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Curso: Graduação em Engenharia Civil - UNIFACEX 
Fabrício Lira Barbosa 
Elementos geométricos 
fundamentais 
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• As proposições geométricas podem ser classificadas como 
conceitos primitivos ou como postulados. 
 
• PRIMITIVO exprime a noção sobre algo que dispensa 
definição sob o ponto de vista geométrico, por exemplo: 
forma e dimensão, como também o são os de ponto, reta, 
plano e espaço. 
 
• Forma e dimensão são conceitos que podem ser 
compreendidos melhor quando se fazem analogias a coisas 
conhecidas. 
Proposições geométricas 
Reconhecimento de formas 
geométricas 
Reconhecimento de formas 
geométricas 
Reconhecimento de formas 
geométricas 
Reconhecimento de formas 
geométricas 
Reconhecimento de formas 
geométricas 
• Ponto, reta e plano 
 
• Ponto - não tem forma e nem dimensão. Qualquer forma 
geométrica pode ser obtida a partir do ponto. 
• Reta – A menor distância ente dois pontos determina uma 
reta. A forma da reta leva a outra idéia puramente intuitiva 
que é a noção de direção. Dois pontos distintos - não 
coincidentes, portanto - determinam a direção da reta a qual 
pertencem. 
• A extensão de uma reta é ilimitada e o trecho situado entre 
dois pontos que podem determiná-la é um segmento dessa 
reta. 
Elementos geométricos 
fundamentais 
• As retas podem ser classificadas em: 
• Coincidentes: possuem todos os pontos em comum; 
• Concorrentes: possuem um único ponto em comum (m e 
n); 
• Paralelas: participam de um mesmo plano, mas não 
possuem nenhum ponto em comum (r e s); 
• Perpendiculares: são concorrentes que formam entre si um 
ângulo de 90° (p e q). 
Elementos geométricos 
fundamentais 
m 
 
n 
 
p 
 
q 
 
• Ponto, reta e plano 
 
• Plano - Três pontos não colineares determinam um plano 
(ou uma superfície plana). Duas ou mais retas são ditas 
coplanares quando pertencem a um mesmo plano. 
Elementos geométricos 
fundamentais 
A 
 
A 
 
B 
 
A 
 
B 
 
D 
 
C 
 
• Ângulo: é a região do plano definida por duas semi retas 
que têm mesma origem (vértice). É geralmente medido em 
graus com uso do transferidor. 
Elementos geométricos 
fundamentais 
A 
 
B 
 
C 
 
Vértice 
 
Lado 
 
Lado 
 
Abertura 
(ângulo) 
 
Os ângulos podem ser classificados em: 
• Côncavos: quando possuem abertura entre 0° e 180° 
• Convexos: quando possuem abertura entre 180° e 360º 
Elementos geométricos 
fundamentais 
Quanto a abertura, os ângulos podem ainda ser classificados 
em: 
• Agudo: quando tem ângulo menor que 90º; 
• Obtuso: quando tem ângulo maior que 90º; 
• Reto: quando tem ângulo igual a 90º; 
• Raso: quando tem ângulo igual a 180º; 
• Pleno: quando tem ângulo igual a 360º; 
• Nulo: quando tem ângulo igual a 0º; 
 
 
Elementos geométricos 
fundamentais 
LINHA - a figura descrita por um ponto que se desloca 
aleatoriamente no espaço ou segundo uma determinada 
lei. Está associada a trajetória. 
 
Linha 
A 
 
A 
 
A 
 
A 
 
Reta 
 
Curva 
 
Poligonal 
 
Conjunto de formas caracterizadas por pontos, linhas e 
superfícies que se interrelacionam segundo uma ou mais leis 
de geração. 
Figuras geométricas 
• O conceito de espaço é primitivo e pode ser entendido como 
o meio que nos cerca, sem forma, de dimensões infinitas, 
onde cada figura ocupa o seu lugar. 
 
• O estudo das propriedades das figuras geométricas envolve, 
por conseguinte, o inter-relacionamento entre os elementos 
que as constituem, bem como a posição que ocupam no 
espaço isoladamente ou em relação à outra figura. 
Conceitos e 
postulados básicos 
• O conceito de espaço é primitivo e pode ser entendido como 
o meio que nos cerca, sem forma, de dimensões infinitas, 
onde cada figura ocupa o seu lugar. 
 
• O estudo das propriedades das figuras geométricas envolve, 
por conseguinte, o inter-relacionamento entre os elementos 
que as constituem, bem como a posição que ocupam no 
espaço isoladamente ou em relação à outra figura. 
 
 Postulados básicos, podem ser agrupados em três níveis: 
– Conceitos Primitivos 
– Proposições Básicas 
– Proposições Decorrentes 
Conceitos e 
postulados básicos 
CONCEITOS PRIMITIVOS: 
• forma e dimensão 
• ponto, reta e plano (elementos fundamentais) 
• linha e superfície 
• espaço 
Conceitos e 
postulados básicos 
1. Perpendicular por um ponto externo à reta 
• Traçar uma reta redefinir um ponto A fora da mesma; 
• Com centro em A e abertura qualquer, traçar um arco, determinando os 
pontos 0 e 1 na interseção com a reta R; 
• Com centro em 0 e abertura qualquer, traçar um arco; 
• Com centro em 1 e a mesma abertura cortar o arco anterior, 
determinando o ponto 2 na interseção dos arcos; 
• Ligar 2 a A para determinar a perpendicular desejada. 
 
Praticando construções 
fundamentais 
2. Divisão de segmentos de reta em partes proporcionais 
• Utilizando a régua, construa o segmento AB = 7cm. 
• Construa uma semi reta a partir de A que forma com o segmento AB um 
ângulo qualquer. 
• Coloque a ponta seca do compasso em A e marque uma medida qualquer na 
semi reta encontrando 1. 
• Com a mesma medida no compasso, coloque a ponta seca em 1 
encontrando 2, coloque a ponta seca em 2 encontrando 3 e assim por diante 
respectivamente até achar 5. 
• Una o ponto 5 com o ponto B. 
• Coloque a ponta seca do compasso em 5 e com uma abertura qualquer, 
trace um arco que corte os segmentos 5B e 5A. 
• Com o compasso, tire a medida do ângulo A5B. 
• Com a ponta seca onde o primeiro arco cortou a reta 5A abra até onde o 
mesmo arco cortou a reta 5B. Com esta medida, coloque a ponta seca do 
compasso no segundo arco e corte o mesmo arco. Repita este processo com 
todos os outros arcos. 
• Agora, unindo os pontos enumerados com os cortes obtidos nos arcos, você 
irá dividir o segmento AB em cinco partes iguais. 
 
Praticando construções 
fundamentais 
Praticando construções 
fundamentais 
Praticando construções 
fundamentais 
3. Construir duas retas paralelas a partir de uma reta e ponto existentes. 
 
 
 
 
 
 
 
•Passo a passo 
•Utilizando um compasso, traçar um arco com centro em P e na intersecção 
com a reta r marcar o ponto Q. 
•Traçar um arco com centro em Q e raio PQ, marcar na intersecção com a reta 
r o ponto A 
•Traçar um arco de centro em A e raio AP 
•Usando o compasso, transportar esse arco para o ponto Q e marcar o ponto B 
•Traçar uma reta passando pelos pontos P e B, que é a reta paralela. 
 
Praticando construções 
fundamentais 
4. Construir um triângulo equilátero a partir de uma reta AB marcando 
os pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
•Passo a passo 
•Traçar um arco com centro em A e distância em AB 
•Traçar outro arco com centro em B e distância AB, de forma a interceptar 
o arco criado anteriormente gerando o ponto C 
•Ligar os pontos AC e CB 
Praticando construções 
fundamentais 
5. Construir um pentágono regular a partir dos pontos identificados no 
segmento de reta A e B. 
Praticando construções 
fundamentais 
•Traçar uma circunferência com centro em A e raio AB 
•Traçar uma circunferência com centro em B e raio AB. No cruzamento das 
circunferências obtêm-se os pontos 1 e 2 
•Traçar uma circunferência com centro em 2 e raio AB, obtendo-se os 
pontos 3 e 4 
•Traçar uma reta passando pelos pontos 1 e 2, obtendo-se o ponto 5 na 
intersecção dessa reta e a circunferência de centro em 2 
•Traçar a reta passando pelos pontos 3 e 5, obtendo-se o ponto D no 
cruzamento da reta com a circunferência de centro B raio AB. 
•Traçar a reta passando pelos pontos 4 e 5 obtendo-se o ponto E no 
cruzamento da reta com a circunferência de centro A raio AB. 
•Traçar um arco de centro E e raio AB cruzandoa reta que passa pelo 
ponto 1 
•Traçar um arco de centro D e raio AB cruzando a reta que passa pelo 
ponto 1 
•Encontrar o ponto F no cruzamento das circunferências E e D com raio AB 
•Unir com retas os pontos A e E, E e F, F e D, D e B.