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Lista de problemas 12 
1)Uma bola de tênis é lançada em t=0 do ponto A com velocidade 
 dada por suas componentes vx(0) = 2m/s e vy(0) = 4m/s. Suponha que seu movimento é devido unicamente à ação da gravidade. O sistema de referência utilizado é o indicado na FIG.1. 
Escala: comprimento: 5cm:1m; velocidade: 1cm:2m/s. Tome g = 10m/s2.
a)Desenhe na FIG.1, na escala fornecida, o vetor velocidade da bola em t=0, .
b)Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem os movimentos das sombras x e y.
c)Determine tq, instante em que a bola está na iminência de atingir o chão.
 							
d)Mostre que a direção de 
 é tangente à curva y(x) em x=0. Sug.: a inclinação da reta tangente à curva é dada por y’(x). A trajetória da bola, até atingir o chão é dada por y(x) = 1 + 2x - 1,25 x2 x e y em metros.
. 
e)Esboce a trajetória na FIG.1 posicionando corretamente os pontos B e C, posições da bola ao atingir a altura máxima e o chão, respectivamente. Faça abaixo os cálculos necessários.
2)Uma pequena esfera metálica é lançada de um arremessador numa direção inclinada em relação à horizontal. Ao atingir a bandeja do cronômetro, este registra o valor 0,7s, contado a partir do lançamento (t=0). Para estudar o movimento utiliza-se o sistema de referência indicado na FIG.2, cuja origem coincide com a posição da esfera em t=0. Faça g=10m/s2.
a)Sabendo que a sombra y do projétil atinge a altura máxima em t=0,3s, dê a função y(t) que descreve a posição dessa sombra durante o movimento da esfera. Indique todos os passos de sua solução.
										
b)Ao atingir a bandeja do cronômetro a sombra x da esfera encontra-se a 2,8m do ponto de lançamento. Dê a função x(t) que descreve o movimento dessa sombra. Indique todos os passos de sua solução.
c)A bandeja do cronômetro encontra-se a uma distância h abaixo do ponto de lançamento. Calcule h.
d)Dê a equação da trajetória da esfera no intervalo 0(t(0,7s.
e)Qual é a altura máxima atingida pela esfera e a que distância se encontra a sombra x, ambas contadas a partir do ponto de lançamento? Indique todas as passagens da solução.
f)Esboce a trajetória da esfera levando em conta corretamente a inclinação da curva em t=0 e no ponto onde se choca com a bandeja. Use a escala 6cm:1,2m.
3) Duas bolinhas de aço, 1 e 2, são lançadas simultaneamente passando ambas a mover-se sob ação da gravidade. A bolinha 2 é lançada horizontalmente com velocidade de módulo 2V, na direção mostrada na figura abaixo, que indica também sua posição em t=0. A posição da bolinha 1 em t=0, bem como as componentes x e y da sua velocidade inicial estão mostradas. Através de filmagem verifica-se que as duas bolinhas estão na mesma posição 0,3s após o lançamento. Tome g = 10 m/s2.
a)Determine os valores de V e d. 
b)Suponha que os planos de movimento não são coincidentes de modo que as bolinhas não se chocam e cada uma segue seu percurso até atingir o chão. Qual delas chega primeiro ao chão e quanto tempo antes da outra isso ocorre? Dê as respostas com duas casas decimais.
c)Depois de ambas atingirem o chão, qual é a distância D entre elas? Resposta com duas casas decimais.
4)Uma pequena esfera é lançada em t = 0 e nesse instante as velocidades das sombras são vx(0) = 3V e vy(0) = V. Movendo-se sob ação unicamente da gravidade, a esfera chega ao tampo da mesa 0,4s depois. O sistema de referência utilizado para estudar o movimento está representado na figura a seguir. Tome g=10m/s2. Marque V ou F ao lado das afirmações a seguir. Todas as perguntas referem-se ao intervalo 0≤t≤0,4s.
 
[ ] durante todo o movimento a velocidade da sombra x é constante e igual a 3V; 
[ ] a aceleração da sombra y é igual a - g/2
[ ] quando x = 0,3m, a esfera está 50 cm acima do tampo da mesa
[ ] no ponto mais alto da trajetória o módulo da velocidade da esfera é igual a 
[ ] no ponto mais alto da trajetória o módulo da velocidade da esfera é 3V.
[ ] a função que descreve o movimento da sombra y é y(t) = 0,6 – 5t2 (m,s)
[ ] a função que descreve o movimento da sombra y é y(t) = 0,6 + 0,5t - 5t2 (m,s)
[ ] quando a esfera bate no tampo da mesa ela está no ponto a 0,4 da origem.
[ ] a esfera bate na mesa com velocidade de módulo igual a 
[ ] a esfera bate na mesa com velocidade de módulo maior do que 3,0 m/s. 
[ ] a aceleração da sombra x é igual a 
= 3,75 m/s2.
[ ] o movimento da sombra x é descrito pela função x(t) = 0,5 t (m,s)
[ ] a distância total percorrida pela sombra y é 0,6 m.
[ ] a distância total percorrida pela sombra x é 0,6 m; 
[ ] a reta tangente à trajetória em x=0 é horizontal.
5) Um menino chuta uma bola no alto de uma escada de três degraus projetando-a horizontalmente para a frente no instante t=0 com velocidade V = 2,4 m/s (FIG.3). A partir desse momento a bola passa a mover-se sob ação unicamente da gravidade. Os degraus da escada têm largura igual a 27cm e altura de 15 cm. Tome g = 10m/s2. Escala : 1:10 (comprimento)
 
a)Ao atingir o solo, a que distância da escada encontra-se a bola? Marque na FIG. 3 esse ponto (chame de C).
b)Calcule o módulo vf da velocidade da bola ao atingir o solo. Dê a resposta com 3 dígitos.
c)Quer-se determinar a direção da velocidade da bola ao tocar o solo. Para isso, determine o ângulo α entre a velocidade e o eixo x. Indique na FIG. 3 essa direção.
d)Qual foi a menor altura entre a bola e o primeiro degrau, durante o movimento? Resposta com 2 dígitos.
6) Um jogador de volei dá um saque na bola, de uma altura de 80 cm do chão e esta leva 0,4s para cruzar a rede, a 2,0 m do chão. A bola cai no chão do campo adversário a uma distância L da rede. Considere que o movimento da bola se deve unicamente à ação da gravidade e tome g = 10 m/s2. O sistema de referência está indicado na FIG. 4, que mostra a situação no instante (t=0) do lançamento.
a)Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem o movimento da bola no sistema de referência da FIG. 4.
b)Quanto tempo depois de lançada e a que distância L da rede, cai a bola? Dê as respostas com 3 dígitos.
7) Uma bola de gude, representada por um ponto P de sua superfície, é lançada de uma altura de 0,8 m do tampo horizontal de uma mesa. A trajetória de P é decrita pela função y(x) = 0,8 + 1,2x - 0,8x2 (x e y em metro), cujo gráfico é mostrado na FIG.5. A velocidade da sombra x da bola (ponto P) é vx = 2,5 m/s. Chame de tv o tempo necessário para a bola atingir o tampo da mesa e tome g = 10m/s2. Na FIG. 5, as escalas dos eixos x e y podem ser consideradas iguais.
Marque V(verdadeiro) ou F(falso) ao lado de cada uma das afirmações a seguir. 
[ ] Ao atingir a superfície da mesa, a posição da bola coincide com a de sua sombra x.
[ ] A função que descreve o movimento da sombra x é x(t) = 2 + 2,5 t (m,s).
[ ] A velocidade inicial da sombra y é vy0 = 3,0 m/s.
[ ] O movimento da sombra y é descrito pela função y(t) = 3,0 t – 5 t2 (m,s)
[ ] A aceleração da sombra y é igual a – 1,6 m/s2.
[ ] Para o ângulo (, de lançamento, tem-se tg ( = 1,2
[ ] tv = 0,8s.
[ ] o módulo da velocidade da bola quando está na iminência de bater no tampo da mesa é igual a 
em m/s.
[ ] o módulo da velocidade da bola quando está na iminência de bater no tampo da mesa é igual a 
 em m/s.
[ ] A velocidade da sombra y num instante t do movimento é dada por vy(t) = 1,2 - 10t (m,s)
[ ] A velocidade inicial da sombra y é dada por vx . y’(x=0).
[ ] No instante em que y’(x) = 0 tem-se também vy = 0.
[ ] y(t) é dada pelo produto y(x).x(t).
[ ] Para obter y(t) construimos a função composta y[x(t)].
[ ] a bola atinge o tampo da mesa numa direção dada pelo ângulo α mostrado na FIG. 5; pode-se afirmar que tg α = -2,0.
8) Uma pequena esfera é lançada emt = 0 com velocidade 
 fazendo um ângulo θ com a horizontal. A esfera move-se sob ação unicamente da gravidade, atingindo o solo em t = 1,2s, tomado como o instante final. A velocidade inicial da sombra x é vx(0) = 1,5 m/s. O sistema de referência utilizado para estudar o movimento está representado na FIG. 6, que mostra também a posição inicial da esfera. Todas as perguntas referem-se a esse sistema de referência e ao intervalo 0≤t≤1,2s. 
Dados: 
 ; g = 10m/s2. Considere escalas iguais nos dois eixos. O vetor 
está fora de escala; não deve ser usado para obtenção de dados. A esfera pode ser representada por um ponto.
Marque V(verdadeiro) ou F(falso) ao lado de cada uma das afirmações. 
1[ ] quando a esfera atinge o solo, sua sombra x está a 0,6m da origem.
2[ ] a velocidade inicial da sombra y é igual a 5 m/s.
3[ ] a função que descreve a posição da sombra x é x(t) = 1,5 t (m,s)
4[ ] a velocidade da sombra x varia linearmente com o tempo.
5[ ] a velocidade da sombra y é dada por vy(t) = 5 -10t (m,s) 
6[ ] o solo encontra-se a 1,2m abaixo da linha de lançamento
7[ ] em t=0 a esfera coincide com sua sombra y.
8[ ] quando a esfera atinge a altura máxima, sua velocidade é igual a zero.
9[ ] a função que descreve o movimento da sombra y é y(t) = 5t - 5 t2 (m,s)
10[ ] o módulo da velocidade final é igual ao módulo da velocidade inicial
11[ ] em x = 0,3m, a esfera coincide com sua sombra x.
12[ ] tg θ = 
13[ ] tg θ = 
14[ ] a esfera nunca passa pela origem
15[ ] no instante em que a esfera cruza o eixo y, a sombra y move-se para baixo, com velocidade de módulo igual a 3m/s.
Respostas
1) 	a) vx(0) = 2m/s ( 1 cm no papel. vy(0) = 4m/s ( 2 cm no papel.
 	b) x(t) = 2t (m,s); y(t) = 1 + 4t - 5t2 (m,s). 
 	c) tq = 1 s.
d) y’(0) = 2 m/s; tg (0) = Vy(0) /Vx(0) = 2;
e) xB = 0,8 m ( 4 cm no papel; yB = 1,8 m ( 9 cm no papel.
 xC = 2 m ( 10 cm no papel; yC = 0 m.
2) 	a) y(t) = 3t -5t2 (m,s).
b) x(t) = 4t (m,s). 
c) - 0,35 m.
d) y(x) = 0,75x – 0,313x2 (m,m). 
e) y(0,3) = 0,45 m; x(0,3) = 1,2 m.
f) (0) = 37°; (0,7) = - 45°.
3) 	a) V = 1,0 m/s ; d = 0,6m
b) A bolinha 2 chega 0,05 s segundos antes da outra.
c) 0,77 m
4) 	V F V F V F V F F V F F F V F
5)	a) 18 cm (a 1,8 cm do 1o degrau, no papel)
	b) 3,84 m/s
c) 
d) 20 cm , quando a bola passa por cima da quina externa do 1º degrau. 
6)	a) x(t) = 3,6 – 8t (m,s); y(t) = 0,8 + 5 t – 5 t2 (m,s)
	b) 1,14 s; L = 5,52m
7) 	V F V F F V V V F F V V F V V
8)	V V F F V V F F V F V V F V V
2
chão
1,45
y (m)
 1,5
-0,6
D = 
V = 
d = 
 d
1,15
V
V
1
x (m)
2V
0,6
tempo de queda = 
L = 
x(t) = 
y(t) = 
rede 
y 
0 
x 
0,8 m
3,6 m 
FIG. 4 
x(m)
FIG. 5
y(m)
51o
 -1,2 -0,6	 0,6	 1,2	 
FIG. 6
θ
- 1,2
y (m)
chão
A
FIG. 1
0
y (m)
x(m)
primeiro degrau
solo
15 cm
27 cm
V
FIG. 3
0
y
x
V
x (m)
3V
tampo da mesa
t = 0
1,2
α
0,2�
0,6
0,8
0,4�
y (m)
� EMBED Equation.3 ���
x (m)
 
 0,0	 0,2	 0,4	 0,6	 0,8	 
1 m
do cronômetro
 h
FIG. 2
posição em t=0
bandeja
y(m)
x(m)
_1286653744.unknown
_1305300926.unknown
_1305316699.unknown
_1305720558.unknown
_1305316558.unknown
_1305300352.unknown
_1305299253.unknown
_1242415477.unknown
_1286653698.unknown
_1242414809.unknown
_1016437215.doc