PROVA - 2ª Fund de Mecanica Ondulatooria 2_2012

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Departamento de F´ısica
Segunda Prova de Fundamentos de Mecaˆnica Ondulato´ria
08 de Novembro de 2012
Nome: Turma:
Matr´ıcula:
Q1) Q2) Q3) Q4) TOTAL
Indique todos os ca´lculos. Justifique todas as suas respostas.
1. Uma onda transversal senoidal com amplitude igual a 2,5 mm e comprimento de onda igual a 1,8 m propaga-
se com velocidade de 36,0 m/s da esquerda para a direita ao longo de uma corda esticada horizontal.
Considere a origem na extremidade esquerda da corda. No tempo t = 0 a extremidade esquerda esta´
sobre a origem e se move de baixo para cima.
(a) Ache a frequeˆncia, a frequeˆncia angular e o nu´mero de onda desta onda.
(b) Qual a func¸a˜o y(x, t) que descreve o movimento da onda?
(c) Qual a func¸a˜o y(t) para uma part´ıcula situada a 1,35 m a` direita da origem?
(d) Calcule a equac¸a˜o que descreve a velocidade transversal de qualquer ponto na corda em qualquer
instante de tempo.
(e) Qual e´ o mo´dulo ma´ximo da velocidade transversal de qualquer part´ıcula da corda?
2. Para afinar um piano, um mu´sico estica os fios de ac¸o do piano com uma tensa˜o igual a 800 N. O compri-
mento do fio de ac¸o e´ igual a 0,4 m e sua massa e´ igual a 3,0 g.
(a) Qual e´ a frequeˆncia do modo fundamental de vibrac¸a˜o do fio? E do primeiro harmoˆnico?
(b) Sabendo que a velocidade do som no ar quando a temperatura e´ igual a 20◦C e´ de 344 m/s, calcule o
comprimento da onda sonora (que se propaga no ar) gerada por essa corda do piano vibrando em seu
primeiro harmoˆnico.
(c) Imagine que no quarto onde esta´ o piano existe um botija˜o de he´lio. O he´lio comec¸a a vazar e cobre
todo o volume de ar do quarto. Sabendo que a velocidade do som no he´lio (T=20◦C) e´ igual a 999 m/s,
qual sera´ o comprimento da onda sonora gerada por essa corda do piano vibrando, novamente, em
seu primeiro harmoˆnico? O som gerado e´ mais grave ou mais agudo que o som gerado quando a
onda se propaga no ar?
3. Dois tubos de o´rga˜o, abertos nas duas extremidades, medem 1,14 m e 1,16 m.
(a) Calcule as frequeˆncia da nova oscilac¸a˜o produzida, a frequeˆncia da variac¸a˜o de amplitude e a frequeˆncia
do batimento que eles produzem quando tocam em sua frequeˆncia fundamental.
(b) Sabendo que as ondas sonoras produzidas por cada tubo produzem uma variac¸a˜o de pressa˜o com
amplitude ∆p = 10−1 N/m2, escreva a equac¸a˜o que representa a variac¸a˜o de pressa˜o provocada pelas
duas ondas sonoras em um ponto qualquer do espac¸o.
4. No planeta Arrakis, tambe´m conhecido como Duna, um desafortunado Sardaukar, perdido no meio do
deserto, ouve o barulho de um monstruoso verme de areia se aproximando. Usando seus sensores, o
pobre Sardaukar mede uma frequeˆncia sonora de 363 Hz. Sabendo que quando um verme de areia esta´ se
movendo sob a areia do deserto, ele produz um som peculiar com frequeˆncia de 327 Hz, os sensores indicam
que a velocidade de aproximac¸a˜o do verme de areia e´ de 56,7 m/s. Nos u´ltimos segundos antes de sua
morte, o Sardaukar, enta˜o, resolve sanar uma de suas maiores curiosidades: descobrir qual a velocidade
do som no infernal planeta Arrakis, e porque sua voz em Arrakis produz um som mais agudo do que em
seu agrada´vel planeta natal, Salusa Secundus. Considerando que o Sardaukar morreu feliz, apo´s calcular
corretamente a velocidade do som em Arrakis, qual o valor desta velocidade? A velocidade do som em
Salusa Secundus e´ maior ou menor que em Arrakis? Explique!
Formula´rio
∂2y(x, t)
∂x2
=
1
v2
∂2y(x, t)
∂t2
, y(x, t) = ymsen(kx− ωt), P (x, t) =
√
Fµω2A2sen2(kx− ωt), I = Pmed
A
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) + ..., y(x, t) = 2ymsen(kx− ωt− φ′) cos(∆φ/2)
∆L = mλ, ∆L = (m+ 1/2)λ, m = {0, 1, 2, 3...}
y(x, t) = 2A(senkx)(senωt), fn = n
v
2L
, n = {1, 2, 3, ...}, fn = n v
4L
, n = {1, 3, 5, 7, ...}
p(x, t) = −B∂y(x, t)
∂x
, I =
1
2
√
ρBω2A2, I =
P 2max
2
√
Bρ
, β = 10 log
I
I0
, I0 = 10
−12W m−2
p(x, t) = 2∆p cos
[(
ω1 − ω2
2
)
t
]
sen
[(
ω1 + ω2
2
)
t
]
, v =
ω
k
, v =
√
F
µ
, v =
√
B
ρ
f ′ = f
v ± vo
v ∓ vs , senA+ senB = 2 cos
A−B
2
sen
A+B
2