ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA CALCULO VETORIAL E EDO

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Atividade contextualizada Calculo Vetorial e Edo
O tratamento térmico das peças do um guindaste é muito importante. Ele evita que ocorram desgastes, corrosões e até mesmo que a estrutura do guindaste quebre com o passar do tempo.
O guindaste é um tipo de equipamento que fica exposto a condições climáticas variadas, como o sol, calor, vento, chuva etc. Essa rotina juntamente com o esforço que esse equipamento sofre, pode causar o desgaste em sua carcaça e peças. Por isso, o tratamento térmico das peças do guindaste é tão importante, ele melhora a resistência do aço ao desgaste, corte/quebra e corrosão. Um dos processos é o de Normalização
A normalização consiste no aquecimento das peças seguido de resfriamento ao ar, o que resulta em uma granulação mais refinada e uniforme.
Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. 
Mediante essas informações sobre a normalização e a segunda lei de Newton, resolva o seguinte problema:
 Ao aquecer uma determinada peça de um guindaste, se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do corpo cai em 20 minutos de 100 ºC a 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 ºC?
· Apresente a Equação Diferencial ordinária, que descreve a lei de resfriamento de Newton;
· Apresente o desenvolvimento dos cálculos, para a determinação do tempo para que a temperatura decaia para 30º.
RESPOSTA
Resposta: A equação diferencial ordinária que descreve a lei de resfriamento de Newton é:
dT/dt = -k(T - Ta)
Onde:
dT/dt é a taxa de variação da temperatura com o tempo (°C/min);
T é a temperatura do corpo (°C);
Ta é a temperatura ambiente (°C);
k é a constante de resfriamento (min^-1).
Para encontrar o tempo necessário para que a temperatura da peça do guindaste caia para 30ºC, precisamos resolver a equação diferencial acima, considerando que a temperatura inicial da peça é de 100ºC e que a temperatura ambiente é de 20ºC.
Primeiro, precisamos determinar a constante de resfriamento k. Para isso, podemos usar os dados fornecidos e a equação de resfriamento de Newton:
dT/dt = -k(T - Ta)
-20 = -k(100 - 20)
-20 = -k(80)
k = 20/80
k = 0,25 min^-1
Agora, podemos integrar a equação diferencial acima para encontrar a função que descreve a temperatura do corpo em função do tempo:
dT/dt = -0,25(T - 20)
dT/(T - 20) = -0,25 dt
Integrando ambos os lados da equação:
ln|T - 20| = -0,25 t + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
ln|100 - 20| = C
C = ln(80)
Portanto, a equação que descreve a temperatura do corpo em função do tempo é:
ln|T - 20| = -0,25 t + ln(80)
T - 20 = e^(-0,25 t + ln(80))
T = e^(-0,25 t + ln(80)) + 20
Agora podemos substituir T por 30 e resolver para t:
30 = e^(-0,25 t + ln(80)) + 20
10 = e^(-0,25 t + ln(80))
ln(10) = -0,25 t + ln(80)
t = (ln(10) - ln(80)) / (-0,25)
t ≈ 37,33 minutos
Portanto, a temperatura da peça do guindaste levará cerca de 37,33 minutos para cair de 100ºC para 30ºC.