Formas Quadraticas e Conicas

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Formas Quadráticas e Cônicas 
 
Stela Zumerle Soares1 Antônio Carlos Nogueira2 
(stelazs@gmail.com) (anogueira@ufu.br) 
 
Faculdade de Matemática, UFU, MG 
 
1 Bolsista do PET -Matemática da Universidade Federal de Uberlândia 
2 Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia 
 
1. Resumo 
 
Nesse trabalho pretendemos apresentar alguns resultados da álgebra linear. Nosso objetivo é 
exibir os conceitos de formas bilineares e formas quadráticas. Além disso, faremos a 
classificação das cônicas no plano. 
 
 
 
2 - Formas Bilineares 
 
Definição 2.1 - Seja V um espaço vetorial sobre o corpo . Uma forma bilinear sobre V é 
uma função 
F
f , que associa a cada par ordenado de vetores ,α β em V , um escalar ( , )f α β 
em , e que satisfaz F
1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( ,
( , ) ( , ) ( , )
f c cf f
f c cf f
)α α β α β α β
α β β α β α β
+ = +
+ = + . 
 
A função nula de V é também uma forma bilinear. Além disso, toda combinação linear 
de formas bilineares sobre V é uma forma bilinear. 
V×
Assim, o conjunto das formas bilineares sobre V é um subespaço vetorial do espaço das 
funções de V em . V× F
 
Exemplo 2.1 – Seja V um espaço vetorial sobre o corpo e sejam e funcionais 
lineares sobre V . Definamos 
F 1L 2L
f por 
 
1 2( , ) ( ) ( )f L Lα β α β= . 
 
Fixando β e considerando f como uma função de α , então temos simplesmente um 
múltiplo escalar do funcional linear . 1L
Com α fixo, f é um múltiplo escalar de . 2L
Assim, é evidente que f é uma forma bilinear sobre V . 
 
Definição 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja 1{ , , }nβ α α= L uma 
base ordenada de V . Se f é uma forma bilinear sobre V , a matriz de f em relação à base 
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FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007 201 
ordenada β é a matriz n n × A com elementos ( , )ij i jA f α α= . Às vezes indicaremos esta 
matriz por [ ]f β . 
 
Teorema 2.1 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo . Para cada 
base ordenada 
F
β de V , a função que associa a cada forma bilinear sobre V sua matriz em 
relação à base ordenada β é um isomorfismo do espaço ( , , )L V V F no espaço das matrizes 
 sobre o corpo . n n× F
 
Demonstração: Observamos anteriormente que [ ]f f β→ é uma correspondência bijetora 
entre os conjuntos das formas bilineares sobre V e o conjunto de todas as matrizes n n× 
sobre . E isso é uma transformação linear, pois F
 
( )( ) ( ) ( ), ,i j i j i jcf g cf g ,α α α α α+ = + α 
 
Para todos e i j . Isto diz simplesmente que 
 
[ ] [ ] [ ]cf g c f gβ β β+ = + .■ 
 
Corolário – Se { }1, , nβ α α= L é uma base ordenada de V e { }* 1, , nL Lβ = L é a base dual 
de , então as formas bilineares *V 2n
 
( ) ( ) ( ),ij i jf L Lα β α= β , 1 i n≤ ≤ , 1 j n≤ ≤ 
 
formam uma base do espaço ( , , )L V V F . Em particular, a dimensão de ( , , )L V V F é . 2n
 
Demonstração: A base dual { }1, , nL LL é definida essencialmente pelo fato de que ( )iL α é a 
i-ésima coordenada de α em relação à base ordenada β (para todo α em V ). Ora, as funções 
ijf definidas por 
( ) ( ) ( ),ij i jf L Lα β α= β 
 
são formas bilineares do tipo considerado no exemplo 1. Se 
 
1 1 n nx xα α α= + +L e 1 1 n ny yβ α α= + +L , 
então 
( ),ij i jf x yα β = . 
 
Seja f uma forma arbitrária sobre V e seja A a matriz de f em relação à base ordenada β . 
Então 
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 202 FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
( )
,
, ij i j
i j
f A x yα β =∑ 
 
o que diz simplesmente que 
( )
,
,ij ij
i j
f A f α β=∑ . 
 
Agora é evidente que as formas 2n ijf formam uma base de ( , , )L V V F .■ 
 
Outra maneira de demonstrar o corolário: 
A matriz da forma bilinear ijf em relação à base ordenada β é a matriz “unitária” , 
cujo único elemento não-nulo é um 1 na linha i e coluna 
,i jE
j . Como estas matrizes 
constituem uma base do espaço das matrizes 
,i jE
n n× , as formas ijf constituem uma base do 
espaço das formas bilineares. ■ 
 
Definição 2.3 – Uma forma bilinear f sobre um espaço vetorial V é dita não-degenerada (ou 
não-singular) se sua matriz em relação a alguma (toda) base ordenada de V é uma matriz 
não-singular, ou seja, se . ( )Posto f n=
 
 
2.1 - Formas Bilineares Simétricas e Formas Quadráticas 
 
Nesta seção descreveremos um tipo especial de forma bilinear, as chamadas formas 
bilineares simétricas. 
 
Definição 2.4 - Seja f uma forma bilinear sobre o espaço vetorial V . Dizemos que f é 
simétrica se ( , ) ( , )f fα β β α= , para quaisquer vetores α , β em V . 
 
Se V é de dimensão finita, a forma bilinear f é simétrica se, e somente se, sua matriz A em 
relação a alguma ou (toda) base ordenada é simétrica, isto é, tA A= . Para ver isto, 
perguntamos quando é que a forma bilinear 
( ), tf X Y X AY= 
é simétrica. 
Isto acontece se, e somente se, t tX AY Y AX= para todas matrizes-colunas X e Y . 
Como tX AY é uma 1 matriz, temos 1× t t tX AY Y A X= . Assim, f é simétrica se, e 
somente se, t t tY A X Y AX= para todas . Evidentemente, isto significa apenas que 
. Em particular, deve-se notar que se existir uma base ordenada de V em relação à 
qual 
,X Y
tA A=
f seja representada por uma matriz diagonal, então f é simétrica, pois qualquer matriz 
diagonal é uma matriz simétrica. 
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FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007 203 
Se f é uma forma bilinear simétrica, a forma quadrática associada a f é a função de 
em definida por 
q
V F
 
( ) ( , )q fα α α= . 
 
Se é um subcorpo do corpo dos números complexos, a forma bilinear simétrica F f é 
completamente determinada por sua forma quadrática associada, de acordo com a seguinte 
identidade, conhecida por identidade de polarização: 
 
1 1( , ) ( ) ( )
4 4
f q qα β α β α β= + − − . 
 
Demonstração: 
 
Temos que: 
( )
( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
q
f
f f
f f f f
f f f
α β
α β α β
α β α α β β
α α β α α β β β
α α α β β β
+ =
+ + =
+ + + =
+ + +
+ + =
=
 
( ) 2 ( , ) ( ).q f qα α β β+ + (1) 
 
 
Temos também que: 
 
( )
( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
q
f
f f
f f f f
f f f
α β
α β α β
α β α α β β
α α β α α β β β
α α α β β β
− =
− − =
− − − =
− − +
− + =
=
 
( ) 2 ( , ) ( ).q f qα α β β− + (2) 
 
 
Fazendo (1) – (2), obtemos: 
 
( ) ( )
( ) 2 ( , ) ( ) ( ) 2 ( , ) ( )
4 ( , )
q q
q f q q f q
f
α β α β
α α β β α α β β
α β
+ − − =
+ + − + − = 
 
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204 FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
E então, 
1( , ) ( ( ) ( ))
4
f q qα β α β α= + − − β 
1 1( , ) ( ) ( )).
4 4
f q qα β α β α⇒ = + − − β
))
■ (3) 
 
 
Observe que, fazendo (1)+(2), obtemos a identidade do paralelogramo 
 
( ) ( ) 2( ( ) (q q q qα β α β α β+ + − = + . (4) 
 
 
Uma classe importante de formas bilineares simétricas consiste dos produtos internos sobre 
espaços vetoriais reais. Se V é um espaço vetorial real, um produto interno sobre V é um a 
forma bilinear simétrica f sobre V que satisfaz 
 
( , ) 0f α α > , se 0α ≠ . (5) 
 
Se f é uma forma bilinear dada pelo produto escalar, então a forma quadrática associada é 
 
2 2
1 2 1 2( , , , )n nq x x x x x x
2= + + +L L . 
 
Em outras palavras, ( )q α é o quadrado do comprimento de α . 
Para a forma bilinear ( , ) tAf X Y X AY= , a forma quadrática associada é 
,
( ) tA ij i j
i j
q X X AX A x x= =∑ . 
 
Uma forma bilinear que satisfaz a equação(5) é dita positiva definida. Assim, um produto 
interno sobre um espaço vetorial real é uma forma bilinear simétrica positiva definida sobre 
aquele espaço. Note que, um produto interno é não degenerado. 
 
Dois vetores ,α β são ditos ortogonais em relação ao produto interno f se . A 
forma quadrática 
( ), 0f α β =
( ) ( ),q fα α α= toma apenas valores não-negativos e ( )q α é usualmente 
considerado como o quadrado do comprimento de α . 
 
Observe que se f é uma forma bilinear simétrica sobre um espaço vetorial V , é conveniente 
dizer que α e β são ortogonais em relação à f se ( ),f α β 0= . Mas não é aconselhável 
considerar ( ),f α α como sendo o quadrado do comprimento de α . Por exemplo, se V é 
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FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007 205 
um espaço vetorial complexo, podemos ter ( ), 1f iα α = − = , ou num espaço vetorial real 
. ( ), 2f α α = −
 
Teorema 2.2 – Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo de 
característica zero, e seja f uma forma bilinear simétrica sobre V . Então, existe uma base 
ordenada de V em relação à qual f é representada por uma matriz diagonal. 
 
Demonstração: O que precisamos encontrar é uma base ordenada 
 
{ }1 2, , , nβ α α α= L 
 
tal que ( ),i jf α α = 0 j
*
⎞⎟⎟⎟⎠
 para , ou seja i ≠
 
11 0 * 0
0 0nn
f
f
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜=⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
K K
M O M M O M
L L
 
Se ou , o teorema é verdadeiro, pois a matriz 10f = 1n = 1× é uma matriz diagonal. 
Assim, podemos supor e . Se 0f ≠ 1n > ( ),f α α 0= para todo α em V , a forma 
quadrática é identicamente 0 e a identidade de polarização mostra que , pois q 0f =
1 1( , ) ( ) ( )
4 4
f q qα α α α α= + − −α . 
Assim, existe um vetor α em V tal que ( ) ( ), 0f qα α α .= ≠ 
Seja W o subespaço unidimensional de V que é gerado por α e seja W ( W ortogonal) o 
conjunto de vetores 
⊥
β em V tais que ( ),f α β 0= . Afirmamos agora, que V W W ⊥= ⊕ . 
Certamente os subespaços W e W são independentes. Um vetor típico em W é ⊥ cα , onde c é 
um escalar. 
Se cα está, também, em W , então ⊥ ( ) ( )2, ,f c c c fα α α α 0= = . 
Mas, , logo . Além disso, todo vetor em V é a soma de um vetor em W e 
um em W . De fato, seja 
( ),f α α ≠ 0 0c =
⊥ γ um vetor arbitrário em V e coloquemos: 
 
( )
( )
,
,
f
f
γ αβ γ αα α= − . 
 
Então 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )
,
, ,
,
f
f f f
f
γ α
,α β α γ αα α= − α 
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206 FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
 
E como f é simétrica, , (pois ( ),f α β = 0 f é diagonal e α β≠ ). 
Portanto, β está no subespaço W . A expressão ⊥
( )
( )
,
,
f
f
γ αγ α βα α= + 
 
nos mostra que V W . W ⊥= ⊕
 
A restrição de f a W ⊥ é uma forma bilinear simétrica sobre W ⊥ . Como W tem dimensão 
(pois tem ), podemos supor, por indução, que W possua uma base 
⊥
( 1n − ) W dim 1= ⊥
{ }2 , , nα αL tal que 
 ( ),i jf α α 0= , ( )2, 2i j i j≠ ≥ ≥ 
 
Colocando 1α α= , obtemos uma base { }1, , nα αL de V tal que ( ),i jf α α = 0 j para i .■ ≠
 
Obs: Em termos das coordenadas dos vetores 1 1 2 2 n nx x xα α α α= + + +L e 
1 1 2 2 n ny y yβ α α= + + +L α relativamente à base { }1, , nα αL do teorema 2.2 a forma 
bilinear f se expressa como ( ), i i if x yα β λ= ∑ . 
Em particular, a forma quadrática associada a q f é dada por uma combinação linear de 
quadrados: 
( ) 2 21 1 2 2 n nq x x 2xα λ λ λ= + + +L . 
Os escalares 1 2, , , nλ λ L λ
⎟
⎟
 são os autovalores da matriz da forma bilinear. 
 
 
2.2 – Formas Quadráticas no plano 
 
De acordo com o teorema 1, uma forma quadrática no plano pode ser representada por uma 
matriz simétrica . Isto é feito da seguinte maneira: a matriz simétrica real 
 associa ao vetor 
a c
A
c b
⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠
a c
A
c b
⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠
2( , )sv x y R= ∈ , referido à base canônica , 
( e ), o polinômio que é um polinômio homogêneo do 2º 
grau em 
1 2{ , }S e e=
1 (1,0)e = 2 (0,1)e = 2 2ax bxy cy+ + 2
x e y chamado forma quadrática no plano. 
 
Na forma matricial, este polinômio é representado por: 
 
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FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007 207 
( )ts s a c xv Av x y c b y
⎛ ⎞⎛= ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝
⎞⎟⎠ , 
 
sendo a matriz simétrica A a matriz da forma quadrática. 
Assim, a cada vetor sv corresponde um número real: 
 
2 22p ax bxy cy= + + . 
 
 
2.2.1 – Redução da Forma Quadrática à Forma Canônica. 
 
A forma quadrática no plano ts sv Av pode ser reduzida através de mudanças de coordenadas à 
forma: 
 
2 2
1 2' 'x yλ λ+ 
 
onde 1λ e 2λ são os autovalores da matriz A , e 'x e as componentes do vetor v na base 
, isto é, 
'y
1 2{ , }P u u= ( ', ')pv x y= , sendo e os autovetores associados a 1u 2u 1λ e 2λ . 
 
Demonstração: 
Temos que a matriz é a matriz mudança de base de para , pois: P P S
 
[ ] 1PSI S P IP P−= = = 
 
E, portanto: 
 
s pv Pv= 
 
logo, 
 
( ) ( )tts s pv Av Pv A Pv= p 
 
ou, 
 ( )t t tS S P Pv Av v P AP v= . 
 
Como diagonaliza P A ortogonalmente 
 
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208 FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
1
2
0
0
tP AP D
λ
λ
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ; 
 
conclui-se que, 
 
t t
S S P Pv Av v Dv= , 
 
ou, 
 
( ) ( ) 1
2
0 '
' '
0 '
a c x x
x y x y
c b y y
λ
λ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠
⎞⎟⎠
2'
2'
 
 
ou ainda, 
 
2 2 2
1 22 'ax bxy cy x yλ λ+ + = + . ■ 
 
 
 
A forma 21 2'x yλ λ+ é denominada forma canônica da forma quadrática no plano, ou 
também, forma quadrática diagonalizada. 
O que na verdade acabamos de fazer foi uma mudança de base ou uma mudança de 
referencial. 
Essa mudança de referencial corresponde a uma rotação de um ângulo θ do sistema xOy 
até o sistema ' 'x Oy . A matriz responsável por essa rotação é a matriz ortogonal , cujas 
colunas são os autovetores e de 
P
1u 2u A . 
 
 
3 – Cônicas. 
 
Chama-se cônica a todo conjunto de pontos M do plano cujas coordenadas x e , em 
relação à base canônica, satisfazem a equação do 2º grau: 
y
 
2 22 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + = 
 
onde não são todos nulos. , ,a b c
 
 
3.1- Equação reduzida de uma Cônica. 
 
Dada a cônica C de equação 
 
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2 22 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + = (6) 
 
queremos, através de mudanças de coordenadas, reduzí-la a uma equação de uma forma mais 
simples, chamada equação reduzida da cônica. Para isto seguimos as seguintes etapas. 
 
1ª etapa: Eliminação do termo em xy : 
 
1º passo: escrever a equação na forma matricial 
 
( ) ( ) 0a c x xx y d e f
c b y y
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (7) 
ou, 
0ts s sv Av Nv f+ + = . 
 
2º passo: calcular os autovalores 1λ e 2λ e os autovetores unitários e 
 da matriz simétrica 
1 11 12( , )u x x=
2 21 2( ,u x x= 2 ) A . 
 
3º passo: substituir na equação (7) a forma quadrática: 
 pela forma canônica ( )ts s a c xv Av x y c b y
⎛ ⎞⎛= ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝
⎞⎟⎠
 
( ) 1
2
0 '
' '
0 '
t
P P
x
v Dv x y
y
λ
λ
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ , e 
 
s
x
v
y
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ por 
11 21
12 22
'
'P
x x x
Pv
x x y
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
 
tendo o cuidado para que de , a fim de que essa transformação seja uma rotação. t( ) 1P =
Assim, a equação (7) se transforma em: 
 
( ) ( )1 11 21
2 12 22
0 ' '
' ' 0
0 ' '
x xx x
x y d e f
x xy y
λ
λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
ou, 
2 2
1 2' ' ' 'x y px qy fλ λ+ + + + = 0
'
 (8) 
 
que é a equação da cônica dada em (7), porém referida ao sistema 'x Oy , cujos eixos são 
determinados pela base . 1 2{ , }P u u=
Observe que enquanto a equação (7) apresenta o termo misto xy , a equação (8) é desprovida 
dele. 
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210FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
Portanto da equação (7) para a (8) ocorreu uma simplificação. 
 
2ª etapa: Translação de eixos: 
 
Conhecida a equação da cônica 
 
2 2
1 2' ' ' 'x y px qy fλ λ+ + + + = 0
'
. (9) 
 
Para se obter a equação reduzida efetua-se uma nova mudança de coordenadas, que consiste 
na translação do último referencial 'x Oy para o novo, o qual denominaremos 'xO y . A 
seguir é feita a análise das duas possibilidades: 
 
(I) Supondo 1λ e 2λ diferentes de zero, podemos escrever: 
2 2
1 2
1 2
' ' ' 'p qx x y y fλ λλ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 
 
2 2 2
2 2
1 22 2
1 1 2 2 1 2
' ' ' '
4 4 4
p p q q p qx x y y fλ λλ λ λ λ λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2
0
4
+ + + + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
2 2 2 2
1 2
1 2 1
' '
2 2 4 4
p q px y fλ λλ λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2
0qλ . 
Fazendo: 
 
2 2
1 24 4
p qf Fλ λ− − = − 
 
e por meio das fórmulas de translação: 
 
1
'
2
pX x λ= + e 2' 2
qY y λ= + 
 
vem, 
 
2 2
1 2 0X Y Fλ λ+ − = 
 2 21 2 .X Y Fλ λ+ = (10) 
 
A equação (10) é a equação reduzida de uma cônica de centro, e como se vê, o 1º membro é 
a forma canônica da forma quadrática do plano. 
 
(II) Se um dos autovalores for igual a zero, 1 0λ = , por exemplo, a equação (9) fica: 
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FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007 211 
 
2
2 ' ' 'y px qy fλ 0+ + + = 
 
ou seja, 
 
2
2
2
' ' 'qy y px fλ λ
⎛ ⎞
0+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
2 2
2
2 2
2 2 2
' ' '
4 4
q q qy y px fλ λ λ λ
⎛ ⎞+ + + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
0 
2 2
2
2 2
' '
2 4
q f qy p x
p p
λ λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0= . 
 
Fazendo, por meio de uma translação: 
 
2
2
'
4
f qX x
p pλ= + − e 2' 2
qY y λ= + 
 
vem, 
 
2
2 0Y pXλ + = . (11) 
 
A equação (11) é a equação reduzida de uma cônica sem centro. 
 
Se 2 0λ = , a equação (9) fica: 
2
1 ' ' 'x px qy fλ 0+ + + = 
2
1
1
' ' 'px x qy fλ λ
⎛ ⎞
0+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
2 2
2
1 2
1 1 1
' ' '
4 4
p p px x qy fλ λ λ λ
⎛ ⎞+ + + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
0 
 
2 2
1
1 1
' '
2 4
p f px q y
q q
λ λ λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0= . 
 
Fazendo por meio de uma translação: 
 
2
1
'
4
f pY y
p qλ= + − e 1' 2
pX x λ= + 
vem, 
Edson
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212 FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
 
2
1 0X qYλ + = . 
 
 
3.2- Classificação das Cônicas. 
 
I) A equação reduzida de uma cônica de centro é: 
 
2 2
1 2X Y Fλ λ+ = . 
 
• Se 1λ e 2λ forem de mesmo sinal, a cônica será do gênero elipse. 
• Se 1λ e 2λ forem de sinais contrários, a cônica será do gênero hipérbole. 
 
II) A equação de uma cônica sem centro é: 
 
2
2 0Y pXλ + = ou 21 0X qYλ + = . 
 
Uma cônica representada por qualquer uma dessas equações é do gênero parábola. 
É usada a mesma classificação para as formas quadráticas. 
 
Exemplo 3.1: 
a) Para a cônica de equação 2 22 2 2 7 2 5 2 10x y xy x y+ + + + + = 0
⎞⎟ 1
, a matriz A é dada 
por e seus autovalores são 
2 1
1 2
A ⎛= ⎜⎝ ⎠ 1 2
3 eλ λ= = . Portanto, pela classificação de 
cônicas, como os sinais dos autovalores são iguais, a cônica em questão é uma elipse. 
 
 
 
 
Edson
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b) Para a cônica de equação , a matriz A é dada por e 
como um de seus autovalores é nulo, concluímos que esta cônica é uma parábola. 
2 22 8 4x xy y x+ + − + = 0 1 1
1 1
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
 
c) A equação 2 24 3 24 156 0x y xy− + − = , representa uma hipérbole, pois a matriz 
 apresenta autovalores de sinais opostos (
4 12
12 3
A ⎛= ⎜ −⎝ ⎠
⎞⎟ 1 212 13eλ λ= − = ). 
 
 
 
 
3. Referências bibliográficas 
 
[1] HOOFMAN, K. & KUNZE, R. Álgebra Linear. São Paulo: Polígono, Editora da 
Universidade de São Paulo,1971. 
Edson
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[2] GREUB, W. Linear Algebra. 4ª ed. Nova York: Springer-Verlag, 1974. 
 
[3] STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2ª ed. São Paulo: Makron 
Books, 1987. 
 
[4] LIMA, E. L. Álgebra Linear. 2ª ed. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1996 
(Coleção Matemática Universitária). 
 
 
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