Lista20-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #20
1. Assumindo que cada uma das integrais abaixo existe, ratifique as igualdades indicadas:∫ 10
3
f(x)dx =
∫ 14
3
f(x)dx−
∫ 14
10
f(x)dx −
∫ −5
7
g(x)dx+
∫ 10
7
g(x)dx =
∫ 10
−5
g(x)dx
∫ c
a
h(x)dx = −
∫ 0
b
h(x)dx+
∫ 0
a
h(x)dx−
∫ b
c
h(x)dx∫ a
d
F (x)dx−
∫ a
b
F (x)dx+
∫ c
b
F (x)dx−
∫ c
d
F (x)dx = 0
2. Simplifique as expresso˜es abaixo:∫ 0
−10
f(x)dx+
∫ 6
2
f(x)dx−
∫ 0
2
f(x)dx
∫ 1
4
g(x)dx+
∫ 3
3
F (x)dx+
∫ 4
−1
g(x)dx
∫ b+3
b
h(x)dx−
∫ a
b
h(x)dx+
∫ a
−a
h(x)dx
∫ x+∆x
a
f(t)dt−
∫ x
a
f(t)dt
3. Usando-se os treˆs dados∫ 0
−2
x2dx =
8
3
,
∫ 1
0
x2dx =
1
3
e
∫ 2
1
x2dx =
7
3
e mais nada, calcule:∫ 2
0
5x2dx,
∫ 2
−2
3x2dx,
∫ 8
2
3x2dx−
∫ 8
0
3x2dx,
∫ 2
−4
x3dx+
∫ −4
2
x3dx e
∫ −2
1
x2
3
dx
4. Estime inferiormente e superiormente, sem calcular, as seguintes integrais:∫ 6
3
(4x− 1)dx
∫ 3
−2
x2dx
∫ 3
1
1
x2
dx
∫ 4
−1
|x|dx
∫ −2
−4
|2− x|dx
∫ −2
−2
|9− x2|dx
∫ 1
−2
x|x|dx
∫ 1
0
2x2
1 + x2
dx∫ 3
−1
√
2 + xdx
∫ 4
0
√
x
1 + x
dx
∫ 1
−3
x+ 4
x− 2dx
∫ 2
1
(x4 − 6x2 + 11)dx
5. Use algum argumento geome´trico para calcular
∫ 6
0
√
36− x2 dx.
6. Encontre o valor das integrais abaixo, sem calcula´-las.∫ pi/29
−pi/29
(tgx+ 5x)dx
∫ 3
−3
x(9 + x4)−1dx
∫ −51
51
arctg 3x dx.
1
7. Nas integrais abaixo, certifique-se de que o Teorema do Valor Me´dio para integrais e´
aplica´vel. Determine o(s) nu´mero(s) c de que trata a conclusa˜o do teorema.∫ 2
0
(2x+ 3)dx
∫ 2
0
(4− x2)dx
∫ 1
−1
(x3 − 2x)dx
∫ 3
1
(x2 − 3x+ 4)dx
8. Encontre as derivadas das func¸o˜es indicadas:
F (x) =
∫ x
1
1
t
dt (x > 0) F (x) =
∫ x
3
(
3
√
t+ 51t2)dt
F (x) =
∫ x
−3
(t4 − 3t+ 7)dt F (x) =
∫ x
−100
√
t2 + 4t+ 5 dt
9. Com a ajuda da regra da cadeia, calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
G(x) =
∫ 2
x
√
t2 + 16 dt G(x) =
∫ x2
1
√
3t2 + 7 dt
G(x) =
∫ x
−x
1
t4 + 9
dt G(x) =
∫ x3
x
(t3 − 4t)dt
10. Use o segundo Teorema Fundamental do Ca´lculo para calcular as integrais abaixo:∫ −2
−1
1
x2
dx
∫ 2
−2
(x3 + 10x)dx
∫ 16
4
1√
x
dx
∫ 0
−3
(x2 − 6x− 5)dx
∫ 1
0
(
√
x+ 2)2dx
∫ 3
2
x2 − 2
x2
dx
∫ 3
4
(
3
√
x
2
+
1√
x
)
dx∫ 2
1
(x2 − 1)4xdx
∫ 2
0
u
√
1 + u2 du
∫ 3
0
y√
1 + y
dy∫ b
0
x
√
25− x2 dx
∫ 4
0
t+ 2√
2t+ 1
dt
∫ 3
0
z
√
z + 1 dz∫ 1
0
(t− 1)2√t dt
∫ 3
−1
|x− 1|dx
∫ 3
−2
√
2 + |x| dx
11. Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas:
(i) y = x2 + 3x, x = 1, x = 3;
(ii) y =
√
x, x = 0, x = 4;
(iii) y = x2 + 2x+ 4, x = −2, x = 1;
(iv) y = (2x− 3)2, x = −2, x = 0;
(v) y = x−2(x2 + 6), x = 1/2, x = 2;
(vi) y = x(x+ 1)(x+ 2), x = 0, x = 3;
(vii) y = (x+ 2)
√
x, x = 1, x = 4;
2
12. Calcule as integrais abaixo:∫ √
3x− 5 dx
∫ √
10x+ 6 dx
∫ √
x3 + 4 x2dx∫ √
x2 + 116 x dx
∫
1√
5t2 + 4
dt
∫
x
√
x+ 5 dx∫
x
√
x− 3 dx
∫
x√
x+ 7
dx
∫
x
(x− 4)3 dx∫
x
(x2 − 9)3 dx
∫
x
(x− 6)4 dx
∫
(5x− 3)1/4dx∫
(x3 + 4)2
x2
dx
∫
x3√
2 + x2
dx
∫
(3 + 1/x)5
x2
dx∫
t(8− t)1/3dt
∫
y(2y + 1)1/3dy
∫
z(z − 51)2/3dz∫ √
w + 51(w + 52) dw
∫
t
(t− 51)1/4 dt
∫
x cos(x2) dx∫
sen 5x cosx dx
∫
cotg 34x cossec 24x dx
∫
cotg 2x dx∫
cos 3x dx
∫
sen (θ/2) dθ
∫
cossec 2(t/3) dt∫
t sec2 t2 dt
∫
(sen 3t− cos 3t)2 dt
∫
sen 52t cos 2t dt∫ √
3 + 2tg θ sec2 θ dθ
∫
1
x2
cosx−1 dx
∫
1
x2 + 16
dx∫
1
2x2 + 10
dx
∫
1√
25− x2 dx
∫
x
x4 + 49
dx∫
x2 + 5
x2 + 4
dx
∫
1
x
√
4x2 − 1 dx
∫ √
3
x
√
x2 − 4 dx∫
1√−x2 + 6x− 8 dx
∫
1
(x− 3)√x2 − 6x+ 5 dx
∫
senx
1 + cos2 x
dx∫
arctgx
1 + x2
dx
∫
sec2 x
9 + tg 2x
dx
∫
1√
8 + 4x− 4x2 dx
3