Listas-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #3
1. Decida se a func¸a˜o f : (−∞, 1/2]→ [0,∞) dada por f(x) =√|x− 1| − |x| e´ bijetora.
2. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es f(x) = sen 2x e g(x) = 2 cosx no intervalo [−2pi, 2pi].
3. Se f e g sa˜o func¸o˜es tais que (f ◦ g)(x) = 4x2 e g(x) = 2x− 5, e´ poss´ıvel encontrar f?
4. Se f(x) = (x − 1)(x + 1)−1, x ∈ R \ {−1, 1}, encontre f ◦ f . A func¸a˜o encontrada e´
injetora?
5. Se f(x) = 3
√
10− x3, encontre f ◦ f e identifique seu domı´nio.
6. Se f(x) = x+ 1, existe uma func¸a˜o g tal que f ◦ g = g ◦ f?
7. Se f(x) = 51, x ∈ R, quais sa˜o as func¸o˜es g que satisfazem f ◦ g = g ◦ f?
8. Seja f : R → R uma func¸a˜o que satisfaz f(x + y) = f(x) + f(y), x, y ∈ R. Calcule
f(0). Conclua que f e´ ı´mpar e, em seguida, que f(x− y) = f(x)− f(y), x, y ∈ R. Para
finalizar, exiba uma func¸a˜o que tenha todas essas propriedades.
9. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o invert´ıveis. Em caso afirmativo, encontre uma ex-
pressa˜o para a inversa de f .
(i) f : (−1, 1)→ R, f(x) = x(1− |x|)−1;
(ii) g(x) = (x3 − 2x2)(x− 2)−1;
(iii) h : [1,∞)→ [−1,∞), f(x) = x2 − 2x;
(iv) f(x) =
√
4− x2;
(v) g(x) = (1 +
√
x)(1−√x)−1;
(vi) f(x) = x/
√
1 + x2;
(vii) g(x) = (x+ 2)/(2x− 1).
10. Seja f : [1,∞) → [7,∞) uma func¸a˜o dada pela fo´rmula f(x) = x2 − 2x + 8. Encontre
os pontos onde os gra´ficos de f e de sua inversa se cruzam.
11. Considere a func¸a˜o f : R→ (0, 3] dada por
f(x) =
 3− x
2 se |x| ≤ 1
2
|x| se |x| > 1
Esboce o gra´fico de f e verifique que f na˜o e´ bijetora. Analise f quanto ao quesito
paridade. Determine o maior intervalo I de R de modo que f : I → {f(x) : x ∈ I} seja
invert´ıvel e 1 ∈ I.
12. Considere as func¸o˜es f(x) =
√
(x− 3)(x+ 3)−1 e g(x) = √x− 3(√x+ 3)−1. Essas
func¸o˜es sa˜o iguais? Elas sa˜o invert´ıveis?
13. Decida sobre a paridade e injetividade de todas as func¸o˜es trigonome´tricas inversas.
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