Lista5-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #5
1. Para o � dado, determine um δ > 0 tal que |f(x)− L| < � sempre que 0 < |x− a| < δ.
(i) f(x) = x+ 3; L = 5; a = 2; � = 0, 01;
(ii) f(x) = 4x− 1; L = 11; a = 3; � = 0, 01;
(iii) f(x) = 3− 4x; L = 7; a = −1; � = 0, 02;
(iv) f(x) = (x2 − 25)(x− 5)−1; L = 10; a = 5; � = 0, 01;
(v) f(x) = x− 1; L = 0; a = 1; � = 0, 1;
(vi) f(x) = (x+ 1)/2; L = 3; a = 5; � = 0, 1;
(vii) f(x) = x2; L = 4; a = 2; � = 0, 1.
2. Nos itens abaixo, verifique se cada limite esta´ correto, usando a definic¸a˜o de limite:
para cada � > 0, encontre δ > 0 de tal maneira que |f(x) − L| < � vale, sempre que
0 < |x− a| < δ.
lim
x→4
(2x− 5) = 3 lim
x→0
(2− 5x) = 2 lim
x→3
(4x− 1) = 11
lim
x→4
x2 − 16
x− 4 = 8 limx→−3 51 = 51 limx→1 |x− 2| = 0
3. Se g(x) = |x|/3x, o limite limx→0 g(x) existe? Justifique.
4. Se h(x) = (x− |x|)x−1, existe o limite limx→0 h(x)?
5. Esboce o gra´fico de f(x) = (9x2 − 4)(3x− 2)−1. Calcule enta˜o limx→2/3 f(x).
6. Calcule os limites abaixo:
lim
x→1
x− 1
x3 − 1 limx→1
(x+ 2)(
√
x− 1)
x2 + x− 2 limx→0
√
1 + x−√1− x
x
lim
x→1
1− 2x− x4
x3 + 3x2 + 1
lim
x→−1
x2 + 4x+ 3
x3 + 1
lim
x→2
x3 − 8
x− 2 arctgx
lim
x→0
2−√4− x
pix
lim
x→1
−1 + 1/√x
1− x limx→pi/4
senx− cosx
1− tgx
lim
x→3
x2 − 9
3
√
x− 3√3 limx→8
√
7 + 3
√
x− 3
x− 8 limx→0
4
√
x4 + 1−√x2 + 1
x2
lim
x→0
√
1 + senx
3
√
cosx
lim
x→2
3
√
x+ 2− 2
4
√
x+ 2− 2 limx→0+
√
2 +
√
3−√x+ 2−√x+ 3√
x
7. Calcule os limites abaixo, quando eles existirem.
lim
x→51+
x− 51
|x− 51| limx→0+
(
−x+ x|x|
)
lim
x→17−
x− bxc
3
lim
x→2+
√
|x| − x lim
x→2−
3
√
bxc − x lim
x→2+
3
√
bxc − x
1
8. Use a definic¸a˜o de limite para tentar se convencer da validade da seguinte propriedade:
limx→a f(x) = 0 se e somente se limx→a |f(x)| = 0.
9. Se limx→a f(x) = L enta˜o limx→a |f(x)| = |L|. Certifique-se de que isto vale. Deˆ um
exemplo para justificar que a rec´ıproca desta afirmac¸a˜o pode na˜o valer quando L 6= 0.
10. Se os limites limx→a f(x) e limx→a(f(x)+g(x)) existem e sa˜o finitos, o limite limx→a g(x)
sempre existe?
11. Se limx→a f(x) e limx→a g(x) na˜o existem pode acontecer do limx→a(f(x)+g(x)) existir?
12. Se f e´ uma func¸a˜o dada e x0 ∈ R, certifique-se de que limx→x0 f(x)(x− x0)−1 = 0 se e
somente se limx→x0 f(x)|x− x0|−1 = 0.
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