AULA 9 - Lei Gauss

Prévia do material em texto

AULA 9 
Fluxo Elétrico e Lei de Gauss 
O fluxo elétrico é representado pelo número de linhas de campo elétrico 
através de uma dada superfície. 
Considere um campo elétrico uniforme, conforme figura ao 
lado. As linhas de campo elétrico penetram em uma superfície 
retangular de área , a qual é perpendicular ao campo. O 
produto da magnitude do campo elétrico pela área , 
perpendicular ao campo, é chamado de fluxo elétrico : 
 ( ⁄ ) 
Se a superfície não é perpendicular ao fluxo, o vetor normal à superfície possui 
um ângulo com o campo elétrico, assim, o fluxo através da área é: 
 
De forma mais geral, o campo elétrico pode variar em torno de 
uma superfície, assim, a definição de fluxo vale apenas para um 
pequeno elemento de área. Considere uma superfície qualquer 
dividida em pequenos elementos de área (veja figura ao 
lado). O fluxo elétrico através de é: 
 
Somando a contribuição de todos os elementos de área, temos o fluxo total 
através da superfície: 
 
 
∑ ∫ 
Nós estamos interessados em avaliar o fluxo através de uma superfície 
fechada (por exemplo, uma esfera). O fluxo líquido (o que sai menos o que 
entra) através da superfície é proporcional ao número líquido de linhas de 
campo saindo da superfície. Se há mais linhas saindo do que entrando, o fluxo 
é positivo, caso contrário, o mesmo é negativo. 
Usando o símbolo ∮ para representar uma integral sobre uma superfície 
fechada, podemos calcular o fluxo líquido através desta superfície como: 
 ∮ ∮ 
 representa a componente do campo elétrico normal à superfície e 
representa uma superfície fechada (closed surface). 
LEI DE GAUSS 
Daqui em diante, chamaremos uma superfície fechada de superfície 
Gaussiana, e descreveremos a relação geral entre o fluxo elétrico líquido 
através desta superfície e a carga contida nela. Esta relação é conhecida como 
a Lei de Gauss e é de fundamental importância para o estudo do campo 
elétrico. 
Considere uma carga positiva localizada no centro de uma 
esfera de raio , conforme figura ao lado. Sabe-se da Lei de 
Coulomb que o campo elétrico em qualquer ponto da 
superfície da esfera é: 
 
 
 
 
e que as linhas de campo são radiais e, por isso, são perpendiculares à 
superfície da esfera em cada ponto. Assim, é paralelo ao vetor , que 
representa o elemento local de área . Assim: 
 
Desta forma, encontra-se o fluxo líquido através da superfície gaussiana, o qual 
é: 
 ∮ ∮ 
Pois, por simetria, o campo elétrico é constante em toda a superfície e dado 
por 
 ⁄ . 
Para uma superfície esférica, temos que: 
∮ 
Que é a área da superfície de uma esfera. Assim, o fluxo líquido através desta 
superfície gaussiana é: 
 
 
 
( ) 
Lembrando que ⁄ , podemos escrever a expressão acima da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
Note que este resultado, que é independente do raio da esfera gaussiana, é 
proporcional à carga dentro da esfera. 
LEI DE GAUSS 
O fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é 
igual à carga líquida dentro desta superfície, dividida por . 
Assim, 
 ∮ 
 
 
 
Exemplo 1: Distribuição uniforme de cargas em uma esfera 
 
Uma esfera de raio possui uma 
distribuição uniforme de cargas com 
densidade e carga total igual a , 
conforme figura ao lado. 
a) Calcule o campo elétrico em um 
ponto fora da esfera; 
b) Calcule o campo elétrico em um 
ponto dentro da esfera. 
 
R-a) Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, seciona-se uma 
superfície gaussiana esférica de raio ( ) conforme figura (a). Da lei de 
Gauss, tem-se: 
 ∮ ∮ ( 
 ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
R-b) Neste caso, seleciona-se uma superfície esférica gaussiana de raio 
 ( ) (figura (b)). Seja o volume desta esfera menor igual a . Para aplicar 
a lei de Gauss, nesta situação, é importante reconhecer que a carga , 
dentro da superfície gaussiana de volume , é menor que a carga total da 
esfera . 
Para calcular a carga , usa-se o fato de que , em que é a 
densidade volumétrica de carga e 
 
 
 é o volume dentro da esfera 
gaussiana. Assim: 
 
 
 
 
 
Como no item anterior, o campo elétrico é constante em qualquer ponto da 
superfície gaussiana e é normal a esta superfície. Desta forma, a lei de Gauss 
para a região em que é assim definida: 
∮ ∮ ( ) 
 
 
 
Resolvendo para , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como por definição 
 
 
 
 
 
 
Podemos, então, escrever a equação do campo 
elétrico como: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Note que se . A figura ao lado 
mostra um 
gráfico de . 
 
 
 
Exemplo 2: Campo elétrico devido a uma fina casca esférica. 
 
Seja uma fina casca esférica de raio e carga 
total distribuída uniformemente sobre esta 
superfície (figura ao lado). Encontre o campo 
elétrico em um ponto dentro da casca esférica e 
em um ponto fora dela. 
 
R-a) Ponto dentro da esfera: O campo elétrico 
dentro da casca esférica é zero. Isto segue da 
lei de Gauss aplicada a uma superfície esférica 
de raio . Como a carga líquida dentro da 
esfera é zero, então, na região em que 
 . 
 
R-b) Ponto fora da esfera: o cálculo do campo elétrico em um ponto fora da 
casca esférica é idêntico ao feito para a esfera sólida. Se a gente constrói uma 
superfície esférica gaussiana de raio , então a carga líquida interna a 
esta superfície é . Desta forma, o campo elétrico fora da casca é idêntico 
àquele de uma carga pontual no centro: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Exemplo 3: Distribuição de carga cilindricamente 
simétrica. 
 
Encontre o campo elétrico a uma distância de 
uma linha uniformemente carregada com cargas 
positivas e de comprimento infinito. A caga por 
unidade de comprimento é . 
 
R – A simetria da distribuição de carga mostra que 
o campo é perpendicular à linha de carga e 
direcionado para fora (figura (a) ao lado). A figura 
(b) nos ajuda a visualizar a direção das linhas de 
campo elétrico. 
Nesta situação escolhemos uma superfície 
gaussiana cilíndrica de raio e comprimento que 
é coaxial à linha de carga. 
Para a superfície curva do cilindro, é constante 
e perpendicular à superfície em cada ponto. 
Ainda mais, o fluxo elétrico através das áreas de 
cima e de baixo do cilindro é zero porque é 
paralelo a estas superfícies. 
 
Como a carga total dentro da superfície gaussiana 
é: 
 
 
 
Então, aplicando a lei de Gauss e vendo que é paralelo a em qualquer 
parte da superfície cilíndrica, encontra-se que: 
 
 ∮ ∮ 
 
 
 
 
 
 
 
Mas a área da superfície curva do cilindro é , então: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando em cima e embaixo por 2, temos: