05-Ressonância

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RESSONÂNCIARESSONÂNCIA
Este é um movimento 
oscilatório cuja amplitude Ao
é constante. 
k
m22T
o
o π=ω
π=
A equação de movimento é: 
kxdt
xdm 2
2 −=
-A
A
To
t
x ( t )
o
o
-Ao
Ao
x(t)= Ao cos( ωot+φ)
O período To depende da 
massa e da constante 
elástica da mola.
T
,
-A0
A0
t
x ( t )
Quando o movimento 
oscilatório é reduzido por 
forças de atrito, o oscilador 
é amortecido. 
No caso de atrito viscoso 
proporcional à velocidade, 
a amplitude A(t) diminui 
exponencialmente. 
A(t) = Ao e-γt
( )ϕωγ += ´tcose Ax(t) t-0
Oscilador amortecidoOscilador amortecido
A constante de 
amortecimento γ é o 
inverso do tempo que a 
amplitude leva para 
chegar a 0,37 do valor 
inicial. 
Por exemplo, para calcular γ, basta medir o tempo para 
a amplitude decair de 10 cm até 3,7 cm. 
t-
0 e AA(t)
γ=
37,0
72,2
11 === −e
A
A
0
Quando t = 1/γ :
e = 2,72
Atrito 
viscoso
dt
dx-bFatrito =
-kxFmola =
Motor que força 
a oscilação
t cos FF 0 motor ω=
F = Fmola + Fatrito +F motorForça resultante
Diagrama do dispositivo
Sistema 
massa -
mola
Oscilador forOscilador forççadoado
No caso das oscilações forçadas por Focosωt , a frequência ω de oscilação, após o período transiente, será a mesma da 
força aplicada. 
t cos
m
F
dt
dx2 xω
dt
xd o2
o2
2
ωγ +−−=
A solução x(t) terá duas componentes, a que diminui 
exponencialmente com o tempo e a permanente.
( )- t0x(t) A( )cos( t) A e cos ωtγω ω φ= + +
22
0
2
2
)f-f(4
C)f(A γ+π=
A amplitude varia com a frequência da oscilação forçada
A(f) se escreve:
f 0
2
A2(f 0 )
A2(f 0 )
A
2
(
f
)
 
(
c
m
2
)
f (Hz)
γ/π
m
k
T
f
0
0 π2
11 ==
onde f0 é a frequência das 
oscilações livres
Observa-se que a amplitude de oscilação é máxima quando 
a frequência da força aplicada é igual à frequência das 
oscilações livres. Neste ponto ocorre ressonância. 
Quando f=fο a amplitude é máxima.
f 0
2
A2(f 0 )
A2(f 0 )
A
2
(
f
)
 
(
c
m
2
)
f (Hz)
γ/π
EXPERIMENTO
1a parte - Medida de fo e de γ
Medida de fo - Motor desligado e sem água no 
recipiente
– Meça o tempo de 10 oscilações e calcule o 
período To, (tempo médio de uma oscilação). 
0
0
1f
T
=
Medida de γ - Motor desligado e água no 
recipiente
Insira água no recipiente e, com o motor 
desligado, meça a constante de amortecimento γ : 
• Afaste a massa 10 cm de sua posição inicial. 
• Largue e meça o tempo tγ para a amplitude 
chegar a 3,7 cm.
1
tγ
γ =
Medida de γ - Motor desligado e água no 
recipiente
afastamento de 10 cm 
da posição inicial
amplitude a 1/e da 
posição inicial (3,7 cm) 
Água no recipiente e motor ligado
Varie a frequência de rotação do motor utilizando o 
potenciômetro da fonte, até que a amplitude de 
oscilação seja máxima. Nesse ponto, meça o período e 
calcule a frequência. Meça também a amplitude AMáx
correspondente.
2a parte - Frequência de ressonância
Cuidado! A escala do 
potenciômetro não
indica a frequência.
Medida da frequência: 
• Meça o tempo t de 10 rotações.
• Frequência f de rotação do motor = (10 / t )
Medida da amplitude
A amplitude A é a distância entre a posição mais alta e a 
mais baixa da massa, dividida por 2.
ddA 2=
A partir da frequência de ressonância, diminua a 
velocidade de rotação, girando 8 divisões abaixo, 
o potenciômetro do controlador do motor. 
Curva de Ressonância
potenciômetro na posição 8 
divisões abaixo da ressonância
potenciômetro na posição da 
ressonância da sua bancada
• Sempre aumentando a frequência a partir dessa posição, 
meça frequências e amplitudes a cada 2 divisões. 
(fazer pelo menos quatro medidas abaixo e quatro acima da 
ressonância, passando novamente pela frequência de ressonância).
Potenciômetro – aproximadamente de 2 em 2 divisões 
Essa variação deve ser contínua, passando mais uma vez 
pela frequência de ressonância. 
Anote na tabela as frequências e amplitudes (inclusive a 
de ressonância). 
Variação contínua do potenciômetro 
ressonância
Atenção! 
Cada bancada 
pode ter uma 
posição 
diferente para 
a ressonância
4 6 8 10 12 14 16
100
101
102
103
A
2
(
c
m
2
)
f (Hz)
Curva de ressonância
Quanto maior o amortecimento, mais alargada é a curva 
de ressonância