Unidade 4 - Distribuições amostrais II

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Aula 9
Distribuições de Probabilidade
Parte II
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1. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES
Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor entre 
a ≤ x ≤ b
A uma variável aleatória contínua estão associados um conjunto de valores:
Variável idade: 18, 19, 20,21, 22, 23,24
Os valores de uma variável aleatória contínua podem ser organizados em um gráfico o que nos permite identificar uma curva chamada de DISTRIBUIÇÃO.
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No gráfico da curva de distribuição temos:
 no eixo das ordenadas (Y) a probabilidade de ocorrência do valor da variável
Exemplo: Probabilidade de um individuo ter 20 anos é 0,22.
P(x=20) = 0,22
no eixo das abcisssas (X) os valores possíveis adquiridos pela variável aleatória contínua
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Daí termos uma distribuição de probabilidade.
No caso de uma variável aleatória contínua temos uma distribuição contínua de probabilidade.
Probabilidade de xi
Valores de xi
Curva
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Cada variável com seu conjunto de dados dará origem a uma curva ou distribuição específica.
Os principais tipos de distribuição contínua de probabilidade são:
Distribuição normal
Distribuição qui-quadrado
Distribuição t de Student
Distribuição F de Snedecor
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2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Características de uma distribuição normal
x
 É uma distribuição teórica que pode ser aplicada a um grande número de variáveis
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2. Suas média, mediana e moda são iguais.
 3. Tem forma de sino e é simétrica em torno da média.
x
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4. A função que identifica a distribuição normal é dada por:
Logo
f(x) depende dos parâmetros média (m) e desvio padrão (s)
 
Quando desejamos especificar que uma variável é normalmente distribuída usamos a notação
X ~ N (m, s)
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f(x)
x
5. A área sob a curva normal é igual a 1, e o valor de x pode variar de -  a +.
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Área = 1
Área abaixo da curva é igual a 1 (100% de probabilidade) , com 50% distribuídos à direita da média e 50% à esquerda
x

50%
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6. A função tem dois pontos de inflexão para 
x = m  s
x
Ponto de inflexão
Ponto de inflexão
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7. Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média.
68,26%
A área sob a curva normal entre a média e um desvio padrão para mais e para menos abrange 68,26% do total de casos.
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Assim:
 x = m + s = 22 + 2 = 24
x = m - s = 22 - 2 = 20
Podemos dizer que a probabilidade de um indivíduo ter entre 20 e 24 anos é de 68,26%
 
Variável idade: 18, 19, 20,21, 22, 23,24
Considere m = 22 anos e s = 2 anos
No exemplo dado anteriormente
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Do mesmo modo
x = m + 2s = 22 + 4 = 26
x = m - 2s = 22 - 4 = 18
Podemos dizer que a probabilidade de um indivíduo ter entre 18 e 26 anos é de 95,44%
 
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As probabilidades apresentadas são válidas apenas nos casos em que os valores analisados se distanciam da média no valor equivalente a 1, 2 ou 3 desvio padrão.
Como calcular as probabilidades para outros valores da distribuição, ou
Como encontrar qualquer área (probabilidade) sob a curva normal? 
No exemplo, como calcular a probabilidade de alguém ter 19 anos?
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Por meio da Distribuição Normal Padrão
  
 
 
 
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2

X ~ Np (0, 1)
Na distribuição normal padrão considera-se que m = 0 e s = 1
3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
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b) com o auxílio de uma Tabela de distribuição normal padrão ou Tabela z
Por meio da distribuição normal padrão pode-se calcular a área sob a curva.
Esse cálculo é feito
a) com o auxílio de escores z, 
Para cada valor xi existe um escore z que permite transformar qualquer distribuição normal numa distribuição normal padrão.
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O escore z
Para se utilizar a distribuição normal padronizada é necessário transformar os dados originais de modo a se obter uma variável normal padronizada. Isto é feito através da seguinte fórmula:
z - variável normal padronizada
x - variável normal
 - média
 - desvio padrão
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Com os valores definidos de z, recorremos ao uso de uma tabela de áreas calculadas para a distribuição normal padrão N ~ (0,1) e obtemos a probabilidade de ocorrência do valor.
 
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O valor de z será encontrado na interseção entre a coluna e a linha. 
Verificando a tabela, percebe-se que para os valores negativos de z as áreas são obtidas por simetria, ou seja, existe o mesmo conjunto de valores, com sinal negativo, no lado esquerdo da média, pois a tabela é especular.
 
Os valores de z permitem delimitar a  área sob a curva. Sendo que essa área tem o mesmo valor da probabilidade de ocorrência daquela característica. 
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4. ROTINA PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM VARIÁVEL NORMAL
Identificar o que se quer na distribuição normal
Calcular a média e o desvio-padrão da variável
Transformação da variável original X na variável padronizada
Identificar o que se quer na variável padronizada
Verificar os valores de z na tabela e obter as probabilidades desejadas
Obter a solução do problema através das probabilidades calculadas.
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 Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
a) P(Z > 1)
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b) P(Z > 1,23)
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P(-2 < Z < 2) = 1 - 2.(0,0228) = 0,9544
 c) P(-2 < Z < 2)
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115
100
Quando uma variável aleatória x é normalmente distribuída, a probabilidade de que ela esteja dentro de dado intervalo é igual à área sob a curva nesse intervalo.
Pontuações de QI são normalmente distribuídas, com uma média de 100 e um desvio padrão de 15. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada aleatoriamente tenha uma pontuação de QI inferior a 115. 
Para determinar a área nesse intervalo, primeiro encontre o escore z correspondente a x = 115.
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0
1
Determine P(z < 1).
115
100
Distribuição normal padrão
Determine P(x < 115).
Distribuição normal
P(z < 1) = 0,8413, logo P(x < 115) = 0,8413 
É O MESMO
É O MESMO
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Selecionar, aleatoriamente, em uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm. Qual é o escore padronizado de um estudante com 190 cm?
x = 190.
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2
z
0
190
 = 170
= 10
170
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Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm, qual é a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm?
x = 185 cm ( = 170,  = 10) z = ? 
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P(Z > 1,5)
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As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente distribuídas, com média de US$ 100 e desvio padrão de US$ 12. Uma conta é escolhida aleatoriamente. Determine a probabilidade de ela estar entre US$ 80 e US$ 115.
P(80 < x < 115)
P(–1,67 < z < 1,25)
0,8944 – 0,0475 = 0,8469
A probabilidade de uma conta estar entre US$ 80 e US$ 115 é 0,8469.
1,67
1,25
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z
Como obter o escore z a partir da área?
Determine o escore z correspondente a uma área acumulada de 0,9803.
z = 2,06 corresponde
mais ou menos ao
98º percentil.
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
0,9803
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Determine um escore z que tenha uma área de 0,60 à sua direita.
0,60
0,40
0
z
z
Com 0,60 à direita, a área acumulada é de 0,40. O valor mais próximo é de 0,4013. O início da linha é 0,2 e o topo da coluna é 0,05. Logo, o escore z é 0,25.
Um escore z de 0,25 tem uma área de 0,60 à sua direita. Isso corresponde ao 40º percentil.
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Determine um escore z tal que 45% da área sob a curva fique entre –z e z.
z
–z
A área restante nas pontas é de 0,55. Metade dessa área está em cada ponta; logo, 0,55/2 = 0,275 é a área acumulada para o valor negativo de z, e 0,275 + 0,45 = 0,725 é a área acumulada para o z positivo. O valor mais próximo na tabela é de 0,2743 e, assim, o escore z é 0,60. O escore z positivo é 0,60.
0,45
0,275
0,275