Lista_1_Introdu__o___Teoria_dos_N_meros (2)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FAMAT - Faculdade de Matemática
1ª Lista de Introdução à Teoria dos Números
1. Prove por indução:
(a) 12 +22 + · · ·+n2 = n(n+1)(2n+1)
6
, ∀n ≥ 1
(b) 1 · 2+2 · 3+ · · ·+n · (n+1) = n(n+1)(n+2)
3
, ∀n ≥ 1
(c) 64 | (32n+2 − 8n− 9),∀n ≥ 0.
(d) Se a,b,n ∈ N, com a+ b , 0, temos que a+ b divide a2n+1 + b2n+1.
(e) Mn = n(n2 − 1)(3n+2) é múltiplo de 24 para todo n ∈ N.
2. Na divisão euclidiana de −345 por um inteiro b > 0, o resto é 12. Ache o divisor e o
quociente em todos os casos possíveis.
3. Na divisão euclidiana de a por b o quociente é 6 e o resto o menor possível. Ache a e b
para os casos a− b = 525 e a+ b = 234.
4. Seja m um número inteiro ímpar. Mostre que o resto da divisão euclidiana de m por 4
é 1 ou 3.
5. Sejam m e n inteiros quaisquer. Mostre que:
(a) m é par se, e somente se m+2n é par.
(b) m+n é ímpar se, e somente se, m−n é ímpar.
6. Seja a um número inteiro. Mostre que:
(a) Um dos inteiros a,a+1, a+2 é divisível por 3.
(b) Um dos inteiros a,a+2, a+4 é divisível por 3.
(c) Um dos inteiros a,a+1, a+2, a+3 é divisível por 4.
7. Se o resto na divisão euclidiana de m por 8 é 5, qual o resto na divisão euclidiana de m
por 4?
8. Seja m um inteiro.
(a) Mostre que o resto da divisão de m2 por 3 é 0 ou 1.
(b) Se m é ímpar, mostre que o resto da divisão de m2 por 4 é 1.
9. Seja a um número inteiro tal que 2 ∤ a e 3 ∤ a. Prove que 24 | (a2 − 1).
10. Mostre que a diferença entre os quadrados de dois inteiros consecutivos é sempre um
número ímpar.