Aula 8 - Corrente Eletrica

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Aula 8 
Campo Elétrico 
O vetor campo elétrico em um ponto no espaço, é definido como a força 
elétrica atuando em uma carga de teste positiva colocada naquele ponto, 
dividida pela magnitude da carga de teste : 
 
 
 
 (
 
 
) ( ) 
Note que é o campo produzido por alguma outra carga, que não seja a carga 
de teste. 
Como 
 
 
 
 ̂ 
então 
 
 
 
 ̂ 
em que ̂ é o vetor unitário direcionado de para . Se é positiva, o campo 
elétrico se origina em . Se é negativa, então o campo elétrico se origina em 
alguma carga positiva e se encerra em . 
Como o campo elétrico é um vetor, então, o campo elétrico total em um 
determinado ponto do espaço, devido a um grupo de cargas, é igual à soma 
vetorial dos campos elétricos de cada carga. 
 
Exemplo 1: Força elétrica em um próton. 
 
Encontre a força elétrica sobre um próton colocado em um campo elétrico de 
 direcionado no sentido positivo ao longo do eixo . 
 
R – Carga do próton: . 
 
 ( )( ⁄ ) 
 
 
Exemplo 2: Campo elétrico devido a duas cargas. 
 
Uma carga é colocada na origem, e uma 
segunda carga é colocada no eixo , a 
 da origem (veja figura ao lado). Encontre o 
campo elétrico no ponto , cujas coordenadas são 
( ) . 
 
R – Primeiro, encontra-se o campo elétrico no ponto 
devido a cada carga. O campo , devido à carga , e 
o campo , devido à carga , podem ser vistos na 
figura. As respectivas magnitudes dos campos são: 
 
 
| |
 
 ( 
 
 
)
( )
( ) 
 ⁄ 
 
 
| |
 
 ( 
 
 
)
( )
( ) 
 ⁄ 
 
O vetor está no sentido positivo do eixo . O vetor pode ser decomposto 
nas suas componentes e : 
 
 
 
 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 ⁄ 
Assim, 
 
 ⁄ 
e 
 ( 
 ⁄ ) ( ⁄ ) ⁄ 
 
| | √( ) ( ) ⁄ 
 
Direção e sentido de : 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Campo elétrico de um dipolo. 
 
Um dipolo elétrico consiste de uma carga positiva e 
uma carga negativa – separadas por uma distância 
 , como mostrado na figura ao lado. Encontre o 
campo elétrico , devido a estas duas cargas, em um 
ponto ao longo do eixo . Assuma que . 
 
R – No ponto , os campos e , devido às 
cargas, possuem a mesma magnitude, pois é 
equidistante das duas cargas, as quais são iguais e 
de sinais opostos. O vetor campo elétrico resultante 
é igual a: 
 
em que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
As componentes na direção dos dois campos se cancelam. As componentes 
em são iguais e possuem o mesmo sentido. Assim, o campo elétrico 
resultante se encontra na direção , no sentido positivo. Desta forma: 
 
 
 
 
 
( )
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
Usando a aproximação , podemos desprezar na equação acima, 
assim: 
 
 
 
 
 
CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS 
Um grupo de cargas, as quais se encontram muito próximas umas das outras 
comparando estas distâncias com um ponto onde se deseja calcular o campo 
elétrico devido a elas, pode ser considerado como um conjunto contínuo, ou 
seja, podemos considerar esse grupo como uma carga total distribuída 
uniformemente ao longo de uma linha, ou uma superfície, ou mesmo um 
volume. 
Assim, o campo elétrico em um ponto devido a um elemento de carga é: 
 
 
 
 ̂ 
Em que é a distância entre o elemento e o ponto , e ̂ é o vetor unitário 
direcionado do elemento de carga para o ponto . O campo elétrico total no 
ponto devido a todos os elementos de carga é dado por: 
 ∑
 
 
 ̂ 
 
 
Em que o índice refere-se ao -ésimo elemento da distribuição de cargas. 
Se a separação entre as cargas é bem menor que a distância entre elas e o 
ponto , a distribuição de cargas pode ser aproximada por uma única carga 
contínua. Desta forma, o campo elétrico total em no limite quando , é: 
 
 
∑
 
 
 ̂ 
 
 ∫
 
 
 ̂ 
Quando usamos a integral para calcular o campo elétrico em um ponto , é 
conveniente usar o conceito de densidade de carga, ou seja: 
 Se a carga é uniformemente distribuída em um volume , a carga por 
unidade de volume (densidade volumétrica de carga) é: 
 
 
 
 (
 
 
) 
 Se a carga é uniformemente distribuída em uma superfície de área , 
a carga por unidade de área (densidade superficial de carga) é: 
 
 
 
 (
 
 
) 
 Se a carga é uniformemente distribuída ao longo de uma linha de 
comprimento , a carga por unidade de comprimento (densidade linear 
de carga) é: 
 
 
 
 (
 
 
) 
Para um elemento diferencial de carga , podemos expressar as respectivas 
densidades como: 
 
 
 
; 
 
 
; 
 
 
 
Exemplo 4: Campo elétrico devido a uma vareta carregada. 
 
Uma vareta de comprimento possui uma 
carga uniformemente distribuída com 
densidade linear de carga e carga total 
 . Calcule o campo elétrico em um ponto 
 , a uma distância de uma das 
extremidades da vareta, e ao longo do 
eixo em que a mesma se encontra. 
 
R – Seja o tamanho de um pequeno segmento da vareta e a carga 
desse segmento. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, o campo elétrico devido a é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que cada elemento produz um campo elétrico em , na direção negativa 
do eixo . Sendo assim, basta somar a contribuição de cada elemento para a 
formação do campo elétrico total. O campo total é dado pela integral a seguir: 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
Em que varia entre os limites de integração, que são ( ) e ( ). 
Como e são constantes, então: 
 
 ∫
 
 
 [ 
 
 
]
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
Deste resultado, a gente pode inferir que, se , então: 
 
 
 
 
 
 
Que é o valor que se esperaria para o campo elétrico produzido por uma carga 
pontual. 
 
LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 
 As linhas sempre começam em uma carga positiva e terminam em uma 
carga negativa. Caso a carga líquida seja diferente de zero, as linhas 
devem começar ou finalizar no infinito; 
 O número de linhas deixando uma carga positiva ou chegando em uma 
carga negativa é proporcional à magnitude da carga; 
 Nenhuma linha de carga pode interceptar ou tocar uma outra linha de 
carga. 
 
 
MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS EM UM CAMPO ELÉTRICO 
UNIFORME 
O movimento de uma partícula carregada em um campo elétrico 
uniforme é equivalente a um projétil movendo-se em um campo 
gravitacional constante. 
Quando uma partícula de carga e massa é colocada em um campo elétrico 
 , a força elétrica sobre a carga é: 
 
Se esta é a única força atuando sobre a carga, então: 
 
Assim, a aceleração da partícula é: 
 
 
 
 
Exemplo 5: Acelerando uma carga positiva. 
 
Uma carga pontual de massa é colocada em repouso em um 
campo elétrico uniforme , conforme figura ao lado. Descreva seu 
movimento. 
 
R – A aceleração da carga é constante e é igual a ⁄ . O 
movimento é linear ao longo do eixo , assim, podemos aplicar as 
equações da cinemática em uma dimensão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para , temos: 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A energia cinética da carga após ela ter se deslocado de uma distância , é: 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
O campo elétrico em uma região entre duas placas 
metálicas é aproximadamente uniforme (Veja figura ao 
lado). Suponha que um elétron com carga é 
projetado horizontalmente no campo, com velocidade 
inicial igual a . Como o campo elétrico está nadireção positiva de , a aceleração do elétron é na direção negativa de , ou 
seja: 
 
 
 
 
Como o campo é constante, então, a aceleração também é constante. Desta 
forma, podemos aplicar as equações da cinemática em duas dimensões. 
Lembrando que: 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
Desta forma, as coordenadas do elétron no campo, após um certo tempo são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo ⁄ , pode-se observar que é proporcional a 
 , ou seja, a 
trajetória do elétron no campo é uma parábola, como pode ser visto pela 
equação seguinte: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Um elétron entra em uma região de campo 
elétrico uniforme (veja figura ao lado) com 
 ⁄ ⁄ . O comprimento do campo é 
 . 
a) Encontre a aceleração do elétron no interior do 
campo elétrico; 
b) Encontre o tempo que o elétron leva para atravessar o campo; 
c) Qual é o deslocamento vertical do elétron enquanto ele se encontra 
no campo elétrico. 
 
R.a – A aceleração do elétron é dada por: 
 
 
 
 
( )( ⁄ )
 
 ⁄ 
 
R.b – Como sua velocidade na direção é constante e o comprimento do 
campo é , então: 
 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
R.c – Como , então: 
 
 
 
 
 
 
 
( ⁄ )( )