CAP_12-HRW

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CAPÍTULO 12 
ROLAMENTO, TORQUE 
E MOMENTO ANGULAR 
 
12-1 Rolamento 
 
Seja um corpo que rola em torno de um eixo que translada. 
Este movimento pode ser tratado como rotação pura. 
Mostraremos a equivalência destes dois pontos de vista. 
 
Exemplo: Seja um cilindro que rola numa superfície áspera 
horizontal. O ponto de contato do cilindro com a superfície está 
em repouso instantâneo e o eixo que passa neste ponto P é 
chamado de eixo instantâneo de rotação. O cilindro gira com 
velocidade angular  em torno do eixo P. Então o movimento do 
cilindro equivale a uma rotação pura, em cada instante. A 
energia cinética total será: 
 
 K = ½ IP 
2 
 
IP : momento de inércia do cilindro em torno do ponto P 
 
Usando o teorema dos eixos paralelos 
 
 IP = ICM + MR
2 
 
ICM : momento de inércia para eixo que passa no C.M. 
 
Por substituição obtemos 
 
 K = ½ ICM 
2 + ½ M v2CM 
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Um observador em P ou no C.M. observará a mesma velocidade 
angular . Agora então notamos a equivalência dos dois pontos 
de vista, ou seja, o rolamento de um cilindro poder ser entendido 
como uma rotação pura em torno do eixo de um eixo 
instantâneo, ou também como uma rotação em torno do C.M. 
combinada com a translação do próprio C.M. 
 
 “Os efeitos combinados de translação do C.M. e de rotação em 
torno de um eixo que passe pelo C.M. são equivalentes a uma 
rotação pura, com a mesma velocidade angular, em torno de um 
eixo que passe pelo ponto de contato de um corpo que rola.” 
 
 
 
Veja as figuras 12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.5. 
 
Estude os exemplos 12.1, 12.2, 12.3. 
 
Faça as questões teóricas 5 e 6 na página 286. 
 
Faça os problemas 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8,14 nas páginas 288 e 289. 
 
 
 
 
 
 
 
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12-4 Momento Angular 
 
Na translação o momento linear p = mv foi muito útil, pois com 
ele se enunciou uma importante lei de conservação: Lei de 
Conservação do Momento Linear. 
 
No movimento de rotação, qual será a grandeza análoga ao 
momento linear? 
Será a grandeza momento angular l. 
 
Seja uma partícula de massa m e momento linear p = m v, 
situada numa posição r relativa à origem de um referencial 
inercial. O momento angular l da partícula relativo à origem 
será definido como 
 
 l = r x p 
 
 
 
Em módulo temos 
 l = r p sen 
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12-5 Segunda Lei de Newton no Movimento de 
Rotação 
 
Usando a segunda lei de Newton 
 
 
  F = dp/dt 
 
e a definição l = r x p é possível mostrar que 
 
 
   = dl/dt 
 
que é dita a segunda lei de Newton para rotação geral. 
 
 
12-6 Sistemas de Partículas 
 
Para um sistema de n partículas, podemos obter o momento 
angular total L do sistema, fazendo a soma vetorial dos 
momentos angulares de todas as partículas, ou seja: 
 
 L = l1 + l2 + ... + ln =  li 
 
É possível escrever uma equação similar a equação da segunda 
lei de Newton para rotação geral aplicável para um sistema de n 
partículas na seguinte forma: 
 
  EXT = dL/dt 
 
“O torque externo resultante que atua num sistema é igual à 
variação temporal do momento angular total do sistema.” 
 
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12-7 Momento Angular de um Corpo Rígido que 
Gira em Torno de um Eixo Fixo 
 
Seja um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo. 
 
É possível relacionar o momento angular do corpo rígido , o 
momento de inércia e a velocidade angular do corpo: 
 
 L = I  
 
Aqui é interessante notar a semelhança com a expressão já 
conhecida p = m v . 
 
 
12-8 Conservação do momento Angular 
 
Para um sistema de partículas, sabemos que: 
 
 
  EXT = dL/dt 
 
Se supormos que nenhum torque externo resultante atue sobre o 
sistema teremos 
 
 dL/dt = 0 o que implica que L = cte ! 
 
Esta é a lei da conservação do momento angular. 
 
“Quando nenhum torque externo resultante atua sobre um 
sistema, o vetor momento angular do sistema L, permanece 
constante, qualquer que seja a alteração ocorrida no interior do 
sistema.” 
 
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12-9 Conservação do Momento Angular: Alguns 
Exemplos 
1. O pião humano 
 
 
2. O salto ornamental 
 
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3. Estabilizando um satélite 
 
4. Orientação de um veículo espacial 
 
 
5. A incrível estrela que encolhe 
 
 
Estudar os exemplos 12-9 e 12-10. 
 
Fazer as questões teóricas: 6, 12, 15, 17, 18, 19, 20. 
 
Fazer os problemas: 1, 7, 8, 10, 26, 27, 28, 29, 31, 36, 42, 43, 44, 
45, 46, 50, 51, 52, 53, 54, 55. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Revisado em 03/03/2009 
	CAPÍTULO 12 ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR
	Em módulo temos
	Usando a segunda lei de Newton
	Para um sistema de partículas, sabemos que: