CALC LISTA 01

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10 Cálculo
É importante perceber que o Teorema 6 não diz que sequências convergentes 
são monotônicas. A sequência {(-1)n+1/n} converge e é limitada, mas não é mono-
tônica, uma vez que ela alterna entre valores positivos e negativos, à medida que 
tende a zero. O que o teorema afirma é que uma sequência crescente converge quan-
do é limitada superiormente, mas diverge ao infinito, caso contrário.
exercícios 10.1
encontrando termos de uma sequência
Cada um dos Exercícios 1-6 dá uma fórmula para o n-ésimo termo 
an de uma sequência {an}. Encontre os valores de a1, a2, a3 e a4.
1. an =
1 - n
n2
2. an =
1
n!
3. an =
s -1dn+1
2n - 1
4. an = 2 + (-1)
n
5. an =
2n
2n+1
6. an =
2n - 1
2n
Cada um dos Exercícios 7-12 dá um ou dois termos iniciais de uma 
sequência, bem como uma fórmula de recursão para os termos re-
manescentes. Escreva os dez termos iniciais da sequência.
7. a1 = 1, an+1 = an + (1/2
n)
8. a1 = 1, an+1 = an /(n + 1)
9. a1 = 2, an+1 = (-1)
n+1
 an/2
10. a1 = -2, an+1 = nan/(n + 1)
11. a1 = a2 = 1, an+2 = an+1 + an
12. a1 = 2, a2 = -1, an+2 = an+1/ an
encontrando uma fórmula para a sequência
Nos Exercícios 13-26, encontre uma fórmula para o n-ésimo termo 
da sequência.
13. A sequência 1, -1, 1, -1, 1, . . . 
14. A sequência -1, 1, -1, 1, -1, . . .
15. A sequência 1, -4, 9, -16, 25, . . . 
16. A sequência 1, - 1
4
, 
1
9
, - 1
16
, 
1
25
, Á 
17. 1
9
, 
2
12
, 
22
15
, 
23
18
, 
24
21
, Á
18. - 3
2
, - 1
6
, 
1
12
, 
3
20
, 
5
30
, Á 
19. A sequência 0, 3, 8, 15, 24, . . .
20. A sequência -3, -2, -1, 0, 1, . . .
21. A sequência 1, 5, 9, 13, 17, . . . 
22. A sequência 2, 6, 10, 14, 18, . . . 
23. 
5
1
, 
8
2
, 
11
6
, 
14
24
, 
17
120
, Á
24. 1
25
, 
8
125
, 
27
625
, 
64
3125
, 
125
15.625
, Á
25. A sequência 1, 0, 1, 0, 1, . . . 
26. A sequência 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, . . . 
Convergência e divergência
Quais das sequências {an} nos Exercícios 27-90 convergem? E 
quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
27. an = 2 + (0,1)
n
28. an =
n + s -1dn
n
29. an =
1 - 2n
1 + 2n
30. an =
2n + 1
1 - 32n
31. an =
1 - 5n4
n4 + 8n3
32. an =
n + 3
n2 + 5n + 6
33. an =
n2 - 2n + 1
n - 1
34. an =
1 - n3
70 - 4n2
35. an = 1 + (-1)
n
36. an = s -1dn a1 -
1
n b
37. an = a
n + 1
2n
b a1 - 1n b
38. an = a2 -
1
2n
b a3 + 1
2n
b
39. an =
s -1dn+1
2n - 1
40. an = a-
1
2
b
n
41. an = A
2n
n + 1
42. an =
1
s0,9dn
43. an = sen a
p
2
+ 1n b
44. an = np cos (np)
45. an =
sen n
n
46. an =
sen2 n
2n
47. an =
n
2n
48. an =
3n
n3
49. an =
ln sn + 1d
2n
50. an =
ln n
ln 2n
51. an = 8
1/n
52. an = (0,03)
1/n
53. an = a1 +
7
n b
n
54. an = a1 -
1
n b
n
55. an = 2n 10n
56. an = 2n n2
57. an = a
3
n b
1>n
58. an = (n + 4)
1/(n+4)
59. an =
ln n
n1>n
60. an = ln n - ln (n + 1)
61. an = 2
n
4nn
Números l com os 
sinais alternados.
Números l com os 
sinais alternados.
Quadrados dos inteiros 
positivos, com os 
sinais alternados.
Potências de 2 divididas 
por múltiplos de 3.
Inteiros diferindo por 2 
divididos por produtos 
de inteiros consecutivos.
Quadrados dos inteiros 
positivos menos 1.
Inteiros, começando 
com -3.
Um inteiro positivo 
ímpar sim, um inteiro 
positivo ímpar não.
Um inteiro positivo par sim, 
um inteiro positivo par não.
Inteiros diferindo por 3 
divididos por fatoriais.
Cubos dos inteiros positivos 
divididos por potências de 5.
Alternando números 
l e números 0.
Cada inteiro positivo 
repetido.
Recíprocos dos quadrados 
dos inteiros positivos, 
com os sinais alternados.
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Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 11
62. an = 2
n
32n+1
63. (Hint: Compare with 1 n.)>an =
n!
nn
 (Sugestão: compare com 1/n.)
64. an =
s -4dn
n!
65. an =
n!
106n
66. an =
n!
2n # 3n
67. an = a
1
n b
1>sln nd
68. an = ln a1 +
1
n b
n
69. an = a
3n + 1
3n - 1 b
n
70. an = a
n
n + 1 b
n
71. an = a
xn
2n + 1 b
1>n
, x 7 0
72. an = a1 -
1
n2
b
n
73. an =
3n # 6n
2-n # n!
74. an =
s10>11dn
s9/10dn + s11/12dn
75. an = tgh n
76. an = senh (ln n)
77. an =
n2
2n - 1 sen 
1
n
78. an = n a1 - cos 
1
n b
79. an = 2n sen 
1
2n
80. an = (3
n + 5n)1/n
81. an = tg
-1n
82. an =
1
2n
 tg-1 n
83. an = a
1
3
b
n
+ 1
22n
84. an = 2n n2 + n
85. an =
sln nd200
n
86. an =
sln nd5
2n
87. an = n - 2n2 - n
88. an =
1
2n2 - 1 - 2n2 + n
89. an =
1
n
n
1
 
1
x dx
90. an =
n
1
 
1
xp
 dx, p 7 1
sequências definidas recursivamente
Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e en-
contre o limite.
91. a1 = 2, an+1 =
72
1 + an
92. a1 = -1, an+1 =
an + 6
an + 2
93. a1 = -4, an+1 = 28 + 2an
94. a1 = 0, an+1 = 28 + 2an
95. a1 = 5, an+1 = 25an
96. a1 = 3, an+1 = 12 - 2an
97. 2, 2 + 1
2
, 2 + 1
2 + 1
2
, 2 + 1
2 + 1
2 + 1
2
, Á
98. 
51 + 41 + 31 + 21, Á
21, 31 + 21, 41 + 31 + 21,
Teoria e exemplos
99. O primeiro termo de uma sequência é x1 = 1. Cada um dos 
termos seguintes é a soma de todos os seus antecedentes:
xn+1 = x1 + x2 + ... + xn.
Escreva os primeiros termos da sequência suficientes para de-
duzir uma fórmula geral para x, que seja verdadeira para n Ú 2.
100. Uma sequência de números racionais é descrita a seguir:
.
1
1
, 
3
2
, 
7
5
, 
17
12
, Á , a
b
, 
a + 2b
a + b , Á
Aqui os numeradores formam uma sequência, os denominado-
res formam uma segunda sequência e suas razões formam uma 
terceira sequência. Sejam xn e yn, respectivamente, o numera-
dor e o denominador da n-ésima fração rn = xn / yn .
a. Verifique que x1
2 - 2y1
2 = -1, x2
2 - 2y2
2 = +1 e, mais gene-
ricamente, que a2 - 2b2 = -1 ou +1, então 
(a + 2b)2 - 2(a + b)2 = +1 ou -1,
 respectivamente.
b. As frações rn = xn /yn se aproximam de um limite à medida 
que n aumenta. Qual é esse limite? (Sugestão: use o item 
(a) para mostrar que rn
2 - 2 = ± (1/yn)
2 e que yn não é menor 
que n.)
101. Método de Newton As seguintes sequências vêm da fórmu-
la recursiva para o método de Newton,
xn+1 = xn -
ƒsxnd
ƒ¿sxnd
.
As sequências convergem? Em caso afirmativo, para qual va-
lor? Em cada caso, comece identificando a função f que gera 
a sequência.
a. x0 = 1, xn+1 = xn -
xn
2 - 2
2xn
=
xn
2
+ 1xn
b. x0 = 1, xn+ 1 = xn -
tg xn - 1
sec2 xn
c. x0 = 1, xn+1 = xn - 1
102. a. Suponha que f(x) seja derivável para todo x em [0, 1] e 
que f (0) = 0. Defina a sequência {an} pela regra an = 
nf (1/n). Mostre que limn S q an = f ¿(0). Utilize o resul-
tado do item (a) para encontrar os limites das seguintes 
sequências {an}.
b. an = n tg -1 
1
n
c. an = n(e
1/n - 1)
d. an = n ln a1 +
2
n b
103. Ternas pitagóricas Uma terna de inteiros positivos a, b e c 
é chamada terna pitagórica se a2 + b2 = c2. Seja a um inteiro 
positivo ímpar e sejam
b = j a
2
2
k e c = l a
2
2
m
respectivamente, o piso inteiro e o teto inteiro para a2/2.
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12 Cálculo
a
a2
2
a2
2
�
a. Mostre que a2 + b2 = c2. (Sugestão: considere que a = 2n + 1 
e expresse b e c em termos de n.)
b. Por cálculo direto, ou com auxílio da figura, encontre
lim
aS q
 
j a
2
2
k
l a
2
2
m
.
104. Raiz n-ésima de n!
a. Mostre que limn S q (2np)
1/(2n) = 1 e, portanto, usando a 
aproximação de Stirling (Capítulo 8, Exercício Adicional 
32a), que
2n n! L ne para valores grandes de n.
b. Teste a aproximação no item (a) para n = 40, 50, 60, ..., até 
onde sua calculadora permitir.
105. a. Presumindo que limn S q (1/n
c) = 0 se c for qualquer cons-
tante positiva, mostre que
lim
nS q
 
ln n
nc
= 0
 se c for qualquer constante positiva.
b. Prove que limn S q (1/n
c) = 0 se c for qualquer constante 
positiva. (Sugestão: se P = 0,001 e c = 0,04, quão grande 
deve ser N para assegurar que | 1/nc - 0 | 6 P se n 7 N?)
106. Teorema da sequência intercalada Prove o “teorema da 
sequência intercalada” para as sequências: Se {an}e {bn} con-
vergem para L, então a sequência
a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ...
converge para L.
107. Prove que limnSq2
n
n = 1.
108. Prove que limn S q x
1/n = 1, (x 7 0).
109. Prove o Teorema 2. 110. Prove o Teorema 3.
Nos Exercícios 111-114, determine se a sequência é monotônica e 
se é limitada.
111. an =
3n + 1
n + 1
112. an =
s2n + 3d!
sn + 1d!
113. an =
2n3n
n!
114. an = 2 -
2
n -
1
2n
Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais 
divergem? Justifique suas respostas.
115. an = 1 -
1
n 116. an = n -
1
n
117. an =
2n - 1
2n
118. an =
2n - 1
3n
119. an = ss -1dn + 1d a
n + 1
n b
120. O primeiro termo de uma sequência é x1 = cos (1). Os próxi-
mos termos são x2 = x1 ou cos (2), o que for maior; e x3 = x2 ou 
cos (3), o que for maior (mais à direita). Em geral,
xn+1 = max {xn, cos (n + 1)}.
121. an =
1 + 22n
2n
122. an =
n + 1
n
123. an =
4n+1 + 3n
4n
124. a1 = 1, an+1 = 2an - 3
125. A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior 
igual a 1 Mostre que se M é um número menor que 1, então 
os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, 
se M 6 1, existe um inteiro N tal que n/(n + 1) 7 M sempre que 
n 7 N. Como n/(n + 1) 6 1 para cada n, isso prova que 1 é um 
menor limitante superior para {n/(n + 1)}.
126. Unicidade dos menores limitantes superiores Mostre que 
se M1 e M2 são os menores limitantes superiores para a sequên- 
cia {an}, então M1 = M2. Sendo assim, uma sequência não 
pode ter dois menores limitantes superiores diferentes.
127. É verdade que uma sequência {an} de números positivos 
deve convergir se for limitada superiormente? Justifique sua 
resposta.
128. Prove que se {an} é uma sequência convergente, então para 
cada número positivo P corresponde um inteiro N, tal que, para 
todo m e n, 
m 7 N e n 7 N 1 | am - an | 6 P.
129. Unicidade de limites Prove que os limites das sequências 
são únicos. Ou seja, mostre que se L1 e L2 são números tais que 
an S L1 e an S L2, então L1 = L2.
130. Limites e subsequências Se os termos de uma sequência 
aparecem em outra sequência na ordem dada, chamamos a 
primeira sequência de subsequência da segunda. Prove que se 
duas subsequências de uma sequência {an} têm limites dife-
rentes L1 Z L2, então {an} diverge.
131. Para uma sequência {an} os termos de índice par são denota-
dos por a2k e os termos de índice ímpar por a2k+1. Prove que se 
a2k S L e a2k+1 S L, então an S L.
132. Prove que a sequência {an} converge para 0 se, e somente se, a 
sequência de valores absolutos {ƒ an ƒ} converge para 0.
133. Sequências geradas pelo método de Newton O método de 
Newton, aplicado a uma função derivável f(x), começa com 
um valor inicial x0 e constrói a partir daí uma sequência de nú-
meros {xn} que, sob condições favoráveis, converge para um 
zero de f. A fórmula recursiva para a sequência é
xn+1 = xn -
ƒsxnd
ƒ¿sxnd
.
a. Mostre que a fórmula recursiva para f(x) = x2 - a, a 7 0, 
pode ser escrita como xn+1 = (xn + a/xn)/2.
b. Começando com x0 = 1 e a = 3, calcule termos sucessivos 
da sequência até o resultado no visor começar a se repetir. 
Qual número está sendo aproximado? Explique.
T
T
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