AULA 4 - DESCONTOS COM JUROS SIMPLES - GABARITO

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Prof. Carlos Daniel
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Tema da Aula: Desconto com juros simples
“Quando uma pessoa contrai uma dívida é muito
comum o credor emitir um documento que serve
como comprovante desta operação financeira,
chamado de título.
Comum também às empresas, que possuem o
direito de receber os valores contidos nestes
títulos, utilizarem um produto bancário chamado
desconto.
Este produto visa antecipar o valor a ser recebido
em uma data futura, buscando assim atender
eventuais necessidades de caixa”.
Fonte: Medeiros Junior, 2012.
Exemplos de títulos: nota promissória;
duplicata; letras de câmbio e cheques.
Descontos
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2
2
Existem basicamente dois tipos de descontos simples nas operações financeiras:
 desconto comercial ou por fora 
 desconto racional.
Tipos de Descontos
 Amplamente utilizado no mercado em operações bancárias e comerciais de curto prazo. 
 A taxa de desconto neste sistema incide sobre o montante ou valor nominal do título.
 Gera um valor maior e mais justo de desconto do que no sistema racional.
 Este desconto equivale aos juros simples, onde o capital corresponde ao 
valor nominal do título.
Desconto comercial ou por fora
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3
Desconto comercial ou por fora
N = valor nominal
V = valor atual
Dc = desconto comercial (por fora)
i = taxa de descontos simples
n = número de períodos
A taxa de juros incide sobre o valor nominal N do título: �� = �. �. �
� = � − �� � = �. (� − �. �)Sendo: Logo:
Desconto comercial ou por fora
Exemplo
�� = �. �. �
� = � − ��� = �. (� − �. �)
Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser
concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de
desconto de 5% a.m.
Solução
V = 10000. (1 - 0,05.3) = 8.500
Dc = 10000 – 8.500 = 1.500
Valor descontado = R$ 8.500,00
Desconto = R$ 1.500,00
�� = ����� . �,�� . � ⇒ ����
�� = �. �. �
� = � − ��
� = ����� − ���� ⇒ ����
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Desconto Racional ou por dentro
�� =
�. �. �
� + �. �
Sendo:
O desconto racional equivale aos juros simples, calculado sobre o valor atual do título. Ou
seja, é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor líquido do título.
Desconto Racional
� = �−��
Valor Atual
�� =
�. �. �
� + �. �
, então: � =
�
� + �. �
Exemplo
Um título de R$6.000,00 a ser descontado à taxa de 2,1% a.m. faltando 45 dias para o
vencimento do título, determine o desconto racional e o valor atual racional.
Desconto Racional ou por dentro
Solução:
N = 6000,00
n = 45 dias
i = 2,1% a.m. = 0,021 a.m. = 0,0007 a.d.
� = � − ��
� = 6.000 − 183,22
� = $ 5.816,78
�� =
�. �. �
� + �. �
⇒
6000 . 0,0007 . 45
1 + 0,0007 . 45
=
189
1,0315
= 183,22
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
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Vamos praticar com problemas?
1. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros
correntes, pede-se calcular o desconto racional (por dentro) e o valor descontado desta
operação.
�� =
�. �. �
� + �. �
� =
�
� + �. �
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6
Solução:
N = 4000,00
n = 3 meses
i = 42% a.a. = 3,5% a.m. = 0,035 a.m.
� = � − ��
� = 4.000 − 380,10
� = $ 3.619,90
ou
�� =
�. �. �
� + �. �
�� =
�. �. �
1 + �. �
⇒
4000 . 0,035 . 3
1 + 0,035 . 3
=
420
1,105
= 380,10
� =
�
� + �. �
� =
�
1 + �. �
=
4.000
1 + 0,035.3
= $ 3.619,90
1. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses
antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros correntes, pede-se calcular o
desconto racional (por dentro) e o valor descontado desta operação.
1
i
12÷
CLX
x = 0ff
PV
CFo
PV
CFo
n
12x90
42
+
1/x
ex
CHS
DATE
CHS
DATE
ff i12÷
INT
4000 X
3.619,90
Solução:
N = 4000,00
n = 3 meses
i = 42% a.a. = 3,5% a.m. = 0,035 a.m.
� = � − ��
� = 4.000 − 380,10
� = $ 3.619,90
ou
�� =
�. �. �
� + �. �
�� =
�. �. �
1 + �. �
⇒
4000 . 0,035 . 3
1 + 0,035 . 3
=
420
1,105
= 380,10
� =
�
� + �. �
� =
�
1 + �. �
=
4.000
1 + 0,035.3
= $ 3.619,90
1. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses
antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros correntes, pede-se calcular o
desconto racional (por dentro) e o valor descontado desta operação.
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2. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros
correntes, pede-se calcular o desconto comercial (por fora) e o valor descontado desta
operação.
�� = �. �. � � = � − ��� = �. (� − �. �)
Solução:
N = 4000,00
n = 3 meses
i = 42% a.a. = 3,5% a.m. = 0,035 
a.m.
� = �. (1 − � . �)
� = 4.000. (1 − 0,035 . 3)
� = 4.000. (0,895)
� = $ 3.580,00
�� = �. �. � ⇒ 4.000 . 0,035 . 3 = 420,00
�� = �. �. � � = � − ��� = �. (� − �. �)
2. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros
correntes, pede-se calcular o desconto comercial (por fora) e o valor descontado desta
operação.
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2. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo
liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros
correntes, pede-se calcular o desconto comercial (por fora) e o valor descontado desta
operação.
�� = �. �. � � = � − ��� = �. (� − �. �)
4000
i
12÷
CLX
x = 0f
PV
CFo
n
12x
90
+
CHS
DATE
f i12÷
INT
420
3580CHS
DATE
42
3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casas decimais):
� =
�
� + �. �a) Valor Nominal : $ 17.000,00
Prazo de Desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 50% ao ano.
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9
3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casas decimais):
� =
�
� + �. �a) Valor Nominal : $ 17.000,00
Prazo de Desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 50% ao ano.
V =
17.000
1 + 0,041667.3
= $ 15.111,11
3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casas decimais):
� =
�
� + �. �b) Valor Nominal : $ 52.000,00
Prazo de Desconto: 4 meses
Taxa de desconto: 36% ao ano.
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3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casas decimais):
� =
�
� + �. �b) Valor Nominal : $ 52.000,00
Prazo de Desconto: 4 meses
Taxa de desconto: 36% ao ano.
V =
52.000
1 + 0,030000.4
= $ 46.428,57
3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casas decimais):
� =
�
� + �. �
c) Valor Nominal : $ 35.000,00
Prazo de Desconto: 2 meses
Taxa de desconto: 18,8% ao ano.
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3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casas decimais):
� =
�
� + �. �
c) Valor Nominal : $ 35.000,00
Prazo de Desconto: 2 meses
Taxa de desconto: 18,8% ao ano.
V =
35.000
1 + 0,015667.2
= $ 33.936,65
3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casas decimais):
� =
�
� + �. �
d) Valor Nominal : $ 78.000,00
Prazo de Desconto: 6 meses
Taxa de desconto: 12% ao ano.
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3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casas decimais):
� =
�
� + �. �
d) Valor Nominal : $ 78.000,00
Prazo de Desconto: 6 meses
Taxa de desconto: 12% ao ano.
V =
78.000
1 + 0,010000.6
= $ 73.584,91
� =
�
� + �. �
V =
17.000
1 + 0,041667.3
= $ 15.111,11
a) Valor Nominal : $ 17.000,00
Prazo de Desconto: 3 meses
Taxa de desconto: 50% ao ano.
V =
52.000
1 + 0,030000.4
= $ 46.428,57
b) Valor Nominal : $ 52.000,00
Prazo de Desconto: 4 meses
Taxa de desconto: 36% ao ano.
V =
35.000
1 + 0,015667.2
= $ 33.936,65
c) Valor Nominal : $ 35.000,00
Prazo de Desconto: 2 meses
Taxa de desconto: 18,8% ao ano.
V =
78.000
1 + 0,010000.6
= $ 73.584,91
d) Valor Nominal : $ 78.000,00
Prazo de Desconto: 6 meses
Taxa de desconto: 12% ao ano.
3. Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições (utilize 6 casasdecimais):
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13
�� = �. �. �� = � − ��� = �. (� − �. �)
a) 9.500,00
b) 10.000,00
c) 7.000,00
d) 8.000,00
e) 9.000,00
4. Um título de R$ 300.000,00 vencível daqui a 20 dias, é descontado hoje á taxa de
desconto comercial (por fora) de 4,5% ao mês. Qual valor descontado do título?
�� = �. �. �
� = � − ��
�� = 300000.0,0015.20
� = �. (� − �. �)
� = 300000 (1 − 0,0015.20)
a) 9.500,00
b) 10.000,00
c) 7.000,00
d) 8.000,00
e) 9.000,00 � = 300000 .0,97
� = 291000
�� = 9000
� = 300000 − 9000
� = 291000
4. Um título de R$ 300.000,00 vencível daqui a 20 dias, é descontado hoje á taxa de
desconto comercial (por fora) de 4,5% ao mês. Qual valor do desconto do título?
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14
4. Um título de R$ 300.000,00 vencível daqui a 20 dias, é descontado hoje á taxa de
desconto comercial (por fora) de 4,5% ao mês. Qual valor do desconto do título?
a) 9.500,00
b) 10.000,00
c) 7.000,00
d) 8.000,00
e) 9.000,00
300000
i
12÷
CLX
x = 0f
PV
CFo
n
12x
20
+
CHS
DATE
f i12÷
INT
9000
291000CHS
DATE
54
5. Qual o desconto racional (por dentro) de um título de R$ 153.000,00 de valor
nominal, 60 dias antes de seu vencimento, á taxa de 12% a.a?
a) 3.000,00
b) 3.500,00
c) 4.000,00
d) 5.000,00
e) 2.500,00
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
27
28
15
a) 3.000,00
b) 3.500,00
c) 4.000,00
d) 5.000,00
e) 2.500,00
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
�� =
153000 . 0,000333 . 60
1 + 0,000333 . 60
⇒
3060
1,019980
⇒ 3000
� ������������ =
12%
360
= 0,0333 ⇒
0,0333
100
= 0,000333
5. Qual o desconto racional (por dentro) de um título de R$ 153.000,00 de valor
nominal, 60 dias antes de seu vencimento, á taxa de 12% a.a?
6. Qual é o valor atual de um título de R$ 153.000,00 pagável dentro de 2 meses á taxa
racional de 1% ao mês?
a) 250.000,00
b) 150.000,00
c) 175.000,00
d) 125.000,00
e) 300.000,00
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
29
30
16
a) 250.000,00
b) 150.000,00
c) 175.000,00
d) 125.000,00
e) 300.000,00
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
� =
153000
1 + 0,01 . 2
⇒
153000
1,02
⇒ 150000
6. Qual é o valor atual de um título de R$ 153.000,00 pagável dentro de 2 meses á taxa
racional de 1% ao mês?
7. Qual é o desconto racional de um título de R$ 256.000,00 pagável dentro de 7 meses
a taxa de 48% a.a?
a) 54.000,00
b) 52.000,00
c) 56.000,00
d) 57.000,00
e) 60.000,00
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
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32
17
a) 54.000,00
b) 52.000,00
c) 56.000,00
d) 57.000,00
e) 60.000,00
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
�� =
256000 .0,04 .7
1 + 0,04 .7
⇒
71680
1,28
⇒ 56000
7. Qual é o desconto racional de um título de R$ 256.000,00 pagável dentro de 7 meses
a taxa de 48% a.a?
8. Qual é o valor atual de um título de R$ 153.000,00 pagável dentro de 2 meses á taxa
racional de 1% ao mês?
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
a) 250.000,00
b) 150.000,00
c) 175.000,00
d) 125.000,00
e) 300.000,00
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18
�� =
�. �. �
� + �. �
� = � − ��� =
�
� + �. �
a) 250.000,00
b) 150.000,00
c) 175.000,00
d) 125.000,00
e) 300.000,00 � =
153000
1 + 0,01 . 2
⇒
153000
1,02
⇒ 150000
8. Qual é o valor atual de um título de R$ 153.000,00 pagável dentro de 2 meses á taxa
racional de 1% ao mês?
9. Qual é o valor líquido recebido pelo possuidor de um título a prazo de valor nominal
R$ 300.000,00 descontado em um banco á taxa comercial de 4,5% ao mês, faltando 20
dias para o seu vencimento?
a) 291.000,00
b) 301.000,00
c) 281.000,00
d) 300.000,00
e) 310.000,00
�� = �. �. � � = � − ��� = �. (� − �. �)
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a) 291.000,00
b) 301.000,00
c) 281.000,00
d) 300.000,00
e) 310.000,00
�� = �. �. � � = � − ��� = �. (� − �. �)
� = 300000 . (1 − 0,0015 . 20)
� = 300000 . (1 − 0,03)
� = 300000 . 0,97 ⇒ � = 291000
9. Qual é o valor líquido recebido pelo possuidor de um título a prazo de valor nominal
R$ 300.000,00 descontado em um banco á taxa comercial de 4,5% ao mês, faltando 20
dias para o seu vencimento?
10. Qual é o desconto por fora (comercial) de um título que 6 meses antes do seu
vencimento, gerou um valor atual de R$ 96.000,00, a taxa de 8% a.a?
a) 5.000,00
b) 8.000,00
c) 10.000,00
d) 4.000,00
e) 3.000,00
�� = �. �. � � = � − ��� = �. (� − �. �)
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20
a) 5.000,00
b) 8.000,00
c) 10.000,00
d) 4.000,00
e) 3.000,00
�� = �. �. � � = � − ��� = �. (� − �. �)
�� = 100000 .0,006667. 6
�� = 100000 .0,040002
96000 = �. (1 − 0,006667 .6)
96000 = �. (0,96)
� =
96000
0,96
⇒ � = 100000
� = �. (� − �. �) �� = �. �. �
�� = 4000
10. Qual é o desconto por fora (comercial) de um título que 6 meses antes do seu
vencimento, gerou um valor atual de R$ 96.000,00, a taxa de 8% a.a?
11. (FCC – TRE) Uma pessoa descontou um título, de valor nominal R$ 1.650,00, 20 meses
antes de seu vencimento e recebeu a quantia de R$ 1.386,00. Se foi utilizado o desconto
simples comercial (desconto simples por fora), a taxa mensal de desconto foi de
a) 0,8%
b) 1,0%
c) 1,2%
d) 1,4%
e) 1,5%
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21
a) 0,8%
b) 1,0%
c) 1,2%
d) 1,4%
e) 1,5%
�� = �. �. � � = � − ��� = �. (� − �. �)
� = �. (� − �. �)
1386 = 1650 . 1 − �. 20 ⇒
1386
1650
= 1 − �. 20 ⇒ 0,84 = 1 − �. 20 ⇒ 0,84 − 1 = − �. 20 ⇒
−0,16 = −20� ⇒
−0,16
−20
= � ⇒ � = 0,008 . 100 = 0,8%
11. (FCC – TRE) Uma pessoa descontou um título, de valor nominal R$ 1.650,00, 20 meses
antes de seu vencimento e recebeu a quantia de R$ 1.386,00. Se foi utilizado o desconto
simples comercial (desconto simples por fora), a taxa mensal de desconto foi de
Gabarito: A
Solução
a) 0,8%
b) 1,0%
c) 1,2%
d) 1,4%
e) 1,5%
11. (FCC – TRE) Uma pessoa descontou um título, de valor nominal R$ 1.650,00, 20 meses
antes de seu vencimento e recebeu a quantia de R$ 1.386,00. Se foi utilizado o desconto
simples comercial (desconto simples por fora), a taxa mensal de desconto foi de
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12. (CESGRANRIO) Um título no valor de R$ 20.000,00, com vencimento para 90 dias, foi
descontado a uma taxa de 4% ao mês (desconto simples). O valor do desconto monta, em
reais, a
a) 880,00
b) 960,00
c) 1.240,00
d) 1.980,00
e) 2.400,00
Solução do exercício: não foi informado se é desconto simples comercial ou racional, então vou
considerar como sendo comercial. Foi informado todos os dados, basta aplicar a fórmula. A única
observação é passar o prazo de dias para mês.
12. (CESGRANRIO) Um título no valor de R$ 20.000,00, com vencimento para 90 dias, foi
descontado a uma taxa de 4% ao mês (desconto simples). O valor do desconto monta, em
reais, a
a) 880,00
b) 960,00
c) 1.240,00
d) 1.980,00
e) 2.400,00
Gabarito: E
Solução
Solução do exercício: não foi informado se é desconto simples comercial ou racional, então vou
considerar como sendo comercial. Foi informado todos os dados, basta aplicar a fórmula. A única
observação é passar o prazo de dias para mês.
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23
Obrigado
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