03a prodescalar

Prévia do material em texto

Dado o triângulo ABC (Figura 1), a Lei dos Cossenos é dada por: 
 cosbc2bca 222
, em que  é o ângulo determinado pelos lados AB e 
AC. 
 
 Figura 1 Figura 2 
Observe os vetores 
u
, v e m (Figura 2). Escreva m em função de u e v . 
m 
Escreva a Lei dos Cossenos para o triângulo OPQ em termos de 
u
, v e m . 
(1) 
 
Sendo as coordenadas de 
 
111
z,y,xu 
 e de 
 
222
z,y,xv 
, as 
coordenadas de m são:  ,,m  . 
Encontre o quadrado do módulo de m 

2
m
 (2) 
Escreva 2
u
 em função de suas coordenadas. 

2
u
 (3) 
 
Escreva 2
v
 em função de suas coordenadas. 

2
v
 (4) 
 
UFJF 
Geometria Analítica e Sistemas Lineares - 2013 
Produto escalar de dois vetores 
Prof a Maria Cristina Oliveira 
 
Substituindo (3) e (4) em (2), temos: 

2
m
 (5) 
 
Comparando (1) e (5), podemos concluir que: 
 (6) 
 
Chamamos de produto escalar entre 
u
 e v , e denotamos vu  o número real 
dado por: 
 cosvuvu
, em que  é o ângulo entre 
u
 e v , sendo 
 1800 
. 
 
De acordo com (6), o produto escalar também pode ser calculado por: 
212121
zzyyxxvu 
, sendo 
 
111
z,y,xu 
 e 
 
222
z,y,xv 
. 
 
Questões: 
 
1) O produto escalar entre dois vetores pode ser negativo? Justifique sua resposta 
e, em caso afirmativo, dê um exemplo. 
 
2) O produto escalar entre dois vetores pode ser zero? Justifique sua resposta. 
 
3) É possível encontrar o ângulo entre dois vetores? Justifique sua resposta e, em 
caso afirmativo, encontre o ângulo entre os vetores 
 0,1,1a 
 e 
 0,1,0b 
.