 eeRs 90,4837% 
P(funcionar 1 ou 2) = 1-P(funcionar nenhuma) = 1 – (1-0,904837)2 = 99,0944% 
Logo, P(sistema estar em funcionamento após 5 000 horas) = 
= 0,606531*0,990944*0,778801 = 46,8% 
 
 
Exercício 3 
Foram ensaiadas durante 3 000 horas, sem que se verificasse qualquer avaria, 
cinco unidades idênticas de um equipamento que se sabe ter uma curva de 
sobrevivência que obedece a uma distribuição exponencial, com um MTBF de 
17 500 horas. 
Calcule a fiabilidade do equipamento. 
 
Resolução 
X: tempo de funcionamento sem avarias da máquina (em horas) 
 (isto é, tempo que decorre entre avarias consecutivas (em horas)) 
X segue Exp(α=1/17500) MTBF = 17500 
Y: nº de avarias no intervalo [0,3000] horas 
=== −
−
171429,017500
3000
eeRs 84,25% 
 
Exercício 4 
O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de 
produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado 
igual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no 
instante t=0 horas. 
a) Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6 
horas? 
b) Admitindo que a máquina se encontrava em funcionamento no instante 
t=4 horas, qual a probabilidade de não ocorrerem avarias até t=6 horas? 
c) Qual a probabilidade de se verificarem 2 avarias durante as primeiras 6 
horas de funcionamento da máquina? 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 123 
Resolução 
a) X: tempo de funcionamento sem avarias da máquina (em horas) 
 (isto é, tempo que decorre entre avarias consecutivas (em horas)) 
X segue Exp(α=1/4,5) MTBF = 4,5 
P(X ≥ 6) = %4,26
5,4
1
1)6(1 5,4
6
5,4
1
6
0
==−=<−
−−

 edxeXP 
Ou considerando Y: nº de avarias no intervalo [0,6] horas, como Y segue 
Po(1/4,5), vem que P(X ≥ 6) = P(Y=0) = e-λt = e-(1/4,5)t = e-(6/4,5) = 26,4% 
 
b) P(X ≥ 6/ X ≥ 4) = )2(%1,64
)4(
)6(
)4(
)46(
5,4
4
5,4
6
≥===
≥
≥
=
≥
≥∩≥
−
−
XP
e
e
XP
XP
XP
XXP
 
c) Y: nº de avarias no intervalo [0,6] horas 
P(Y=2) = %4,23
!2
)5,4/6( 25,4
6
=
−
xe
 
 
Exercício 5 
Sabe-se que um determinado modelo de lâmpadas apresenta no período de 
vida útil (3625 horas) um MTBF de 12 000 horas. Calcular: 
 
a) A probabilidade de falha de uma ou mais lâmpadas, num conjunto de 10, 
no período de vida útil. 
b) Quantas lâmpadas, de um conjunto de 1 000, estarão provavelmente em 
funcionamento após 2 000 horas de utilização. 
 
Resolução 
a) ===
−
−
302,012000
3625
eeRs 73,9% 
Em 10, 1 - P(falhar nenhuma) = 1 - 0,73910 = 1 – 0,0488 = 95,12% 
b) ===
−
−
1667,012000
2000
eeRs 84,6% Logo, 0,846x1000 lâmpadas = 846 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 124 
Exercício 6 
Num grande centro comercial existem 3 telefones públicos, colocados 
estrategicamente a fim de satisfazer adequadamente os utentes. A observação 
prolongada do funcionamento dos telefones levou a concluir que as 
probabilidades dos 3 telefones, T1, T2 e T3 se encontrarem avariados são, 
respectivamente, 0,15, 0,2 e 0,25 e que as avarias são independentes. O grupo 
de telefones satisfaz minimamente o serviço se pelo menos 2 estiverem sem 
avarias. Qual a probabilidade de pelo menos dois destes telefones estarem 
sem avarias? 
 
Resolução 
P(pelo menos dois destes telefones estarem sem avarias ) = P(2 ou 3 estarem 
sem avarias) = 0,095+0,51=60,5% 
P(2 sem avarias) = 0,15*0,2*0,75+0,85*0,2*0,25+0,15*0,8*0,25=9,5% 
P(3 sem avarias) = 0,85*0,8*0,75=51% 
 
 
Exercício 7 
Um sistema é constituído por 5 componentes iguais, sendo 0.05 a 
probabilidade de um elemento falhar ao longo de qualquer dia da semana. No 
caso de nenhum elemento avariar o sistema funciona normalmente; se um dos 
elementos avariar o sistema funciona com probabilidade 0.7; se mais de um 
elemento avariar o sistema não funciona. Calcule: 
a) a probabilidade do sistema funcionar ao longo do dia. 
b) a função de probabilidade do nº de falhas registadas nos seus 
componentes ao longo de um dia, indicando o valor médio de tal 
distribuição. 
 
Resolução 
a) P(sist. funcionar) = P(0 avariar e funcionar) + P(1 avariar e funcionar) 
= (0,955)* 1 + (5*0,954*0,05)*0,7 = 0,7738 + 0,1425 = 91,63% 
b) Bi(n=5;p=0,05) Valor médio=5*0,05=0,25 
 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 125 
CONTROLE ESTATÍSTICO DE QUALIDADE 
Exercícios 
 
 
Exercício 1 
Uma empresa fabrica e comercializa condutores eléctricos cujas condições de 
controlo da produção e aceitabilidade a seguir se indicam (relativos à 
resistência de um componente em Ω): 
− Característica sob controlo: µ 
− LIC: 49,8775 
− LSC: 50,1225 
− n=16 
− σ=0,25 
− Proceder-se-á à paragem da produção sempre que os limites de controlo 
sejam desrespeitados 
− Um condutor é considerado não defeituoso se a sua resistência em Ω 
estiver compreendida entre [49,530; 50, 470] 
 
Nestas condições, determine: 
a) O valor da norma µ0 
b) A probabilidade de se proceder a uma paragem indevida da produção 
c) A probabilidade de, estando a norma a ser cumprida, se produzir um 
artigo defeituoso. 
 
Resolução 
X: resistência de um componente em Ω 
))25,0(;( 2µNX ∩ 
a) LIC = 8775,49=−
n
cσ
µ 
LSC = 1225,50=+
n
cσ
µ 
Como LIC + LSC = 100 vem que 1002 ==��
�
�
��
�
�
++��
�
�
��
�
�
− µ
σ
µ
σ
µ
n
c
n
c
 
Logo µ=100/2 = 50 Ω 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 126 
b) 
P (parar indevidamente o processo produtivo) = 
P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) = 
1 - P(49,8775 ≤ X ≤ 50,1225 sendo µ=50) = 
1 - P(
16
25,0
508775,49 −
≤ X ≤
16
25,0
501225,50 −
) = 
1- P(-1,96 ≤ X ≤ 1,96) = 
 
Na tabela da Normal, vem D(1,96) = 0,95 donde 
1 – 0,95 = 5% 
 
c) P(produzir um artigo defeituoso, sendo a norma respeitada) = 
1 – P(49,53 ≤ X ≤ 50,47 sendo µ=50) = 
1 - P(
16
25,0
5053,49 −
≤ X ≤
16
25,0
5047,50 −
) = 
1 - P(-1,88 ≤ X ≤ 1,88) = 
 
Na tabela da Normal, vem D(1,88) = 0,9399 donde 
1 – 0,9399 = 6,01% 
 
 
Exercício 2 
A empresa “TRADECHO, SA” mantém um diferendo com os seus principais 
clientes, que afirmam que os produtos produzidos (em série) por esta empresa 
não obedecem às normas de qualidade estabelecidas e que são: 
- a norma para o comprimento médio das peças é de 20 cm; 
- a norma para a variância é de 4 e está a ser cumprida; 
- a amplitude do intervalo de controle para a média deve ser de 1,96; 
- a dimensão das amostras a extrair é de 16 
Afirmam os clientes quea probabilidade de parar indevidamente o processo 
produtivo é superior àquela que decorre das normas. 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 127 
a) Determine a probabilidade referida. 
b) Represente a carta de controle para a média 
c) A recolha de 5 amostras forneceu os seguintes resultados para a média: 
 
20,05 19,90 20,00 20,30 20,15 
 
Qual a medida a tomar? 
 
Resolução 
X: comprimento das peças em cm 
)4;(µNX ∩ 
a) P (parar indevidamente o processo produtivo) = 
P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) = 
1 - P(20-1,96/2 ≤ X ≤ 20+1,96/2 sendo µ=20) = 
1 - P(
16
2
98,0−
≤ X ≤
16
2
98,0
) = 
1- P(-1,96 ≤ X ≤ 1,96) = 
 
Na tabela da Normal, vem D(1,96) = 0,95 donde 
1 – 0,95 = 5% 
 
b) e c) 
 
Média 
Amostral 
(cm) 
Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 5 
 
 • 
•20,5 
 • 
 • 
 • 
• 
 • 
 • 
 • 
 •20,3 
• 
 • 
 •20,15 
 • 
 • 
 
 19,90 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 
 
Não é necessário parar o processo produtivo (valores dentro dos limites de 
controlo). 
20 
20,98 
19,02 
20 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 128 
Exercício 3 
Numa empresa procede-se ao exame das condições de produção relativas à 
duração (em horas) das lâmpadas fabricadas (produção em série). Sabe-se 
que o desvio-padrão da duração de uma lâmpada é de 100 horas. 
O Departamento de Produção construiu o seguinte intervalo para a duração 
média de uma lâmpada, a partir de uma amostra de dimensão 100: 
 
[983,55; 1016,45] 
 
parando-se o processo produtivo se o valor médio amostral se situar fora deste 
intervalo. 
a) Calcule o valor adoptado para a norma (µ0) 
b) Determine a probabilidade de se parar indevidamente o processo 
produtivo. 
 
Resolução 
X: duração das lâmpadas em horas 
))100(;( 2µNX ∩ 
a) LIC = 55,983=−
n
cσ
µ 
LSC = 45,1016=+
n
cσ
µ 
Como LIC + LSC = 2000 vem que 20002 ==��
�
�
��
�
�
++��
�
�
��
�
�
− µ
σ
µ
σ
µ
n
c
n
c
 
Logo µ=2000/2 = 1000 h 
 
b) P (parar indevidamente o processo produtivo) = 
P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) = 
1 - P(983,55 ≤ X ≤ 1016,45 sendo µ=1000) = 
1 - P(
100
100
100055,983 −
≤ X ≤
100
100
100045,1016 −
) = 
1- P(-1,645 ≤ X ≤ 1,645) = 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 129 
Na tabela da Normal, vem D(1,645) = 0,9 donde 
1 – 0,9 = 10% 
 
Exercício 4 
O novo Conselho de Administração da empresa de componentes eléctricas 
“Alta Tensão, SA” resolveu efectuar um estudo aprofundado sobre o controle 
estatístico de qualidade das peças produzidas. Assim, definiu com o director de 
produção os aspectos considerados relevantes no controle da duração média 
das componentes: 
- o limite superior de qualidade (LSC) deve ser de 10,8 milhares de horas 
- a amplitude do intervalo não deve exceder 1,96 milhares de horas 
- a probabilidade de se parar indevidamente a produção é de 5% 
Sabe-se ainda que o desvio padrão da duração de uma componente é de 4 mil 
horas. 
 
a) Determine a dimensão da amostra que é necessário recolher para 
cumprir as condições definidas. 
b) Calcule a norma. 
 
Resolução 
X: duração das componentes em milhares de horas 
))4(;( 2µNX ∩ 
a) LSC = 8,10=+
n
cσ
µ 
D(c)= 5% logo c= 1,96 
2 96,1≤
n
cσ
 logo 2 6496,1
4*96,1
≥⇔≤ n
n
 
b) LSC = 8,10=+
n
cσ
µ logo µ = 10,8 - 
64
4*96,1
 = 9,82 
 
Exercício 5 
O director de produção da empresa DISLIX, SA pretende implementar um 
sistema de controle interno de qualidade de um determinado tipo de geradores 
fabricados em série. Para tal, procede à verificação da produção de energia 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 130 
eléctrica (em kws/hora) tendo e vista a construção de um intervalo de controle 
para a produção média de energia de um gerador que cumpra os seguintes 
objectivos: 
- Norma de produção para a média: 10 
- A amplitude do intervalo não deve exceder 3,92 
- A probabilidade de se parar indevidamente a produção não deve 
exceder 5% 
Sabe-se que o desvio padrão da produção da energia eléctrica de um gerador 
é de 4 kws/hora e que a variável segue distribuição Normal. 
 
a) Determine a dimensão mínima da amostra a utilizar para o controle de 
produção. 
b) Represente a carta de controle para a média. 
 
Resolução 
X: energia eléctrica produzida em kws/hora 
))4(;( 2µNX ∩ 
a) D(c)= 5% logo c= 1,96 
2 92,3≤
n
cσ
 logo 2 1692,3
4*96,1
≥⇔≤ n
n
 
b) 
 
Média 
Amostral 
(cm) 
Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 5 
 
 • 
• 
 • 
 • 
 • 
• 
 • 
 • 
 • 
 • 
• 
 • 
 • 
 • 
 • 
 
• 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 • 
 
LIC = 04,8
16
4*96,1
10 =−=−
n
cσ
µ 
LSC = 96,11
16
4*96,1
10 =+=+
n
cσ
µ 
10 
11,96 
8,04 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 131 
TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE INQUÉRITOS 
Exercícios 
 
Exercício 1 
A empresa BrasFruta Lda está a instalar-se em Portugal com um produto 
inovador, um concentrado de fruta semelhante a um sumo de fruta natural. A 
intenção é vender o produto em cafés, esplanadas e bares que passariam a 
dispor de uma imitação perfeita de um sumo acabado de fazerva um preço 
vantajoso. 
Através de um estudo qualitativo com consumidores, conseguiu-se apurar que 
existia uma grande sensibilidade ao preço. Apesar de haver uma preferência 
generalizada por sumos naturais face a refrigerantes, os consumidores 
mostravam-se cépticos em relação à qualidade quando se falav em preços 
baixos. 
Entendeu-se então levantar a seguinte questão: “a sensibilidade ao preço é 
afectada pelo poder de compra dos clientes?” Numa sondagem efectuada a 
1973 clientes potenciais, confrontaram-se os inquiridos com três alternativas: 
adquirir sumo natural a preço elevado, adquirir sumo natural a preço baixo ou 
adquirir refrigerantes. A sondagem revelou que, dos clientes classes A/B/C1, 
598 pagariam um preço mais elevado pelo sumo natural, enquanto 212 não 
estariam dispostos a gastar tanto. Em relação aos 977 clientes das classes 
C2/D/E, 164 só consumiriam sumo natural se o preço fosse baixo e 285 
preferiam refrigerante. 
Represente adequadamente e interprete a informação contida nestes dados. 
Utilize um nível de significância de 1%. 
 
Resolução 
 Preço Elevado Preço Baixo Refrigerante Total 
A/B/C1 598 212 186 996 
C2/D/E 528 164 285 977 
Total 1126 376 471 1973 
 
As conclusões foram retiradas pelo recurso à análise correlacionada através do 
teste do qui-quadrado. Estes testes foram elaborados sobretudo com o intuito 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 132 
de segmentar o mercado. As frequências foram utilizadas para analisar o 
mercado como um todo e para interpretar o resultado dos testes de correlação, 
para os quais se convencionou a adopção de um nível de significância de 5%, 
considerado razoável face aos valores normalmente utilizados. 
 
Para o cálculo das frequências esperadas, procedeu-se à aplicação de 
n
nn
e
ji
ij
.. *
= , de que resultou a seguinte tabela: 
 Preço Elevado Preço Baixo Refrigerante Total 
A/B/C1 nij 598 212 186 996 
 eij 568.4 189.8 237.8 
C2/D/E nij 528 164 285 977 
 eij 557.6 186.2 233.2 
Total 1126 376 471 1973 
 
 Ho: As variáveis são independentes 
 H1: As variáveis não são independentes 
 
 crítico (GL=2; α=0,05)=5,991 
 observado = 31,141 
 
Vem que o obsv.=31,141 é maior do que o valor obtido a partir da tabela, 
que é 5,991 (cruzamento da linha 2 com a coluna 0,05). Assim sendo, a 
hipótese Ho será rejeitada,concluindo-se que, no grupo estudado, há 
associação entre as variáveis. Em média, o poder de compra do consumidor 
influencia a sensibilidade ao preço. 
 
Exercício 2 
Aos exames de primeira época de determinada disciplina compareceram 105 
alunos, dos quais 20 não tinham prestado qualquer prova durante o ano. O 
número de aprovações foi de 33, das quais 3 foram de alunos que não tinham 
efectuado provas durante o ano. 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 133 
Diga, com base nestes elementos, se, para um nível de significância de 5%, se 
pode afirmar que existe independência entre a comparência (ou não) a provas 
durante o ano de aprovação (ou não) em exame. 
 
Resolução 
 
Aprovações 
Comparecem 
Aprovado Reprovado Total 
Sim 30 55 85 
Não 3 17 20 
Total 33 72 105 
 
 Ho: As variáveis são independentes 
 H1: As variáveis não são independentes 
 crítico (GL=2; α=0,05)=3,84 
 observado = 3,122 
 
Vem que o obsv.= 3,122 é menor do que o valor obtido a partir da tabela. 
Logo, a hipótese Ho não será rejeitada (há independência). 
 
 
Exercício 3 
Com o objectivo de testar se existe relação entre a formação do gerente de 
uma dependência bancária e a respectiva “performance”, construiu-se a 
seguinte tabela de contingência, relativa a 300 balcões de diferentes bancos: 
 
Formação 
Gerente 
Vol. Negócios 
 
Média 
 
Superior 
Baixo 44 52 
Médio 55 43 
Elevado 51 55 
 
Que conclui, a um nível de significância de 1%? 
 
Resolução 
 Ho: As variáveis são independentes 
 H1: As variáveis não são independentes 
 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 134 
Valores esperados: 
Formação 
Gerente 
Vol. Negócios 
 
Média 
 
Superior 
Baixo 48 48 
Médio 49 49 
Elevado 53 53 
 
 crítico (GL=2; α=0,01)=9,21 
 observado = 2,2876 
 
Valor obsv. est. teste = 21,92876,2
53
)5355(
...
48
)4844( 22
>=
−
++
−
 
Vem que o obsv.= 2,2876 é maior do que o valor obtido a partir da tabela, 
Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação 
entre as variáveis. 
 
Exercício 4 
Pretendendo-se analisar o comportamento do volume de divisas ao longo do 
ano, deu-se particular atenção à influência exercida pelas remessas de 
emigrantes. Assim, o ano foi dividido em duas épocas: Época de Ponta, 
compreendendo os meses de vinda de emigrantes (Verão e Natal) e Época 
Normal (restantes meses). 
Assim, observou-se o nível de Disponibilidades Líquidas sobre o Exterior (DLX) 
para cada mês, tendo-se obtido: 
 
Volume DLX 
Época 
Baixo/Médio Elevado 
Normal 150 50 
Ponta 20 80 
 
A um nível de significância de 5%, que pode concluir? 
 
 
Resolução 
 Ho: As variáveis são independentes 
 H1: As variáveis não são independentes 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 135 
Valores esperados: 
Volume DLX 
Época 
Baixo/Médio Elevado 
Normal 113,33 86,66 
Ponta 6,66 43,33 
 
 crítico (GL=1; α=0,05)=5,991 
 observado = 85,069 
Valor obsv. est. teste = 84,3069,85
33,43
)33,4380(
...
33,113
)33,113150( 22
>=
−
++
−
 
Vem que o obsv.= 85,069 é maior do que o valor obtido a partir da tabela, 
Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação 
entre as variáveis. 
 
 
Exercício 5 
Num estudo que pretendia averiguar a existência de relação entre a procura de 
moeda e a taxa de juro, procedeu-se à recolha periódica de elementos sobre 
essas variáveis, construindo-se a seguinte tabela de contingência: 
 
Taxa juro 
Proc. Moeda 
Reduzida Média Elevada 
0-10 20 30 200 
10-45 20 400 30 
45-70 250 30 20 
 
Utilizando um nível de significância de 5%, que conclusão pode tirar? 
 
Resolução 
 Ho: As variáveis são independentes 
 H1: As variáveis não são independentes 
 
Valores esperados: 
Taxa juro 
Proc. Moeda 
Reduzida Média Elevada 
0-10 72.5 115 62.5 
10-45 130.5 207 112.5 
45-70 87 138 75 
Manual de Exercícios 
Estatística Aplicada 136 
 crítico (GL=4; α=0,05)=9,49 
observado = 1183,7 
 
Vem que o obsv.= 1183,7 é maior do que o valor obtido a partir da tabela, 
Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação 
entre as variáveis. 
 
 
Exercício 6 
Um investigador seleccionou três amostras de estudantes, A, B e C, que fazem 
parte de um determinado projecto de estudo e aplicou-lhes uma escala de 
atitudes com o objectivo de conhecer as suas opiniões em relação ao projecto. 
Os resultados de uma amostra de 140 estudantes foram os seguintes: 
 
 Grupo de 
Tipo estudantes 
de atitude 
 
A 
 
B 
 
C 
Atitude negativa 30 30 10 
Atitude positiva 10 20 40 
 
Utilizando um nível de significância de 5%, que conclusão pode tirar? 
 
Resolução 
 Ho: As variáveis são independentes 
 H1: As variáveis não são independentes 
Valores esperados: 
 Grupo de 
Tipo estudantes 
de atitude 
 
A 
 
B 
 
C 
Atitude negativa 20 25 25 
Atitude positiva 20 25 25 
 
 crítico (GL=2; α=0,05)=3,84 
 observado = 30 
Vem que o obsv.= 30 é maior do que o valor obtido a partir da tabela, 
Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação 
entre as variáveis.