Desafio Estatistica

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DESAFIO -1
E o que é Estatística? A Estatística é um ramo da Matemática que estuda a forma como obter e organizar dados numéricos, buscando relacioná-los entre si, para conseguir entender o que aconteceu e também para prever o que vai acontecer. Ou seja, ela tenta transformar números em informações para auxiliar a compreensão de fatos passados e a tomada de decisão das mais variadas maneiras.Com base no que foi informado acima, apresente um exemplo de como a Estatística pode auxiliar em qualquer profissão. A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: se for necessário realizar alguma operação matemática, é preciso apresentar o raciocínio completo e não apenas o resultado final.
Um gestor pode usar a Estatística para demonstrar que o serviço ou o produto de sua empresa possui uma qualidade superior ao de seus concorrentes. Quanto mais rápida (ou precisa) for a prestação do serviço ou menos defeitos o produto apresentar, maior será sua qualidade. Assim, a empresa conseguirá vender mais, aumentando seu lucro.
DESAFIO-2
A probabilidade de um evento é a medida da possibilidade de este ocorrer. Você pode determiná-la seguindo dois caminhos: por meio de análise lógica da situação (a qual chamamos de probabilidade teórica) ou a partir de uma coleção de dados obtidos (esta é a probabilidade experimental). Por exemplo, se alguém lhe perguntar “qual a chance de obter uma cara quando lançamos uma moeda”, você pode:
1. pensar logicamente em todos os possíveis resultados e chegar à seguinte conclusão: há dois resultados igualmente prováveis; sendo assim, a probabilidade teórica de obter cara é ½; ou então
2. experimentar, lançando uma moeda algumas vezes e registrando os resultados. Assim, você encontra a frequência relativa do evento e, quanto mais lançamentos você fizer, mais a frequência relativa se aproximará da probabilidade teórica. Imagine agora uma abordagem desse tema em sala de aula a partir do seguinte jogo:
Esse é um jogo que pode ser aplicado com alunos que estão iniciando a construção do conceito de probabilidade. Você pode finalizar a atividade perguntando: “Você considera este jogo justo? Crie um argumento que defende sua ideia sobre se o jogo é justo ou não. É possível fazer predições sobre quem ganhará a próxima partida?”
Em relação ao jogo apresentado e a proposta de reflexão:
a) Qual seria uma resposta adequada para um aluno que considera o jogo injusto?
b) Se algum aluno responder que o jogo é justo, por que você acha que ele chegou a essa conclusão?
a) O jogo é injusto porque o jogador C tem vantagem sobre os demais. Veja as possibilidades:
1. existe apenas uma maneira para ocorrerem duas caras (que faz o jogador A pontuar);
2. também existe apenas um modo de ocorrerem duas coroas (no qual o jogador B pontua);
3. porém, existem duas maneiras de aparecerem uma cara e uma coroa: ou a primeira moeda resulta em cara e a segunda em coroa, ou ao contrário. Sendo assim, há quatro resultados possíveis no lançamento das moedas, e o jogador C pontua em dois deles, tendo ½ de chance para pontuar, enquanto os demais jogadores têm ¼ de chance.
b) Os alunos que consideram o jogo justo podem estar usando a seguinte lógica: “existem três resultados: duas caras, duas coroas, e uma cara e uma coroa, o que torna o jogo justo, já que cada aluno tem igual chance para pontuar”. O que ocorre é que eles não se deram conta de que o resultado misturado pode acontecer de duas maneiras diferentes, conforme explicado no item a.
DESAFIO-3
Para auxiliar na compreensão desta unidade de aprendizagem, teremos um desafio!
Para realizar esta atividade, você deverá atender aos seguintes itens referentes ao quadro:
- Criar duas colunas, uma descrita estatística e outra bioestatística.
- Na primeira linha, inserir o conceito, e, na segunda linha, um exemplo de cada.
- Faça o mesmo dos itens 1 e 2 para população e amostra.
DESAFIO-4
As variáveis de uma pesquisa são os distintos valores que determinadas características dentro de uma determinada pesquisa assumem. Dessa forma, o que auxilia na distinção desses valores é a análise de mensuração.
Você é assistente social, trabalha no Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (INEP) e tem a incumbência de desenvolver o Censo Escolar do ano vigente. Em determinado momento, um colega entrega-lhe uma série de dados acerca da realidade escolar, já analisada por ele, conforme pode ser observado na imagem a seguir:
Diante da análise que o seu colega fez com relação aos dados observados, responda:
1. Qual é a variável utilizada na obtenção e na sistematização dos dados?
2. Qual é a importância da variável para uma pesquisa como o Censo Padrão de resposta esperado
1. A variável utilizada foi a de mensuração ordinal.
2. A variável de mensuração ordinal é importante para uma pesquisa como o Censo Escolar porque, por meio da leitura de dados, pode-se mensurar uma quantidade maior ou menor de acesso à educação pela variável idade, ou seja, pode-se efetuar um juízo de valor, identificando se a situação do acesso escolar está melhor, pior ou igual à situação encontrada em Censos anteriores.
DESAFIO-5
Imagine que você é o(a) técnico(a) de uma equipe de atletas (futebol, vôlei etc.) e deseja entender um pouco mais sobre o rendimento que seu time tem para poder melhorar e, então, vencer o campeonato. Você fez um levantamento de quantos gols (ou pontos) seu time fez nos 20 últimos jogos e encontrou o seguinte resultado: em 3 jogos, marcou apenas um ponto (ou gol), em 4 marcou 2 pontos, em 3 jogos, marcou 3, em 2 marcou 4, em outros 2 jogos, marcou 5, em um único jogo, marcou 6 e em 5 jogos não marcou nenhum. Seu time nunca conseguiu marcar 7 ou mais pontos na mesma partida. Ou em ordem crescente: 0,0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5,5,6.
Como você quer muito vencer o campeonato, procurou informações estatísticas e descobriu que é possível calcular a média de pontos somando todos os marcados e dividindo pelo total de jogos. Você encontrou, então, a média de 2,20 pontos por partida.
Você também descobriu que moda, em Estatística, é o resultado que mais aparece, é aquele que mais vezes se repete. Descobriu, ainda, que existem casos em que mais de um número é a moda, pois eles se repetem a mesma quantidade de vezes e, em outros casos, não haverá moda, pois nenhum número se repetiu. No caso do seu time, você percebeu que a moda é zero.
Finalmente, você calculou a mediana, colocando os pontos em ordem crescente e identificando aquele (ou aqueles) que estavam no meio dos resultados. Em suas leituras, aprendeu que quando o total de números é ímpar, a mediana será um único número central. Por exemplo, no conjunto 1, 2, 3, 5, 8, a mediana é o número 3, pois ele está no meio (há dois números à direita e também dois números à esquerda). Já no caso do seu time, como o número de jogos é par (20 jogos), foi necessário fazer a média dos dois números centrais. Após fazer isso, você encontrou a mediana igual a 2. Agora, com estes dados, você poderá comparar os resultados do seu time com o time que está melhor colocado e saberá quais deverão ser as suas metas para os próximos jogos. Está traçado o caminho para sua vitória!
Com base no que foi informado acima, apresente os cálculos da média e da mediana e explique como encontrou a moda. A resposta será avaliada conforme os seguintes critérios:
- Da média e da mediana, você deverá apresentar a fórmula e o cálculo do número. Lembre-se de realizar a operação matemática completa e não apenas o resultado final.
- Da moda você deverá explicar o raciocínio que fez para descobri-la.
A Média (x) corresponde a soma dos valores dividido pelo número de valores. Assim, temos que: x = (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6) ÷ 20 x = 44 ÷ 20 = 2,20 pontos A Mediana (y) é o valor que separa o conjunto de dados em dois. Como nesse caso há 20 dados, a mediana será dado pela média dos valores da décima e decima primeira posição: y = (2 + 2) ÷ 2 = 2,00 pontos A Moda (z) é o valor que aparece com mais frequência no conjuntode dados. Nesse caso temos que o zero é aquele que aparece com mais frequência, cinco vezes. 
DESAFIO-6
A estatística inferencial é um ramo muito importante da estatística, pois ela nos permite que, a partir de amostras, sejam feitas inferências para a população em estudo, contribuindo para uma melhor tomada de decisão.
Dentro da estatística inferencial, estão inseridos os testes de hipóteses, que vão auxiliar a determinar se as diferenças entre duas amostras são decorrentes de uma variação casual ou se são realmente significativas.
Conhecer os testes de hipóteses, sua classificação, características e o procedimento de aplicação é fundamental para escolher qual é o teste mais adequado.
Imagine que você foi contratado por uma empresa para a realização de uma pesquisa de mercado e precisará trabalhar com amostragem, utilizando testes de hipóteses. No entanto, para ser efetivamente designado para esse trabalho, você precisa explicar para o gestor as diferenças entre cada teste, a fim de justificar as escolhas durante o processo de análise e inferência que você realizará durante a pesquisa.
Assim:
a) Explique, com suas palavras, a diferença entre testes relativos à média e testes relativos às proporções.
b) Sobre os testes relativos à média, explique qual(is) a(s) principal(is) diferença(s) ao se trabalhar com pequenas ou com grandes amostras.
Observe que, em suas respostas, você não deve copiar os conceitos constantes nos livros indicados. É importante descrever cada conceito de forma clara, pois você está explicando para o gestor e, se ele não compreender sua resposta, você não será designado para o serviço.
A diferença entre testes relativos à média de testes relativos às proporções é que, nos primeiros, se busca testar especificamente a média, enquanto nos testes de proporções, busca-se identificar qual o percentual (ou proporção) de elementos de uma população atende a uma determinada premissa, ou seja, quais possuem uma determinada característica. Sobre os testes relativos à média, a(s) principal(is) diferença(s), ao se trabalhar com pequenas ou com grandes amostras é (são) que, nas grandes amostras, considera-se a distribuição normal (e utiliza-se sua respectiva tabela) e, nas pequenas amostras, se utiliza outra distribuição que não a normal. A distribuição mais utilizada é a Student, pela facilidade de se encontrar sua tabela, mas isso não é obrigatório e o estudo de alguns eventos utiliza outras distribuições. 
DESAFIO-7
A Teoria da Amostragem nos permite estimar a média, a variância e outras grandezas da população com base nas grandezas das amostras. É claro que sempre teremos mais precisão analisando o grupo inteiro (população) do que uma parcela representativa (amostra), mas, na maioria das vezes, isso não é possível em virtude dos custos e do tempo necessário.
Por isso, para completar este desafio, você deve explicar, com suas palavras, população, amostra, erro amostral e as diferenças entre amostra probabilística e amostra não probabilística e entre os dois grandes grupos de amostras.
A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: não é necessário copiar as explicações de nenhum livro; o mais importante é conseguir explicar e/ou diferenciar os conceitos de forma clara. Caso prefira, você poderá explicar as diferenças apresentando exemplos.
População é tudo, e amostra é um pedaço. Erro amostral é a diferença entre a grandeza da amostra (média, desvio-padrão etc.) e a grandeza da população. A diferença entre amostra probabilística e não probabilística é que a probabilística pode ser utilizada para a análise estatística, enquanto a não probabilística, apesar de possuir diversos usos, não pode ser utilizada para inferências estatísticas. Já a diferença entre os dois grandes grupos de amostras (qualitativo e quantitativo) é que no quantitativo, cada elemento tem a mesma importância, ou seja, conta como um elemento qualquer, e no qualitativo, as características particulares fazem a diferença. 
DESAFIO-8
Avalie o tamanho de uma amostra para um população de 1.000 peças quando se usa para analisar 1% dela. Explique como você faria a escolha destes elementos se fosse por amostragem aleatória simples e por amostragem aleatória sistemática. A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: não basta apontar o resultado correto, o cálculo deve ser apresentado com o raciocínio completo.
Padrão de resposta esperado
Primeiro, vamos definir o tamanho da amostra: se são 1.000 peças e queremos 1% de amostras, basta calcular 1% de 1.000 que resulta em 10.
Para a amostragem aleatória simples, iremos numerar as 1.000 peças e sortear cada uma das 10 desejadas para compor nossa amostra. Já para a amostragem aleatória sistemática, também iremos numerar as 1.000 peças, mas sortearemos apenas o primeiro elemento da amostra. Os outros 9 serão obtidos adicionando-se 100 (obtido de 1.000/10) ao número do primeiro elemento.
DESAFIO-9
Muitos experimentos envolvem a ideia de distribuição de probabilidade, ou seja, a população ou a amostra estudada seguem um comportamento padrão que pode ser aproximado por uma função.
No caso das distribuições contínuas, temos a função densidade de probabilidade, que é diferente para cada modelo de distribuição estudado. Dessa forma, é muito importante que na prática conheçamos as condições que tornam um modelo de distribuição de probabilidade apropriado para a situação que estamos investigando. Vamos ao desafio.
Você foi escolhido para ministrar uma aula de estatística e o assunto será as distribuições contínuas de probabilidade. Na aula, você deverá citar, pelo menos, quatro distribuições contínuas diferentes, indicando seus respectivos usos. A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: não serão aceitas cópias dos conceitos constantes nos livros indicados. É importante explicá-la de forma clara. 
- Distribuição Normal - se ajustam bem a esta distribuição as medidas naturais (antropomórficas, por exemplo) e as várias medidas industriais.
- Distribuição Uniforme contínua - muito utilizada quando se conhece pouco a respeito do fenômeno modelado.
- Distribuição Triangular - muito utilizada quando se conhece um pouco mais sobre o fenômeno modelado em relação às suposições da Distribuição Uniforme.
- Distribuição Beta - muito utilizada para modelar incertezas a respeito de probabilidades, frações ou prevalências.
- Distribuição Exponencial - utilizada em processos de contagem ao longo do tempo em que os eventos de interesse são independentes entre si e ocorrem a uma taxa constante ao longo do tempo.
- Distribuição de Erlang - emerge nos fenômenos relacionados a redes de telecomunicações.
- Distribuição de Weibull - utilizada para encontrar importantes aplicações em estudos de confiabilidade, em Engenharia de Produção, em gestão de estoques, seguridade e meteorologia.
- Distribuição Gama - utilizada na Biologia e modelagem do comportamento do consumidor.
- Distribuição F - emerge nos problemas de Estatística Inferencial envolvendo a análise de variância.
- Distribuição t de Student - emerge em problemas de Estatística Inferencial baseada em amostras pequenas.
- Distribuição Lognormal - modelagem de fenômenos econômicos relevantes, como para modelar o retorno financeiro de títulos negociados em bolsa.
- Distribuição de Laplace - encontra aplicações em processamento de imagens e de voz, em Biologia e na análise da dinâmica industrial.
- Distribuição Logística - encontra aplicações em processos relacionados a crescimento, seja demográfico, de vendas, de difusão tecnológica.
- Distribuição de Maxwell - modela a velocidade de partículas e moléculas em gases em equilíbrio térmico.
- Distribuição de Pareto - modela adequadamente muitos fenômenos sociais, físicos e econômicos.
DESAFIO-10
Através das medidas de posição e de dispersão pode-se obter dados importantes sobre um conjunto de dados quantitativos. As medidas de posição (média, mediana e moda) tem a tendência de serem encontradas em torno do centro do conjunto de dados. Já as medidas de variabilidade (amplitude, desviomédio, variância, desvio-padrão) ajudam a entender a distribuição dos dados, em torno da média. Ao lidar com um conjunto de dados quantitativos é importante saber calcular e interpretar cada uma dessas medidas para auxiliar na descrição dos dados. Acompanhe a seguinte situação:
Conjunto A: 2, 3, 3, 5 e 7 
Conjunto B: 2, 3, 3, 45 e 72 
A amplitude de uma amostra é a diferença entre o maior valor e o menor valor, se organizarmos os dados em ordem crescente, temos: Logo, a amplitude será: 
AA = 7 - 2 = 5 AB = 72 - 2 = 70
 Média aritmética é a soma de vários valores e dividido pelo total deles. Ou seja, o resultado dessa divisão equivale a um valor médio entre todos os valores.
 XA = 2 + 3 + 3 + 5 + 7/5 = 20/5 = 4 XB = 2 + 3 + 3 + 45 + 72/5 = 125/5 = 25 
A variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse conjunto está do valor central.
 Var. amostral = (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)² / ​n – 1 VarA = (2-4)² + (3 – 4)² + (3 – 4)² + (5 – 4)² + (7 – 4)² / ​5 – 1 VarA = 16/4 VarA = 4 VarB = (2-25)² + (3 – 25)² + (3 – 25)² + (45 – 25)² + (72 – 25)² / ​5 – 1 VarB = 4106/4 VarB = 1026,5 
O desvio padrão pode ser calculado através da seguinte expressão, que é a raiz da variância: dp = √var dpA = √4 = 2 dpB = √1026,5 ≅ 32,04
DESAFIO-11
Calcule a probabilidade de lançar uma moeda e, em duas vezes seguidas, ela cair com o mesmo lado para cima. A resposta será avaliada de modo que não basta somente apresentar o resultado correto, o cálculo deve ser demonstrado com o raciocínio completo.
Chamando um lado da moeda de Cara e outro de Coroa, temos quatro possibilidades em dois lançamentos: Cara e Cara, ou Cara e Coroa, ou Coroa e Cara, ou, finalmente, Coroa e Coroa. Lembrando que foi pedido o mesmo lado, mas não foi determinado qual deles. Queremos Cara e Cara ou Coroa e Coroa. Como temos dois eventos desejados em quatro possíveis, a probabilidade será: 2/4 = 0,50 ou 50%. Caso tivesse sido pedido um lado específico, apenas Cara e Cara ou apenas Coroa e Coroa, teríamos apenas um único evento desejado em quatro possíveis, sendo a probabilidade: 1/4 = 0,25 ou 25%
DESAFIO -12
No vestibular de uma Universidade foi questionado aos candidatos: Em qual colégio você estudou? Obteve-se os seguintes dados: colégio 1: 15 candidatos, colégio 2: 6 candidatos, colégio 3: 26 candidatos, 2 alunos estudaram em outros colégios e 1 aluno preferiu não responder. Veja, no anexo, como ficariam as tabelas neste caso. Observe que a primeira é bem simples, já a segunda é mais completa. Com base nessas informações, qual (ou quais) pergunta(s) você faria se precisasse descobrir quantas pessoas do sexo masculino com idade entre 30 e 40 anos trabalham em determinada empresa? E como você tabularia o resultado? A resposta será avaliada conforme o seguinte critério: embora existam diversas combinações de perguntas, é preciso chegar a uma resposta que não deixe dúvidas sobre o resultado obtido. Lembre-se de que não basta saber se é do sexo masculino, é preciso saber se os indivíduos têm entre 30 e 40 anos.
A solução mais simples seria fazer uma única pergunta, do tipo: você é uma pessoa do sexo masculino com idade entre 30 e 40 anos? As opções de resposta seriam apenas "sim" e não". A solução mais elaborada seria fazer duas perguntas, do tipo: a)Qual é o seu sexo? As opções de resposta seriam "feminino" ou "masculino". b) Qual é a sua faixa etária? As opções de reposta teriam valores como: menos de 20 anos, 20 a 30 anos, 30 a 40 anos, 40 a 50 anos e mais de 50 anos. Observe que, embora as demais faixas possam variar, é obrigatório ter a opção 30 a 40 anos, pois isso é o que se procura descobrir.