Matemática financeira

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Banco do Brasil
Matemática Financeira
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PIRATARIA 
É CRIME!
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protegidos pela Lei nº 9.610/1998. É proibida a reprodução parcial 
ou total, por qualquer meio, sem autorização prévia expressa por 
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Pirataria é crime e está previsto no art. 184 do Código Penal, 
com pena de até quatro anos de prisão, além do pagamento 
de multa. Já para aquele que compra o produto pirateado 
sabendo desta qualidade, pratica o delito de receptação, punido 
com pena de até um ano de prisão, além de multa (art. 180 do CP).
Não seja prejudicado com essa prática. 
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................................................5
CONCEITOS GERAIS ............................................................................................................................ 5
O CONCEITO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO .........................................................................................5
CAPITAL, JUROS, TAXAS DE JUROS .................................................................................................................7
CAPITALIZAÇÃO, REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ............................................................................................7
FLUXOS DE CAIXA E DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA ...............................................................................11
EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA ...........................................................................................................................13
JUROS SIMPLES ................................................................................................................................ 14
CÁLCULO DO MONTANTE ................................................................................................................................14
DOS JUROS .......................................................................................................................................................15
DA TAXA DE JUROS ..........................................................................................................................................15
DO PRINCIPAL ...................................................................................................................................................16
DO PRAZO DA OPERAÇÃO FINANCEIRA ........................................................................................................17
JUROS COMPOSTOS ......................................................................................................................... 17
CÁLCULO DO MONTANTE, DO PRINCIPAL E DO PRAZO DA OPERAÇÃO FINANCEIRA ..............................18
DOS JUROS .......................................................................................................................................................21
DA TAXA DE JUROS ..........................................................................................................................................21
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO - SISTEMA PRICE; SISTEMA SAC ............................................... 25
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CONCEITOS GERAIS
O CONCEITO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
O conceito de valor do dinheiro no tempo é muito importante quando estamos estudando 
matemática financeira, pois não podemos, de maneira alguma, comparar o dinheiro traba-
lhado na matemática básica com o dinheiro trabalhado na matemática financeira, uma vez 
que, nesse último, o fator tempo será primordial.
Imagine a seguinte situação:
Seu primo pede que você o empreste uma quantia de R$100,00, com a promessa de que, 
após 1 ano, ele irá devolver os mesmos R$100,00 para você. Será essa operação financeira 
vale a pena?
Você precisa analisar alguns pontos antes de tomar a decisão: o risco, o valor do dinheiro 
daqui a um ano e, também, o retorno do capital. 
Aqui, precisamos salientar que o dinheiro tem diferentes valores conforme o tempo vai 
passando, pois os R$ 100,00 de hoje não são os mesmos R$ 100,00 de daqui a 5 anos. Diz-se 
isso, pois há fatores que modificam o valor do dinheiro no tempo, como, por exemplo, a infla-
ção, o risco de um futuro incerto e as operações financeiras. 
Resumindo: um produto que, hoje, custa R$ 100,00, daqui cinco anos, muito provavelmen-
te, terá um valor maior.
Em matemática financeira, sempre que quisermos comparar dois capitais, devemos trans-
portá-los para uma mesma data (a uma mesma taxa de juros). Assim, podemos constatar se 
são iguais (equivalentes), ou não. Portanto, jamais faça soma, subtração, multiplicação, ou 
qualquer outra operação matemática, com o valor do dinheiro em datas diferentes.
Por fim, para entender melhor o valor do dinheiro no tempo, é preciso saber algumas defi-
nições importantes, como, por exemplo, que o Capital é sempre representado em dinheiro 
atual, ou seja, dinheiro que se tem hoje. 
Dica
Vale lembrar que o Capital pode aparecer, na sua prova, como “Valor Presente, Presente 
Valor ou PV”.
Quando falamos de Juros, por sua vez, nos referimos ao aumento do capital ao longo do 
tempo, ou seja, ao dinheiro acumulado ao longo do tempo, a partir de um Capital.
O Montante, no que lhe diz respeito, é a soma do capital mais o juro, e pode ser entendido 
como resgate total do investimento, Valor Futuro, Future Value ou FV. 
Por último, tem-se a Taxa de Juros, que é uma porcentagem fracionária do Juro sobre o 
Capital, gerada ao longo do tempo, ou seja, o quociente entre o Juro e Capital.
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Fatores Que Afetam a Variação do Valor do Dinheiro no Tempo
 z Consumo
Como existem preferências, no decorrer do tempo, para o de uso e consumo de determi-
nados produtos, o fator “consumo” afeta o valor do dinheiro no tempo perante a nossa socie-
dade. Hoje, por exemplo, um smartphone é supervalorizado, pois tem um valor de mercado 
alto, já que possui uma grande demanda. Antigamente, entretanto, apesar de não existirem 
celulares, existiam outros utensílios que, na época, eram supervalorizados e, por isso, muito 
custosos.
 z Inflação e Deflação
Primeiro, devemos entender que a inflação é a perda do poder de compra, enquanto a 
deflação é o ganho do poder de compra. É muito difícil o dinheiro ganhar valor com o tempo, 
pois, geralmente, estamos em constanteevolução da inflação. Mas, se conseguíssemos viver 
em uma época com deflação, na qual o poder de compra aumentasse, o dinheiro, com certe-
za, ganharia valor com o tempo. 
 z Custo de Oportunidade
Aqui, temos um fator que está diretamente relacionado a algum investimento alternativo 
que gera resultado futuro. Por exemplo, se temos disponível o valor de R$ 1000,00, hoje, qual 
o custo de oportunidade desse dinheiro? Caso eu o invista, eu vou ter um resultado no futuro. 
Agora, eu preciso ficar atento para saber se o custo de oportunidade é maior que a deflação. 
Numa situação hipotética, digamos que houve uma deflação de 1% no ano e eu tenho um cus-
to de oportunidade de investir a 10% no ano. Perceba que o meu dinheiro vai perder o valor 
com o tempo se ficar guardado, pois o meu potencial de lucro é muito maior, com os 10%, do 
que com apenas os 1% da deflação. O risco nada mais é do que a possibilidade de perda do 
dinheiro no futuro.
 z Liquidez
Liquidez é a facilidade com que um investidor consegue se desfazer de um investimento 
qualquer, para voltar a ter dinheiro na mão, sem que, para isso, precise ter um prejuízo sig-
nificativo. Por exemplo, se, dentro da empresa, eu tenho 20 mil reais e, com esse dinheiro, 
eu resolvo investir na compra de equipamentos sofisticados. Diz-se isso, pois esses equipa-
mentos possuem baixa liquidez, assim, se eu precisar me desfazer, de forma urgente, para 
levantar um capital, provavelmente eu perderei uns 30 a 50% do valor investido. Por outro 
lado, se esse dinheiro estivesse na conta corrente, eu teria liquidez absoluta, pois bastaria 
retirar para capitalizar.
Precisa-se, dentro da organização, entender qual a liquidez de cada um dos ativos (estru-
tura da empresa, prédio, maquinário, valor a receber, caixa etc.) para assim trabalhar com o 
que é realmente líquido.
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Podemos, então, perceber que a análise da liquidez é fundamental quando se fala do valor 
do dinheiro no tempo e de uma real possibilidade de ter que se fazer um resgate financeiro, 
por algum motivo, como honrar alguma dívida, por exemplo.
CAPITAL, JUROS, TAXAS DE JUROS
Alguns conceitos são importantes para o bom entendimento da Matemática Financeira. 
Assim, tem-se o conceito de juros (J) que é a remuneração do capital emprestado, podendo 
ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro, ou 
seja, é o rendimento pelo uso do capital financeiro em um determinado tempo a uma dada 
taxa. Outro conceito é o de valor presente ou capital (PV) que é qualquer valor expresso 
em moeda corrente e disponível em determinada época; valor atual, valor de aquisição, valor 
na data zero, valor do empréstimo, valor financiado, capital, ou seja, valor do capital inicial. 
Além dos juros, temos também a taxa de juros (i) que é a razão entre os juros recebidos 
(ou pagos) no final de certo período de tempo e o valor inicialmente aplicado (ou empres-
tado). Estas se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.). As taxas 
podem ser representadas percentualmente ou em decimal (por exemplo: 10%=0,10). O tempo 
– número de períodos, quantidade de prestações, é chamado de prazo (n) e deverá sempre 
estar compatível com a periodicidade da taxa de juros. Assim, n=0 é a data atual (hoje) ou 
início do 1º período, já n=1 é o final do 1º período. De modo geral, o mercado trabalha com o 
ano comercial de 360 dias e o ano civil de 365 dias.
CAPITALIZAÇÃO, REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
A capitalização é o processo de aplicação de uma importância a uma determinada taxa 
de juros, com a possibilidade de ganho adicional por meio de sorteios. As aplicações retor-
narão corrigidas ao cliente, no todo ou em parte, ao fim do plano.
Trata-se, na prática, de uma combinação de poupança programada e sorteio.
Os critérios de capitalização de juros demonstram como os juros são formados e suces-
sivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. São dois os regimes: simples (ou 
linear) e composto (ou exponencial). Começaremos a falar do Juro simples e posteriormente 
do Juro Composto.
No regime de capitalização simples, os juros crescem de forma linear ao longo do tem-
po. Neste critério, os juros incidem somente sobre o capital inicial (PV) da operação, não se 
registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados. Na utilização da capitalização simples, 
definimos os Juros (J) em função do valor presente (PV), da taxa de juro (i) e prazo (n):
J = PV · i · n
O valor futuro ou montante (FV) a ser pago então é dado pela soma do valor presente com 
o juro no período:
FV = PV + J
Substituindo J em FV temos:
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FV = PV + J = PV + PV · i · n = PV · (1 + in)
FV = PV · (1 + in)
No caso do regime de capitalização simples, o cálculo dos juros é feito apenas sobre o 
Principal. Neste caso os juros serão sempre constantes, pois são calculados sobre a mesma 
base de cálculo (capital inicial ou Valor Presente). Assim, não há acúmulo de juros ao capital 
para o cálculo dos novos juros dos períodos seguintes, por isso, dizemos que o crescimento 
do capital é linear (Figura 20).
Figura 20. Capitalização simples, com PV = R$2000,00 e i = 10% ao mês, por 10 meses.
Assim, para encontrar os resultados da Figura 20, utilizamos a fórmula do Montante (FV) 
anterior e obtemos os valores mensais a serem pagos em cada mês à taxa de juros de 10%.
PV = 2000; i = 0,10; n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
FV = PV · (1 + in)
n = 0 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 0) = 2000 · 1 = 2000
n = 1 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 1) = 2000 · 1,1 = 2200
n = 2 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 2) = 2000 · 1,2 = 2400
n = 3 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 3) = 2000 · 1,3 = 2600
n = 4 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 4) = 2000 · 1,4 = 2800
n = 5 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 5) = 2000 · 1,5 = 3000
n = 6 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 6) = 2000 · 1,6 = 3200
n = 7 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 7) = 2000 · 1,7 = 3400
n = 8 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 8) = 2000 · 1,8 = 3600
n = 9 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 9) = 2000 · 1,9 = 3800
n = 10 → FV = 2000 · (1 + 0,1 · 10) = 2000 · 2 = 4000
No juro simples o valor de incremento mensal referente à taxa de juro é constante, ou 
seja, mês a mês, o valor de aumento é o mesmo, basta fazer a diferença entre os montantes 
de um mês com o anterior, FVj – FVj-1.
O regime de capitalização simples é muito utilizado por países com baixo índice de infla-
ção. No entanto, em países com alto índice de inflação, a exemplo do Brasil, a sua utilização 
só faz sentido para curto prazo.
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O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são 
acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. 
Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo 
montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros for-
mados em períodos anteriores), e assim por diante. 
Na utilização da capitalização composta, devemos utilizar a seguinte fórmula para o valor 
futuro:
FV = PV · (1 + i)n
Sendo (1 + i)n o fator de capitalização e 1
(1+ i)n
 o fator de atualização.
Neste caso, note que o crescimento da capitalização composta não é linear como na capita-
lização simples, como pode ser observado na Figura 21, o crescimento é exponencial.
Figura 21. Capitalização composta, com PV=R$2000,00 e i=10% ao mês, por 10 meses.
Assim, para encontrar os resultados da Figura 21, utilizamos a fórmula do Montante (FV) 
anterior e obtemos os valores mensais a serem pagos em cada mês à taxa de juro de 10%, com 
correção composta, ou seja, juro do tempo j em relação ao montante j – 1.
PV = 2000; i = 0,10; n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
FV = PV · (1 + i)n
n = 0 → FV = 2000 · (1 + 0,1)0 = 2000 · 1 = 2000
n = 1 → FV = 2000 · (1 + 0,1)1 = 2000 · 1,1 = 2200
n = 2 → FV = 2000 · (1 + 0,1)2 = 2000 · 1,21 = 2420
n = 3 → FV = 2000 · (1 + 0,1)3 = 2000 · 1,331 = 2662
n = 4 → FV = 2000 · (1 + 0,1)4 = 2000 · 1,464 = 2928,2
n = 5 → FV = 2000 · (1 + 0,1)5 = 2000 · 1,6105 = 3221,02
n = 6 → FV = 2000 · (1 + 0,1)6 = 2000 · 1,7716 = 3543,122
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n = 7 → FV = 2000 · (1 + 0,1)7 = 2000 · 1,9487 = 3897,434
n = 8 → FV = 2000 · (1 + 0,1)8 = 2000 · 2,1463 = 4287,178
n = 9 → FV = 2000 · (1 + 0,1)9 = 2000 · 2,3579 = 4715,895
n = 10 → FV = 2000 · (1 + 0,1)10 = 2000 · 2,5937 = 5187,485
O regime de capitalização composta é amplamente adotado por todo mercado financeiro 
e de capitais. Sua importância é fundamental para o entendimento de praticamente todas as 
operações financeiras que são realizadas. Cabe destacar que, em comparação com o regime 
de capitalização simples, para o primeiro período de capitalização indifere a escolha de juros 
simples ou compostos, pois ambos os juros produzidos se igualam.
Comparação Entre Regimes Simples e Composto
Para compararmos o funcionamento dos dois regimes, utilizaremos o exemplo de uma 
dívida inicial C = 1000 reais, prazo de pagamento n = 4 meses, taxa de juros i = 10% ao mês. 
Veja:
MÊS MONTANTE (JUROS SIMPLES)
MONTANTE 
(JUROS COMPOSTOS)
0 1000 1000
1 1000 + 100 1100
2 1000 + 200 1210
3 1000 + 300 1331
4 1400 1464,10
Pontos principais:
 z Ao final do primeiro período (1 mês), os valores devidos nos dois regimes são iguais. Assim, 
para t = 1, juros simples e compostos geram o mesmo montante;
 z Já ao final do prazo total, observe que os juros compostos são mais onerosos, com isso, 
levam a um montante superior ao dos juros simples. Isto vale desde n = 2, onde tínhamos 
uma dívida de 1200 no regime simples e 1210 no regime composto. Ou seja, para n > 1, 
juros compostos são mais onerosos que juros simples;
 z Atente-se que para n < 1 (prazos fracionários, como por exemplo 0,5 mês), juros simples 
são mais onerosos do que os juros compostos;
 z Perceba que na coluna de juros simples foi exposto apenas o principal da dívida (1000) 
separado dos juros (100, 200, 300). Isto acontece, pois, no regime simples os juros são capi-
talizados (adicionados ao capital) somente no fim do prazo;
 z Já na coluna do regime composto, observe que os juros são capitalizados (somados ao capi-
tal) no final de cada período, e começam a render juros já no período seguinte. Com isso, 
aqui temos o fenômeno dos juros sobre juros;
 z Em relação aos prazos relativamente curtos (como n = 2 períodos), veja que a diferença 
entre juros simples e compostos é bem pequena. É possível fazer até mesmo um cálculo 
aproximado dos juros compostos utilizando o regime simples;
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 z Conforme haja aumento no prazo, a diferença se torna cada vez maior. Por exemplo, se 
tivéssemos n = 20 meses, a dívida no regime simples chegaria a R$3.000, e no regime com-
posto chegaria a R$6.727 (mais que o dobro).
Sintetizando:
JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS
Mais onerosos se 0 < n < 1 Mais onerosos se n > 1
Mesmo valor se n = 1
Juros capitalizados no final do prazo Juros capitalizados periodicamente(“juros sobre juros”)
Crescimento linear (reta) Crescimento exponencial
Veja o gráfico abaixo:
M
1
juros
 simp
lesju
ros
 co
mp
os
tos
t
Figura 1: Gráfico de comparação entre Juros Simples x Compostos
A importância de saber essas comparações reside no fato de que bancas de concurso cos-
tumam cobrar questões teóricas sobre matemática financeira, inclusive de assuntos como 
esta comparação, e não apenas questões de cálculo.
FLUXOS DE CAIXA E DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA
A representação da entrada e saída de capital é feita pelo Diagrama do Fluxo de Caixa, 
que é o gráfico das operações de Capital em uma reta horizontal crescente, estabelecida como 
o tempo. Neste, constam:
 z Entrada de Capital: representada por uma seta para cima;
 z Saída de Capital: representada por uma seta para baixo.
Observe o seguinte exemplo:
Investimento de R$ 50.000,00 no dia de hoje, para recebimento de R$ 120.000,00 daqui a 
10 anos:
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Hoje
50.000,00
120.000,00
5 10
| | | | | | | | | | | ano
Operações Financeiras
Vamos aprender como “transportar” uma parcela no tempo, ou seja, como levar uma par-
cela presente para o futuro (capitalização), e como trazer uma parcela do futuro para o 
presente (desconto ou descapitalização). Aqui, vale lembrar que dependeremos do regime 
de capitalização, simples ou composto, e, que, para cada um deles, teremos uma maneira de 
calcular. Veja:
Na Capitalização Simples usaremos as seguintes fórmulas:
VF = VP · (1 + i · t) ou VP = VF ÷ (1 + i · t)
Já na Capitalização Composta, as equações serão:
VF = VP · (1 + i)t ou VP = VF ÷ (1 + i)t
Em que,
VF = Valor Futuro
VP = Valor Presente ou Valor Atual
i = taxa de juros
t = período
Note que podemos fazer uma analogia com as equações do Montante de regime de juros:
Regime Simples → M = C · (1 + i · t)
Regime Composto → M = C · (1 + i)t
O Montante será sempre entendido como o Valor Futuro, e, o Capital, como Valor 
Presente:
Montante → Valor Futuro
Capital → Valor Presente ou Valor Atual
Exemplo:
Determine o Valor Presente do Fluxo de caixa para uma taxa de juros simples de 10% ao 
mês.
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0 1 2 3 4
mês
2.800
Note que para calcular o VP teremos que transportar essa parcela (Valor Futuro) 4 períodos 
para trás, isto é, descapitalizá-la. Vamos aplicar a fórmula do Valor Presente em regime de 
juros simples e calcular seu valor:
VP = VF ÷ (1 + i · t)
VP = 2800 ÷ (1 + 0,1 · 4)
VP = 2800 ÷ 1,4
VP = 2000
EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA
Dois ou mais capitais, resgatáveis em datas distintas, são equivalentes quando são trans-
portados para uma mesma data e com a mesma taxa de juros, resultarem valores iguais. 
Dica
Para saber se dois capitais são equivalentes:
z Coloque na mesma data;
z Veja se têm a mesma taxa de juros;
z Resultam no mesmo valor.
Propriedade Fundamental da Equivalência de Capitais
A equivalência permanecerá válida para qualquer data, a partir de umadeterminada data 
focal, quando dois capitais forem equivalentes. 
Em matemática financeira, sempre que quisermos comparar dois capitais, devemos trans-
portá-los para uma mesma data (a uma mesma taxa de juros), pois, assim, podemos constatar 
se são iguais (equivalentes) ou não.
Vejamos alguns exemplos, a fim de facilitar a compreensão do conteúdo:
 z Qual a taxa anual de juros de um financiamento que cobra juros mensais de 3,5%?
Temos que 3,5% = 3,5 ÷ 100 = 0,035
1 ano = 12 meses
(1+ia) = (1+im)t
(1 + ia) = (1 + 0,035)12
1 + ia = 1,03512
1 + ia = 1,6958
ia = 1,6958 – 1
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ia = 0,6958
ia = 69,58 % ao ano.
 z Determine a taxa mensal equivalente a 0,4% ao dia.
Sabemos que 0,4% = 0,4 ÷ 100 = 0,004
1 mês = 30 dias
(1+im) = (1+id)t
(1 + im) = (1 + 0,004)30
1 + im = 1,00430
1 + im = 1,1272
im = 1,1272 – 1
im = 0,1272
im = 12,72% ao mês.
JUROS SIMPLES
CÁLCULO DO MONTANTE
Para calcularmos o Montante, ou seja, o Juros somado ao valor inicial, no final do período 
de tempo, devemos utilizar a seguinte fórmula:
M = C + J
M = C + C · i · n
Da equação acima, temos, portanto, a expressão:
M = C · (1 + i · n)
Pela própria definição, o Montante é:
M = C + J
Contudo, vimos que:
J = C · i · n
Logo, temos que:
M = C + C · i · n
Assim, colocando-se C em evidência, obtemos a fórmula para cálculo do montante em 
Juros Simples:
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M = C · (1 + i · n)
Com a fórmula acima, pode-se resolver a maioria dos problemas de juros simples. Subs-
titua corretamente os dados do problema, observando a compatibilidade das unidades e, 
depois, ache a incógnita.
Capital C
0 1 2 3 n — 1
J M
n
Juro
O CÁLCULO DE MONTAGEM EM JUROS SIMPLES
Montante
nº de Períodos
Dica
Memorize as duas fórmulas de Juros Simples:
M = C · (1 + i · n)
J = C · i · n
E, ainda, lembre-se de verificar, e/ou deixar, a taxa de juros J sempre na mesma medida 
de tempo N.
DOS JUROS
No campo dos Juros Simples, os rendimentos em J, em cada período T, sempre serão os 
mesmos, uma vez que os juros são calculados, sem exceção, sobre o capital inicial. Esse regi-
me recebe o nome de capitalização simples. Segue a fórmula para realização desse cálculo:
J = C · i · n
Onde,
J: juros
C: capital
i: taxa de juros (deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir 
o valor dado por 100).
n: tempo (a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo).
DA TAXA DE JUROS
A fórmula da taxa de juros, para um período, é a seguinte:
i C
J=
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Importante!
Aqui, utilizamos a notação i, que vem do inglês interest e significa, portanto, taxa. Mas é 
importante saber que a taxa de juros também pode ser identificada pela letra J.
A seguir, observaremos que a taxa de juros pode ser representada de duas maneiras. Além 
disso, perceberemos como é fácil passar de uma forma para a outra!
Taxa Percentual
Por Taxa Percentual entende-se a taxa de juros referente a cem unidades de capital. Inte-
ressante notar que seu próprio nome já demonstra isso, uma vez que “percentual” significa 
“por cem”.
Ex.: A inflação do ano atingiu 9% (seis por cento).
Taxa Unitária
A Taxa Unitária, por sua vez, refere-se a uma unidade de Capital, assim como afirma, tam-
bém, seu próprio nome. Atenção: Para os cálculos de juros, montante e capital apresentados 
na apostila, e também existentes na vida real, devemos utilizar, nas fórmulas, a taxa unitária. 
Desse modo, ao encontrarmos uma taxa percentual, devemos, antes de tudo, transformá-la 
em taxa unitária. Só depois , poderemos inseri-la na fórmula. Para tal, basta realizar sua divi-
são por cem. Observe a tabela abaixo:
TAXAS DE JUROS
Forma Percentual Para transformar na forma unitária Forma Unitária
20% ao ano 20/100 0,2 ao ano
6% ao trimestre 6/100 0,06 ao trimestre
2% ao mês 2/100 0,02 ao mês
0,3% ao dia 0,3/100 0,003 ao dia
Inversamente, para transformarmos uma taxa unitária em sua forma percentual, deve-
mos multiplicá-la por cem.
DO PRINCIPAL
O calculo do capital principal pode ser dado pela própria fórmula de calculo de juros sim-
ples, apenas isolando o C (capital) ao invés do J (juros). Veja:
J = C · i · n
C · i · n = J
C = J/i · n
Onde,
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J: Juros
C: Capital
i: taxa de juros (deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir 
o valor dado por 100).
n: tempo (a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo).
DO PRAZO DA OPERAÇÃO FINANCEIRA
O cálculo do tempo ou prazo da operação financeira também pode ser calculado a partir 
da fórmula de cálculo de juros, ficando da seguinte maneira:
J = C · i · n
C · i · n = J
n = J/C · i
Onde,
J: juros
C: capital
i: taxa de juros (deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir 
o valor dado por 100).
n: tempo (a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo).
JUROS COMPOSTOS
A diferença fundamental entre o regime de juros simples e o regime de juros compostos se 
refere à forma de capitalização dos juros:
 z Em juros simples, os juros são sempre calculados sobre o capital inicial. Chama-se este 
regime de capitalização simples;
 z Em juros compostos, os juros são somados ao capital para cálculo do período seguinte. 
Chama-se este regime de capitalização composta.
Contextualizando para você entender:
Suponhamos que você tenha pego um empréstimo de R$ 1.000,00 no banco, o pagamento 
deste valor deverá ser realizado após 4 meses, sujeito à taxa de 10% de juros ao valor em cada 
mês. Ficou acordado que o cálculo de juros de cada mês será realizado sobre o total da dívida 
no mês anterior, logo, o valor inicialmente emprestado não será a única base para o cálculo. 
Neste caso, estamos diante da cobrança de juros compostos. Por fim, quanto você deverá 
pagar ao banco ao final dos 4 meses?
Perceba que neste momento você deverá calcular os juros sobre o total da dívida do mês 
anterior. Portanto, ao final do primeiro mês, você deve aplicar a taxa de juros de 10% sobre 
a dívida que você possuía um mês antes, ou seja, o capital inicial de R$ 1.000. Como 10% de 
1.000 é igual a 100, podemos dizer que ao final deste primeiro mês a dívida subiu para o valor 
de R$ 1.100, onde R$ 1.000 corresponde ao capital inicial e R$100 correspondem aos juros 
percebidos no período. 
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Até este momento temos os mesmos valores do regime de juros simples. Contudo, no cál-
culo dos juros do 2º mês, neste perceberemos uma diferença, pois agoravocê deve calcular 
10% sobre o total da dívida no mês anterior, que agora soma R$ 1.100, e não apenas R$ 1.000, 
como no primeiro. Calculando 10% de R$ 1.100, você tem R$ 110, que são os juros do segundo 
mês. Portanto, esta dívida soma 1.100 + 110 = R$ 1.210. 
Ao final do terceiro mês devemos calcular 10% de R$ 1.210 — dívida do mês anterior —, 
que é 121 reais, de modo que a dívida soma 1.210 + 121 = R$ 1.331 reais. No final do 4º mês 
devemos obter 10% de R$ 1.331, que é R$ 133,10, de modo que a dívida soma 1331 + 133,10 = 
R$ 1.464,10. 
Veja de forma mais detalhada na tabela a seguir:
MÊS CAPITAL INICIAL
JUROS DO 
PERÍODO
JUROS 
ACUMULADOS
VALOR MONTANTE 
FINAL
0 
(início) R$ 1.000 0,00 0,00 R$ 1.000,00
1° R$ 1.000 R$ 1.000 · 0,10 = R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00
2° R$ 1.000 R$ 1.100 · 0,10 = R$ 110,00 R$ 210,00 R$ 1.210,00
3° R$ 1.000 R$ 1.210 · 0,10 = R$ 121,00 R$ 331,00 R$ 1.331,00
4° R$ 1.000 R$ 1.331 · 0,10 = R$ 133,10 R$ 464,10 R$ 1.464,10
Concluímos que, ao final dos 4 meses, você deverá ressarcir ao banco o valor de R$ 1.464,10, 
que é a soma da dívida inicial (R$ 1.000) e dos juros de R$ 464,10.
No regime de juros compostos, os rendimentos em cada período são somados ao montan-
te anterior para cálculo do período seguinte. Assim, os rendimentos crescem, a cada período, 
em progressão geométrica.
CÁLCULO DO MONTANTE, DO PRINCIPAL E DO PRAZO DA OPERAÇÃO FINANCEIRA
Para calcular diretamente o valor do montante final (M) devido em uma aplicação do capi-
tal inicial (C) por um determinado prazo (n) a uma determinada taxa de juros (i), basta usar 
a fórmula:
M = C · (1 + i)n
Na contextualização dada acima, teríamos C = 1.000 reais, n = 4 meses, e i = 10% ao mês. 
Novamente, observe que a unidade temporal do prazo (“meses”) é igual a unidade temporal 
da taxa de juros (“ao mês”), o que nos permite aplicar diretamente a fórmula:
M = 1000 · (1 + 10%)4
M = 1000 · (1 + 0,10)4
M = 1000 · (1,10)4
M = 1000 · 1,4641
M = 1.464,10 reais
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Muito mais prático. Note que a fórmula para se encontrar o capital a partir do montante 
é assim deduzida:
M = C · (1 + i)n
C =
 (1 )i
M
n+
Ou ainda:
C = M · 
(1 )
1
i n+
A partir da fórmula do montante também se pode deduz o tempo ou prazo da operação 
financeira.
Vamos falar um pouquinho sobre o fator (1 + i)n:
 z Nós chamamos de an = (1 + i)n o fator de acumulação de capital ou de fator de juros 
compostos ou, ainda, de fator de capitalização.
Esse fator é importante, pois pode aparecer em sua prova, veja a tabela abaixo com os 
valores de alguns deles para facilitar o cálculo.
TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL - an(1 + i)n
N/I 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,08000 1,09000 1,100000 1,120000 1,150000 1,180000
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,102500 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,254400 1,32250 1,392400
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,157625 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,404928 1,520875 1,643032
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,215506 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 1,573519 1,749006 1,938777
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,276281 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 1,762341 2,011357 2,287758
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,340095 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 1,973822 2,313061 2,699554
7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,407100 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 2,210681 2,660020 3,185474
8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,477455 1,718186 1,850930 1,992562 2,143588 2,475963 3,059023 3,758859
9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,551328 1,838459 1,999004 2,171893 2,357947 2,773078 3,517876 4,435454
10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,628894 1,967151 2,158925 2,367363 2,593742 3,105848 4,045558 5,233835
11 1,115668 1,243374 1,384233 1,539454 1,710339 1,710339 2,104852 2,331639 2,580426 2,853116 3,478549 4,652391 6,175926
12 1,126825 1,268242 1,425760 1,601032 1,795856 1,795856 2,252191 2,518170 2,812665 3,138428 3,895975 5,350250 7,287592
13 1,138093 1,293606 1,468533 1,665073 1,885649 1,885649 2,409845 2,719623 3,065804 3,452271 4,363493 6,152787 8,599359
14 1,149474 1,319479 1,512589 1,731676 1,979931 1,979931 2,578534 2,937193 3,341727 3,797498 4,887112 7,075706 10,147244
15 1,160969 1,345868 1,557967 1,800943 2,078928 2,078928 2,759031 3,172169 3,642482 4,177248 5,473565 8,137061 11,973748
16 1,172578 1,372786 1,604706 1,872981 2,182874 2,182874 2,952164 3,425942 3,970306 4,594972 6,130393 9,354621 14,129022
17 1,184304 1,400241 1,652847 1,947900 2,292018 2,292018 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 6,866040 10,761264 16,672246
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,406619 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966 12,375453 19,673251
Fonte: Aprenda Matemática 
Temos como a função principal de uma tabela financeira disponibilizar valores numéricos 
complicados de serem calculados à mão, uma vez que contas em juros compostos envolvem 
sempre exponenciação1. Saber ler uma tabela é fácil, basta procurarmos pela linha que cor-
responde ao prazo e que cruza a coluna da respectiva taxa de juros que queremos. Ali estará 
o número determinado, ou melhor, o fator.
1 Disponível em: https://aprendamatematica.com/tabelas-financeiras. Acesso em: 11 jul. 2022.
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Note que a primeira célula da tabela no canto superior esquerdo é: n/i. 
Ou seja, na primeira coluna à esquerda (1, 2, 3, 4, ..., 18) temos os respectivos períodos n.
Já na primeira linha temos as respectivas taxas em percentual (1%, 2%, ...18%).
Observe a tabela abaixo, com ela podemos obter rapidamente o valor de . Basta buscar-
mos na linha da taxa i = 10% (pois a taxa também é designada pela letra i) e a coluna de n = 
4 períodos (que é a quarta linha, pois o prazo também é designado pela letra n). Com isso, 
encontramos o valor 1,464100:
TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL - an(1 + i)n
N/I 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,08000 1,09000 1,100000
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,102500 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,157625 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,215506 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,276281 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510
Simplifica bastante, não é mesmo?
Mas, também, temos um outro fator que é uma derivação do fator anterior:
Nós chamamos de:
 a
1
(1 )
1
in n
=
+
O fator de atualização de capital ou de fator de desconto composto. Pode ser dado no 
enunciado alguns de seus valores ou apresentado em uma tabela. Adiante, veremos ainda 
mais detalhes de como calcular.
Mas, para que você seja mais ágil na resolução de questões no dia da sua prova esqueça a 
sua calculadora! É recomendado que você memorize pelo menos os 4 primeiros fatores de 
acumulação de capital, que são os mais frequentes, eles irão te auxiliar para ter mais veloci-
dade na resolução:
Dica
Memorize:
1,11 = (1 + 10%)1 = 1,10
1,12 = (1 + 10%)2 = 1,21
1,13 = (1 + 10%)3 = 1,331
1,14 = (1 + 10%)4 = 1,4641
Faça sempre os cálculos à mão, pois você precisa praticar bastante para obter velocidade 
e confiança.
Importante!
Memorizeas principais fórmulas dos Juros Compostos:
M = C · (1 + i)n
J = M — C
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DOS JUROS
O cálculo dos juros compostos pode ser dado por meio da fórmula 
J = M - C
Onde,
J: Juros
M: Montante
C: Capital
DA TAXA DE JUROS
Atente-se às seguintes informações pois são importantes para saber aplicar corretamente 
uma taxa de juros compostos:
 z A unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Ou seja, não adianta saber 
apenas que a taxa de juros é de “10%”. É preciso saber se essa taxa é mensal, bimestral, 
anual etc.;
 z De quanto em quanto tempo deve haver cálculo de juros e seu valor incorporado no total 
devido. Trata-se do período de capitalização. Por exemplo, se tivermos juros com capita-
lização semestral, isso quer dizer que os juros devem ser calculados a cada semestre, e o 
valor calculado deve ser acrescido à dívida.
Em regra, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida é a mesma do 
período de capitalização. Veja o exemplo:
 z 10% ao mês com capitalização mensal (isto é, calculados a cada mês);
 z 12% ao ano com capitalização anual etc.
Quando ocorre assim, temos uma taxa de juros efetiva, ou seja, uma taxa de juros que 
efetivamente corresponde à realidade da operação. Nestes casos normalmente é omitida a 
informação sobre o período de capitalização, diz-se apenas “10% ao mês” ou “12% ao ano”.
Contudo, há a possibilidade também de ter uma taxa de juros de 10% ao ano com capita-
lização semestral. Neste caso, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida 
(ao ano) é diferente do período de capitalização (a cada semestre). Com isso, tem-se a cha-
mada taxa de juros de nominal, pois ela precisará ser “adaptada” para então ser utilizada 
nos cálculos.
Quando temos uma taxa de juros nominal, é necessário obter a taxa efetiva para então 
efetuar os cálculos devidos. Isto é algo simples, pois basta uma simples divisão, de modo a 
levar a taxa de juros para a mesma unidade de tempo da capitalização.
Taxas Proporcionais
Em juros compostos, a definição é a mesma que vimos em juros simples.
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Taxas proporcionais (ip) são aquelas cujos quocientes entre seus valores e seus respecti-
vos períodos de capitalização n, colocados na mesma unidade de tempo, são iguais.
Veja a fórmula:
n
i
n
i
1
1
2
2
=
Por exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, o qual também é proporcional 
a 1% ao mês. Para obter taxas proporcionais com segurança, basta efetuar uma regra de três 
simples. 
Importante!
Quando trabalhamos com juros simples, taxas de juros proporcionais são também taxas 
de juros equivalentes. 
Entretanto, isto não é verdade no regime de juros compostos, ou seja, taxas proporcionais 
não necessariamente são também equivalentes.
Agora, vamos aprender as aplicações dessas taxas em juros compostos.
Vimos anteriormente que o regime de capitalização composta trabalha com a exponencia-
ção e não com a proporcionalidade. Qual é, então, a utilidade de se confirmar se duas ou mais 
taxas são proporcionais em juros compostos?
As taxas nominais também ocorrem no regime de juros compostos e, portanto, a taxa 
efetiva da operação é obtida a partir da taxa nominal por proporcionalidade.
Taxas Equivalentes
A definição de taxas equivalentes (ieq), no regime de juros compostos, mantém-se a mes-
ma do regime de juros simples: duas taxas são equivalentes quando, aplicadas sobre o mes-
mo capital e pelo mesmo prazo, resultam no mesmo montante.
Por outro lado, existe uma diferença fundamental entre as taxas equivalentes no regime 
de juros simples e no regime de juros compostos:
 z Em juros simples, taxas equivalentes são proporcionais entre si;
 z Em juros compostos, conforme vamos ver a seguir, taxas equivalentes não são propor-
cionais entre si.
Uma forma mais rápida de calcular taxas equivalentes é pensando no número de períodos 
de capitalização.
Ex.: Calcular a taxa trimestral (it) equivalente à taxa bimestral de ib= 4%.
O primeiro passo é tomar um determinado período. Tomamos 6 meses, pois é múltiplo de 
3 (trimestre) e 2 (bimestre).
Em 6 (seis) meses temos:
 z 2 trimestres (logo, são duas capitalizações trimestrais);
 z 3 bimestres (logo, são três capitalizações bimestrais).
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Procuramos taxas equivalentes, ou seja, que produzam o mesmo resultado num mesmo 
período. Com isso, sabemos que 2 capitalizações trimestrais devem corresponder a 3 capi-
talizações bimestrais, pois, nos dois casos, temos o mesmo período de 6 meses. E a igualdade 
fica:
(1 + it)2 = (1 + ib)3
Substituindo os valores:
(1 + it)2 = (1 +4%)3
(1 + it)2 = (1,04)3
(1 + it)2 = 1,124864
1 + it = 1, 124864
it = 6,06%
Atenção! Em relação às taxas equivalentes em juros compostos:
 z Não admite regra de três;
 z Deve criar dois investimentos equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante, a 
partir de um mesmo capital, sendo este aplicado durante o mesmo intervalo de tempo.
Taxa Nominal
Taxa de juros nominal é aquela onde o período de capitalização é diferente da unidade 
temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização bimestral). Note que o conceito de taxa 
nominal no regime de juros compostos é o mesmo já enunciado em juros simples.
Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, devemos calcular a Taxa Efetiva da 
operação, que é obtida a partir da taxa nominal pelo método da proporcionalidade.
É a taxa constante em documentos, como nos contratos de financiamento. 
Taxa Efetiva
Taxa de juros efetiva: é aquela onde o período de capitalização é igual da unidade tem-
poral da taxa (10% ao ano, com capitalização anual).
Podemos dizer que é a taxa “mais importante”, pois é essa taxa que será utilizada nas 
fórmulas.
Dica
No regime composto, há uma única situação em que a regra de 3 é aplicável: na transfor-
mação da taxa nominal em taxa efetiva.
Para calcular as taxas efetivas são utilizadas as fórmulas de juros compostos, e estas 
fórmulas são todas exponenciais (ou seja, não vale a proporcionalidade). 
Por isso, tirando o caso excepcional de conversão entre taxa nominal e taxa efetiva, nas 
demais situações envolvendo juros compostos não podemos mais usar a regra de três.
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Lembrando que quando temos uma taxa de juros nominal, é necessário obter a taxa efe-
tiva para só então efetuar os cálculos devidos. Basta uma simples divisão, de modo a levar a 
taxa de juros para a mesma unidade de tempo da capitalização. Veja os exemplos:
 z Taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral: como a taxa é anual, devemos 
dividi-la por 2 (pois 1 ano possui 2 semestres) para chegar à taxa efetiva de 5% ao semestre;
 z Taxa nominal de 6% ao semestre com capitalização mensal: basta dividir a taxa por 6 (afi-
nal temos 6 meses em 1 semestre) para obter a taxaefetiva de 1% ao mês.
TAXA DE INFLAÇÃO, TAXA REAL E APARENTE
Se aplicamos certa quantia em um investimento, ela renderá juros com o passar do tempo, 
entretanto, uma parte deste crescimento é “corroída” pela inflação. Isto é, apesar de o inves-
timento ter certo rendimento nominal, ou aparente, é necessário tirar deste valor o que foi 
corroído pela inflação, restando o rendimento real.
Inflação é um aumento na quantidade de dinheiro e crédito criado, que tem como resul-
tado um aumento generalizado e persistente no valor dos preços dos produtos. Ou seja, o 
aumento generalizado dos preços é uma consequência da inflação, e não sua causa.
Em economias em que existe inflação, o poder de compra do dinheiro varia ao longo do 
tempo.
Cálculo da Taxa em Ambiente Inflacionário 
Observe que a taxa aparente tem “dentro de si” as outras duas taxas: a taxa de inflação e a 
taxa real. A taxa aparente é, portanto, a resultante destas duas taxas:
ia
ii
M
n0
TAXA APARENTE, TAXA DE INFLAÇÃO E TAXA REAL
C
ir
Figura 2: Matemática financeira para concurso. PENIDO, Eduardo. São Paulo: Atlas, 2007. Pág. 83.
Veja a fórmula abaixo onde se relaciona o rendimento nominal, ou aparente (ou taxa de 
juros nominal/aparente) com a taxa de juros real “r”, de acordo com a taxa de inflação “i”:
1
1
i
a
+
+^
^ h
h = (1 + r)
Ou ainda, apenas multiplicando cruzado:
(1 + a) = (1 + i) · (1 + r)
A seguir explicaremos com mais detalhes cada uma dessas taxas.
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Taxa Aparente
Taxa aparente “a” é a taxa de juros total de determinada operação financeira, tanto a de 
empréstimo quanto a de investimento, nas quais não se descontaram os efeitos da inflação 
que tenha ocorrido entre o início e o término desta operação. Portanto, trata-se de “quanto 
eu ganhei ou paguei”, em termos de taxa de juros, sem qualquer desconto ou dedução dos 
efeitos da inflação.
Taxa de Inflação
A taxa de inflação “i” representa a perda do valor da moeda, ou seja, a diminuição do seu 
poder de compra resultante do aumento médio dos preços das coisas.
Taxa Real
Taxa real “r” é a taxa de juros de determinada operação financeira, tanto de empréstimo 
quanto de investimento, em que são descontados os efeitos da inflação que ocorreu entre o 
início e o término desta operação. 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO - SISTEMA PRICE; SISTEMA SAC
TABELA PRICE E SAC 
Ao financiar o sonho da casa própria, tem-se que escolher um sistema de pagamento. Para 
isso, existem as seguintes opções: Tabela Price ou SAC. Aqui, discutiremos um pouco a res-
peito de tais sistemas, para entendermos o que de fato eles são, se há alguma diferença, 
vantagem e/ou desvantagem entre eles e, também, se um deles é mais barato/acessível que o 
outro. 
Esses sistemas, basicamente, são formas de amortização e financiamento a longo prazo, 
acertadas ao banco ou à construtora, durante o financiamento da compra de um imóvel: a 
Tabela Price (Sistema Francês de Amortização) e o SAC (Sistema de Amortização Constante). 
Ambos, segundo José Mansini planejador financeiro pela Planejar: 
[...] são dois cálculos distintos que determinam de que forma o comprador do imóvel irá pagar 
[amortizar] o empréstimo que ele fez para este fim. Nestes dois sistemas, será definido o valor 
da parcela mensal a ser paga2.
Diferenças entre Tabela Price e SAC
Há várias diferenças entre esses dois sistemas de amortização, mas a que mais se destaca 
diz respeito à forma e à rapidez de amortização (diminuição gradativa da dívida).
2 CONSULTORIA, 3 Pinheiros. Notícias do Mercado Imobiliário, 2022. Disponível em: https://
www.3pinheirosconsultoria.com.br/noticia/tabela-price-e-sac-qual-e-melhor-para-pagar-menos-
financiamento-no-imovel---veja-mais-em-https/28. Acesso em: 25 jul. 2022.
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Tal distinção afeta desde o valor das parcelas até a quantidade total de juros. No sistema 
SAC, tem-se, inicialmente, prestações com valores mais altos e que ficam menores no final, 
pois (como dito anteriormente) há amortização mensal do valor financiado. Ou seja, da pri-
meira parcela até a última, o valor vai caindo, porque há uma diminuição progressiva dos 
juros. 
Na Tabela Price, no entanto, as parcelas começam mais baixas, mas são estáticas, ou seja, 
não sofrem alteração durante todo o período de financiamento. 
Vantagens Oferecidas pela Tabela Price E Pelo Sac
 A escolha é sempre do comprador. Ou seja, cabe, a ele, optar pela forma de pagamento 
que mais se adequa a sua realidade financeira A escolha, notadamente, deve levar em con-
sideração o fator de correção (TR — Taxa Referencial — ou IPCA — Índice de Preços ao 
Consumidor Amplo) que julgar mais econômico no momento da assinatura do contrato do 
financiamento. 
Contudo, é válido ressaltar que, quando se necessita de financiamento, optar por um pra-
zo mais curto, se possível, é sempre o melhor a se fazer. Isso, porque em financiamentos imo-
biliários, paga-se juros sobre o saldo devedor. Logo, quanto mais amortização houver, menos 
gastos com juros terá o comprador. 
Pensando nisso, o sistema SAC (Sistema de Amortização Constante) pode ser mais van-
tajoso que a Tabela Price, porque representa uma economia de cerca de 10%, em média. A 
Tabela Price possui, como vantagem, sua parcela inicial, que, normalmente, é bem menor. 
No entanto, pelo SAC, apesar de as parcelas serem maiores no começo, há uma amortização 
maior da dívida, que leva a uma economia significativa no final.
 z Vantagens da tabela SAC:
 � Os bancos geralmente preferem a metodologia SAC sobre a Price;
 � As parcelas são decrescentes, isto é, você paga menos mês a mês conforme o tempo 
passa;
 � Considerando-se o período todo, os juros são menores, uma vez que a amortização da 
dívida é maior.
 z Desvantagens da tabela SAC:
 � Altas parcelas no início, logo ela é indicada para quem tem maior renda;
 � De acordo com as mudanças no mercado, podem ocorrer variações nos juros e na 
amortização;
 � Existe a chance de uma parcela vir maior do que a anterior.
 z Vantagens da tabela Price:
 � Oscilações econômicas afetam menos a parcela, uma vez que a taxa é fixa;
 � Parcelas menores no começo do período;
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 � Para quem não possui muito dinheiro guardado, o fato de proporcionar prazos maiores 
para o pagamento do financiamento torna essa opção perfeita.
 z Desvantagens da tabela Price:
 � É um sistema indicado para indivíduos com fonte de renda mais estável e, também, 
para financiamentos de automóveis;
 � Embora as parcelas sejam fixas, o prazo mais longo pode ocasionar riscos ao comprador 
se ele não tiver em mãos o valor para a finalização do pagamento;
 � O saldo devedor é anulado de maneira mais lenta, ocasionando na demora para efetuar 
a amortização.
Para melhor ilustrar esse comparativo entre as vantagens oferecidas por cada um dos Sis-
temas (SAC e Price), veja o quadro abaixo, no qual está representado um financiamento de 
R$ 200 mil, parcelado em 20 anos, com juros de 7% ao ano e correção pela TR. Perceba que 
a prestação do SAC começa a R$ 439 mais cara, mas o valor totalpago no final é quase R$ 30 
mil mais baixo:
— SAC PRICE
Parcela inicial R$ 1.964,16 R$ 1.524,89
Parcela final R$ 838,05 R$ 1.524,89
Total pago R$ 336.264,90 R$ 365.973,34
OUTRA FORMA DE CORREÇÃO POSSÍVEL DAS PRESTAÇÕES DE UM FINANCIAMENTO
A Caixa Econômica Federal divulgou, em agosto de 2019, uma nova linha de crédito para 
aquisição de casa própria, que possui juros entre 2,95% e 4,95% ao ano, mais a inflação do 
país, medida pelo IPCA. Disponível somente para contratos novos, esse novo modelo pode 
ser usado para financiar até 80% do valor de imóveis novos e usados, com prazo de até 360 
meses. 
Importante!
A prestação terá seu valor corrigido mensalmente, o que é, geralmente, feito pelo sistema 
SAC. O valor da parcela, por sua vez, pode, ou não, diminuir com o decorrer do tempo, pois 
depende da trajetória da inflação. Ao passo que, na Tabela Price, a correção feita por meio 
do IPCA descaracteriza totalmente o conceito de parcelas fixas.
A título de exemplo, leve em consideração o mesmo valor utilizado na situação que vimos 
anteriormente, de R$ 200 mil, financiado em 20 anos, diferenciando apenas a taxa, que passa 
a ser de 4,95%, e uma estimativa de IPCA de 4%. Aqui, cabe salientar que se trata apenas de 
uma situação hipotética/simulada, já que não é certo a previsão da trajetória da inflação por 
um período tão longo:
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— SAC PRICE
Parcela inicial R$ 1.645,56 R$ 1.306,69
Parcela final R$ 1.833,30 R$ 2.853,77
Total pago R$ 433.014,03 R$ 475.426,66
SIMULAÇÃO DE FINANCIAMENTO
Para fazer simulações de financiamentos com Tabela Price e/ou com o SAC, basta acessar 
sites de bancos, como Banco do Brasil, Bradesco, Caixa, Itaú e Santander e fazer as simulações. 
 HORA DE PRATICAR! 
1. (CESGRANRIO — 2021) Responsável por entender o comportamento dos produtos oferecidos 
por determinado banco onde trabalhava, e preocupado com a quantidade enorme de dados 
disponíveis para a análise, um funcionário decidiu extrair um subconjunto desses dados.
 Esse subconjunto é conhecido como
a) amostra
b) censo
c) parâmetro
d) população
e) variável
2. (CESGRANRIO — 2021) Um funcionário de um banco foi incumbido de acompanhar o perfil dos 
clientes de um determinado produto por meio da Análise de Dados, de forma a aprimorar as 
atividades de marketing relativas a esse produto. Para isso, ele utilizou a variável classe social 
desses clientes, coletada pelo banco, que tem os valores A, B, C, D e E, sem referência a valores 
contínuos.
 Sabendo-se que essa é uma escala ordinal, qual é a medida de tendência central adequada 
para analisar essa variável?
a) média aritmética
b) média geométrica
c) mediana
d) quartis
e) variância
3. (CESGRANRIO — 2021) Foi solicitado a um funcionário de um determinado banco que reali-
zasse uma pesquisa, exclusivamente com variáveis do tipo qualitativa, sobre a satisfação dos 
clientes com os serviços oferecidos pela instituição.
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 Para atender a essa demanda utilizando os meios adequados, sua escolha de escalas de men-
suração deve estar limitada às escalas
a) intervalares e razão
b) nominais e intervalares
c) nominais e ordinais
d) ordinais e intervalares
e) ordinais e razão
4. (CESGRANRIO — 2021) Após a coleta de dados em um determinado contexto (variáveis A, B, C, 
… X), uma das formas mais simples e iniciais de análise é a geração e a avaliação de um histo-
grama para uma variável selecionada (ex: X), como por exemplo, em um estudo climático, em 
que os dados coletados poderiam incluir a temperatura máxima observada em toda a Terra ao 
longo de dez anos.
 Nesse caso, o histograma adequado é um gráfico em que são apresentadas as
a) últimas dez médias móveis da variável X
b) somas das médias dos quadrados de cada valor de uma variável X
c) variações de uma variável X ao longo do tempo
d) médias históricas da variável X nos últimos sete dias
e) frequências de uma variável X em intervalos de valores
5. (CESGRANRIO — 2021) Designado para relatar a qualidade das atividades desenvolvidas em 
um determinado banco, um funcionário recebeu a seguinte Tabela, com a quantidade de notas 
relativas à avaliação dos correntistas sobre o atendimento no caixa, sendo 1 a pior nota, e 5, a 
melhor nota.
NOTA QUANTIDADE
1 3.000
2 9.500
3 12.000
4 15.000
5 8.000
 Qual é a moda das notas dessa avaliação?
a) 2
b) 3
c) 3,33
d) 4
e) 5
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6. (CESGRANRIO — 2021) Um negociador de investimentos de uma instituição financeira per-
gunta ao gerente de tal instituição qual a taxa de juros anual máxima que pode oferecer a um 
cliente investidor, e o gerente afirma que ficará satisfeito com uma taxa anual máxima de 8,36%. 
O negociador entra em contato com o cliente que pretende investir um capital C1 e diz que, ao 
final de um ano, ele receberá C2, que corresponde a C1 acrescido de 5,00% de juros, mas não tem 
sucesso nessa negociação inicial. O negociador resolve aplicar uma nova taxa sobre C2, mas 
sem ultrapassar a taxa anual máxima que está autorizado a oferecer.
 Qual o valor máximo da taxa a ser aplicada sobre C2?
a) 2,16%
b) 2,24%
c) 3,20%
d) 7,96%
e) 16,72%
7. (CESGRANRIO — 2021) Devido às oscilações de receita em seu negócio durante a pandemia, 
um cliente vai precisar pagar um boleto, cujo principal (até a data de vencimento) é de R$ 
25.000,00, com 12 dias de atraso. Nesse caso, são cobrados adicionalmente, sobre o valor do 
principal, dois encargos: 2% de multa, mais juros simples de 0,2% ao dia. Por causa dos juros 
altos, o cliente procurou seu gerente, que não conseguiu uma solução menos custosa.
 Com isso, nas condições dadas, o cliente deverá pagar nessa operação um valor total de
a) R$ 25.600,00
b) R$ 25.800,00
c) R$ 26.100,00
d) R$ 26.300,00
e) R$ 26.500,00
8. (CESGRANRIO — 2021) No boleto bancário da sua prestação, uma pessoa leu que é cobrada 
uma multa de 1,2% por dia de atraso sobre o valor da prestação, condicionada a atrasos não 
maiores que 30 dias. Em certo mês, essa pessoa pagou uma prestação com atraso, tendo de 
desembolsar R$ 233,20 em vez dos R$ 220,00 normalmente pagos nos meses em que não hou-
ve atraso no pagamento.
 Por quantos dias ela atrasou a prestação nesse mês?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
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9. (CESGRANRIO — 2021) Um banco fez um empréstimo de R$10.000,00 a um cliente, pelo prazo 
de um mês, cobrando o valor de R$ 100,00 a título de juros.
 Qual foi a taxa de juros que o banco cobrou do cliente?
a) 0,01 ao mês
b) 10% ao ano
c) 1% ao ano
d) 0,1 ao mês
e) 0,05 ao mês
10. (CESGRANRIO — 2021) Uma pessoa está planejando comprar uma geladeira no valor de 
R$1.300,00, no futuro.
 Sabendo-se que ela pretende gastar exatamente esse valor e que dispõe de um capital de 
R$1.000,00, que será aplicado no dia de hoje a uma taxa de jurossimples de 1,5% ao mês, qual 
será o prazo dessa aplicação, em meses, para que ela consiga comprar a geladeira à vista, o 
mais rápido possível?
a) 2
b) 16
c) 20
d) 50
e) 200
11. (CESGRANRIO — 2021) Qual é a taxa de juros simples utilizada por uma aplicação para tornar 
um capital inicial de R$1.000,00 em um montante de R$1.240,00, em um período de um ano?
a) 0,02 ao mês
b) 0,02% ao mês
c) 0,02 ao ano
d) 0,02% ao ano
e) 0,24% ao ano
12. (CESGRANRIO — 2021) Um cliente montou uma estratégia financeira, aplicando parte de seu 
décimo terceiro salário, sempre no início de janeiro, de 2018 a 2021, conforme mostrado na 
Tabela a seguir.
JAN/2018 JAN/2019 JAN/2020 JAN/2021
R$ 
10.000,00
R$ 
10.000,00
R$ 
10.000,00
R$ 
10.000,00
 A partir da orientação financeira de um especialista, ele conseguiu obter nesse período, com 
essas aplicações, uma taxa de retorno de 10% ao ano, sempre na comparação com o ano ante-
rior. Ele pretende atingir o valor total acumulado de 65 mil reais no início de jan/2023.
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 Considerando-se que essa taxa de retorno se mantenha, o valor mínimo, em reais, que esse 
cliente precisará depositar em Jan/2022, para atingir a meta em Jan/2023, a partir das aproxi-
mações dadas, pertence ao intervalo:
Dados:
1,15 = 
1,611;
1,14 = 
1,464;
1,13 = 
1,331.
a) R$ 8.000,00 a R$ 8.199,00
b) R$ 8.200,00 a R$ 8.399,00
c) R$ 8.400,00 a R$ 8.599,00
d) R$ 8.600,00 a R$ 8.799,00
e) R$ 8.800,00 a R$ 8.999,00
13. (CESGRANRIO — 2021) Um cliente fez um investimento de R$ 100.000,00 em janeiro de 2019, 
comprando cotas de um fundo imobiliário, o que lhe proporcionou uma taxa de retorno de 21%, 
ao final de 12 meses de aplicação. Em janeiro de 2020, buscando maior rentabilidade, procu-
rou um especialista financeiro indicado pelo seu gerente, que lhe recomendou aplicar todo o 
montante da operação anterior em renda variável. O cliente fez conforme recomendado, o que 
lhe proporcionou um retorno de 96% em 12 meses, resgatando o novo montante em janeiro de 
2021.
 Considerando-se um sistema de juros compostos, a taxa de retorno equivalente, obtida em 
cada período de 12 meses pelo cliente, de janeiro de 2019 a janeiro de 2021, foi igual a
a) 54%
b) 56%
c) 58%
d) 60%
e) 62%
14. (CESGRANRIO — 2021) Um cliente deseja fazer uma aplicação em uma instituição financeira, 
que paga uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, por um período de 3 anos, já que, ao final 
da aplicação, planeja comprar uma TV no valor de R$ 3.500,00 à vista.
 Qual o valor aproximado a ser investido para esse objetivo ser alcançado?
a) R$ 2.629,60
b) R$ 2.450,00
c) R$ 2.692,31
d) R$ 2.341,50
e) R$ 2.525,00
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15. (CESGRANRIO — 2021) O rendimento de um título sofreu uma variação negativa de 3 pontos 
percentuais de um mês para o mês seguinte, ou seja, se no primeiro mês o título rendeu x%, no 
mês seguinte o mesmo título rendeu (x - 3)%.
 O montante M(x) de capital arrecadado após esses dois meses em um investimento de 
R$10.000,00, em função da taxa de rendimento do primeiro mês, será dado por
a) x² + 10000
b) x² + 3x + 10000
c) x² - 197x +10000
d) x² +197x + 9700
e) x² - 97x + 9700
16. (CESGRANRIO — 2021) Em uma carta aos clientes, um investimento é oferecido com a promes-
sa de recebimento de um montante de R$8.200,00 líquidos, após 2 anos, para quem aderisse 
investindo inicialmente R$5.000,00. O valor líquido pago é obtido após descontados R$250,00 
de taxas e impostos. Para melhorar a comunicação com os clientes, julgaram interessante 
acrescentar a taxa de juros compostos usada no cálculo do valor bruto, isto é, sem o desconto.
 Qual é o valor da taxa anual que deve ser acrescentada na carta?
a) 2%
b) 3%
c) 20%
d) 25%
e) 30%
17. (CESGRANRIO — 2021) Uma pessoa deixou de pagar a fatura do cartão de crédito, de modo 
que, após dois meses, o valor inicial da fatura se transformou em uma dívida de R$26.450,00. 
Nunca foram feitas compras parceladas e não foram feitas compras adicionais durante esses 
dois meses.
 Considerando-se que foram cobrados, indevidamente, juros compostos de 15% ao mês e que, 
por determinação judicial, o valor inicial deva ser reconsiderado para uma nova negociação 
entre as partes, o valor inicial da dívida era de
a) R$18.515,00
b) R$18.815,00
c) R$20.000,00
d) R$21.000,00
e) R$21.115,00
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18. (CESGRANRIO — 2021) Um banco ofereceu a um cliente um financiamento de R$ 120.000,00, 
pelo sistema SAC, a uma taxa de juros de 10% a.m., para ser pago em 4 prestações mensais ao 
final de cada mês, sendo a primeira prestação no valor de R$ 42.000,00. A Tabela abaixo poderá 
ser usada para seus cálculos.
PERÍODO SALDO INICIAL JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO FINAL
0 120.000,00
1 120.000,00 42.000,00
2
3
4
 Quais os valores aproximados que serão pagos, pelo cliente, a título de juros e prestação, res-
pectivamente, ao final do terceiro mês?
a) R$ 12.000,00; R$ 42.000,00
b) R$ 3.000,00; R$ 39.000,00
c) R$ 12.000,00; R$ 30.000,00
d) R$ 6.000,00; R$ 36.000,00
e) R$ 9.000,00; R$ 33.000,00
19. (CESGRANRIO — 2021) Uma pessoa faz um financiamento no valor de R$10.000,00 em 10 
vezes, a uma taxa de juros de 4,9% ao mês, sendo que o financiamento usa o sistema de amor-
tização constante.
 Qual é o valor, em reais, a ser pago na 7ª prestação desse financiamento?
a) 1.490
b) 1.334
c) 1.292
d) 1.196
e) 1.100
20. (CESGRANRIO — 2021) Devido à pandemia, um microempreendedor precisou tomar um emprés-
timo no valor de R$ 20.000,00, em dez/2020, a ser pago em 24 prestações mensais iguais e 
postecipadas no sistema PRICE, de modo que a primeira fosse paga em jan/21, e a última, em 
dez/22. Considere que o Banco cobre R$ 660,00 de taxas, que serão financiadas juntamente 
com o valor do empréstimo, por escolha do cliente, e que a taxa de juros cobrada, devido ao 
risco da operação, seja de 3% ao mês.
 Desconsiderando-se o IOF na operação e supondo-se que a primeira prestação foi paga na 
data de vencimento, o valor da segunda prestação, em sua respectiva data de vencimento será 
de, aproximadamente,
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 Dados: 1,0324 = 2,033.
a) R$ 1.120,00
b) R$ 1.220,00
c) R$ 1.320,00
d) R$ 1.420,00
e) R$ 1.520,00
21. (CESGRANRIO — 2021) Ao verificar o saldo devido de seu financiamento de R$ 8.000,00, um 
cliente percebeu que, após pagar a primeira prestação de R$ 1.726,93, ele havia amortizado 
apenas R$ 1.518,93. Consultando seu gerente, ele soube que nesse financiamento foi usado o 
sistema Price.
 Qual é a taxa mensal de juros cobrada nesse financiamento?
a) 1,0%
b) 1,3%
c) 1,6%
d) 2,3%
e) 2,6%
 9 GABARITO
1 A
2 C
3 C
4 E
5 D
6 C
7 C
8 A
9 A
10 C
11 A
12 A
13 A
14 A
15 D
16 E
17 C
18 D
19 D
20 B
21 E
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ANOTAÇÕES
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