Unidade 3 - Noções de Probabilidade

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ESTATÍSTICA BÁSICA
Aula 6
Noções de Probabilidade
Parte I
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Introdução
POR QUE ESTUDAR PROBABILIDADE?
“Após a apuração, condensação, apresentação e descrição dos dados obtidos a partir de uma amostra é comum estender as conclusões obtidas para toda a população. Este procedimento se chama inferência.
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ESTATISTICA 
DESCRITIVA
TEORIA DAS 
PROBABILIDADES
ESTATISTICA 
INDUTIVA
Para fazer inferência sobre uma população a partir de dados amostrais são adotados conhecimentos de probabilidade.
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2. Conceitos básicos
2.1 Experimento
Processo pelo qual se obtém alguma informação.
Experimento aleatório : É um experimento cujo resultado é incerto ou casual mesmo quando repetidos em condições idênticas
 É a ação ou um ensaio por meio do qual resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos.
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Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher.
Resultados possíveis:
				 homem, mulher
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Exemplos de alguns experimentos e fenômenos aleatórios
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2.2 Espaço amostral (  - ômega)
É o conjunto formado por todos os possíveis resultados de um experimento ou fenômeno aleatório.
 = { CC, CX, XC, XX} 
Exemplo:
 Experimento - Lançar uma moeda duas vezes
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Dois dados são jogados.
Descreva o espaço amostral.
1a jogada
36 resultados
2a jogada
Início
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
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2.3 Evento (A)
 É todo subconjunto do espaço amostral.
Exemplo: Lançar uma moeda duas vezes
A= { pelo menos uma face da moeda é cara}
{ CC, CX, XC}
B= { pelo menos duas faces são cara}
{ CC}
 
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RESUMO
Experimento Probabilístico – Jogar um dado de seis faces. 
Espaço Amostral – {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento –Jogar um número par {2, 4, 6}. 
Resultado do experimento –{2}. 
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3. Tipos de eventos
a) Evento Simples - Evento que consiste de um único resultado. 
 
Exemplo:
Para o controle de qualidade de frutas para exportação seleciona-se ao acaso uma maçã. O evento A é selecionar uma maçã estragada. Só existe um resultado possível para atender esta condição: maçã estragada, logo o evento é simples.
Obs: Joga-se um dado de seis lados. O evento B é obter pelo menos um 4. Existem três resultados possíveis: 4,5 ou 6, logo o evento não é simples.
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b) Evento União ou Soma – se associarmos dois eventos A e B a um experimento aleatório a união dos eventos A e B será um conjunto formado por todos os elementos que pertencem A e B.
Evento A = { plantas leguminosas}
Evento B = { plantas com altura acima de 30 cm}
A U B = { plantas leguminosas e plantas com altura acima de 30 cm}
 
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c) Evento Complementar (Ā): 
é o evento que ocorre se e somente se A não ocorre
Ex.: 
A = conj. de frutas atacadas pela mosca
Ā = conj. de frutas não atacadas pela mosca
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d) Eventos Interseção ou mutuamente não excludentes (A e B) ou (A  B): 
São os eventos que ocorrem se e somente se A e B ocorrem simultaneamente.
Ex: A = plantas acima de 30 cm de altura B = plantas da família das leguminosas.
A  B = plantas leguminosas e com mais de 30 cm de altura simultaneamente
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Eventos não excludentes
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente excludentes.
A = ter menos de 25 anos.
B = ser um advogado.
A = ter nascido em Fortaleza.
B = ser torcedor do Ceará.
A e B
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A 
B 
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A = ser mulher.
B = ter sangue tipo O.
A = 1o filho ser menino.
B = 2o filho ser menino.
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Na segunda retirada admitindo que a primeira foi vermelha, temos então 25 cartas vermelhas de um total de 51 cartas (considerando que não houve reposição da carta inicialmente retirada).
Portanto, a ocorrência da segunda carta está vinculada ou condicionada ao aparecimento da primeira carta
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Observação:
Compare “A e B” a “A ou B”
O evento “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. 
O evento “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B, assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. 
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A ou B
A e B
A
B
mutuamente excludentes
não mutuamente excludentes
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2.4 Variável aleatória
 
É aquela que possui resultados que tendem a variar de uma observação para outra, em razão de fatores relacionados ao acaso
Vida útil (em horas) de um televisor.
Número de peças com defeito em um lote produzido.
Número de acidentes registrados durante um mês na BR.101.
Na internet, o tempo (em segundos) para que uma determinada mensagem chegue ao seu destino.
Exemplos
 
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Variáveis aleatórias
variável aleatória
discreta
os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável
Assume valores discretos com probabilidades determinadas
contínua
os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais
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 Base teórica para a análise inferencial.
3. Teoria das Probabilidades
Qualquer que seja o experimento aleatório haverá sempre um grau de incerteza quanto à ocorrência ou não de um dado evento, ou seja, existe uma PROBABILIDADE associada à ocorrência de um evento.
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Probabilidade pode ser definida a partir de duas concepções:
 Definição frequentista de probabilidade
 Definição axiomática de probabilidade
 
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Definição frequentista de probabilidade
Em situações em que os elementos do espaço amostral não são igualmente prováveis, a probabilidade de ocorrer o evento A pode ser calculada pela noção de freqüência relativa.
	Se um experimento E for repetido n vezes e se algum evento A ocorre nA vezes, a freqüência relativa do evento a é definida matematicamente por:
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Exemplo
Probabilidade de resultados de um dado
 Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos:	A = número par,
 B = núm. menor que 3
 A = {2, 4, 6}		B = {1, 2}
 P(A) = 3/6 = 0,5	 P(B) = 2/6 = 1/3
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b) Definição axiomática de probabilidade (Clássica)
 
Probabilidade é uma função que associa a cada evento A, do espaço amostral, um número P(A), chamado de probabilidade do evento A, satisfazendo alguns axiomas.
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Exemplo
Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos.
Evento A: obter um 3. R=1/6
Evento B: obter um 7. R=0/6
Evento C: obter um número menor do que 5. R=4/6
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Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir.
1. P(sim)
2. P(Fortaleza)
3. P(Recife)
4. P(não, dado Recife)
Salvador
Fortaleza
Recife
Total
Sim
100
150
150
 400
Não
125
130
95
 350
Não sabe
 75
170
 5
 250
Total
300
450
250
1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
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1. P(sim)
2. P(Fortaleza)
3. P(Recife)
4. P(não, dado Recife)
100
150
150
125
130
95
 350
 75
170
 5
 250
Salvador
Fortaleza
Recife
Total
Sim
Não
Não sabe
Total
 400
1.000
= 95/250 = 0,38
= 250/1.000 = 0,25
Respostas: 1) 0,4 2) 0,45 3) 0,25 4) 0,38
= 450/1.000 = 0,45
= 400/1.000 = 0,4
*
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.
Determine a probabilidade de que a soma seja 11.
Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.
Dois dados são jogados e sua soma é anotada.
3/36 = 1/12 = 0,083
2/36 = 1/18 = 0,056
(3+2)/36 = 0,139
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Solução:
P (frutas atacadas) = 5/12
P (frutas não atacadas) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583
Foram colhidas 12 frutas, 5 das quais foram atacadas pela mosca. Se uma fruta for selecionada ao acaso, determine a probabilidade de que ela não seja atacada pela mosca. 
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2 - Axiomas das medidas de probabilidade
A teoria das probabilidades está estruturada sobre axiomas que permitem entender melhor os seus conceitos.
 Axioma 1: 
Dado um evento A do espaço amostral  (A C  )
P(A)  0
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 Axioma 2: 
P() = 1
 Axioma 3: 
 Se A e B são dois eventos mutuamente excludentes 
A  B=  
 então: P(A  B) = P(A) + P(B)
 Em geral:
 Se A1, A2, A3, ..., são eventos mutuamente excludentes de , tal que Ai  Aj = , para todo ij,
então: 
 P(A1 A2... An)= P(A1) + P(A2)+...+P(An)
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3 – Teoremas do cálculo de probabilidade
A partir dos axiomas apresentados pode-se chegar nos teoremas que auxiliam a resolução dos problemas de probabilidade.
Teorema 1
Para todo o evento A, a probabilidade de sua ocorrência será sempre um valor compreendido entre 0 e 1
0  P (A)  1
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Exemplo:
Em uma fazendo onde são criados apenas ovinos e caprinos, escolher um animal bovino é um evento impossível.
P(A) = 0
Já um evento B, escolher um animal ovino ou caprino é
P(A) = 1 
Evento certo
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Teorema 2
Se um evento Ā é complementar de A
Então : 
P (Ā) = 1 - P(A)
Ou
P (Ā) + P(A) = 1 
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Exemplo:
Em um sítio existem 15 mangueiras e 10 cajueiros.
Seja A o evento que consiste na escolha de uma mangueira e Ā o evento não escolher uma mangueira entre as árvores do sítio.
Logo:
P(A) = 15/25
P(Ā) = 1 – 15/25 = 10/25
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Teorema 3 - Teorema da Soma
Se A e B não são eventos mutuamente excludentes, a probabilidade da ocorrência de A ou B é dada por:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Se A ∩ B =  , ou seja, se A e B são mutuamente excludentes temos:
P(A U B) = P(A) + P(B)
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Exemplo: eventos excludentes
Considere uma cesta com 15 frutas, sendo 3 maçãs, 5 bananas, 2 abacaxis e 5 limões. Sendo A e B dois eventos, 
A – Retirar uma banana
B - Retirar uma maçã
qual a probabilidade de se retirar uma banana ou uma maçã ? 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) = 5/15 + 3/15 – 0 = 8/15
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Exemplo: eventos não excludentes
Considere uma fazenda onde existam 2 vacas, 5 cavalos, 2 carneiros e 3 ovelhas.
 Sendo A e B dois eventos, 
A – Escolher um animal macho
B – Escolher um ovino
qual a probabilidade de se retirar um animal macho ou um animal ovino?
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) = 7/12 + 5/12 – 2/12 = 10/12
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Teorema 4 - Teorema da Probabilidade Condicional
Considere B um evento qualquer em um espaço amostral , com P(B) > 0.
A probabilidade de um evento A ocorrer, uma vez que B tenha ocorrido é dada por:
P(A|B) e lemos “a probabilidade de A, dado B”.
Em que:
P(A|B) = 
P(A  B)
P(B)
se P(B) > 0
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Exemplo:
No exemplo anterior, qual é a probabilidade de ao serem escolhidos dois animais, o segundo ser um carneiro dado que o primeiro foi uma vaca?
Dado que uma vaca já foi escolhida, o espaço amostral condicional possui agora 11 animais, sendo 2 carneiros . 
Logo, P(B|A) = 2/11.
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Teorema 5 - Teorema do produto para Probabilidade Condicional
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é dada pelo produto da probabilidade de um dos eventos, pela probabilidade condicional do outro evento.
Este teorema é resultado da multiplicação em cruz das equações da probabilidade condicional.
P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A) com P(A) ≠ 0 
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Exemplo:
2 pés de acerola são selecionados em um sítio com 30 pés de acerola sendo que 15 deles atacados por uma praga.
Determine a probabilidade de ambos os pés de acerola estarem atacados pela praga.
A = o 1o pé de acerola está atacado. B = o 2o pé está atacado dado que o primeiro está atacado.
P(A) = 15/30
P(B|A) = 14/29
P(A ∩ B) = 15/30 x 14/29
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Exemplo
Suponha que as probabilidades de morte por CA sejam de 0,015 para fumantes e 0,005 para não fumantes e que na população 40% são fumantes.
Então estas probabilidades são condicionais e dependentes em relação ao tabagismo. Teremos, através do diagrama da árvore:
S
M
F-
F+
M
S
0,4
0,6
0,015
0,985
0,005
0,995
0,006
0,394
0,003
0,597
F= Fumante
M= Morte
S= Sobrevida
*
P(fumar e morrer) = P(F+  M) = P(F+) x P(M|F+)= 0,4 x 0,015 =0,006
P(fumar e sobreviver) = P(F+  S) = P(F+) x P(S|F+)= 0,4 x 0,985 =0,394
P(não fumar e morrer) P(F-  M) = P(F-) x P(M|F-)= 0,6 x 0,005 =0,003
P(não fumar e sobreviver) P(F- S) = P(F-) x P(S|F-)= 0,6 x 0,995 =0,597
S
M
F-
F+
M
S
0,4
0,6
0,015
0,985
0,005
0,995
0,006
0,394
0,003
0,597
F+
M
*
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Teorema 6 - Teorema do produto para eventos independentes
Eventos Independentes
Dois eventos A e B são independentes quando se verifica:
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
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Considere duas provas de estatística realizadas em momentos distintos. (As notas são dadas em numeros inteiros de 1 a 10.
A = obter nota 8 na primeira prova
B = obter nota 6 na segunda prova
P(A) = 1/10
P(B|A) = 1/10 = P(B)
P(A ∩B) = 1/10 x 1/10 = 1/100 = 0,01
Quando dois eventos A e B são independentes, 
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Observe que para eventos independentes P(B) e P(B|A) são as mesmas.
Exemplo:
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Probabilidade condicional para eventos independentes.
Dois dados são lançados. Determine a probabilidade
de sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4.
Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6
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1. Para eventos complementares P(E ') = 1 – P(E)
Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro. 
2. Probabilidade de que ambos os eventos ocorram
P(A ∩B) = P(A) • P(B|A)
Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu.
Resumo
*
Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram.
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Resumo de Fórmulas
(i) 0  P[A]  1
 
(ii) P[S] = 1 {Representa a chance de acontecer o próprio espaço amostral}
 
(iii) Se os eventos são considerados mutuamente exclusivos, então 
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Por definição probabilidade é
n(A) é o número de elementos do conjunto evento A.
n(Ω) é o número de elementos do conjunto espaço amostral Ω.
Probabilidade complementar: 
 ou 
*
 
*
Retiradas do mesmo conjunto.
Observar a ordem de retirada: 
SEM REPOSIÇÃO – EVENTOS DEPENDENTES
COM REPOSIÇÃO - EVENTOS INDEPENDENTES
Retiradas de conjuntos separados.
- A ordem não é utilizada
*